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杨辉三角ppt


研究性课题:

杨辉三角

杨 辉 三 角
第 0行 1 第 1行 1 1 第 2行 1 2 1 6=3+3 4=1+3 第 3行 1 3 3 1 10=6+4 10=6+4 第 4行 1 4 1 4 6 20=10+10 15=5+10 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1

>
…… …… 2 r n? 2 r ?1 1 … C n ?1 C n ?1 … C n ?1 第n-1行 1 C n ?1 C n ?1 r n ?1 2 1 … … C C 第 n行 1 C n C n n n …… … …

r r ?1 r Cn ? Cn ? C ?1 n ?1

一.复习:杨辉三角的基本性质 1)表中每个数都是组合数,第n行的第 n! r r+1个数是 C ?
n

r !?( n ? r )!
r ?1 n ?1

2)三角形的两条斜边上都是数字1,而其余 的数都等于它肩上的两个数字相加,也就是

C ?C
r n

?C

r n ?1

3)杨辉三角具有对称性
n 0 n n 1 n ?1 1 n

C ?C
r n
r n? r r n

4)杨辉三角的第n行是二项式(a+b)n展开 式的二项式系数即

n? r n

(a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? C a b ? ? ? C b

n n n

n 0 n 1 n ?1 1 r n? r r n n 求证: (a ? b) ? C n a ? C n a b ? ? ? C n a b ? ? ? C n b 证明: 1)当n=1时, 左边=a+b,右边=a+b 所以等式成立. 2)假设当n=k时等式成立,即

? (C a ? C a b ? ? ? C a b ? ? ? C )(a ? b) 0 k ?1 1 k r ?1 k ? r b ?1 k k ? C k a ? C k a b ? ? ? C k a b ? ? ? C k ab ?
0 k k 1 k ?1 1 k r k k ?r r k k

(a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? C a b ? ? ? C b k ?1 k 则当n=k+1时, ( a ? b) ? (a ? b) (a ? b)
k 0 k k 1 k ?1 1 k r k k ?r r

k k k

C a b ? ? ? C a b ? ? ? C ab ? C b 0 k +1 = C k a + (C ? C )a b + ? + (C ? C )a b + k   ? + (C k ? C )ab + C b
利用组合数的重要性质可得
k ?1 0 k ?1 k ?1 1 k 1 k ?1

0 k k 1 0 k k k k-1 k k

r k ? r r ?1 k r +1 k k k +1 k

k ?1 k k r k ? r b +1 k

k k ?1 k

(a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? C a b ? ? ? C b
r ?1 k ? r r ?1 k ?1

k ?1 k ?1 k ?1

二.引入: 1. 斐波那契“兔子繁殖问题”: 中世纪意大利数学家斐波那契的传 世之作《算术之法》中提出了一个饶有 趣味的问题:假定一对刚出生的兔子一 个月就能长成大兔子,再过一个月就开 始生下一对小兔子,并且以后每个月都 生一对小兔子.设所生一对兔子均为一 雄一雌,且均无死亡.问一对刚出生的 小兔一年内可以繁殖成多少对兔子?

2. 杨辉三角与弹子游戏
在游艺场,可以看到如图的弹子游戏,小 球 (黑色 ) 向容器内跌落,碰到第一层阻 挡物后等可能地向两侧跌落,碰到第二层 阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落,

如是,一直下跌,最终小 球落入底层,根据具体区 域获得奖品。试问:为什 么两边区奖品高于中间区 奖品?

3.杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有 趣的问题:如图是某城市的部分街道图, 纵横各有五条路,如果从A处走到B处 (只能由北到南,由西向东),那么有多 少种不同的走法?
A

B

从某种意义上说,
发现问题更重要.

三.新课:杨辉三角蕴含的数字排列规律.
第 0行 1 第 1行 1 1 第 2行 1 2 1 6=3+3 4=1+3 第 3行 1 3 3 1 10=6+4 10=6+4 第 4行 1 4 4 1 20=10+10 6 15=5+10 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1
r n r ?1 n ?1

C ?C ?C …… …… 2 r n? 2 r ?1 1 … C C C C n ?1 n ?1 … n ?1 第n-1行 1 C n ?1 n ?1 r n ?1 2 1 … … Cn Cn 第 n行 1 C n C n …… … …

r n ?1

1.研究斜行规律:
第一条斜线上:

1+1+1+1+1+1=6 ? C
第二条斜线上: 1+2+3+4+5=15 ? C

1 6

2 6 3 6

1+3+6+10=20 ? C 第三条斜线上: 第四条斜线上:1+4+10=15 ? C 64

猜想:在杨辉三角中,第m条斜线(从右上到左下) 上前n个数字的和,等于 第m+1条斜线上的第n个数.

C C C C C r r r r r ?1 C r ? C r ? 1 ? C r ? 2 ? ? ? C n ?1 ? C n
C

1 (第1条斜线 ) n 2 1+2+3+ ...+ 1 = (第2条斜线 ) n n ?1 3 2 1+3+6+ ...+ = (第3条斜线 ) n n ?1 4 1+4+10+ ...+ 3 = (第4条斜线 ) n n ?1

1+1+1+ ...+1=

C

(n>r)

?

结论1:杨辉三角中,第m条斜(从右上 到左下)上前n个数字的和,等于第m+1 条斜线上第n个数
即 C ?C
r r r r ?1

?C

r r ?2

? ?C

r n ?1

?C

r ?1 n

(n ? r )

根据杨辉三角的对称性,类似可得:杨辉三角 中,第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和 ,等于第m+1条斜线上第n个数。
1 2 n ? r ?1 n ? r ?1 即 Cr0 ? Cr ? Cn ( n ? r ) ?1 ? Cr ? 2 ? ?Cn ?1

从第三个数起,任一数都等于前两个数的和; 2.如图,写出斜线上各行数字的和,有什么规律? 这就是著名的斐波那契数列 。
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行

1
1 1

1 1 1 4 3

2 3 6

1 1 4 1

第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1

……

四.应用: 1.斐波那契“兔子繁殖问题”
中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中 提出了一个饶有趣味的问题:假定一对刚出生的兔子一个月就 能长成大兔子,再过一个月就开始生下一对小兔子,并且以后 每个月都生一对小兔子.设所生一对兔子均为一雄一雌,且均 无死亡.问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子?

兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,...

2. 杨辉三角与弹子游戏
在游艺场,可以看到如图的弹子游戏,小球 (黑色 ) 向容器内 跌落,碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落,碰到第二层 阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落,如是,一直下跌,最终 小球落入底层,根据具体区域获得奖品。试问:为什么两边区 奖品高于中间区奖品? “概率三角形”
1 1
1 2

1 2

1 4 1 8 3 8

2 4
3 8

1 4
1 8

照这样计算第n+1层有n+1个通道, 弹子通过各通道的概率将是? 与杨辉三角有何关系?

3.杨辉三角与“纵横路线图”
“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题: 如图是某城市的部分街道图,纵横各有五条路, 如果从A处走到B处 (只能由北到南,由西向东), 那么有多少种不同的走法?
A

B

由此看来,杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系

五、小结
1、杨辉三角蕴含的基本性质 2、杨辉三角蕴含的数字排列规律

杨辉三角的其它规律

1、杨辉三角的第2k-1行的各数字特点
第0 行 1 第1 行 1 1 第2 行 1 k2 1 第3行 杨辉三角的第 1 2 3 -1行 3 (k 1 是正整数) 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 的各个数字都是奇数。 第6 行 1 6 15 20 15 6 1 第7 行 1 7 21 35 35 21 7 1

…… ……… 2 r r ?1 1 … C n ?1 Cn ?1 … 第n-1行 1 Cn ?1 Cn ?1 r 2 1 … … C 第n行1 C n Cn n …… … …

C

n?2 n ?1

1 1

C nn ?1

2、杨辉三角中若第P行除去1外,P整除 第0 行 1P是 质 数 ( 素 数 ) 其余的所有数,则行数
第1 行 第2 行 第3 行 第4行 第5行 第 6行 第 7行

1

1

1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1

1

2

…… ……… 2 r r ?1 1 … C n ?1 Cn ?1 … 第n-1行 1 Cn ?1 Cn ?1 r 2 1 … … C 第n行1 C n Cn n …… … …

C

n?2 n ?1

1 1

C nn ?1

练习1:
(04. 上海春季高考)如图,在由二项式系 34 行中从 数所构成的杨辉三角形中,第_____ 左至右第14与第15个数的比为 2 : 3 .
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练习2:
3 5

1 2 4 2 3 14

4 16

11

7 25

7 25

11

4 16

5

6

6

则第n 行(n≥ 2 )第2个数是什么?
分析:设第 n 行的第 2 个数为 an ,则a2 = 2 ,
2 n ?n?2 an+1 = an + n ∴ an = 2 + 2 + 3 +…+ ( n-1) ? 2

练习3:
5

3
6

10 12 17 18 20 24 33 34 36 40 48 65 66 68 72 8 0 96

9

则表中各数按从小到大的顺序排列, 第100个数是 多少?

分析:首先计算第100 个数位于表中第几行, ∵ 1 + 2 + 3 + … + 13 = 91 ∴第100 个数位于第 14 行,第 9 个数 其次计算第 14 行第1个数: 3 + 21 + 22 + … +213 = 16385 最后计算第 9 个数: 16385 + 20 +21 +22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 =16640


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