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数列求和(错位相减法与列项相消法)


数列求和
授课人: 邱展民

[考情展望] 错位相减法求和、裂项相消法求和是历年高考的重点,命题角度 凸显灵活多变,在解题中要善于利用错位相减与裂项相消的基本思 想,变换数列 an 的通项公式,达到求解目的. 重点:错位相减法求和与裂项相消法求和 难点:错位相减法求和与裂项相消法求和的方法与技巧。 新课讲授:

问题:等比数列的前

n项和公式是怎么推导的 ?

考点一

错位相减法求和

2n-1 例 1、已知数列{ an }满足: an = 2n ,n∈N* 求数列{ an }的前 n 项和 Tn.

变式 1、已知数列{ an }满足: an = (2n ? 1) ? 2 ,n∈N*
n

求数列{ an }的前 n 项和 Tn.

变式 2、已知数列{ an }满足: an = (2n ? 1) ? q n∈N* .求数列{ an }的前 n 项和 Tn.

n

(q ? 0) ,

1

小结:

考点二

裂项相消法求和

常用的裂项公式有: 1 ① =_______________; n?n+1? 1 ② = ____________; ?2n-1??2n+1? 1 n+ n+1 =________________.

1 ③ n( n ? k ) =______________; ④

例 2、已知数列{ an }满足:an=2n , n∈N* .且数列{bn}满足 1 1 1 a bn= log2n ,求 Tn=b b +b b +…+ 的表达式(用含 n 的代数式 bnbn+1 1 2 2 3 表示).

变式1、若数列?an ?满足 : an ? 求数列?an ? 的前n项和Tn .

1 ( n ? N ? ), n( n ? 2)

?an ?满足 : an ? 变式2、若数列 ?an ?的前n项和Tn . 求数列

1 (n ? N ? ), n n (2 ? 1)(2 ? 1)

2

小结:

1 变式 3、已知函数 f(x)=xa 的图象过点(4,2),令 an= , f?n+1?+f?n? n∈N*.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S2 014= ( ) A. 2 013-1 B. 2 014-1 C. 2 015-1 D. 2 015+1

巩固练习: 1、(2014·课标全国卷Ⅰ文)已知{an}是递增的等差数列, a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根. ?an? (1)求{an}的通项公式; (2)求数列?2n?的前 n 项和. ? ?

2、(2013·课标全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5. ? 1 ? (1)求{an}的通项公式; (2)求数列?a a ?的前 n 项和. ? 2n-1 2n+1?

3

?an ?的前n项和,已知an ? 0, 3、 (2015 全国 1) S n为数列 ?an ?的通项公式; (1)求数列
(2)设bn ? 1 ?bn ?的前n项和. ,求数列 an an ?1
2 an ? 2 a n ? 4 S n ? 3.

?an ?的前n项和为S n, 4、 (2013 山东)设等差数列 ?an ?的通项公式; ( 1 )求数列
(2)若数列满足 求数列?bn ? 的前n项和Tn . b b1 b2 b3 1 ? ? ? ... ? n ? 1 ? n ,n ? N ? , a1 a2 a3 an 2 且S 4 ? 4 S 2 , a2 n ? 2an ? 1.

本节总结:

4


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