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直线与方程知识总结及典型例题(高一人教版必修二)


高中数学培优系列

直线与方程(小结与复习) 【考点审视】 关于直线的方程,直线的斜率、倾斜角,两点间距离公式,点到直线的距离公式,夹角与 到角公式,两直线的垂直、平行关系等知识的试题,都属于基本要求,既有选择题、填空题, 也有解答题,所占的分值为 5~10 分,一般涉及到两个以上的知识点,这些仍将是今后高考 考查的热点。 考查通常分为三个层次: 层次一:考查与直线有关的基本概念、公式; 层次二:考查不同条件下的直线方程的求法; 层次三:考查直线与其它知识的综合。 解决问题的基本方法和途径:数形结合法、分类讨论法、待定系数法。 【教学内容】 1、直线的斜率截距等相关概念。 2、直线方程的各种形式。 3、与直线相关的距离公式。 【疑难点拔】 直线的斜率及直线方程的几种形式是本章的重点, 本章的难点是倾斜角及直线方程的概 念,突破难点的方法之一是运用数形结合,要注意直线方程几种形式的适用性和局限性, 【知识网络】

斜 率 五种形式 二元一次不等式 直 线性规划 直线方程 表示平面区域 倾斜角 线 与 方 交 点 相交 一、回顾与复习: 点 关于直线的方程, 点到直线的距离 直 程 夹 角 线的斜率、倾斜角, 思考 1:倾斜角(0°≤α<180°) 两点 ,斜率(α=90°时不存在) ,截距(注意为 0 的情形,曲 直线与直线位置关系 平 行 平行线间的距离 间距离公式, 线与 x、y 轴的交点(a,0)(0,b)其中 a 叫曲线在 x 轴上的截距;b 叫曲线在 y 轴上的截 , 点到直线的 距离公式, 夹角与到角公 式, 两直线的垂直、 平行 关系等知识的试题, 都属 于基本要求,既有选择 题、 填空题, 也有解答题, 所占的分值为 5~10 分, 重 合



距。截距和距离不同,截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数,不是“距 离”,可正可负) 。

思考 2:两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ;
注意: k1 ? k 2 ? ?

?l1 // l 2 ? ?或l1与l 2重合 ?

l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 思考 3:两条直线的交点

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
A x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 1 的一组解。 ? ? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

方程组无解 ? l1 // l 2 ; 方程组有一个解 ? l1与l2相交 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合 二.典例剖析 1.倾斜角与斜率的互化问题 例 1. (1)若 k ? (? 3 ,?

3 ) ,则 ? ? 3

; (2)若 k ? (?1,1) ,则 ? ?



分析:已知斜率探求倾斜角,必须分清斜率的正负,且应注意无论倾斜角是锐角还是钝 角,始终是斜率随着倾斜角的增大而增大.

2.直线平行与垂直的问题 例 2. 已知过点 A (-2, 和 B m) (m, 的直线与直线 2x+y-1=0 平行, m= 4) 则 . (若 垂直呢?) 分析:根据对应的两直线平行,其对应的斜率相等的关系去分析与解答有关的参数问题.

3.直线方程问题 例 3.求斜率为

3 且分别满足下列条件的直线方程: 3

(1)经过点( 3,?1 ); (2) 在 x 轴上的截距是 ? 5 . 分析:根据对应的条件,结合相应的直线方程的基本形式加以分析求解.

4.综合应用问题 例 4.求过直线 2 x ? 7 y ? 4 ? 0 与 7 x ? 21y ? 1 ? 0 的交点,且和点 A(?3,1) 、点 B(5,7) 等距离的直线 l 的方程. 分析:通过求出两直线的交点,利用直线的点斜式方程,结合点到直线的距离公式加以 综合分析与应用.

例 5 过点 M (2,4) 作两条互相垂直的直线,分别交 x 、 的正半轴于 A 、 B ,若四边形

y

OAMB 的面积被直线 AB 平分,求直线 AB 方程。

分析: 命题有两种设方程的方案: ①设 MA 、MB 的点斜式方程, 然后求出 k ; ②设 AB 的截距式方程,经过估算,应选第②方案更好。

三.巩固练习: 一、选择题(每题 3 分,共 36 分) 1.直线 x+6y+2=0 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是( A. 2 ,



1 3

B. ?2 ,?

1 3

C. ?

1 ,? 3 2

D.-2,-3

2.直线 3x+y+1=0 和直线 6x+2y+1=0 的位置关系是( ) A.重合 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直 3.直线过点 (-3,-2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为( ) (A)2x-3y=0; (B)x+y+5=0; (C)2x-3y=0 或 x+y+5=0 (D)x+y+5 或 x-y+5=0 4.直线 x=3 的倾斜角是( ) A.0 B.

? 2

C.?

D.不存在 )

5.圆 x2+y2+4x=0 的圆心坐标和半径分别是( A.(-2,0),2 B.(-2,0),4 C.(2,0),2 D.(2,0),4 7.点(2,1)到直线 3x ?4y + 2 = 0 的距离是 (A)
4 5

(B)

5 4

(C)

4 25

(D) )

25 4

8.直线 x ? y ? 3 = 0 的倾斜角是(

(A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 9.与直线 l:3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线的方程为 (A)3x+4y-5=0 (B)3x+4y+5=0 (C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0 10.设 a、b、c 分别为?ABC 中?A、?B、?C 对边的边长,则直线 xsinA+ay+c=0 与直线 bx-ysinB+sinC=0 的位置关系( ) (A)平行; (B)重合; (C)垂直; (D)相交但不垂直 11.直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平 1 个单位后,又回到原来位置,那 么 l 的斜率为( ) (A)- ;

1 3

(B)-3;

(C) ; )

1 3

(D)3

12.直线 kx ? y ? 1 ? 3k , 当 k 变动时,所有直线都通过定点(

(A) (0,0) (C) (3,1) 二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 13.直线过原点且倾角的正弦值是

(B) (0,1) (D) (2,1)

4 ,则直线方程为 5

14.直线 mx+ny=1(mn≠0)与两坐标轴围成的三角形面积为 15.如果三条直线 mx+y+3=0, x?y?2=0, 2x?y+2=0 不能成为一个三角形三边所在的直线, 那么 m 的一个值是_______. .. 16.已知两条直线 l1:y=x;l2:ax-y=0(a∈R) ,当两直线夹角在(0, 的取值范围为 三、解答题(共 48 分) 17,已知直线 l1 : x ? ay ? 2a ? 2 ? 0, l2 : ax ? y ? 1 ?a ? 0 . ⑴若 l1 // l2 ,试求 a 的值; ⑵若 l1 ? l2 ,试求 a 的值

? )变动时,则 a 12

18,两平行直线 l1 , l2 分别过点 P (1,0) 和 P(0,5) , 1 ⑴若 l1 与 l2 的距离为 5,求两直线的方程; ⑵设 l1 与 l2 之间的距离是 d ,求 d 的取值范围。

19,设直线 l 的方程为 (m ? 2) x ? 3 y ? m ,根据下列条件分别求 m 的值. ⑴ l 在 x 轴上的截距为 ?2 ; ⑵斜率为 ?1 .

20,设直线l的方程为(a ? 1) x ? y ? 2 ? a ? 0(a ? R), (1)若l在两坐标轴上的截距相 等,求l的方程; (2)若l不经过第二象限,求实 a的取值范围 数 .

四、课堂小结: 1.求直线方程需要两个独立的条件. 2.求直线方程的方法: 3.注意各种直线方程的适用范围,求解时要防止可能产生的遗漏情况. 4.注重数形结合、分类讨论思想的运用.


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