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分类加法计数原理和分步乘法计数原理


1.1分类加法计数原理

与 分步乘法计数原理

问题1
元旦放假老师准备去旅游,他列出南京感 兴趣的景点6处,上海感兴趣的景点9处,如 果他只能选一个景点,那么他共有多少种选 择?

6+9=15(种)

问题2
从南京到上海,可以乘火车,也可以乘 汽车。一天中,火车有3班,

汽车有2班。 那么一天中,乘坐这些交通工具从南京到 上海共有多少种不同的走法? 3+2=5(种)
火车1

火车2

南京

火车3
汽车1 汽车2

上海

一、分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案, 在第1类 方案中有m种不同的方法,在第2类方案中 有n种不同的方法,则完成这件事共有

N= m+n种不同的方法.
说明
1)各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事,要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理 2)首先要根据具体的问题确定一个分类标准,在分 类标准下进行分类,然后对每类方法计数.

例1:在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业, 具体情况如下: C大学 A大学 B大学
生物学 数学 机械制造

化学
医学

会计学
信息技术学

建筑学
广告学 汉语言文学 韩语

物理学
工程学

法学

如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)

探究1
如果完成一件事情有三类不同方案,在第 1类方案中有m1种不同的方法,在第2类 方案中有m2种不同的方法,在第3类方案 中有m3种不同的方法,那么完成这件事 情有 N=m1+m2+m3 种不同的方法.

探究2

如果完成一件事情有n类不同方案, 在第1类方案中有m1种不同的方法,在 第2类方案中有m2种不同的方 法,… …在第n类方案中有mn种不同 的方法,那么完成这件事情有 N=m1+m2+m3+…….+mn 种不同的方法

问题3
从南京到上海,要从南京先乘火车到杭州, 再于次日从杭州乘汽车到上海。一天中,火 车有3班,汽车有2班,那么两天中,从南京 到上海共有多少种不同的走法?
火车1

3 ? 2 ? 6(种)
汽车1

南京

火车2

杭州
汽车2

上海

火车3

问题4
元旦放假老师准备先去南京后到上海 游玩,他列出南京感兴趣的景点6处,上 海感兴趣的景点9处,如果他在两地各选 一个景点,那么他共有多少种选择?
分析:

要完成的事是“先后从南京、上海各取一景点”, 南京的景点用6个大写字母A——F表示,上海的 景点用数字1——9表示.

字母

数字 1

得到的景点代号

A1 A2

2
3

A3
A4

4

A

5

A5
A6

6
7 8 树形图 9

A7
A8

6×9 = 54(种) A9

二、分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的 方法,做第2步有n种不同的方法,则完成这件事共有

N= m×n种不同的方法
说明
1)各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理
2)首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准, 然后对每步方法计数.

例2 设某班有男生30名,女生24名.现要从中选出 男、女各一名代表班级参加比赛,共有多少 种不同的选法? 若再要从语,数,外3个
老师中选出一名代队 分两步进行选取 参加比赛,那又共有多 再根据分步乘法原理 少 种 选 法 ?




×

老师
3 =2160

30 × 24 =720

探究3
如果完成一件事需要三个步骤,做第1步有m1 种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,做第3 步有m3种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×m3 种不同的方法. _________________

类比的思想
做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一 步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的 方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么 完成这件事有 N=m1×m2×?×mn 种不同的方法. _____________________

例3

要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,

分别挂在左右两边墙上的指定位置,问共有多 少种不同的挂法?

3 × 2 =6

3 × 2 =6

例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?

N=4+3+2=9
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?

N=4 ×3×2=24

(3)从书架上取2本不同种的书,有多少种不同 的取法?

例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. (3)从书架上取2本不同种的书,有多少种不同 的取法? 解:需先分类再分步.

第一类:从一、二层各取一本,有4×3=12种方法; 第二类:从一、三层各取一本,有4×2=8种方法;

第三类:从二、三层各取一本,有3×2=6种方法; 根据两个基本原理,不同的取法总数是 N=4×3+4×2+3×2=26

分类计数与分步计数原理的区别和联系:

加法原理

乘法原理

联系
区别一

回答的都是关于完成一件事情的不同方法

的种数的问题。
完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法,关键词是“分类” 步骤,关键词是“分步”

任何一步都不能独立完成这 区别二 每类办法都能独立完成 件事情,只有每个步骤完成 这件事情。 了,才能完成这件事情。

区别三

各类办法是互斥的、 并列的、独立的

各步之间是相关联的

课堂练习
1. 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字 的两位数共有多少个?

2、将4封信投入3个邮筒,有多少种不同的投 法?

一、 两个计数原理

分类加法计数原理 分步乘法计数原理

分类讨论的思想
从特殊到一般的思想 二、 几种思想 类比的思想

一、教材

P12 A组 1,2
二、拓展作业: 根据自己的生活经验,举 出一些可以用两个计数原理计 数的实际例子。


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