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等比数列讲义含答案


等比数列
一.命题走向
等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位,是高考出题的重点。客观性的 试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应 用,对基本的运算要求比较高,解答题大多以数列知识为工具。

二.典例解析
题型 1:等比数列的概念 例 1.“公差为 0 的等差数列是等比数列”;“公比为

1 的等比数列一定是递减数列”; 2

“a,b,c 三数成等比数列的充要条件是 b2=ac”;“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是 2b=a+c”,以上四个命题中,正确的有( A ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 n 例 2.命题 1:若数列{an}的前 n 项和 Sn=a +b(a≠1),则数列{an}是等比数列; 命题 2:若数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn+c(a≠0),则数列{an}是等差数列; 命题 3:若数列{an}的前 n 项和 Sn=na-n,则数列{an}既是等差数列,又是等比数列; 上述三个命题中,真命题有( A ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 题型 2:等比数列的判定 例 3. )已知数列{cn} (Ⅰ ,其中 cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,求 常数 p; )设{an}{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列{cn} (Ⅱ 、 不是等比数列。 解析: )解:因为{cn+1-pcn}是等比数列, (Ⅰ 故有: n+1-pcn)2=(cn+2-pcn+1) n-pcn-1) (c (c , n n 将 cn=2 +3 代入上式,得: + + + + + + - [2n 1+3n 1-p(2n+3n) 2=[2n 2+3n 2-p(2n 1+3n 1) [2n+3n-p(2n 1+ ] ]· - 3n 1), ] 即[ (2-p)2n+(3-p)3n]2 + + - - =[ (2-p)2n 1+(3-p)3n 1](2-p)2n 1+(3-p)3n 1] [ , 整理得

1 (2-p) (3-p)·n·n=0,解得 p=2 或 p=3。 2 3 6

(Ⅱ )证明:设{an}{bn}的公比分别为 p、q,p≠q,cn=an+bn。 、 为证{cn}不是等比数列只需证 c22≠c1·3。 c 2 2 2 2 事实上,c2 =(a1p+b1q) =a1 p +b12q2+2a1b1pq, c1·3=(a1+b1) 1p2+b1q2)=a12p2+b12q2+a1b1(p2+q2) c (a , 2 2 由于 p≠q,p +q >2pq,又 a1、b1 不为零, 因此 c22≠c1·3,故{cn}不是等比数列。 c 例 4.如图 1,在边长为 l 的等边△ABC 中,圆 O1 为△ABC
-1-

图1

的内切圆,圆 O2 与圆 O1 外切,且与 AB,BC 相切,…,圆 On+1 与圆 On 外切,且与 AB、 BC 相切,如此无限继续下去.记圆 On 的面积为 an(n∈ *) N ,证明{an}是等比数列; 证明: rn 为圆 On 的半径, r1= 记 则

1 3 rn ?1 ? rn l 1 tan30° = =sin30° , = 所以 rn= rn l。 2 2 3 rn ?1 ? rn 6

-1

(n≥2) ,于是 a1=πr1 =

2

?l 2

an r 1 ? ( n ) 2 ? ,故{an}成等比数列。 12 a n ?1 rn ?1 9 ,

题型 3:等比数列的通项公式及应用 例 5. 一个等比数列有三项, 如果把第二项加上 4, 那么所得的三项就成为等差数列, 如果再把这个等差数列的第三项加上 32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等 比数列。 解析:设所求的等比数列为 a,aq,aq2; 则 2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32);

2 ,q=-5; 9 2 10 50 故所求的等比数列为 2,6,18 或 ,- , 。 9 9 9 例 6.已知正项数列 ?an ? ,其前 n 项和 Sn 满足 10Sn ? an 2 ? 5an ? 6, 且 a1 , a2 , a15 成
解得 a=2,q=3 或 a= 等比数列,求数列 ?an ? 的通项 an . 解析:∵ n=an2+5an+6, ① 10S ∴ 1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3。 10a 又 10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② 由① -② 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 得 ∵ n+an-1>0 , ∴ n-an-1=5 (n≥2)。 a a 当 a1=3 时,a3=13,a15=73,a1, a3,a15 不成等比数列 ∴ 1≠3; a 当 a1=2 时,,a3=12, a15=72,有 a32=a1a15 , ∴ 1=2, ∴ n=5n-3。 a a 题型 4:等比数列的求和公式及应用 则 Sn 等于( C ) A. 2
n ?2 B. 3n C. 2n D. 3 ? 1 4 7 10 3 n?10 (2)设 f (n) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ( n ? N) ,则 f (n) 等于( D ) 2 n 2 n?1 2 n? 3 2 n? 4 A. (8 ? 1) B. (8 ? 1) C. (8 ? 1) D. (8 ? 1) 7 7 7 7
n?1

例 7. (1)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 也是等比数列, ?

(3)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,求数列的公比 q; (3)解:若 q=1,则有 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1。 因 a1≠0,得 S3+S6≠2S9,显然 q=1 与题设矛盾,故 q≠1。
-2-

由 S3+S6=2S9,得

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) 2a1 (1 ? q 9 ) ,整理得 q3(2q6-q3-1) ? ? 1? q 1? q 1? q
1 ,所以 2

=0,由 q≠0,得 2q6-q3-1=0,从而(2q3+1) 3-1)=0,因 q3≠1,故 q3=- (q

3

q=-

4 。 2

例 8. (1)设{an}为等差数列, n}为等比数列,a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4= {b a3.分别求出{an}及{bn}的前 10 项的和 S10 及 T10; (2)在 1 与 2 之间插入 n 个正数 a1,a2,a3……,an,使这 n+2 个数成等比数列; 又在 1 与 2 之间插入 n 个正数 b1,b2,b3,……,bn,使这 n+2 个数成等差数列.记 An =a1a2a3……an,Bn=b1+b2+b3+……+bn. (Ⅰ )求数列{An}和{Bn}的通项; (Ⅱ )当 n≥7 时,比较 An 与 Bn 的大小,并证明你的结论。 (3)已知{an}是由非负整数组成的数列,满足 a1=0,a2=3, an+1an=(an-1+2) n-2+2) (a ,n=3,4,5,…. (Ⅰ )求 a3; (Ⅱ )证明 an=an-2+2,n=3,4,5,…; (Ⅲ )求{an}的通项公式及其前 n 项和 Sn。 解析: (1)∵ n}为等差数列, n}为等比数列, {a {b 2 ∴ 2+a4=2a3,b2b4=b3 . a 已知 a2+a4=b3,b2b4=a3, ∴ 3=2a3,a3=b32. b 得 b3=2b32. ∵ 3≠0 ∴ 3= b b

1 1 3 1 ,a3= .由 a1=1,a3= 知{an}的公差为 d= ? , 2 8 4 4

∴ 10=10a1+ S

10 ? 9 55 d ?? . 2 8
1 2 2 知{bn}的公比为 q= 或 q= ? . 2 2 2

由 b1=1,b3=

当 q=

b (1 ? q10 ) 31 2 时, T10 ? 1 ? (2 ? 2 ) , 2 1? q 32
-3-

b1 (1 ? q10 ) 31 2 当 q= ? 时, T10 ? ? (2 ? 2 ) 。 2 1? q 32
(2) )设公比为 q,公差为 d,等比数列 1,a1,a2,……,an,2,等差数列 1, (Ⅰ b1,b2,……,bn,2。 则 A1=a1=1· A2=1· 1·2 A3=1· 1·2· q3 q q· q q· q 1· n+1 n+1 又∵ n+2=1· =2 得 q =2, a q An=q·2…qn=q q
n (1 ? n) ? n ? 2 2 (n=1,2,3…) 2

又∵ n+2=1+(n+1)d=2 b

∴ (n+1)d=1

B1=b1=1+d B2=b2+b1=1+d+1+2d Bn=1+d+…+1+nd= (Ⅱ n>Bn,当 n≥7 时 )A 证明:当 n=7 时,23 5=8·


3 n 2

3 2 =An Bn= ×7,∴An>Bn 2

设当 n=k 时,An>Bn,则当 n=k+1 时, Ak ?1
k 2

?2

k 1 ? 2 2

Bk ?1 ?

3 3 k? 2 2

又∵ k+1= A

2 2·

Bk ?1 ?

3 3 3 k ? 且 Ak>Bk ∴Ak+1> 2 · k 2 2 2

∴ k+1-Bk+1> A

3 3 3 3 3 2 ? k ? k ? ? ( 2 ? 1) ? k ? 2 2 2 2 2

又∵ k=8,9,10… ∴ k+1-Bk+1>0,综上所述,An>Bn 成立. A (3) )解:由题设得 a3a4=10,且 a3、a4 均为非负整数,所以 a3 的可能的值为 1, (Ⅰ 2,5,10. 若 a3=1,则 a4=10,a5=

3 ,与题设矛盾. 2

若 a3=5,则 a4=2,a5=

35 ,与题设矛盾. 2

若 a3=10,则 a4=1,a5=60,a6=

3 ,与题设矛盾. 5
-4-

所以 a3=2. (Ⅱ )用数学归纳法证明: ① n=3,a3=a1+2,等式成立; 当 ② 假设当 n=k(k≥3)时等式成立,即 ak=ak-2+2,由题设 ak+1ak=(ak-1+2)· k- (a ,因为 ak=ak-2+2≠0,所以 ak+1=ak-1+2, 2+2) 也就是说,当 n=k+1 时,等式 ak+1=ak-1+2 成立; 根据① 和② ,对于所有 n≥3,有 an+1=an-1+2。 (Ⅲ )解:由 a2k-1=a2(k-1)-1+2,a1=0,及 a2k=a2(k-1)+2,a2=3 得 a2k-1=2(k -1) 2k=2k+1,k=1,2,3,…,即 an=n+(-1)n,n=1,2,3,…。 ,a

?1 ? 2 n(n ? 1),当n为偶数, ? 所以 Sn= ? ? 1 n(n ? 1) ? 1,当n为奇数. ?2 ?
题型 5:等比数列的性质 例 9. (1)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+ a4+a5=( C ) (A)33 (B)72 (C)84 (D)189 (2)在等差数列{an}中,若 a10=0,则有等式 a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n <19, N ) 成立.类比上述性质, n∈ 相应地: 在等比数列 n} 若 b9=1, {b 中, 则有等式 成

立。 解析: (1)答案:C;解:设等比数列{an}的公比为 q(q>0),由题意得:a1+a2+a3=21, 即 3+3q+3q2=21,q2+q-6=0, 求得 q=2(q=-3 舍去), 所以 a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4 ? 21? 84, 故选 C。 (2)答案:b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈ *) N ; 例 10. (1)设首项为正数的等比数列,它的前 n 项和为 80,前 2n 项和为 6560,且 前 n 项中数值最大的项为 54,求此数列的首项和公比 q。 (2)在

1 和 n ? 1 之间插入 n 个正数,使这 n ? 2 个数依次成等比数列,求所插入的 n

n 个数之积。 (3)设等比数列{an}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和 的 4 倍,且第二项与第四项的积是第 3 项与第 4 项和的 9 倍,问数列{lgan}的前多少项和 最大?(lg2=0 3,lg3=0.4) 解析: (1)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,依题意设:a1>0,Sn=80 ,S2n=6560。 ∵ 2n≠2Sn ,∴ S q≠1;
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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-5-

从而

a1 ?1 ? q n ? 1? q

=80,且

a1 (1 ? q 2 n ) =6560。 1? q

两式相除得 1+qn=82 ,即 qn=81。 ∴ 1=q-1>0 即 q>1,从而等比数列{an}为递增数列,故前 n 项中数值最大的项为 a 第 n 项。 ∴ 1qn-1=54,从而(q-1)qn-1=qn-qn-1=54。 a ∴ n-1=81-54=27 q ∴ q=

qn 81 =3。 ? h ?1 q 27

∴ 1=q-1=2 a 故此数列的首为 2,公比为 3。 (2)解法 1:设插入的 n 个数为 x1 , x2 ,?, xn ,且公比为 q, 则 n ?1 ?

1 n ?1 1 q ,? q n ?1 ? n(n ? 1), x k ? q k , k ? 1,2, ?, n, n n

Tn ? x1 ? x2 ? ? ? xn ?

1 1 2 1 1 1 q ? q ? ? ? q n ? n q1? 2??? n ? n q n n n n n

n ( n ?1) 2

?(

n ?1 2 ) 。 n
n

解法 2:设插入的 n 个数为 x1 , x2 ,?, xn , x 0 ?

1 , x n ?1 ? n ? 1 n

x0 ? x n ?1 ? x1 ? x n ? x 2 ? x n ?1 ? ? ?

n ?1 n

Tn ? x1 ? x2 ? ?? xn
Tn ? ( x1 x n ) ? ( x 2 x n ?1 ) ? ? ? ( x n x1 ) ? (
2

n ?1 n ) n

n ?1 2 ? Tn ? ( ) 。 n
n

(3)解法一

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设公比为 q,项数为 2m,m∈ *, N

? a1 ? ( q 2m ? 1) a1q ? ( q 2m ? 1) ? ? q ?1 依题意有: ? , q2 ?1 ? 3 2 3 ?(a1q) ? (a1q ) ? 9(a1q ? a1q )

-6-

? 4q 1 ? ?1 ? ?q ? 化简得 ? q ? 1 解得? 3 , ?a q 2 ? 9(1 ? q), ?a1 ? 108 ? ? 1
设数列{lgan}前 n 项和为 Sn,

1 n-1 1 ) ]=lg108+(n-1)lg , 3 3 1 ∴ 数列{lgan}是以 lg108 为首项,以 lg 为公差的等差数列, 3
于是 lgan=lg[108( 令 lgan≥0,得 2lg2-(n-4)lg3≥0, 2 lg 2 ? 4 lg 3 2 ? 0.3 ? 4 ? 0.4 ? ∴ n≤ =5.5, lg 3 0.4 由于 n∈ *,可见数列{lgan}的前 5 项和最大。 N 题型 6:等差、等比综合问题 例 11.已知公比为 q(0 ? q ? 1) 的无穷等比数列 {an } 各项的和为 9,无穷等比数列

{a 2 n } 各项的和为

81 。 5 (Ⅰ )求数列 {an } 的首项 a1 和公比 q ;
(Ⅱ )对给定的 k (k ? 1,2,3,? ? ?, n) , T 设
(k )

是首项为 ak , 公差为 2a k ? 1的等差数列. 求

数列 T

(k )

的前 10 项之和。

? a1 ?a1 ? 3 ?1 ? q ? 9 ? ? ?? 解析:(Ⅰ )依题意可知: ? 2 2, ? a 1 ? 81 ?q ? 3 ? ?1 ? q 2 5 ?

? 2? (Ⅱ 由 (Ⅰ 知 , an ? 3 ? ? ? ) ) ? 3?

n?1

,所以数列 T

( 2)

的 的 首 项 为 t1 ? a2 ? 2 , 公 差

d ? 2a2 ? 1 ? 3 , S10 ? 10 ? 2 ?

1 ? 10 ? 9 ? 3 ? 155 ,即数列 T ( 2) 的前 10 项之和为 155。 2

三.思维总结
1.等比数列的知识要点(可类比等差数列学习) (1)掌握等比数列定义

an ?1 =q(常数) n ? N) ( ,同样是证明一个数列是等比数列 an
-7-

2 的依据,也可由 an· n+2= an?1 来判断; a

(2)等比数列的通项公式为 an=a1· q

n-1



(3)对于 G 是 a、b 的等差中项,则 G2=ab,G=± ab ; (4)特别要注意等比数列前 n 项和公式应分为 q=1 与 q≠1 两类,当 q=1 时,Sn =na1,当 q≠1 时,Sn=

a ? an ? q a1 ? (1 ? q n ) ,Sn= 1 。 1? q 1? q
a n ?1 ? q ( q ? 0) ,则数列 an

2.等比数列的判定方法 ① 定义法:对于数列 ?an ? ,若

?an ?是等比数列;

2 ② 等比中项:对于数列 ?an ? ,若 an an?2 ? an?1 ,则数列 ?an ? 是等比数列。

3.等比数列的性质 ① 等比数列任意两项间的关系: 如果 an 是等比数列的第 n 项,a m 是等差数列的第 m 项,且 m ? n ,公比为 q ,则有 an ? am q n?m ; ②对 于 等 比 数 列 ?an ? , 若 n ? m ? u ? v , 则 an ? am ? au ? av , 也 就 是 :
a1?a ??????n????? a , a 2 , a , ?, a n ? , a n ? , a ? ?? ,如图所示: 1 ??3 ? ?2 ? 1 n 。 ? ? ? ? a2 ?an ?1
*

a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2

③ 若数列 ?a n ?是等比数列,S n 是其前 n 项的和,k ? N , 那么 S k ,S 2k ? S k ,S 3k ? S 2k 成等比数列。 如下图所示:

???????????S 3k ??????????? ? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ??? ? ? ?? ??? ??? ?? ? ? ? ?
Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

-8-


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