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数学错题整理版



数学(测试 2 导数在研究函数中的应用)
题目:已知函数 f(x)=xe-x(x∈R)。 (1)求函数 f(x)的单调区间和极值;答:________ (2)已知函数 y=g(x)的图像与函数 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称。证明当 x>1 时,f(x)>g(x);答:________ (3)如果 x1≠x2,且 f(x1)=f(x2),证明 x1+x2>2。答:________ 解答:(1)f'(x)=(1-x)e-x。令 f'(x)=0,解得 x=1。 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

所以 f(x)在(-∞,1)内是增函数,在(1,+∞)内是减函数。 函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1),且 f(1)= 。

(2)证明:由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x)ex-2。 令 F(x)=f(x)-g(x),即 F(x)=xe-x+(x-2)ex-2。 于是 F'(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x。 当 x>1 时,2x-2>0,从而 e2x-2-1>0。又 e-x>0,所以 F'(x)>0。从而函数 F(x)在[1,+∞)上是增函数。又 F(1)=e-1-e-1=0, 所以 x>1 时,有 F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x)。 (3)证明:①若(x1-1)(x2-1)=0,由(1)及 f(x1)=f(x2),得 x1=x2=1,与 x1≠x2 矛盾。 ②若(x1-1)(x2-1)>0,由(1)及 f(x1)=f(x2),得 x1=x2,与 x1≠x2 矛盾。 根据①②得(x1-1)(x2-1)<0。不妨设 x1<1,x2>1。 由(2)可知,f(x2)>g(x2),g(x2)=f(2-x2),所以 f(x2)>f(2-x2),从而 f(x1)>f(2-x2)。因为 x2>1,所以 2-x2<1。 又由(1)可知函数 f(x)在区间(-∞,1)内是增函数,所以 x1>2-x2,即 x1+x2>2。 本题考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。

题目: 已知函数 f(x)=12e2x?e(ex+e?x)?x. (1)求函数 f(x)的极值.(2)是否存在正整数 a,使得方程 f(x)=f(?a)+f(a)2 在区间[?a,a]上有三个不同的实根,若存在,试确定 a 的值;若不存在,请说明理由。

考点:利用导数研究函数的极值分析:(I)对函数求导整理可得,f′(x)=1ex(ex?e)(ex?1)(ex+1),分别令 y′>0,y′<0, 求出函数的单调区间,进一步求函数的极值.(II)结合(I )可知 a=1 不符合条件,a 令 ea+e-a=t,a=2 时,从而可把 g(a) =f(a)+f(?a)2 转化为关于 t 的二次函数,结合二次函数的图象进行判断当 a≥3,结合 t 的范围可判断函数 g(a)在 a≥3 时单调 递增 f(a)+f(?a)2≥g(3)+g(?3)2>f(0),结合函数的图象可判断.(法二)构造函数 h(x)=f(x)-f(a)+f(?a)2,结合函数 f(x) 的条件,判断函数 g(x)的单调性及极值点,由零点判定定理可得函数 g(x)在[-a,a]上存在零点,只有当 h(0)>0,h(1) <0 时才有可能出现三个零点.类比法一求解.

解答一:(I)由题意得 f′(x)=e2x?e(ex?e?x)?(12 分)=1ex(ex?e)(ex?1)(ex+1),(3 分) 则当 ex<1 或 ex>e 即 x<0 或 x>1 时 f′(x)>0,当 1<ex<e 即 0<x<1 时 f′(x)<0,故函数 f(x)在(?∞,0)与(1,+∞)上为增函数,在(0,1) 上为减函数,(5 分)则它的极大值为 f(0)=12?2e,极小值为 f(1)=?12e2?2.(7 分) (II)当 a=1 时,由(I)可知方程 f(x)=f(?a)+f(a)2 在区间[?a,a]上最多只有两个根,故不符合题意.(9 分)又 f(?a)+f(a)2=14(e2a+e?2a)?e(ea+e?a),设 ea+e?a=t,则 e2a+e?2a=t2?2,设 g(a)=f(?a)+f(a)2=14t2?et?12=14(t?2e)2?e2?12,(11 分) 当 a=2 时,g(2)?f(1)=14[(e2+e?2?2e)2?2e2+6]<0,(这里可利用 e≈2.7 近似估算得出)则方程 f(x)=f(?a)+f(a)2 在区间[?a,a]上最多只有 一个根.(13 分)当 a?3 时,t=ea+e?a 在 a∈[3,+∞)上是增函数,又 t>2e,则 g(a)在 a∈[3,+∞)上是增函数,则 f(?a)+f(a)2?f(?3)+f(3)2>f(0), 则方程 f(x)=f(?a)+f(a)2 在区间[?a,a]上最多只有一个根。 故不存在正整数 a,使得方程 f(x)=f(?a)+f(a)2 在区间[?a,a]上有三个不同的实根.(15 分) 解法 2:设 h(x)=f(x)?f(?a)+f(a)2,则函数 h(x)与 f(x)具有相同的单调性,且 h(x)的极大值为 h(0),极小值为 h(1),又 h(?a)h(a)=?14[f(a)?f(?a)]2?0,则 h(x)区间[?a,a]上一定有零点,只有当 h(0)>0,h(1)<0 时才有可能出现三个零点,下面对正整数 a 进 行讨论与验证(同上).

题目:已知函数 f(x)=x2+alnx(a 为实常数) (Ⅰ)若 a=-2,求证:函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数; (Ⅱ)求函数 f(x)在[1,e]上的最小值及相应的 x 值; (Ⅲ)若存在 x∈[1,e],使得 f(x)≤(a+2)x 成立,求实数 a 的取值范围. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值,函数的单调性与导数的关系 解答(自己写):

题目:设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(2)=0,当 x>0 时,有(f(x)x)的导数小于零恒成立,则不等式 x2f(x)>0)的解集是 A. (一 2,0)∪(2,+∞)B. (一 2,0)∪(0,2) C. (?∞,?2)∪(2,+∞)D. (?∞,?2)∪(0,2) 考点:函数的单调性与导数的关系 分析:首先根据商函数求导法则,求出 F(X)的导数;然后利用导函数的正负性,判断函数 y= 在(0,+∞)内单调递减;再由 f(2)=0,易得 f(x)在(0,+∞)内的正负;最后结合奇函数的图象特征,可得 f(x) 在(-∞,0)内的正负性.则 x f(x)>0?f(x)>0 的解集即可求得. 解答:由(f(x)x)′=xf′(x)?f(x)x2 因为当 x>0 时,有 xf′(x)?f(x)x2<0 恒成立,即[f(x)x]′<0 恒成立, ∴y=f(x)x 在(0,+∞)内单调递减,∵f(2)=0, ∴在(0,2)内恒有 f(x)>0;在(2,+∞)内恒有 f(x)<0.又∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴在(?∞,?2)内恒有 f(x)>0;在(?2,0)内恒 有 f(x)<0.又不等式 x2f(x)>0 的解集,即不等式 f(x)>0 的解集。 故答案为:(?∞,?2)∪(0,2). 题目: 当 时,f(x)=xlnx,则下列大小关系正确的是
2

A. f2(x)<f(x2)<f(x)B. f(x2)<f2(x)<f(x) C. f(x)<f(x2)<f2(x)D. f(x2)<f(x)<f2(x) 解答:∵f(x)=xlnx∴f′(x)=lnx+1∵当 时,f′(x)>0 恒成立

故 f(x)=xlnx 在区间( ,1)上为增函数又由 f(1)=0 由此时 x2<x,故 f(x2)<f(x)<0 故 f(x2)<f(x)<f2(x)故选 D

物理题目: 某发电厂通过两条输电线向远处的用电设备供电。当发电厂输出的功率为 P0 时,额定电压为 U 的用电设备消耗的功率为 P1.若发电厂用一台升压变压器 T1 先把电压升高,仍通过原来的输电线供电,达到用电设备所在地,再通过一台降压变压器 T2 把电 压降到用电设备的额定电压,供用电设备使用,如图所示,这样改动后,当发电厂输出的功率仍为 P0,用电设备可获得的功率增加至 P2.试求所用升压变压器 T1 的原线圈与副线圈的匝数比 N1/N2 以及降压变压器 T2 的原线圈与副线圈的匝数比 n1/n2 各为多少?

考点:远距离输电 分析:不用变压器时,根据 P 损=P0?P1=I1 r 求出输电线的电阻,接变压器时,P 损′=P0?P2=I2 r 求出 I2 的大小,根据原 副线圈电流比等于匝数之反比求出升压变压器的匝数比.根据输出功率求出降压变压器的电流,再根据原副线圈电流比等于匝 数之反比求出降压变压器的匝数比. 解答:
2 2

(数学试卷七校联考)题目: 设椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率 e=3√2,左顶点 M 到直线 xa+yb=1 的距离 d=45√5,O 为坐标原点。(Ⅰ)求椭圆 C 的 方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆经过坐标原点,证明:点 O 到直线 AB 的距离为定值;(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,试求△AOB 的面积 S 的最小值。 考点:直线与圆锥曲线的综合问题

题目:设抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F,直线 l 过 F 与 C 交于 A,B 两点,若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为___. 考点:抛物线的简单性质 分析:由题意设出直线 AB 的方程,联立直线和抛物线方程,利用韦达定理,结合|AF|=3|BF|得到 x1=3x2+2,求出 k 得答 案.解答:由 y2=2x,得 F(12,0),设 AB 所在直线方程为 y=k(x?12),代入 y2=2x,得 k2x2?(k2+2)x+14k2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=1+2k2,x1x2=14 结合|AF|=3|BF|,x1+12=3(x2+12) 解方程得 k=±3√.∴直线 L 的方程为 y=±3√(x?12).故答案为:y=±3√(x?12)

题目: 设[m]表示不超过实数 m 的最大整数,则在直角坐标平面 xOy 上,则满足[x]2+[y]2=50 的点 P(x,y)所成的图形面积为___. 考点:分段函数的应用分析:根据方程可得对于 x,y≥0 时,求出 x,y 的整数解,可得|[x]|可能取的数值为 7、5、1,则 可以确定 x 的范围,进而得到对应的 y 的范围,求出面积即可. 解答:由题意可得:方程:[x]2+[y]2=50 当 x,y?0 时,[x],[y]的整解有三组,(7,1),(5,5),(1,7)所以此时|[x]|可能取的数值为:7,5,1. 当|[x]|=7 时,7?x<8,或?7?x<?6,|[y]|=1,?1?y<0,或 1?y<2,围成的区域是 4 个单位正方形; 当|[x]|=5 时,5?x<6,或?5?x<?4;|[y]|=5,?5?y<?4,5?y<6,围成的区域是 4 个单位正方形; 当|[x]|=1 时,?1?x<0,或 1 所以总面积是:12 故答案是 12.

题目:函数 f(x)=Asin(ωx+π6)(ω>0)的图象与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为 π2 的等差数列,要得到函数 g(x)=Asinωx 的图象,只需将 f(x)= 的图象(A. 向左平移 π6 个单位 B. 向右平移 π6 个单位

C. 向左平移 π12 个单位 D. 向右平移 π12 个单位 考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换 分析:解答:由题意可得,函数的周期为 2× π2=π,再由 2πω=π 可得 ω=2,即函数 f(x)=Asin(2x+π6)=Asin2(x+π12) 要得到函数 g(x)=Asin2x 的图象,只需将 f(x)=Asin2(x+π12)的图象向右平移 π12 个单位即可,故选 D.

题目:已知数列{an}的首项为 1,数列{bn}为等比数列,且 bn=an+1an,若 b10?b11=2,则 a21=() A. 20 B. 512 C. 1013 D. 1024

考点:等比数列的通项公式分析:根据所给的关系式,依次令 n=1、2、…、20 列出 20 个式子,再将 20 个式子相乘化 简,根据等比数列的性质和条件求出 a21 的值. 解答:由 bn=an+1an 得,b1=a2a1,b2=a3a2,b3=a4a3,…,b20=a21a20, 以上 20 个式子相乘得,b1b2b3…b20=a2a1× a3a2× a4a3×…×a21a20=a21a1, ∵数列{bn}为等比数列,且 b10?b11=2,数列{an}的首项为 1,∴210=a21a1,解得 a21=1024,故选:D 题目:已知 x>0,y>0,2x+1y=1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( )。 A. (?2,4) B. (?4,2) C. [?2,4] D. [?4,2]

考点:基本不等式,不等关系与不等式分析:本题主要考查基本不等式和恒成立问题。 由 2x+1y=1, 得到(x+2y)× 1=(x+2y)× (2x+1y)=4+xy+4yx, 因为 x>0, y>0, 由基本不等式得到, 4+xy+4yx?4+2xy× 4yx??????√=8, 当且仅当 xy=4yx,即 x=2y=4 时取等号,又由 x+2y>m2+2m 恒成立,所以 m2+2m<(x+2y)min,即 m2+2m<8,解得$-4。 故本题正确答案为 B。解答:B

题目:东海水晶制品厂去年的年产量为 10 万件,每件水晶产品的销售价格为 100 元,固定成本为 80 元。从今年起,工 厂投入 100 万元科技成本,并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本。预计产量每年递增 1 万件,每件水晶产品的固 定成本 g(n)与科技成本的投入次数 n 的关系是 g(n)=80n+1?????√.若水晶产品的销售价格不变,第 n 次投入后的年利润为 f(n) 万元。(1)求出 f(n)的表达式;(2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 考点:函数模型的选择与应用 分析:(1)先根据题意可得:第 n 次投入后,产量为 10+n 万件,价格为 100 元,固定成本为 为 100n,进而可求年利润为 f(n) (2)将函数整理成 元,科技成本投入

,进而可以利用基本不等式,求出最高

利润.解答:1)第 n 次投入后,产量为 10+n 万件,价格为 100 元,固定成本为 80n+1?????√元, 科技成本投入为 100n,…(2 分)所以,年利润为 f(n)=(10+n)(100?80n+1?????√)?100n…(6 分) (2).由(1)f(n)=(10+n)(100?80n+1?????√)?100n =1000?80(n+1?????√+9n+1?????√)?520(万元)…(9 分) 当且仅当 n+1?????√=9n+1?????√时 即 n=8 时,利润最高,最高利润为 520 万元.…(11 分)

答:从今年算起第 8 年利润最高,最高利润为 520 万元.…(12 分)


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