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2013年浙江数学高考复习镇海神作


高中数学复习选讲

2013年4月20日

浙江省镇海中学 沈虎跃

高中数学复习选讲

一、表面与内涵 二、测评与对策 三、作业与讲评 四、专题与突破 五、60分与750分

高中数学复习选讲

一、表面与内涵

函数零点问题选讲

考试说明
函数与方程: 了解函数零点的概念,能判断函数在某个区间上是否存在零点.

零点(zero point) :使 f ( x) = 0 的实数 x
方程 f ( x) =0 有实数根

? 函数 y = f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 f ( x) 有零点

零点存在定理
如果函数 y = f ( x ) 在区间 [ a, b ] 上的图象是 连续不断的一条曲线,并且有 f ( a ) f (b) < 0 , 那么函数 y = f ( x ) 在区间 ( a, b ) 内有零点, 即存在 c ∈ ( a, b ) 使得 f (c ) = 0 ,这个 c 也就 是方程 f ( x ) = 0 的根.

考纲解读

一元一次方程

不可求的函数零点

一元二次方程 函数零点的应用 乘积类函数零点

2011年浙江样卷第6题

函数零点判断

例 1: 下列函数中,在(0, A C f (x)=sin x-x f (x)=sin x-x
2

π
2

)上有零点的函数是( D )

B f (x)=sin x-
2

2

π
2

x x

D f (x)=sin x-

π

y=x
1

π
2
1

y=

2

π

x

π
2

2010 年浙江高考第 9 题

函数零点判断

练习 1:设函数 f ( x) = 4sin(2 x + 1) ? x ,则在
A 下列区间中函数 f ( x) 不 存在零点的是( ) .

A. [ ?4, ?2] C. [ 0, 2]

B. [ ?2, 0] D. [ 2, 4]

y=x

y=x

y = 4sin 2 x

y = 4sin ( 2 x + 1)

2013年浙江样卷第4题
3

函数零点判断

练习 2:设函数 f (x)=x -4x+a,0<a<2.若 f (x)的三 个零点为 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,则 ( C ) A.x1>-1 B.x2<0 C.x2>0 D.x3>2

2013年浙江样卷第10题改编

一次函数的零点

例 2:如图,函数 y=f (x)的图象为折线 ABC, 设 f 1 (x)=f (x),f n+1 (x)=f [f n(x)],n∈N*,设集 合 A = x f 4 ( x ) = 0, x ∈ R 则集合 A 中元素个
y

{

}

16 数为_________
-1

1 B 1 O A -1 C x

y

y

1

1

-1

1

-1

1

O

x

O y

x

1 -1 -1

-1

1

O

x

-1

2011年浙江高考第10题

可求乘积类函数的零点

例 3:设 a, b, c 为实数, f ( x) = ( x + a )( x 2 + bx + c),
g ( x) = (ax + 1)(cx 2 + bx + 1) 。记集合 S = { x f ( x) = 0, x ∈ R} ,
T = { x g ( x) = 0, x ∈ R} 若 S , T 分别为集合 S , T 的元素个数,

则系列结论不可能的是 ( (A ) S = 1 且 T = 0 (C ) S = 2 且 T = 2

D )
(B) S = 1 且 T = 1 (D) S = 2 且 T = 3

2004年浙江高考第12题

复合函数的零点

例 4:若 f ( x) 和 g ( x ) 都是定义在实数集 R 上的 函 数 , 且 方 程 x ? f [ g ( x) ] = 0 有 实 数 解 , 则

g [ f ( x)] 不可能是 ( B )
A. C

1 x + x? 5 1 2 x ? 5
2

1 B. x + x + 5 1 2 D. x + 5
2

新题演练
设 p, q 为实数, f ( x ) = x + px + q ,集合 A = x f
2

{

[ f ( x)] = 0} ,

则 A 为单元素集的必要条件为 ( B )

A. p ≥ 0 且 q < 0

B. p ≥ 0 且 q ≥ 0

C. p < 0 且 q ≥ 0

D. p < 0 且 q < 0

2013年评估卷二
设 f ( x) = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) , A = x f ( x) = 0, x ∈ R ≠ ?
2

{

}

B = { x f [ f ( x) ] = 0, x ∈ R} ,如果 A = B ,则实数 b 的取值
范围为_____________

2013年丽水一模
(10)设偶函数 y = f ( x ) 和奇函数 y = g ( x ) 的图象如下图所示 y y 2 1 -2 -1

· O -1

2 1

x

-1

· O
-2

1

x

(第 10 题)

集合 A= x f ( g ( x ) ? t ) = 0 与集合 B= x g ( f ( x ) ? t ) = 0 的 元素个数分别为 a, b , 若 (A)12 (B)13

{

}

{

}

1 < t < 1 ,则 a + b 的值不可能是 2
(C)14 (D)15

2010年浙江高考第22题
2

函数零点的应用
x

已知 a 是给定的实常数,设函数 f ( x) = ( x ? a ) ( x + b)e , b ∈ R ,

x = a 是 f ( x) 的一个极大值点.
(Ⅰ)求 b 的取值范围; (Ⅱ)设 x1 , x2 , x3 是 f ( x) 的 3 个极值点,问是否存在实数 b 。可找到 x4 ∈ R , 使得 x1 , x2 , x3 , x4 的某种排列 xi1 , xi2 , xi3 , xi4 (其中 {i1 , i2 , i3 , i4 } = {1, 2,3, 4} )依次 成等差数列?若存在,求所有的 b 及相应的 x4 ;若不存在,说明理由.

归纳小结

函数零点的判断

零点存在定理
函数性质

函数图象 一次函数

借助导数

可求零点的函数

二次函数 乘积类函数

函数零点的应用

如:函数极值等问题

高中数学复习选讲

二、评测与对策

理18题

高中数学复习选讲

18. (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a, 2 b,c.已知 cos A= ,sin B= 5 cos C. 3 (Ⅰ) 求 tan C 的值; (Ⅱ) 若 a= 2 ,求△ABC 的面积.

理18题

高中数学复习选讲

18.本题主要考查三角变换、正弦定理等基础知识,同时考查运 算求解能力。满分 14 分。

2 (Ⅰ) 因为 0<A<π,cos A= ,得 3

5 . sin A= 1 ? cos A = 3
2



5 cos C=sin B=sin (A+C)
=sin A cos C+cos A sin C

2 5 cos C+ sin C. = 3 3
所以 tan C= 5 . ………… 7 分

理18题
(Ⅱ) 由 tan C= 5 ,得 sin C= 于是 sin B= 5 cos C=

高中数学复习选讲

5 6



cos C=

1 6



5 6



a c = 由 a= 2 及正弦定理 ,得 sin A sin C c= 3 . 设△ABC 的面积为 S,则

5 1 S= acsinB= . 2 2

………… 14 分

文18题

高中数学复习选讲

18.(本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 b sin A= 3 a cos B. (Ⅰ) 求角 B 的大小; (Ⅱ) 若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值.

文18题

高中数学复习选讲

18.本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识,同时考 查运算求解能力。满分 14 分。

a b (Ⅰ) 由 b sin A= 3 a cos B 及正弦定理 ,得 = sin A sin B
sin B= 3 cosB, 所以 tan B= 3 , 所以

π B= . 3

…… 7 分

文18题

高中数学复习选讲

a c = (Ⅱ) 由 sin C=2 sin A 及 ,得 sinA sinC
c =2 a . 由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,得 9=a2+c2-ac. 所以 a= 3 , c=2 3 . …… 14 分

理19题

高中数学复习选讲

19. (本题满分 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球, 且规定: 取出一个白球得 2 分, 取出一个黑球得 1 分. 现从该箱中任取(无 放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量Χ为取出此 3 球所得分数之和. (Ⅰ) 求Χ的分布列; (Ⅱ) 求Χ的数学期望 E(Χ).

理19题

高中数学复习选讲

19.本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期 望等概念,同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。 满分 14 分。 (Ⅰ) 由题意得 X 取 3,4,5,6,且 1 2 5 10 C3 C ? C 5 4 5 , P (X=4)= = , P (X=3)= 3 = 3 C9 C9 21 42
1 5 C2 ? C 4 5 = , P (X=5)= 3 C9 14 所以 X 的分布列为

1 C3 4 P (X=6)= 3 = . C9 21
4 5 6

X P

3

5 42

10 21

5 14

1 21
………… 9 分

高中数学复习选讲

(Ⅱ)

由(Ⅰ)知

E(X)=3 ? P (X=3)+4 ? P (X=4)+5 ? P (X=5)+6 ? P (X=6) 13 = . ………… 14 分 3

文19题

高中数学复习选讲

19.(本题满分 14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n2 +n,n∈N*,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N*. (Ⅰ) 求 an,bn; (Ⅱ) 求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn.

文19题

高中数学复习选讲

19.本题主要考查等差、等比数列的概念,通项公式及求和公式 等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ) 由 Sn=2n2+n,得 当 n=1 时, a1=S1=3; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=4n-1. 所以 an=4n-1,n∈N*. 由 4n-1=an=4 log2 bn+3,得 bn= 2n ?1 ,n∈N*. …… 7 分

文19题
(Ⅱ) 所以

高中数学复习选讲

由(Ⅰ)知 anbn=(4n-1) ?2n ?1 ,n∈N*,

Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1) ?2n ?1 , 2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5) ?2n ?1 +(4n-1) ? 2n, 所以 2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+ 2n ?1 )] =(4n-5)2n+5. 故 Tn=(4n-5)2n+5, n∈N*.

…… 14 分

高中数学复习选讲

20. (本题满分 15 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边 长为 2 3 的菱形,∠BAD=120°,且 PA⊥平面 ABCD,PA = 2 6 ,M,N 分别为 PB,PD 的中点. (Ⅰ) 证明:MN∥平面 ABCD; (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值.

理20题

高中数学复习选讲

20.本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识, 空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力。 满分 15 分。 (Ⅰ) 因为 M, N 分别是 PB, PD 的中点, 所以 MN 是△PBD

的中位线,所以 MN∥BD. 又因为 MN ? 平面 ABCD,所以 MN∥平面 ABCD. ………… 6 分

理20题

高中数学复习选讲

(2)方法一:建系、列方程组求两个法向量、 利用数量积求出夹角余弦、得到结论 方法二:几何方法,作出平面角,求值

高中数学复习选讲

x2 y 2 21. (本题满分 15 分)如图, 椭圆 C: 2 + 2 = 1(a> b>0) 的离心率为 a b

1 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10 .不过原点 O 的直线 l .... 2
与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程.

高中数学复习选讲

21.本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基 础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能 力。满分 15 分。 (Ⅰ) 设椭圆左焦点为 F(-c,0),则由题意得

? (2 + c) 2 + 1 = 10, ?c = 1, ? 得? ?c 1 ?a = 2. ? = , ?a 2
所以椭圆方程为

x2 y 2 + = 1. 4 3

………… 6 分

高中数学复习选讲

(Ⅱ) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M. 当直线 AB 与 x 轴垂直时,直线 AB 的方程为 x=0,与不过 原点的条件不符,舍去.故可设直线 AB 的方程为 y=kx+m (m≠0), ? y = kx + m, 由? 2 消去 y,整理得 2 ?3 x + 4 y = 12 (3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, (1) 则 8km ? , x1 + x2 = ? 2 ? ? 3 + 4k 2 2 2 2 Δ=64k m -4(3+4k )(4m -12)>0, ? 2 ? 12 4 m ?x x = . 1 2 2 ? 3 + 4k ?

高中数学复习选讲

4km 3m 所以线段 AB 的中点 M(- , ). 2 2 3 + 4k 3 + 4k 因为 M 在直线 OP 上,所以 3m ?2km = , 2 2 3 + 4k 3 + 4k


3 m=0 (舍去) 或 k=- . 2

………… 10 分.

高中数学复习选讲 此时方程(1)为 3x2-3mx+m2-3=0,则

Δ=3(12-m2)>0, 所以

? x1 + x2 = m, ? ? m2 ? 3 . ? x1 x2 = 3 ?

39 ? 12 ? m 2 . | AB |= 1 + k ? | x1-x2 |= 6 设点 P 到直线 AB 距离为 d,则 | 8 ? 2m | 2|m ?4| d= = . 2 2 13 3 +2 设△ABP 的面积为 S,则 3 1 ? (m ? 4) 2 (12 ? m 2 ) , S= | AB | ? d= 2 6
2

高中数学复习选讲

其中 m∈(- 2 3 ,0)∪(0, 2 3 ). 令 u(m)=(12-m2)(m-4) 2,m∈[- 2 3 , 2 3 ], u′(m)=-4(m-4)(m2-2m-6) =-4(m-4)(m-1- 7 )(m-1+ 7 ). 所以当且仅当 m= 1 ? 7 ,u(m)取到最大值. 故当且仅当 m= 1 ? 7 ,S 取到最大值. 综上,所求直线 l 方程为 3x+2y+ 2 7 ? 2 =0. ………… 15 分

高中数学复习选讲

22. (本题满分 14 分)已知 a>0,b∈R,函数 f(x)=4ax3-2bx-a +b . (Ⅰ) 证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ) 函数 f(x)的最大值为|2a-b|+a; (ⅱ) f(x)+|2a-b|+a≥0; (Ⅱ) 若-1≤f(x)≤1 对 x∈[0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围.

高中数学复习选讲 22.本题主要考查利用导数研究函数的性质、线性规划等基础知 识,同时考查推理论证能力,分类讨论等综合解题能力和创 新意识。满分 14 分。

b (Ⅰ) ( i ) f ′(x)=12ax -2b=12 a (x - ). 6a 当 b≤0 时,有 f ′(x)≥0,此时 f (x)在 [0,+∞) 上单调递增. b b ) (x ? ) , 当 b>0 时,f ′(x)=12 a (x + 6a 6a b b ] 上单调递减,在 [ ,+∞) 上单调递 此时 f (x)在 [0, 6a 6a 增. 所以当 0≤x≤1 时, f (x)max=max { f (0), f (1)}=max {-a+b, ?3a ? b, b ≤ 2a, 3a-b}= ? =|2a-b|+a. ………… 5 分 ? ? a + b, b > 2 a
2 2

高中数学复习选讲

( ii ) 由于 0≤x≤1,故 当 b≤2a 时, f (x)+| 2a-b |+a=f (x)+3a-b=4ax3-2bx+2a ≥4ax3-4ax+2a=2a(2x3-2x+1). 当 b>2a 时, f (x)+| 2a-b |+a=f (x)-a+b=4ax3+2b(1-x)-2a >4ax3+4a(1-x)-2a=2a(2x3-2x+1).

设 g (x)=2x -2x+1,0≤x≤1,则
2

3

高中数学复习选讲

3 3 g′ (x)=6x -2=6(x- )(x+ ), 3 3
于是 x g ′ (x ) g (x) 1 0

3 ( 0, ) 3
- 减

3 3
0 极小值

3 ( , 1) 3
+ 增

1

1

3 4 3 所以,g (x) min=g ( )=1- >0 . 3 9 所以,当 0≤x≤1 时,2x3-2x+1>0.
故 f (x)+| 2a-b |+a≥2a(2x3-2x+1)≥0. ………… 10 分

高中数学复习选讲

(Ⅱ) 由( i )知,当 0≤x≤1,f (x)max=| 2a-b |+a,所以 | 2a-b |+a≤1. 若 | 2a-b |+a≤1, 则由 ( ii )知 f (x)≥-(| 2a-b |+a)≥-1. 所以-1≤f (x)≤1 对任意 0≤x ≤1 恒成立的充要条件是

?| 2a ? b | + a ≤ 1, ? ?a > 0,

高中数学复习选讲



?2a ? b ≥ 0, ? ?3a ? b ≤ 1, ?a > 0 ?



?2a ? b < 0, ? ?b ? a ≤ 1, ?a > 0. ?

(1)

在直角坐标系 aOb 中, (1)所表示的平面区域为如 图所示的阴影部分,其中不包括线段 BC.作一组平 行直线 a+b=t (t∈R),得 -1<a+b≤3. 所以 a+b 的取值范围是 (-1,3]. ………… 14 分
b 2 1 C -1 O -1 B b=2a b=3a-1 (第22题图) 1 A

b=a+1

a

高中数学复习选讲

三、作业与讲评

2010年江苏高考第18题第3问
在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 如 图 , 已 知 椭 圆

x2 y2 + = 1 的左右顶点为 A,B.设过点 T ( 9, m )的 9 5 直 线 TA, TB 与 椭 圆 分 别 交 于 点 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,其中 m > 0 , y1 > 0, y 2 < 0 . 求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点.(其坐标与 m 无
关)

下面求解其逆命题:
在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 如 图 , 已 知 椭 圆

x2 y2 + = 1 的左右顶点为 A,B,过(1,0)的直线 MN 9 5 与 椭 圆 分 别 交 于 点 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) , 其 中 y1 > 0, y 2 < 0 .设直线 AM , BN 交于一点 T ( t , m ) . 求证:t 为定值(其值与 m 无关) .

y1 AM : y = ( x + a) , x1 + a y2 BN : y = ( x ? a) . x2 ? a 解得直线 AM , BN 的交点 T 的横坐标为 a[ y1 ( x2 ? a ) + y2 ( x1 + a )] xT = y2 ( x1 + a ) ? y1 ( x2 ? a )

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

圆锥曲线复习 ——运算篇

2013年3月14日

浙江省镇海中学 数学组 沈虎跃

2013年浙江四市高三数学复习研讨会



回顾与引入
考什么 缺什么 怎么办

2013年浙江四市高三数学复习研讨会



探究与互动

2013年浙江四市高三数学复习研讨会



回顾与引入
考什么 缺什么 怎么办

2013年浙江四市高三数学复习研讨会



探究与互动
x y 【例】o 如图,椭圆 C: + = 1 的左右顶点 9 5
分别为 A,B,过点 D(1,0)的直线 MN 与椭圆 C 分别 交于点 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,其中 y1 > 0, y 2 < 0 . (Ⅰ) 设直线 AM,BM,AN 的斜率分别为 k1,k2,k3. (ⅰ)求 k1k2 的值.
2 2

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

由题意可知, A( ?3, 0) , B (3, 0) ,则

y1 y1 y12 k1k2 = ? = 2 . x1 + 3 x1 ? 3 x1 ? 9

x2 y 2 又因为 M ( x1 , y1 ) 在椭圆 C : + = 1 上,故 9 5 x12 y12 + =1 9 5

2 ? 5(9 x 1 ) , y12 = 9

所以

y12 5(9 ? x12 ) 5 =? k1k2 = 2 = 2 x1 ? 9 9( x1 ? 9) 9

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

x2 y2 【例】o 如图,椭圆 C: + = 1 的左右顶点 9 5
分别为 A,B,过点 D(1,0)的直线 MN 与椭圆 C 分别 交于点 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,其中 y1 > 0, y 2 < 0 . (Ⅰ) 设直线 AM,BM,AN 的斜率分别为 k1,k2,k3. (ⅱ)求 k1k3 的值.

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

方式一:

2 10 2 10 ①当 MN 垂直于 x 轴时, M (1, ), N (1, ? ), 3 3
此时,

2 10 2 10 ? 10 10 3 3 . k1 = = , k3 = =? 1+ 3 6 1+ 3 6 5 . 所以 k1k2 = ? 18

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

②当直线 MN 不垂直于 x 轴时,可设直线 MN 的方程

lMN : y = k ( x ? 1) ,
代入椭圆方程消去 y ,整理得

(5 + 9k 2 ) x 2 ? 18k 2 x + 9k 2 ? 45 = 0 .
此时

Δ = 324k 4 ? 36(5 + 9k 2 )(k 2 ? 5) = 180(8k 2 + 5) > 0 .


18k 2 9(k 2 ? 5) , x1 x2 = x1 + x2 = 2 5 + 9k 5 + 9k 2

2013年浙江四市高三数学复习研讨会



y1 y2 k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) k1k3 = ? = x1 + 3 x2 + 3 ( x1 + 3)( x2 + 3) k 2 [ x1 x2 ? ( x1 + x2 ) + 1] = x1 x2 + 3( x1 + x2 ) + 9
(9k 2 ? 45) ? 18k 2 + (5 + 9k 2 ) 2 = k 2 2 2 (9k ? 45) + 54k + (45 + 81k )

5 =? . 18

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

方式二:当直线 MN 垂直于 y 轴时,不合题意,故可设直线 MN 的方程为

x = my + 1
代入椭圆 C 的方程,消去 x 整理得

(5m 2 + 9) y 2 + 10my ? 40 = 0
此时

Δ = 100m 2 + 160(5m 2 + 9) > 0


10m 40 y1 + y2 = ? 2 , y1 y2 = ? 2 5m + 9 5m + 9


y1 y2 y1 y2 y1 y2 k1k3 = ? = = 2 x1 + 3 x2 + 3 (my1 + 4)(my2 + 4) m y1 y2 + 4m( y1 + y2 ) + 16 40 ? 2 ?40 40 5 5m + 9 = = ? = ? = ?40m 2 ?40m 2 16 × 9 18 ?80m 2 + 16(5m 2 + 9) + 2 + 16 2 5m + 9 5 m + 9

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

x2 y2 【例】o 如图,椭圆 C: + = 1 的左右顶点 9 5
分别为 A,B,过点 D(1,0)的直线 MN 与椭圆 C 分别 交于点 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,其中 y1 > 0, y 2 < 0 . (Ⅰ) 设直线 AM,BM,AN 的斜率分别为 k1,k2,k3.

k2 (ⅲ)求 的值. k3

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

方法一:

5 ? k2 k1k2 = = 9 = 2. k3 k1k3 ? 5 18
方法二:

k2 y1 x2 + 3 (my2 + 4) y1 my1 y2 + 4 y1 . = ? = = k3 x1 ? 3 y2 (my1 ? 2) y2 my1 y2 ? 2 y2

方法二:

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

k2 y1 x2 + 3 (my2 + 4) y1 my1 y2 + 4 y1 . = ? = = k3 x1 ? 3 y2 (my1 ? 2) y2 my1 y2 ? 2 y2
方式 1:由于

10m 40 , y1 y2 = ? , y1 + y2 = ? 2 2 5m + 9 5m + 9 y1 + y2 m 故 = ,即 y1 y2 4 my1 y2 = 4( y1 + y2 )
所以

k2 my1 y2 + 4 y1 8 y1 + 4 y2 = = = 2. k3 my1 y2 ? 2 y2 4 y1 + 2 y2

方式 2:先取特殊值。

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

2 10 2 10 ), N (1, ? ), 当 MN 垂直于 x 轴时, M (1, 3 3 2 10 2 10 ? 10 10 3 3 =? , k3 = =? , 此时, k2 = 1? 3 3 1+ 3 6 my1 y2 + 4 y1 k2 所以, = 2. 猜测: = 2. my1 y2 ? 2 y2 k3
这样,只需证

my1 y2 + 4 y1 = 2(my1 y2 ? 2 y2 ) ,


my1 y2 = 4( y1 + y2 ) .

方式 3:设

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

my1 y2 + 4 y1 =λ, my1 y2 ? 2 y2


my1 y2 + 4 y1 = λ (my1 y2 ? 2 y2 ) .


m(λ ? 1) y1 y2 = 4 y1 + 2λ y2 .
猜测 λ = 2 ,即证

my1 y2 = 4( y1 + y2 ) .

2013年浙江四市高三数学复习研讨会 x y 方法三: 由于 + = 1 ,故 9 5 y1 ?5( x1 + 3) = , x1 ? 3 9 y1

2 1

2 1

所以

k2 y1 x2 + 3 ?5( x1 + 3)( x2 + 3) ?5(my1 + 4)(my2 + 4) = = ? = k3 x1 ? 3 y2 9 y1 y2 9 y1 y2

?5[m 2 y1 y2 + 4m( y1 + y2 ) + 16] ?10(m 2 y1 y2 + 8) = = 9 y1 y2 9 y1 y2
? 40m 2 ? 10 ? ? 2 + 8? 5m + 9 ? ? =? = 2. 40 ? ? 9? ? 2 ? 5 9 + m ? ?

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

x2 y2 【例】o 如图,椭圆 C: + = 1 的左右顶点 9 5
分别为 A,B,过点 D(1,0)的直线 MN 与椭圆 C 分别 交于点 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,其中 y1 > 0, y 2 < 0 . (练习)(Ⅱ) 设直线 AM,BM 与直线 x=9 分别交于点 P,Q,求 点 P,Q 纵坐标之积的值.

y1 (Ⅱ)直线 AM : y = ( x + 3) x1 + 3 y1 直线 BM : y = ( x ? 3) x1 ? 3
分别令

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

x=9,


12 y1 6 y1 yP = = 12k1 , yQ = = 6k 2 , x1 + 3 x1 ? 3


? 5? yP yQ = 12k1 ? 6k2 = 72k1k2 = 72 × ? ? ? = ?40 . ? 9?
所以,点 P,Q 纵坐标之积为?40.

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

12 y1 6 y1 , yQ = 或由 yP = . x1 + 3 x1 ? 3
所以

5 2 72 (9 ) ? ? x 2 1 12 y1 6 y1 72 y1 9 yP yQ = ? = 2 = = ?40 . 2 x1 + 3 x1 ? 3 x1 ? 9 x1 ? 9
所以,点 P,Q 纵坐标之积为?40.

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

x2 y2 【例】o 如图,椭圆 C: + = 1 的左右顶点 9 5
分别为 A,B,过点 D(1,0)的直线 MN 与椭圆 C 分别 交于点 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,其中 y1 > 0, y 2 < 0 . (练习)(Ⅲ) 设直线 AN , BM 交于一点 T .求点 T 横 y 坐标的值.
M A O N D B x

T

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

方式一:设直线 AN : y = k3 ( x + 3) , 直线 BM : y = k2 ( x ? 3) , 由(练习)(Ⅱ)可知,

k 2 = 2 k3 ,
故直线 BM : y = 2k3 ( x ? 3) , 联立,消去 y 得

2k3 ( x ? 3) = k3 ( x + 3)


x=9.

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

y1 方式二:直线 BM : y = ( x ? 3) , x1 ? 3 y2 直线 AN : y = ( x + 3) , x2 + 3
联立,消去 y 得

y2 y1 ( x + 3) = ( x ? 3) . x2 + 3 x1 ? 3


3 x1 y2 + 3x2 y1 + 9 y1 ? 9 y2 . x= x2 y1 ? x1 y2 + 3 y1 + 3 y2

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

3 x1 y2 + 3 x2 y1 + 9 y1 ? 9 y2 x= x2 y1 ? x1 y2 + 3 y1 + 3 y2 3(my1 + 1) y2 + 3(my2 + 1) y1 + 9 y1 ? 9 y2 = (my2 + 1) y1 ? (my1 + 1) y2 + 3 y1 + 3 y2 6my1 y2 + 12 y1 ? 6 y2 3my1 y2 + 6 y2 ? 3 y1 = = 4 y1 + 2 y2 2 y1 + y2
将 my1 y2 = 4( y1 + y2 ) 代入,得

3my1 y2 + 6 y2 ? 3 y1 12( y1 + y2 ) + 6 y1 ? 3 y2 x= = 2 y1 + y2 2 y1 + y2 18 y1 + 9 y2 = = 9. 2 y1 + y2

方式三:猜测点 T 的横坐标为定值,并计算当 MN 垂直 x 轴 时,有 xT = 9 . 这样可设直线 BM,AN 分别与直线 x = 9 交于 T1 , T2 两点, 则

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

y1 ( x ? 3) 直线 BM : y = x1 ? 3 y2 ( x + 3) 直线 AN : y = x2 + 3
分别令

x=9,


6 y1 12 y2 yT1 = = 6k2 , yT2 = = 12k3 . x1 ? 3 x2 + 3

又由(练习)(Ⅱ)可知,

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

k 2 = 2 k3 ,
所以

yT1 = yT2
即 T1 , T2 重合与 T. 所以,点 T 横坐标的值为 9.

2013年浙江四市高三数学复习研讨会

x2 y2 【例】o 如图,椭圆 C: + = 1 的左右顶点 9 5
分别为 A,B,过点 D(1,0)的直线 MN 与椭圆 C 分别 交于点 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,其中 y1 > 0, y 2 < 0 . (练习) (Ⅳ)设直线 AN,BM 交于一点 T, AM,BN 交于一点 S.求证:直线 ST 垂直于 x 轴.

高中数学复习选讲



归纳与小结 合理拆分圆锥曲线的几何特征 与代数表示 分析运算条件、探究运算方向、 确定运算程序、检验运算结果

1

2

高中数学复习选讲



作业与反思

2013年高三数学专题复习 金丽衢十二校2013学年第一次联合考试 第21题
2 y 2 已知椭圆 M : x + = 1 的左右顶点分别为 D, C ,过 2 点 P(? 2,0 ) 且斜率不为 0 的直线与椭圆 M 相交于 A, B 两点,设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) . x1 x 2 + 1 的值; (Ⅰ)求 x1 + x 2 (Ⅱ)若直线 AC与BD 相交于点 E ,证明:点 E 的横坐

标为定值.

2013年高三数学专题复习

? y = k (x + 2) ? 则联立方程 ? 2 y 2 可得: =1 ?x + 2 ?

解: (Ⅰ)设 AB 方程为: y = k ( x + 2 ) (易知 k 肯定存在) ,

2 ? ? 4k x1 + x 2 = 2 ? ? k +2 2 2 2 2 k + 2 x + 4k x + 4k ? 2 = 0 , ? 2 k ?2 4 ?x x = 1 2 2 ? k +2 ? 5k 2 x1 x 2 + 1 k 2 + 2 5 ∴ =? = 2 4 x1 + x 2 ? 4k k2 + 2

(

)

2013年高三数学专题复习

y1 (x ? 1) (Ⅱ)D (? 1,0 ), C (1,0 ) AC 的方程为:y = x1 ? 1 y2 (x + 1) BD 的方程为: y = x2 ? 1 x 2 y1 + x1 y 2 + y1 ? y 2 可联立解得 E 点横坐标 x E = x 2 y1 ? x1 y 2 + y1 + y 2 2 x1 x 2 + x 2 + 3 x1 = 3 x 2 ? x1 + 4

2013年高三数学专题复习

5 (方法一)将 x1 x 2 = ? ( x1 + x 2 ) ? 1 代入上式可得 4 1 3 x1 ? x 2 ? 4 1 2 2 =? xE = 2 ? x1 + 3 x 2 + 4 1 所以 E 的横坐标为定值 ? . 2

2013年高三数学专题复习

2 x1 x 2 + x 2 + 3 x1 2 x1 x 2 + x 2 + x1 + 2 x1 (方法二) = = 3 x 2 ? x1 + 4 3( x 2 + x1 ) ? 4 x1 + 4
4k ? 4 4k ? 2 ? 4k + 2 x1 2 2 + 2 + 2 x1 2 1 2 k k k + + 2 + 2 = =? . = 2 2 2 8 ? 8k ? 4k ? 4 x1 3 2 ? 4 x1 + 4 2 k +2 k +2
2 2 2

2013年高三数学专题复习

金华十校 2012?2013 学年第一学期期末考试
x2 21.(本小题满分 15 分)如图,椭圆 E: + y 2 = 1 ,经过椭圆的 5 左焦点 F,斜率为 k1 的(k1≠0)的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点. (Ⅰ)当 k1=1 时,求|AB|; (Ⅱ)给点 R(1,0),延长 AR,BR 分别与椭圆 E 交于 C,D 两点, 设直线 CD 的斜率为 k2, y k1 A 证明: 为定值,并求出定值. k2
O
R D x C

B

x 21.解:(Ⅰ)直线 l 的方程为 y=x+2 代人椭圆方程 + y 2 = 1 , 5 得 6x2+20x+15=0
?? 20 ? 2 15 ? 2 5 ∴|AB|= (1 + 1) ?? ? ? ? 4 × ? = 6? 3 ? ?? 6 ? ?

2013年高三数学专题复习 2

y1 y2 (Ⅱ)设 A(x1,y1), B(x2,y2), 则 lAR: y= lBR: y= ( x ? 1) , ( x ? 1) x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ? 2 5 y ? y = x ? 1 ( x ? 1) 2 1 由? ,得到 x 2 + ? =5 ( 1) x 1 2 ( x1 ? 1) ? x2 + 5 y 2 = 5 ? 即 [5 y1 + ( x1 ? 1)2 ]x 2 ? 10 y12 x + 5 y12 ? 5( x1 ? 1)2 = 0
∵ x12 + 5 y12 = 5 ,∴ (6 ? 2 x1 ) x 2 ? 10 y12 x + (10 x1 ? 6 x12 ) = 0 x1 (10 ? 6 x1 ) 3x1 ? 5 当 x1≠0 时, x1 xC = ,∴ xC = 6 ? 2 x1 x1 ? 3 5 当 x1=0 时, xC = 3

2013年高三数学专题复习

? 3x2 ? 5 2 y 2 ? ? 3x1 ? 5 2 y1 ? ∴C? , , ?. ? ,同理可得 D ? ? x2 ? 3 x2 ? 3 ? ? x1 ? 3 x1 ? 3 ?

2 y2 2 y1 ? x2 ? 3 x1 ? 3 2 y2 ( x1 ? 3) ? 2 y1 ( x2 ? 3) ∴k2= = 3x2 ? 5 3x1 ? 5 (3x2 ? 5)( x1 ? 3) ? (3x1 ? 5)( x2 ? 3) ? x2 ? 3 x1 ? 3

2013年高三数学专题复习

2k1[( x2 + 2)( x1 ? 3) ? ( x1 + 2)( x2 ? 3)] 10k1 ( x1 ? x2 ) 5k1 = = = 4( x1 ? x2 ) 4( x1 ? x2 ) 2 k1 2 ∴ = . k2 5

x2 y 2 21. (本题满分 15 分)如图,已知椭圆 E: 2 + 2 = 1 (a > b > 0) a b 2 的离心率是 ,P1、P2 是椭圆 E 的长轴的两个端点(P2 位 2 于 P1 右侧) ,点 F 是椭圆 E 的右焦点.点 Q 是 x 轴上位于

宁波市2013年高考模拟试卷 数学(理科)试卷

2013年高三数学专题复习

1 1 2 P2 右侧的一点,且满足 + = = 2. P1Q P2 Q FQ
(Ⅰ) 求椭圆 E 的方程以及点 Q 的坐标; (Ⅱ) 过点 Q 的动直线 l 交椭圆 E 于 A、B 两 点,连结 AF 并延长交椭圆于点 C,连结 BF 并延长交椭圆于 点 D. ① 求证: B、C 关于 x 轴对称; ② 当四边形 ABCD 的面积取得最大值时,求直线 l 的 方程.

2013年高三数学专题复习

解: (Ⅰ)设点 F(c,0) ,Q(x,0) (x>a) .

y B A

1 1 2 由 + = = 2, P1Q P2 Q FQ

P1

O

F

P2 Q x D

C 1 1 2 a2 + = ,解得 x = . 可得 (第 21 题图) x+a x?a x?c c a2 b2 ?c = = 1. 依题意 FQ = 1 ,即 c c 2 2 c 又因为 = , b = a 2 ? c 2 ,所以 a = 2, b = c = 1 . 2 a x2 + y 2 = 1 ,点 Q 的坐标是(2,0) . 故椭圆的方程是 2

2013年高三数学专题复习

① 设直线 l 的方程为 x = my + 2 ,代入椭圆 E 的方程可得

(2 + m 2 ) y 2 + 4my + 2 = 0
依题意, Δ = (4m) 2 ? 8(2 + m 2 ) = 8( m 2 ? 2) > 0 , m 2 > 2 . 此时,若设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则

4m 2 y1 + y2 = ? , y1 ? y2 = . (*) 2 2 2+m 2+m

点 B 关于 x 轴的对称点 B1( x2 , ? y2 ) ,则 A、F、B1 三点共线等 价于 y1 y2 y1 ? y2 = ? + =0 x1 ? 1 x2 ? 1 my1 + 1 my2 + 1

2013年高三数学专题复习

2my1 y2 + y1 + y2 ? =0 (my1 + 1)(my2 + 1)
由(*)可知上述关系成立. 因此,点 C 即是点 B1,这说明 B、C 关于 x 轴对称. ②略

高中数学复习选讲

四、专题与突破

2012年宁波市高考复习会议

动态的立体几何 问题选讲

浙江省镇海中学数学组

沈虎跃

2012年12月14日 星期五

复习引入

爬梯者

复习引入

y A M O B x

复习引入
y A M2 O M(x,y) M1 B x

范例选讲
【例 1】 如图, 直线 l ⊥ 平面 α , 垂足为 O, 已知直角三角形 ACC1 中,CC1=1, AC=2,A C1= 5 .该直角三角形在空间做符合以下 条件的自由运动: (1) A ∈ l , l (2) C ∈ α , 求 O,C1 两点间的最大距离.
A C1

O

C

α

范例选讲
【例 1】 如图, 直线 l ⊥ 平面 α , 垂足为 O, 已知直角三角形 ACC1 中,CC1=1, AC=2,A C1= 5 .该直角三角形在空间做符合以下 条件的自由运动: (1) A ∈ l , l (2) C ∈ α , 求 O,C1 两点间的最大距离.
A M C1

O

C

α

范例选讲

l

A M C1

C1 A

O

C

M O C

α

试试看
如图,直线 l ⊥ 平面α ,垂足为 O,已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=1,AB= 2 ,AD= 2 .该长方体做符合以下条件的自 由运动: (1 ) A ∈ l , (2 ) C ∈ α . l A1 D1 则 C1、O 两点间的最大距离为 .
A B1 D C1

B O

C

α

试试看
如图,直线 l ⊥ 平面α ,垂足为 O,已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=1,AB= 2 ,AD= 2 .该长方体做符合以下条件的自 由运动: (1 ) A ∈ l , (2 ) C ∈ α . l A1 D1 则 C1、O 两点间的最大距离为 .
A B1 D C1

B O

C

α

试试看

l

A M C1

C1 A

O

C

M O C

α

练一练
如图,直线 l ⊥ 平面α ,垂足为 O,已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=1,AB= 2 ,AD= 2 .该长方体做符合以下条件的自 由运动: (1 ) A ∈ l , (2 ) C ∈ α . l A1 D1 则 D1、O 两点间的最大距离为 .
A B1 D C1

B O

C

α

练一练
如图,直线 l ⊥ 平面α ,垂足为 O,已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=1,AB= 2 ,AD= 2 .该长方体做符合以下条件的自 由运动: (1 ) A ∈ l , (2 ) C ∈ α . l A1 D1 则 D1、O 两点间的最大距离为 .
A B1 D C1

B O

C

α

练一练

l

D1

D1
A M

A

O

C

M O C

α

范例选讲
【例 2】如图,直线 l ⊥ 平面 α ,垂足为 O ,正四面体 ABCD 的棱 长为 2, C 在平面 α 内, A 是直线 l 上的动点,则当 O 到 BD 中点 N 的距离的最大值为 .
l B N D A

O

C

α

范例选讲
【例 2】如图,直线 l ⊥ 平面 α ,垂足为 O ,正四面体 ABCD 的棱 长为 2, C 在平面 α 内, A 是直线 l 上的动点,则当 O 到 BD 中点 N 的距离的最大值为 .
l B N D A

O

C

α

范例选讲

l

B N D

N A

A M O C

M O C

α

挑战一下
如图,直线 l ⊥ 平面 α ,垂足为 O ,正四面体 ABCD 的棱长为 2, C 在平面 α 内, A 是直线 l 上的动点,则当 O 到 BD 的距离为最 大时,正四面体在平面 α 上的射影面积为 ( )

2+ 2 A. 2 C. 1

2 +1 B. 2 D. 3

l

B N D

A

B1 O C N1 D1

α

挑战一下
如图,直线 l ⊥ 平面 α ,垂足为 O ,正四面体 ABCD 的棱长为 2, C 在平面 α 内, A 是直线 l 上的动点,则当 O 到 BD 的距离为最 大时,正四面体在平面 α 上的射影面积为 ( )

2+ 2 A. 2 C. 1

2 +1 B. 2 D. 3

l

B N D

A M B1 O C N1 D1

α

挑战一下

l

B N D

N A

A M B1 O C N1 D1

M O C N1

α

挑战一下

l

B N D

A M

B1 N1 C D1

α

O

范例选讲
【例 3】正四面体 ABCD 的棱长为 1,棱 AB∥平面 α,则正四面体 上的所有点在平面 α 内的射影构成的图形面积的取值范围 是 .
C D B

α

A

范例选讲
【例 3】正四面体 ABCD 的棱长为 1,棱 AB∥平面 α,则正四面体 上的所有点在平面 α 内的射影构成的图形面积的取值范围 是 .
C

N D B M A

C1

α

D1

范例选讲
【例 3】正四面体 ABCD 的棱长为 1,棱 AB∥平面 α,则正四面体 上的所有点在平面 α 内的射影构成的图形面积的取值范围 是 .
C N D B C1 M A

C

B M
D1

N C1 D1 D

α

α

A

范例选讲
【例 3】正四面体 ABCD 的棱长为 1,棱 AB∥平面 α,则正四面体 上的所有点在平面 α 内的射影构成的图形面积的取值范围 是 .
C N B C1 A M D1 C1 M D D D1 C N

α

嘿,有 挑战性!
在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=1,AD=2.若存 在各棱长均相等的四面体 P1P2P3P4,其中 P1,P2,P3, P4 分别在棱 AB,A1B1,C1D1,CD 所在的直线上,则 D 此长方体的体积为 . C
1 1

A1

B1

D

C

A

B

D1

P3 C1 P2 B1

D1 C1

F1

A1

A1

B1

E1

D

C

P4

D

C

F

A(P1)

B

A

B

E

意犹未尽
1、如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为线段 AD, BC 上的点,∠ABE=20°,∠CDF=30°.将△ABE 绕 直线 BE、△CDF 绕直线 CD 各自独立旋转一周,则在 所有旋转过程中,直线 AB 与直线 DF 所成角的最大值 为_________. (2011 年浙江省数学测试卷(理·17) )
E D

B

F

C

意犹未尽
2、已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 .将△ABD 沿矩 形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中, A. 存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B. 存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C. 存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D. 对任意位置,三对直线“AC 与 BD” , “AB 与 CD” , “AD 与 BC”均不垂直 (2012 年浙江省高考数学卷(理·10) )

四、小结反思

空间问题平面化.
动态问题寻找不变量.
动态问题静态化.

五、作业与自我提升

“我们解决的每一个问题,都将成为一个范例,用于解 决其他问题. ” —笛卡儿

2012年浙江高考 理科第22题选讲

浙江省镇海中学数学组

沈虎跃

2012年12月14日 星期五

高中数学复习选讲
22.(本题满分 14 分)已知 a > 0, b ∈ R ,函数 f ( x) = 4ax ? 2bx ? a + b .
3

(Ⅰ)证明:当 0 ≤ x ≤ 1 时, (ⅰ)函数 f ( x ) 的最大值为 2a ? b + a ; (ⅱ) f ( x) + 2a ? b + a ≥ 0 ;

函数最值的刻画

(Ⅱ) 若 ?1 ≤ f ( x) ≤ 1 对 x ∈ [ 0,1] 恒成立,求 a + b 的取值范围.

形式简洁,内涵深刻 题量增加,难度下降

线性规划

三次函数在给定区间上图象特征

考纲
函数概念与性质:

高中数学复习选讲

1.了解函数、映射的概念,会求一些简单的函数定义域和值域. 2.理解函数的三种表示法:解析法、图像法和列表法. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用. 4.理解函数的单调性,会讨论和证明函数的单调性;理解函数的奇 偶性,会判断函数的奇偶性. 5.理解函数的最大 (小) 值及其几何意义, 并能求函数的最大 (小) 值. 6.会运用函数图像理解和讨论函数的性质.

考纲 导数及其应用:

高中数学复习选讲

(一)导数概念及其几何意义 1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. (二)导数的运算 会用下面给出的常见基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数, 能求简单的 复合函数(仅限于形如 f(ax+b))的导数. 常见基本初等函数的导数公式和导数运算法则: - C’=0(C 为常数);(xn)’=nxn 1,n∈Q*; (sinx)’=cosx;(cosx)’=-sinx; (ex)’=ex;(ax)’=axlna(a>0,a≠1); (lnx)’= 1 ;(logax)’= 1 (a>0,a≠1)· x x ln a 法则 1.[u(x)±v(x)]’=u’(x)±v’(x); 法则 2.[u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x); u( x ) u′( x )v ( x ) ? u( x )v′( x ) 法则 3.[ ]’= [v(x)≠0]. v( x ) v2 ( x) (三)导数的应用 1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值;会求闭区间 上函数的最大值、最小值. 3.会用导数解决某些实际问题.

高中数学复习选讲

2009 浙江: 3 2 2 已知函数 f ( x) = x ? (k ? k + 1) x + 5 x ? 2 ,

g ( x) = k x + kx + 1 ,其中 k ∈ R . (I) 设函数 p ( x) = f ( x) + g ( x) .若 p ( x) 在 ,求 k 的取值范围; 区间 (0,3) 上不单调 ...
2 2

? g ( x), x ≥ 0, 是否存在 k , (II) 设函数 q ( x) = ? ? f ( x), x < 0. 对任意给定的非零实数 x1 ,存在惟一的非零实 ,使得 q ′( x2 ) = q ′( x1 ) 成立?若存在, 数 x2 ( x2 ≠ x1 ) 求 k 的值;若不存在,请说明理由.

高中数学复习选讲

2010 浙江: 2 2 已知 a 是给定的实常数,设函数 f ( x) = ( x ? a) ( x + b)e , b ∈ R , x = a 是 f ( x) 的一 个极大值点. (Ⅰ)求 b 的取值范围; (Ⅱ)设 x1 , x2 , x3 是 f ( x) 的 3 个极值点,问是否存在 实数 b ,可找到 x4 ∈ R ,使得 x1 , x2 , x3 , x4 的某种排列

xi1 , xi2 , xi3 , xi4 (其中 {i1 , i2 , i3 , i4 } = {1, 2,3, 4} )依次成等差

数列?若存在,求所有的 b 及相应的 x4 ;若不存在, 说明理由.

高中数学复习选讲

2011 浙江: 设函数 f ( x) = ( x ? a ) ln x , a ∈R
2

(Ⅰ)若 x = e 为 y = f ( x) 的极值点,求实数 a ; (Ⅱ)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x ∈(0,3 e ], 恒有 f ( x) ≤4 e 成立
2

高中数学复习选讲
22.(本题满分 14 分)已知 a > 0, b ∈ R ,函数 f ( x) = 4ax ? 2bx ? a + b .
3

(Ⅰ)证明:当 0 ≤ x ≤ 1 时, (ⅰ)函数 f ( x ) 的最大值为 2a ? b + a ; (ⅱ) f ( x) + 2a ? b + a ≥ 0 ; (Ⅱ) 若 ?1 ≤ f ( x) ≤ 1 对 x ∈ [ 0,1] 恒成立,求 a + b 的取值范围.

知识点

导数,函数单调性,函数最值,函数不等 式,恒成立问题,线性规划等 多个参变量问题的处理,函数性质的深刻理 解,较强的转化与化归能力 去绝对值,单变量化

难点

切入点

高中数学复习选讲
22.(本题满分 14 分)已知 a > 0, b ∈ R ,函数 f ( x) = 4ax ? 2bx ? a + b .
3

(Ⅰ)证明:当 0 ≤ x ≤ 1 时, (ⅰ)函数 f ( x) 的最大值为 2a ? b + a ; (ⅱ) f ( x) + 2a ? b + a ≥ 0 ; (Ⅱ) 若 ?1 ≤ f ( x) ≤ 1 对 x ∈ [ 0,1] 恒成立,求 a + b 的取值范围.

试卷的难度系数为0.64 第22题难度系数0.241 (平均分为3.38)

高中数学复习选讲

理科卷Ⅱ各题分值分布 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第 22 题 % 56.2 5.4 15.3 4.59 7.29 5.69 1.89 2.09 0.7 0.4 0.2 0.1 0 0 0
理科卷第22题分值分布 60 50 分值比例(%) 40 30 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 分值 8 9 10 11 12 13 14

高中数学复习选讲
22.(本题满分 14 分)已知 a > 0, b ∈ R ,函数 f ( x) = 4ax ? 2bx ? a + b .
3

(Ⅰ)证明:当 0 ≤ x ≤ 1 时, (ⅰ)函数 f ( x) 的最大值为 2a ? b + a ;
解法 1:(Ⅰ) (ⅰ) f ′( x ) = 12ax ? 2b = 12a ( x ?
2 2

当 b ≤ 0 时,有 f ′( x) ≥ 0 ,此时 f ( x) 在 [ 0, +∞ ) 上单调递增.

b ). 6a

b b )( x ? ) , 直接求导 当 b > 0 时, f ′( x) = 12a ( x + 6a 6a ? ? b ? b ? 此时 f ( x) 在 ? 0, 上单调递增. , +∞ ? ? 上单调递减,在 ? ? 6a ? ? 6a ? ? 所以当 0 ≤ x ≤ 1 时, f ( x) max = max { f (0), f (1)} = max {? a + b,3a ? b} ,
故 f ( x) max

? 3a ? b, b ≤ 2a =? = 2a ? b + a . ? ? a + b, b > 2 a

高中数学复习选讲
22.(本题满分 14 分)已知 a > 0, b ∈ R ,函数 f ( x) = 4ax ? 2bx ? a + b .
3

(Ⅰ)证明:当 0 ≤ x ≤ 1 时, (ⅰ)函数 f ( x) 的最大值为 2a ? b + a ;

直接论证

解法 2:当 b ≥ 2a 时, f ( x ) ?

( 2a

? b + a

)=

4ax3 ? 2bx

≤ 4ax 3 ? 4ax = 4ax ( x 2 ? 1) ≤ 0 ,当 x = 0 时取“=”.
当 b < 2 a 时, f ( x ) ?

( 2a

? b + a

)=

4 a x 3 ? 4 a + 2 b (1 ? x )

≤ 4ax3 ? 4a + 2 (1 ? x )i2a = 4ax ( x 2 ? 1) ≤ 0 ,当 x = 1 时取“=”.
所以 f ( x) max = 2a ? b + a

高中数学复习选讲
22.(本题满分 14 分)已知 a > 0, b ∈ R ,函数 f ( x) = 4ax ? 2bx ? a + b .
3

(Ⅰ)证明:当 0 ≤ x ≤ 1 时, (ⅱ) f ( x) + 2a ? b + a ≥ 0 ; 恒成立问题转化

解法 1: ,即证 f ( x) min + 2a ? b + a ≥ 0(0 ≤ x ≤ 1) .
2 2 由(ⅰ)知 f ′( x) = 12ax ? 2b = 12a ( x ?

b ) 6a 1 当 b ≤ 0 时,有 f ′( x) ≥ 0 ,此时 f ( x) 在 [ 0,1] 上单调递增。

则 f ( x) min + 2a ? b + a = f (0) + 2a ? b + a = 2a ≥ 0

2 当 b > 0 时, f ′( x) = 12a( x +

b b )( x ? ), 6a 6a 分类讨论

b ? [ 0,1] 时,有 f ′( x) ≤ 0 ,此时 f ( x) 在 [ 0,1] 上单调递减。 (1)当 6a 则 f ( x) min + 2a ? b + a = f (1) + b ? 2a + a = 2a ≥ 0

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22.(本题满分 14 分)已知 a > 0, b ∈ R ,函数 f ( x) = 4ax ? 2bx ? a + b .
3

(Ⅰ)证明:当 0 ≤ x ≤ 1 时, (ⅱ) f ( x) + 2a ? b + a ≥ 0 ;
? ? b ? b b ? ∈ [ 0,1] 时, f ( x) 在 ? 0, (2)当 ,1? 上单调递增. ? 上单调递减,在 ? 6a 6a ? ? ? 6a ?
所以 f ( x ) min + 2a ? b + a = f (

b 4b b ) + 2a ? b + a = ? + 2a ? b + b , 6a 3 6a

去绝对值分类

4b b 4b b ① 当 0 < b < 2a 时,? + 2a ? b + b = ? + 2a 3 6a 3 6a

? 4 3? 8a >? + 2a = 2a ? ? > 1 0 ? ? ? 9 3 3 ? ?

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22.(本题满分 14 分)已知 a > 0, b ∈ R ,函数 f ( x) = 4ax ? 2bx ? a + b .
3

(Ⅰ)证明:当 0 ≤ x ≤ 1 时, (ⅰ)函数 f ( x) 的最大值为 2a ? b + a ; (ⅱ) f ( x) + 2a ? b + a ≥ 0 ;

4b b 4b b ②当 2a ≤ b < 6a 时, ? + 2a ? b + b = ? + 2b ? 2a 3 6a 3 6a 4 3 处理 1:设 h(t ) = ? t + 2t 2 ? 2a, 2a ≤ t = b < 6a 3 6a 4 2 t ? ? ' h (t ) = ? t + 4t = 4t ?1 ? ?>0 6a 6a ? ? 确定主变量 ? 4 3? 则 h ( t ) ≥ h 2a = 2a ? 1 ? >0 ? ? ? 9 ? ?

(

)

即当 2a ≤ b < 6a 时,有 f ( x) min + 2a ? b + a > 0

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22.(本题满分 14 分)已知 a > 0, b ∈ R ,函数 f ( x) = 4ax ? 2bx ? a + b .
3

(Ⅰ)证明:当 0 ≤ x ≤ 1 时,

齐次化 4b b b 2 b b ②当 2a ≤ b < 6a 时, ? + 2b ? 2a = 2a ( ? ? 1) 3 6a a 3 6a a
b ? ∈ ? 2, 6 处理 2:设 g (t ) = t ? t ?1, t = a 3 6 2 2 t g ′(t ) = 2t ? t = 2t (1 ? )>0 6 6
2

(ⅱ) f ( x) + 2a ? b + a ≥ 0 ;

2

3

)

4 3 则 g (t ) ≥ g ( 2) = 1 ? >0, 9

构造恰当的新变量

即当 2a ≤ b < 6a 时,有 f ( x) min + 2a ? b + a > 0

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22.(本题满分 14 分)已知 a > 0, b ∈ R ,函数 f ( x) = 4ax ? 2bx ? a + b .
3

(Ⅰ)证明:当 0 ≤ x ≤ 1 时, (ⅰ)函数 f ( x ) 的最大值为 2a ? b + a ; (ⅱ) f ( x) + 2a ? b + a ≥ 0 ;

解法 2: (ⅱ)由于 0 ≤ x ≤ 1 ,故 当 b ≤ 2a 时,
3

通过不等式或函数单调性 放缩成单变量
3 3

f ( x) + 2a ? b + a = f ( x) + 3a ? b = 4ax ? 2bx + 2a ≥ 4ax ? 4ax + 2a = 2a (2 x ? 2 x + 1) 当 b > 2a 时, f ( x) + 2a ? b + a = f ( x) ? a + b = 4ax 3 + 2b(1 ? x) ? 2a

> 4ax3 + 4a (1 ? x) + 2a = 2a (2 x 3 ? 2 x + 1)

高中数学复习选讲

解法 2:设 g ( x) = 2 x ? 2 x + 1, 0 ≤ x ≤ 1 , 直接求导
3

3 处理 1: g ′( x) = 6 x ? 2 = 6( x ? )( x + 3 x 0 ? 3 3? ? ? 0, 3 ? ? 3 ? ? 0 — g ′( x) 1 减 极小值 g ( x)
2

3 ), 3 ? 3 ? ? ? 3 ,1? ? ? ?
+ 增

1

1

3 4 3 ) = 1? 所以, g ( x) min = g ( > 0。 3 9 3 所以,当 0 ≤ x ≤ 1 时, 2 x ? 2 x + 1 > 0 。 3 故 f ( x) + 2a ? b + a ≥ 2a (2 x ? 2 x + 1) ≥ 0 。

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3 2 x ? 2 x + 1 = 1 ? x (1 + x )( 2 ? 2 x ) 处理 2:

? x + (1 + x ) + ( 2 ? 2 x ) ? ≥ 1? ? ? =0 3 ? ?
3

不等式放缩

处理 3: 2 x ? 2 x + 1 = 1 ? 2 x (1 + x )(1 ? x )
3

? x + (1 ? x ) ? 1+ x 1+1 ≥ 1 ? 2 (1 + x ) ? ≥ 1? =0 ? = 1? 2 2 2 ? ?
2

高中数学复习选讲
22.(本题满分 14 分)已知 a > 0, b ∈ R ,函数 f ( x) = 4ax ? 2bx ? a + b .
3

(Ⅱ) 若 ?1 ≤ f ( x ) ≤ 1 对 x ∈ [ 0,1] 恒成立,求 a + b 的取值范围.

(Ⅱ)由(ⅰ)知:当 0 ≤ x ≤ 1 时, f ( x) max = 2a ? b + a ,所以 2a ? b + a ≤ 1 。 若 2a ? b + a ≤ 1 ,则由(ⅱ)知 f ( x) ≥ ?( 2a ? b + a ) ≥ ?1 。 所以 ?1 ≤ f ( x) ≤ 1 对任意 0 ≤ x ≤ 1 恒成立的充要条件是 ?

? 2a ? b + a ≤ 1 ? a>0
b 2 C 1



? 2a ? b ≥ 0 ? 2a ? b < 0 ? ? 即 ? 3a ? b ≤ 1 ,或 ? b ? a ≤ 1 (1) ? a>0 ? a>0 ? ? (1)所表示的平面区域 在直角坐标系 aOb 中, 为如图所示的阴影部分,其中不包括线段 BC 。 作一组平行直线 a + b = t (t ∈ R) , 得 ?1 < a + b ≤ 3 , 所以 a + b 的取值范围是 ( ?1,3] 。

A

O 1 b=a+1 -1 -1 B b =2 a b=3a-1 (第 22 题图)

a

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22.(本题满分 14 分)已知 a > 0, b ∈ R ,函数 f ( x) = 4ax ? 2bx ? a + b .
3

(Ⅱ) 若 ?1 ≤ f ( x ) ≤ 1 对 x ∈ [ 0,1] 恒成立,求 a + b 的取值范围.

解法 2:有题可得 f (0) = ? a + b, f (1) = 3a ? b ,

3 1 f (0) + f (1) 故a = , b = a + f (0) = f (0) + f (1) 2 2 2 且 a > 0, ? 1 ≤ f (0) ≤ 1, ? 1 ≤ f (1) ≤ 1 则 a + b = 2a + f (0) > ?1; a + b = 2 f (0) + f (1) ≤ 3 ? f (0) = 1 ? a = 1 当且仅当 ? 即? 时 a + b = 3 ,经检验,此 ? f (1) = 1 ?b = 2 时函数 f ( x) 满足对 ?x ∈ [ 0,1] , 有 ?1 ≤ f ( x) ≤ 1 成立

几何意义
1 b ≤ 2 a 时, 2 ax 3 ≥ bx ? a
y
?B

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3

22.(本题满分 14 分)已知 a > 0, b ∈ R ,函数 f ( x) = 4ax ? 2bx ? a + b . (Ⅰ)证明:当 0 ≤ x ≤ 1 时, (ⅱ) f ( x) + 2a ? b + a ≥ 0 ;

3 2ax0 +a 2 设切点 ( x0 , y0 ) ,则 , = 6ax0 x0

O

?A ( 0, ? a )

? 1 a? 3 ? ? 4, 2 ? ? ? ?

x

1 ,此时切线 AB 斜率 解得 x0 = 4
3

1 > 2a ≥ b k = 3a 2
3

几何意义
2 b > 2a 时, 2ax ≥ bx + a ? b
3

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3

22.(本题满分 14 分)已知 a > 0, b ∈ R ,函数 f ( x ) = 4ax ? 2bx ? a + b . (ⅱ) 证明:当 0 ≤ x ≤ 1 时, f ( x ) + 2a ? b + a ≥ 0 ;

y
?D ? 1 , a ? ?C (1, a )

3 2ax0 ?a 2 = 6ax0 设切点 ( x0 , y0 ) ,则 , x0 ? 1
3 2 4 x0 ? 6 x0 + 1 = 0 ,即

O

? ? 2 4 ? ?

1? ? 2 x ? x0 ? ? ( 2 x0 ? 2 x0 ? 1) = 0 ,在 [ 0,1] 内 2? ? ?1 a? 有切点 ? , ? ,此时切线 CD 斜率 ?2 4? 3 k = a<b 2

高中数学复习选讲

五、60分与750分

“数学史与不等式选讲”模块

基本不等式新视角

镇海中学数学组

沈虎跃

2012年4月24日 星期二

基本不等式

二元基本不等式

a+b ≥ ab , 若 a, b > 0 ,则 2 当且仅当 a = b 时取等号.
三元基本不等式

a+b+c 3 若 a, b, c > 0 ,则 ≥ abc , 3 当且仅当 a = b = c 时取等号.

基本不等式

a+b 若 a, b > 0 ,则 ≥ ab ,当且仅当 a = b 时取等号. 2 a+b+c 3 若 a , b, c > 0 , 则 当且仅当 a = b = c 时取等号 ≥ abc , 3

常用形式
若 a, b ∈ R ,则 a + b ≥ 2ab ,当且仅当 a = b 时取等号.
2 2

若 a, b, c > 0 ,则 a + b + c ≥ 3abc ,当且仅当 a = b = c 时取等号.
3 3 3

【引例】 (1)已知 a, b, c>0, 求证: (a+b) (b+c) (c+a)≥8abc.

? b ?? c ?? a ? (2)已知 a,b,c>0,求证: ? 1 + ? ? 1 + ? ? 1 + ? ≥ 8 ? a ?? b ?? c ?
(3)已知 a,b,c>0,a+b+c=1, 求证:(1-a) (1-b) (1-c)≥8abc. (4) 已知 a,b,c>0,a+b+c=1,

? 1 ?? 1 ?? 1 ? 求证: ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ≥ 8 ? a ?? b ?? c ?

【引例】(1)已知 a,b,c>0, 求证:(a+b) (b+c) (c+a)≥8abc.
证明:由均值不等式知

a + b ≥ 2 ab
同理, b + c ≥ 2 bc , c + a ≥ 2 ca
三式相乘得

为什么选择 用二元的均 值不等式?

(a + b) (b + c) (c + a) ≥ 2 ab ? 2 bc ? 2 ca = 8abc

基本不等式

a+b 若 a, b > 0 ,则 ≥ ab ,当且仅当 a = b 时取等号. 2 a+b+c 3 若 a , b, c > 0 , 则 当且仅当 a = b = c 时取等号. ≥ abc , 3 齐次 次数 视角1 项数 视角2 系数 常用形式 视角3 等号 均等
若 a, b ∈ R ,则 a + b ≥ 2ab ,当且仅当 a = b 时取等号.
2 2

若 a, b, c > 0 ,则 a + b + c ≥ 3abc ,当且仅当 a = b = c 时取等号.
3 3 3

【引例】(1)已知 a,b,c>0, 求证:(a+b) (b+c) (c+a)≥8abc.
证明:由均值不等式知

a + b ≥ 2 ab
同理, b + c ≥ 2 bc , c + a ≥ 2 ca
三式相乘得

为什么选择 用二元的均 值不等式?

(a + b) (b + c) (c + a) ≥ 2 ab ? 2 bc ? 2 ca = 8abc

? b ?? c ?? a ? (2)已知 a,b,c>0,求证: ? 1 + ? ? 1 + ? ? 1 + ? ≥ 8 ? a ?? b ?? c ?
(3)已知 a,b,c>0,a+b+c=1, 1-a=b+c 求证:(1-a) (1-b) (1-c)≥8abc. (4)

求证: ?

1 1 ? a b + c 已知 a,b,c>0,a+b+c=1, ?1 = = a a ? 1 ?? 1 ?? 1 ? a
? 1? ? ? 1? ? ? 1? ≥ 8 ? a ?? b ?? c ?
齐次化

牛刀小试

【变式 1】已知 a,b,c>0, 求证:(2a+b) (2b+c) (2c+a)≥27abc.
【变式 2】已知 a,b,c>0,a+b+c=1, 求证: ab+bc+ca≥9abc.

往题重观

已知 a,b >0,a+b =1,

1 4 求证: + ≥9. a b

1 4 ?1 4? b 4a + = ? + ? (a + b) = 5 + + a b ?a b? a b
齐次化

你来试试

【变式 3】已知 a,b,c>0, 求证:(1+a) (a+b) (b+c) (c+16)≥81abc.

你来试试
【变式 5】已知 a,b,c>0,求证: a + b + c ≥

2

(

ab + bc .

)

【变式 6】已知 a,b,c>0,求证: a + b + c ≥

ab + 3bc .

你来试试
【变式 5】已知 a,b,c>0,求证: a + b + c ≥

2

(

ab + bc .

)

【变式 6】已知 a,b,c>0,求证: a + b + c ≥

ab + 3bc .

3 3 1 【变式 7】已知 0 < θ < ,求证: + ≥8. 2 sin θ cos θ

π

小结与展望 目录

系数 等号

次数

新视角
●●●

高中数学复习选讲

谢谢各位, 敬请指正!

2013年4月20日

浙江省镇海中学 沈虎跃


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