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课时限时检测5


2015 新课标高考总复习

数 学(理)

课时限时检测(五)
(时间:60 分钟 考查知识点及角度 单调性的判定 单调区间 最值的求法 抽象函数问题 3,4

函数的单调性与最值
满分:80 分)命题报告 题号及难度

基础 1,2 7

中档 9,12

稍难

5,8,10 11

6

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) b 1.若函数 y=ax 与 y=-x 在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax2+bx 在(0, +∞)上是( ) B.减函数 D.先减后增

A.增函数 C.先增后减 【解析】

b 由 y=ax 及 y=-x 在(0,+∞)上都是减函数可知 a<0,b<0,

b 故 y=ax2+bx 开口向下,且对称轴 x=-2a<0,故 y=ax2+bx 在(0,+∞)上 是减函数. 【答案】 B

2.(2014· 烟台模拟)下列函数中,满足 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时都有 f(x1)>f(x2)的是( 1 A.f(x)= x C.f(x)=ex 【解析】 ) B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln(x+1) 由题意可知,f(x)在(0,+∞)上是减函数.

结合四个选项可知,A 正确. 【答案】 A

3.若函数 f(x)的定义域为 R,且在(0,+∞)上是减函数,则下列不等式成 立的是( )

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?3? A.f?4?>f(a2-a+1) ? ? ?3? B.f?4?≥f(a2-a+1) ? ? ?3? C.f?4?<f(a2-a+1) ? ? ?3? D.f?4?≤f(a2-a+1) ? ? 1? 3 3 ? 【解析】 ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,且 a2-a+1=?a-2?2+4≥4>0, ? ? ?3? ∴f(a2-a+1)≤f?4?. ? ? 【答案】 B

??1?? 4.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f?? x??<f(1)的实数 x 的取值范围是 ?? ?? ( ) A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) 【解析】 B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

?1? 由 f(x)为 R 上的减函数可知? x?>1,而|x|<1 且 x≠0. ? ?

解得-1<x<0 或 0<x<1. 【答案】 C

5.(2014· 潍坊模拟)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值,设 f(x) =min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则 f(x)最大值为( A.4 B.5 C.6 ) D.7

【解析】 如图所示, 在同一坐标系中作出 y=x+2, y=2x, y=10-x(x≥0) 的图象. 根据 f(x)定义知,f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)的图象(如图实线部分).

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数 学(理)

?2 ,0≤x≤2, ∴f(x)=?x+2,2<x<4, ?10-x,x≥4.
令 x+2=10-x,得 x=4. 当 x=4 时,f(x)取最大值 f(4)=6. 【答案】 C

x

?x-1 2 ? ?a b? ?=ad-bc,若函数 f(x)=? ?在 6.(2014· 青岛期中)定义运算? ?c d ? ?-x x+3? (-∞,m)上单调递减,则实数 m 的取值( A.(-2,+∞) C.(-∞,-2) )

B.[-2,+∞) D.(-∞,-2]

【解析】 由定义知 f(x)=(x-1)(x+3)+2x=x2+4x-3=(x+2)2-7,易知 f(x)在(-∞,-2)上单减,[-2,+∞)单增,由题意 m≤-2,故选 D. 【答案】 D

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.(2014· 杭州模拟)若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a =________. a ? ?2x+a,x≥-2, f(x)=|2x+a|=? a ?-2x-a,x<-2. ?

【解析】

作出函数图象,由图象知: ? a ? 函数的单调递增区间为?-2,+∞?, ? ? a ∴-2=3, ∴a=-6. 【答案】 -6

?-x+a,x<1, 8.设函数 f(x)=? x 的最小值为 2,则实数 a 的取值范围是 ?2 ,x≥1 ________. 【解析】 当 x≥1 时,f(x)≥2,当 x<1 时,f(x)>a-1.
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数 学(理)

由题意知 a-1≥2,∴a≥3. 【答案】 [3,+∞)

9.函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为单函数.例如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数,下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②指数函数 f(x)=2x(x∈R)是单函数; ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号) 【解析】 对于①,x1=2,x2=-2 时,f(x1)=f(x2),而 x1≠x2,故函数 f(x) =x2 不为单调函数,故①错;对于②,因为 y=2x 在定义域内为单调增函数,故 ②正确;对于③,假设 f(x1)=f(x2),由 f(x)为单函数,故 x1=x2,这与 x1≠x2 矛 盾,故原命题成立,故③正确;对于④,因函数在定义域上具有单调性,即满 足 f(x)为单函数的定义,故④正确. 【答案】 ②③④

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c 在区间[-2,2]上的最大值、最小值 分别是 M、m,集合 A={x|f(x)=x}. (1)若 A={1,2},且 f(0)=2,求 M 和 m 的值; (2)若 A={1},且 a≥1,记 g(a)=M+m,求 g(a)的最小值. 【解】 (1)由 f(0)=2 可知 c=2,

又 A={1,2},故 1,2 是方程 ax2+(b-1)x+c=0 的两实根. 1-b ? ?1+2= a ∴? c ?2=a, ?

解得 a=1,b=-2,

∴f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-2,2]. 当 x=1 时,f(x)min=f(1)=1,即 m=1, 当 x=-2 时,f(x)max=f(-2)=10,即 M=10. (2)由题意知,方程 ax2+(b-1)x+c=0 有两相等实根 x=1,

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1-b ? 1 + 1 = ? a ∴? c ? ?1=a ?b=1-2a 即? . ?c=a



2a-1 1 ∴f(x)=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2],其对称轴方程为 x= 2a =1-2a. 1 ?1 ? 又 a≥1,故 1-2a∈?2,1?, ? ? ∴M=f(-2)=9a-2, 1 ?2a-1? ?=1- , m=f? 4a ? 2a ? 1 g(a)=M+m=9a-4a-1. 又 g(a)在区间[1,+∞)上为单调递增的, 31 ∴当 a=1 时,g(a)min= 4 . ?x? 11.(12 分)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切 x>0,y>0 都有 f?y?= ? ? f(x)-f(y),当 x>1 时,有 f(x)>0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并加以证明. (3)若 f(4)=2,求 f(x)在[1,16]上的值域. 【解】 ?x? (1)∵当 x>0,y>0 时,f?y?=f(x)-f(y), ? ?

∴令 x=y>0,则 f(1)=f(x)-f(x)=0. (2)设 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2, ?x2? 则 f(x2)-f(x1)=f?x ?. ? 1? x2 ?x2? ∵x2>x1>0,∴x >1,∴f?x ?>0. ? 1? 1 ∴f(x2)>f(x1),即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. (3)由(2)知 f(x)在[1,16]上是增函数.
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∴f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f(16), ?x? ∵f(4)=2,由 f?y?=f(x)-f(y), ? ? ?16? 知 f? 4 ?=f(16)-f(4), ? ? ∴f(16)=2f(4)=4, ∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4]. 12.(13 分)已知 f(x)= x (x≠a). x-a

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)上单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求 a 的取值范围. 【解】 (1)证明 任设 x1<x2<-2,

则 f(x1)-f(x2)=

x1 x2 - x1+2 x2+2

2?x1-x2? = . ?x1+2??x2+2? ∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= x1 x2 - x1-a x2-a

a?x2-x1? = . ?x1-a??x2-a? ∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所知 a 的取值范围为{a|0<a≤1}.

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