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高中数学人教版必修4知识点


1.1.1 任意角
1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称:
B 终边 始边 O 顶点

③角的分类:
正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角

A

④注

意: ⑴在不引起混淆的情况下, “角α ”或“∠α ”可以简化成“α ” ; ⑵零角的终边与始边重合,如果α 是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. 2.象限角的概念: ①定义: 若将角顶点与原点重合, 角的始边与 x 轴的非负半轴重合, 那么角的终边(端点除外) 在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.

1.1.2 弧度制(一)
1.定 义 我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角; 用弧度来度量角的单位制叫 做弧度制.在弧度制下, 1 弧度记做 1rad.在实际运算中,常常将 rad 单位省略. 弧度制的性质: 2?r ?r ? 2? . ①半圆所对的圆心角为 ? ? ; ②整圆所对的圆心角为 r r ③正角的弧度数是一个正数. ④负角的弧度数是一个负数. l ⑤零角的弧度数是零. ⑥角α 的弧度数的绝对值|α |= . r 4.角度与弧度之间的转换: ①将角度化为弧度: n? ? 360 ? ? 2? ; 180 ? ? ? ; 1? ? ? 0.01745 rad ; n? ? rad . 180 180 ②将弧度化为角度: 180 n 180 2? ? 360 ? ; ? ? 180 ? ; 1rad ? ( )? ? 57.30? ? 57?18? ; n ? ( )? . ? ? 5.常规写法: ① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数. ② 弧度与角度不能混用. 6.特殊角的弧度 角 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 度 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °

? 3? 5? 3? ? ? ? 2? 弧 0 2? ? 度 4 6 2 4 3 2 3 6 7.弧长公式 l ? ? ?l ?r?? r 弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积.

4-1.2.1 任意角的三角函数(三)
1. 三角函数的定义 2. 诱导公式
sin(2k? ? ? ) ? sin ? (k ? Z) cos(2k? ? ? ) ? cos? (k ? Z) tan(2k? ? ? ) ? tan? (k ? Z)
x2 ? y2 ? 1 当角的终边上一点 P( x, y ) 的坐标满足 时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几何 表示——三角函数线。 1.有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。 有向线段:带有方向的线段。 2.三角函数线的定义: 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 P ( x, y ) , 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向延 y y T 长线交与点 T .
P
M

P

o

A

x

o

M

A

x

T y (Ⅱ) T
M

y (Ⅰ)
M A

o

A

x

o

x

P

P T

(Ⅲ)

(Ⅳ)

由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有 y y x x y MP AT sin ? ? ? ? y ? MP , cos ? ? ? ? x ? OM , tan ? ? ? ? ? AT r 1 r 1 x OM OA 我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。

说明: (1)三条有向线段的位置:正弦线为 ? 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段;余弦线在 x 轴上;正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在单位圆内, 一条在单位圆外。 (2)三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向 ? 的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向 垂足;正切线由切点指向与 ? 的终边的交点。 (3)三条有向线段的正负:三条有向线段凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值,与 x 轴或 y 轴反向 的为负值。 (4)三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。

4-1.2.1 任意角的三角函数(1)
1.三角函数定义 在直角坐标系中,设α 是一个任意角,α 终边上任意一点 P (除了原点)的坐标为 ( x, y ) , 它与原点的距离为 r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0) ,那么 y y (1)比值 叫做α 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? ; r r x x (2)比值 叫做α 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? ; r r y y (3)比值 叫做α 的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ? ; x x x x (4)比值 叫做α 的余切,记作 cot ? ,即 cot ? ? ; y y 说明:①α 的始边与 x 轴的非负半轴重合,α 的终边没有表明α 一定是正角或负角,以及α 的大小,只表明与α 的终边相同的角所在的位置; ②根据相似三角形的知识,对于确定的角α ,四个比值不以点 P( x, y ) 在α 的终边上的 位置的改变而改变大小; ? ③当 ? ? ? k? (k ? Z ) 时,α 的终边在 y 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都等于 0 , 2 y x 所以 tan ? ? 无意义;同理当 ? ? k? (k ? Z ) 时, cot? ? 无意义; x y x y y x ④除以上两种情况外,对于确定的值α ,比值 、 、 、 分别是一个确定的实数, r r x y 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上四种函数统称为三 角函数。 2.三角函数的定义域、值域 函 数 定 义 域 值 域 y ? sin ? [?1,1] R y ? cos ? [?1,1] R
y ? tan ?

{? | ? ?

?
2

? k? , k ? Z }

R

注意: (1)在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与 x 轴的非负半轴重合.? (2) α 是任意角,射线 OP 是角α 的终边,α 的各三角函数值(或是否有意义)与 ox 转了几

圈,按什么方向旋转到 OP 的位置无关. (3)sin ? 是个整体符号,不能认为是“sin”与“α ”的积.其余五个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例,它们的基础共建立于相似(直角)三角形 的性质, “r”同为正值. 所不同的是,锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三角函 数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义. 实质上,由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过 程. (5)为了便于记忆,我们可以利用两种三角函数定义的一致性,将直角三角形置于平面直角坐 标系的第一象限,使一锐角顶点与原点重合,一直角边与 x 轴的非负半轴重合,利用我们熟 悉的锐角三角函数类比记忆.? 3.例题分析 例 1.求下列各角的四个三角函数值: (通过本例总结特殊角的三角函数值) 3? (1) 0 ; (2) ? ; (3) . 2 解: (1)因为当 ? ? 0 时, x ? r , y ? 0 ,所以 sin 0 ? 0 , cos 0 ? 1 , tan 0 ? 0 , cot 0 不存在。 (2)因为当 ? ? ? 时, x ? ?r , y ? 0 ,所以 cot ? 不存在, sin ? ? 0 , cos ? ? ?1 , tan ? ? 0 , 3? (3)因为当 ? ? 时, x ? 0 , y ? ? r ,所以 2 3? 3? 3? 3? tan sin ? ?1 , cos ? 0, cot ? 0, 不存在, 2 2 2 2 例 2.已知角α 的终边经过点 P(2, ?3) ,求α 的四个函数值。 解:因为 x ? 2, y ? ?3 ,所以 r ? 22 ? (?3) 2 ? 13 ,于是

y ?3 3 13 x 2 2 13 ; ; ? ?? cos ? ? ? ? r 13 r 13 13 13 y 3 x 2 tan ? ? ? ? ; cot ? ? ? ? . x 2 y 3 例 3.已知角α 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求α 的四个三角函数值。 sin ? ?
解:因为过点 (a, 2a)(a ? 0) ,所以 r ? 5 | a | , 当 a ? 0时, sin ? ? 当 a ? 0时, sin ? ?
x ? a, y ? 2a

x a 5a y 2a 2a 2 5 ; tan ? ? 2;cot ? ? 1 ;sec ; ? ? 5;csc ? cos ? ? ? ? ? ? ? r 5 r 5 5a 5|a| 5a 2

y 2a 2a 2 5 ; ? ? ?? r 5 5 | a | ? 5a

x a 5a 1 5 ; . ? ? ? 5;csc ? ? ? ? ?? tan ? ? 2;cot ? ? ;sec r ? 5a 5 2 2 4.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知: y ①正弦值 对于第一、二象限为正( y ? 0, r ? 0 ) ,对于第三、四象限为负( y ? 0, r ? 0 ) ; r x ②余弦值 对于第一、四象限为正( x ? 0, r ? 0 ) ,对于第二、三象限为负( x ? 0, r ? 0 ) ; r cos? ?

y 对于第一、三象限为正( x, y 同号) ,对于第二、四象限为负( x, y 异号) . x 说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。 5.诱导公式 由三角函数的定义,就可知道:终边相同的角三角函数值相同。即有: sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? ,其中 k ? Z . tan(? ? 2k? ) ? tan ? , 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0~2π 间角的三角函数值问题.

③正切值

4-1.2.2 同角三角函数的基本关系
(一)同角三角函数的基本关系式: 1. 由三角函数的定义,我们可以得到以下关系: sin ? (1)商数关系: tan ? ? (2)平方关系: sin 2 ? ? con2? ? 1 con ? 说明: ①注意“同角” ,至于角的形式无关重要,如 sin 2 4? ? cos2 4? ? 1 等; ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如 k? tan ? ? cot ? ? 1(? ? ,k ? Z) ; 2 ③对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用) ,如: sin ? 等。 cos? ? ? 1? sin2 ? , sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? , cos ? ? tan ? 总结: 1. 已知一个角的某一个三角函数值, 便可运用基本关系式求出其它三角函数值。 在求值中, 确定角的终边位置是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解的情况 不止一种。 2. 解题时产生遗漏的主要原因是:①没有确定好或不去确定角的终边位置;②利用平方关 系开平方时,漏掉了负的平方根。 小结:化简三角函数式,化简的一般要求是: (1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最低; (2)尽量使分母不含三角函数式; (3)根式内的三角函数式尽量开出来; (4)能求得数值的应计算出来,其次要注意在三角函数式变形时,常将式子中的“1”作巧 妙的变形,

1.3 诱导公式
1、诱导公式(五) 2、诱导公式(六)
sin( sin(

?

?

2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? cos ?

cos( cos(

?

?

2 2

? ? ) ? sin ? ? ? ) ? ? sin ?

2 总结为一句话:函数正变余,符号看象限 小结: ①三角函数的简化过程图:

任意负角的 三角函数

公式一或三 任意正角的 三角函数

公式一或二或四

00~3600 间角 的三角函数

00~900 间角 的三角函数

查表 求值

②三角函数的简化过程口诀: 负化正,正化小,化到锐角就行了.

1.4.1 正弦、余弦函数的图象
1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法) :为了作三角函数 的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为实数 (1)函数 y=sinx 的图象 第一步:在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ,以 O1 为圆心作单位圆,从这个圆与 x 轴的 交点 A 起把圆分成 n(这里 n=12)等份.把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 n(这里 n=12)等份. (预 备:取自变量 x 值—弧度制下角与实数的对应). ? ? ? 第二步:在单位圆中画出对应于角 0, , , ,?,2π 的正弦线正弦线(等价于“列 6 3 2 表” ).把角 x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正 弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点” ). 第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数 y=sinx,x∈ [0,2π ]的图象.

根据终边相同的同名三角函数值相等, 把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移动, 每次移动的距离为 2π ,就得到 y=sinx,x∈R 的图象. 把角 x ( x ? R) 的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正弦 线的终点的轨迹就是正弦函数 y=sinx 的图象.

(2)余弦函数 y=cosx 的图象

? ? 根据诱导公式 cos x ? sin( x ? ) ,可以把正弦函数 y=sinx 的图象向左平移 单位即得余弦 2 2 函数 y=cosx 的图象.

y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1

y=sinx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx, x∈[0, 2π ]的图象中, 五个关键点是: (0,0) ( 余弦函数 y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是哪几个?(0,1) (
? 3? ,1) (?,0) ( ,-1) (2?,0) 2 2 ? 3? ,0) (?,-1) ( ,0) (2?,1) 2 2

1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一)
1.周期函数定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一 个值时,都有:f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数 的周期。 2? ? 2? ? 问题: (1)对于函数 y ? sin x , x ? R 有 sin( ? ) ? sin ,能否说 是它的周期? 3 6 3 6 (2)正弦函数 y ? sin x , x ? R 是不是周期函数,如果是,周期是多少?( 2k? ,k ? Z 且 k ? 0 ) (3)若函数 f ( x) 的周期为 T ,则 kT , k ? Z * 也是 f ( x) 的周期吗?为什么? (是,其原因为: f ( x) ? f ( x ? T ) ? f ( x ? 2T ) ? ? ? f ( x ? kT ) ) 2、说明: 1?周期函数 x?定义域 M,则必有 x+T?M, 且若 T>0 则定义域无上界;T<0 则定义域无下界; 2?“每一个值”只要有一个反例,则 f (x)就不为周期函数(如 f (x0+t)?f (x0)) 3?T 往往是多值的(如 y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期)周期 T 中最小的正数叫做 f (x)的最小正周期 (有些周期函数没有最小正周期) y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2? (一 般称为周期) 从图象上可以看出 y ? sin x , x ? R ; y ? cos x , x ? R 的最小正周期为 2? ; 判断:是不是所有的周期函数都有最小正周期? ( f ( x) ? c 没有最小正周期)

说明: (1)一般结论:函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , x ? R (其中 A, ? , ? 为 2? 常数,且 A ? 0 , ? ? 0 )的周期 T ? ; ? 1 ? (2)若 ? ? 0 ,如:① y ? 3cos(? x) ; ② y ? sin(?2 x) ; ③ y ? 2sin( ? x ? ) , x ? R . 2 6 则这三个函数的周期又是什么? 2? 一般结论:函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , x ? R 的周期 T ? |? |

1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)
1. 奇偶性 (1)余弦函数的图形 当自变量取一对相反数时,函数 y 取同一值。 (2)正弦函数的图形 2.单调性 ? 3? 从 y=sinx,x∈[- , ]的图象上可看出: 2 2 ? ? 当 x∈[- , ]时,曲线逐渐上升,sinx 的值由-1 增大到 1. 2 2 3? ? 当 x∈[ , ]时,曲线逐渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1. 2 2 结合上述周期性可知: ? ? 正弦函数在每一个闭区间[- +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增大 2 2 3? ? 到 1;在每一个闭区间[ +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 2 2 余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增加到 1; 在每一个闭区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 3.有关对称轴 观察正、余弦函数的图形,可知 ? y=sinx 的对称轴为 x= k? ? k∈Z y=cosx 的对称轴为 x= k? k∈Z 2

1.4.3 正切函数的性质与图象
1.正切函数 y ? tan x 的定义域 2.正切函数是周期函数

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ? ?

? ? ? ? tan ? x ? ? ? ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? , 2 ? ?
? ? ? ∴ ? 是 y ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? 的一个周期。 2 ? ?

? 是不是正切函数的最小正周期?下面作出正切函数图象来判断。
? ? ?? 3.作 y ? tan x , x ? ? ? , ? 的图 ? 2 2?



说明: (1)正切函数的最小正周期不能比 ? 小,正切函数的最小正周期是 ? ; (2)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数 ? 。 y ? tan x x ? R ,且 x ? ? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲线” 2
y
y

3 ? ? 2

?? ?

?
2

O
0

? 2

?

3 ? 2

x
x

(3)正切曲线是由被相互平行的直线 x ? k? ?

?
2

? k ? Z ? 所隔开的无穷多支曲线组成的。

? ? ? 4.正切函数的性质(1)定义域: ? x | x ? ? k? , k ? z ? ; 2 ? ?
(2)值域:R
? ??? 观察:当 x 从小于 k? ? ? ?k ? z ? , x ? ?? k? ? 时, tan x ??

2

2

当 x 从大于 ? ? k? ?k ? z ? , x ? ??
2

?
2

?? ?? 。 ? k? 时, tan x ?

(3)周期性: T ? ? ; (4)奇偶性:由 tan?? x ? ? ? tan x 知,正切函数是奇函数;
? ? ? (5)单调性:在开区间 ? ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。
? 2 2 ?

1.5 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象(二)
二、函数y ? A sin( ?x ? ? ),x ? [0,??)(其中A ? 0, ? ? 0)的物理意义:
函数表示一个振动量时: A:这个量振动时离开平衡位置的最大距离,称为“振幅”. 2? 往复振动一次所需的时 间,称为“周期”. T: T ? ? 1 ? 单位时间内往返振动的 次数,称为“频率” . f :f ? ? T 2?

y 2 1
? 3? 8 7? 8

?x ? ? : 称为“相位” .
? : x=0 时的相位,称为“初相”.

? o
8

x

?2

2.1.1

向量的物理背景与概念及向量的几何表示
a
A(起点) B
(终点)

(一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量。 1、数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示; ②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示;

③用有向线段的起点与终点字母: AB ;④向量 AB 的大小―长度称为向量的模,记作| AB |. 3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,这两个向量就 是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不 同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念: ①长度为 0 的向量叫零向量,记作 0. 0 的方向是任意的. ②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定 0 与任一向量平 行. 说明: (1)综合①、②才是平行向量的完整定义(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c. 注意 0 与 0 的含义与书写区别.

2.1.2
1、相等向量定义:

相等向量与共线向量

长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明: (1)向量a与b相等,记作a=b; (2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关 . .......... 2、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点 ........ 无关) . ... 说明: (1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系; (2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

2.2.1

向量的加法运算及其几何意义

1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 2、三角形法则( “首尾相接,首尾连” ) 如图,已知向量 a、b.在平面内任取一点 A ,作 AB =a, BC =b,则向量 AC 叫做 a 与b的和,记作 a+b,即 a+b ? AB ? BC ? AC ,
a

规定:

a + 0-= 0 + a

a

a C a A + a b b

b a+b b B b a+b

(1)两向量的和仍是一个向量; (2)当向量 a 与 b 不共线时: 当向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向不同向,且| a + b |<| a |+| b |; 当 a 与 b 同向时,则 a + b 、 a 、 b 同向,且| a + b |=| a |+| b |, 当 a 与 b 反向时,若| a |>| b |,则 a + b 的方向与 a 相同,且| a + b |=| a |-| b |; 若| a |<| b |,则 a + b 的方向与 b 相同,且| a +b|=| b |-| a |. (3) “向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到 n 个 向量连加 3.加法的交换律和平行四边形法则 1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应) 2)向量加法的交换律: a + b = b + a 六、备用习题 思考:你能用向量加法证明:两条对角线互相平

分的四边形是平行四边形吗?

2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
1.用“相反向量”定义向量的减法 (1) “相反向量”的定义:与 a 长度相同、方向相反的向量.记作 ?a (2) 规定:零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0 如果 a、b 互为相反向量,则 a = ?b, 即:a ? b = a + (?b) b = ?a, a + b = 0 (3) 向量减法的定义:向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差. 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 向量的减法是向量加法的逆运算: 2.用加法的逆运算定义向量的减法:

若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a ? b 3.求作差向量:已知向量 a、b,求作向量 a ? b ∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a 作法:在平面内取一点 O, 作 OA = a,
a b b a?b B O a

AB = b

则 BA = a ? b

即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量. 注意:1? AB 表示 a ? b. 强调:差向量“箭头”指向被减数

2?用“相反向量”定义法作差向量,a ? b = a + (?b)
B’ a O b B b

?b
a

a+ (?b) b A

B

平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算
1.(1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解;
? (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量

? ? ? ? ? ? ? ? 2.向量的夹角:已知两个非零向量 a 、 b ,作 OA ? a , OB ? b ,则∠AOB= ? ,叫向量 a 、 b

? ? ? ? ? ? ? 的夹角,当 ? =0°, a 、b 同向,当 ? =180°, a 、b 反向,当 ? =90°, a 与 b 垂直,记作 a ⊥ ? b。

3.平面向量的坐标表示 (1)正交分解:把向量分解为两个互相垂直的向量。 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底. 任作一个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得
a ? xi ? yj ????○ 1

我们把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) ????○ 2

其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,○ 2 式叫做向量的坐标表示.与 .a 相 . 等的向量的坐标也为 .........( x, y ) . 特别地, i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) .

如图,在直角坐标平面内,以原点 O 为起点作 OA ? a ,则点 A 的位置由 a 唯一确定. 设 OA ? xi ? yj ,则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的坐标 ( x, y ) 也就是 向量 OA 的坐标.因此, 在平面直角坐标系内, 每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

2.3.3 平面向量的坐标运算
1.平面向量的坐标运算 (1) 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. (2)若 a ? ( x, y) 和实数 ? ,则 ?a ? (?x, ?y) . 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

设基底为 i 、 j ,则 ?a ? ? ( xi ? yj) ? ?xi ? ?yj ,即 ?a ? (?x, ?y) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 (3) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?

AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义
1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ , 则数量|a||b|cos?叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ ≤π ). 并规定 0 向量与任何向量的数量积为 0. (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a×b,而 a?b 是两 个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略, 也不能用“×”代替. (3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0,且 a?b=0,不能推出 b=0.因为其中 cos?有可能为 0. (4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c.但是 a?b = b?c ? a?b = b?c 但a ? c a = c 如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA|,b?c = |b||c|cos? = |b||OA| (5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共 线. 2. “投影”的概念:作图

定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量; 当?为锐角时投影为正值; 当? = 0?时投影为 |b|; 3.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. 两个向量的数量积的性质:设 a、b 为两个非零向量, 当?为钝角时投影为负值; 当? = 180?时投影为 ?|b|. 当?为直角时投影为 0;

1、a?b ? a?b = 0 2、当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|; 特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a 平面向量数量积的运算律: 1.交换律:a ? b = b ? a 证:设 a,b 夹角为?,则 a ? b = |a||b|cos?,b ? a = |b||a|cos? 2.数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) 证:若 ? > 0,( ? a)?b = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?,a?( ? b) = ? |a||b|cos?, 若 ? < 0 , ( ? a)?b =| ? a||b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos? , ? (a?b) = ? |a||b|cos?,a?( ? b) =|a|| ? b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?. 3.分配律:(a + b)?c = a?c + b?c 在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = b, OC = c, 影等于 a、b 在 c 方向上的投影和,即 ∵a + b (即 OB )在 c 方向上的投 即: ∴a ? b = b ? a 当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. |a?b| ≤ |a||b| cos? =
a ?b | a || b |

|a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2, ∴c?(a + b) = c?a + c?b (a + b)?c = a?c + b?c 说明: (1)一般地,(a·b)с ≠a(b·с ) (2)a·с =b·с ,с ≠0 a=b (3)有如下常用性质:a2=|a|2, (a+b) (с +d) =a· с +a· d+b· с +b· d

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、平面两向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 2. 平面内两点间的距离公式 (1)设 a ? ( x, y) ,则 | a | 2 ? x 2 ? y 2 或 | a |? x 2 ? y 2 . (2)如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) , 那么 | a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)

3.向量垂直的判定 设

a ? ( x1 , y1 )



b ? ( x2 , y 2 )





a?b

? x1 x2 ?

4.两向量夹角的余弦( 0 ? ? ? ? ) cos? =
a ?b ? | a |?| b |
x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2

2

2

2.5.1 平面几何中的向量方法
运用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” : (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系.

3.1.1 两角差的余弦公式 两角差的余弦公式: cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ? 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? ?? ? ? ?? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? sin ? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?

? sin ? cos ? ? cos ? sin ? .
sin ?? ? ? ? ? sin ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? ? ? ? cos ? sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
tan ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? . ? cos ?? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

tan ?? ? ? ? ? tan ? ?? ? ? ? ? ?? ??

tan ? ? tan ? ?? ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?
tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

(分式分子、分母同时除以 cos? cos ? ,得到 tan ?? ? ? ? ? 注意: ? ? ? ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z )

将 S(? ?? ) 、 C(? ? ? ) 、 T(? ?? ) 称为和角公式, S (? ?? ) 、 C(? ?? ) 、 T(? ?? ) 称为差角公式。

3.1.3
公式推导:

二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin 2? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos? ? cos? sin ? ? 2sin ? cos? ;

cos 2? ? cos ?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin? sin? ? cos2 ? ? sin 2 ? ;
变形:
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2sin 2 ? ;

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? (1 ? cos2 ? ) ? 2cos2 ? ?1 .
tan 2? ? tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 2 tan ? ? . 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan 2 ?

注意: 2? ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k?

?k ? z?

3.2 简单的三角恒等变换(一)
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于三角变换,由于不同的三角函数式不 仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差 异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角式恒等变换 的重要特点.
sin ? cos ? ? 1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ?; 2?

sin ? ? sin ? ? 2 sin

? ??
2

cos

? ?? .
2

3.2 简单的三角恒等变换(二)
(1) 二倍角公式:
sin 2? ? 2 sin ? cos? , cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? sin 2 ? , 2 tan? tan2? ? . 1 ? tan2 ?

(2)二倍角变式:

2 cos2 ? ? 1 ? 2 cos2? ,2 sin 2 ? ? 1 ? cos2?
(3)三角变形技巧和代数变形技巧 常见的三角变形技巧有

①切割化弦; ②“1”的变用; ③统一角度,统一函数,统一形式等等.


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