用图像变换法画三角函数
y ? A sin(?x ? ? ) ? A ? 0, ? ? 0? 的图像
樟树中学:王 艳
重点:用电脑动态演示函数图像的变换过程,让 学生形象直观地看到各参数对图像的影响, 从而发现和归纳出各种变换法则。
难点:
y ? sin ?x
y ? sin(?x ? ? )
y ? sin(?x ? ? )
y ? sin(x ? ? )
的变换过程.
一、提出问题
问题一: 在同一坐标系中画出 y ? sin( x ?
?
4
) 和 y ? sin( x ?
?
6
) 靠近原点的
一个周期内的图像,并观察它们与 y ? sin x 的图像之间的关系。
1 问题二: 在同一坐标系中画出 y ? sin 2 x 和 y ? sin x 靠近原点的一个 2 周期内的图像,并观察它们与 y ? sin x 的图像之间的关系。
问题三: 在同一坐标系中画出 y ? 2 sin x 和 y ?
周期内的图像,并观察它们与
1 sin x 靠近原点的一个 2 y ? sin x 的图像之间的关系。
二、研究问题
问题一:画 y ? sin( x ?
?
4
?
4
) 和y ? sin( x ?
?
6
)的图像,并观察与 y ? sin x 的图像关系。
y
1
F1
G
y ? sin( x ?
y ? sin x
B1
F B
)
B2
5? C2 4 C 5? 3 E1 3? 2 7? 4
A1
?
A
A2 G2
C1
E
E2
13? 6
?
4
0
?? 64
? 2? 3? 2 3 4
?
7? 6
2?
x
y ? sin( x ?
-1
D1
D
?
6
D2
)
y ? sin x 所有的点向左平移 4 个单位 y ? sin x 所有的点向右平移 6 个单位
一般地, y ? sin x
?
?
y ? sin( x ?
?
y ? sin( x ?
?
4
)
? >0时,向左平行移动 ? 个单位 ? <0时,向右平行移动 ? 个单位
6
)
y ? sin(x ? ? )
y ? sin(x ? ? )?x ? R? 的图像,可看作由 y ? sin x 上所有的点向左或向右平移|? | ? 个单位而得,注意 ? 的正负决定平移方向, | |决定平移大小。
? ? y ? sin 2 x 的图像变换得到 y ? sin( 2 x ? ) 和 y ? sin( 2 x ? ) 变式1:如何由 4 6
的图像?
y
?
4 )
1
7? 12 3? ? 8 2
y ? sin( 2 x ?
y ? sin 2 x
7? 8 13? 12
0
?
?
? ? 8 12 6
?
2?
x
-1
y ? sin 2 x
y ? sin 2 x
所有的点向左平移 所有的点向右平移
?
?
8
y ? sin( 2 x ? ) 6
?
个单位 个单位
?
y ? sin( 2 x ?
?
4
)
)
?
12
y ? sin( 2 x ?
?
6
注意到:
y ? sin( 2 x ? ) ? sin[ 2( x ? )] 4 8
?
一般地: y ? sin ?x
注意:
? ?
向左平移
? 个单位 ?
?
y ? sin( 2 x ? ) ? sin[ 2( x ? )] 6 12
?
y ? sin(?x ? ? )
的大小决定平移量
( ? ? 0)
的正负决定平移方向, ?
变换法则(一)
函数 y ? sin(?x ? ? )的图像,可看作由函数 y ? sin ?x 的图像上
? 个单位而得,注意? 的正负决定 ?
所有的点向左或向右平移
? 平移方向,?
决定平移大小。
问题二:画
1 y ? sin x y ? sin 2 x 和 2
y
y ? sin 2 x
1
的图像,并观察其与 y
? sin x 的图像关系
y ? sin
1 x 2
3? 4?
0
-1
?
2?
x
y ? sin x
y ? sin x
y ? sin x
1 纵坐标不变,横坐标变为原来的 倍 2 纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍
y ? sin 2 x
y ? sin 1 x 2
y 一般地, ? sin x
ω >1时,纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1/ω倍
0<ω <1时,纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1/ω倍
y ? sin ?x
y ? sin ?x( x ? R, ? ? 0) 可以看作由 y ? sin x 上所有的点的纵坐标不 变,横坐标变为原来的 1 倍而得,注意 ? 与1的大小决定是扩大还是缩小。 ?
变式2:如何由 y ? sin( x ?
?
)的图像变换得到 y ? sin( 2 x ? ) 的图像? 6 6
?
y ? sin( x ?
?
y
1
y ? sin( 2 x ? ) 6
?
6
)
? 7? 2 12
?
7? 6 13? 12
3π 2 5? 3
2?
0
-1
? ? 12 6
? 3
2? 5? 3 6
13? 6
x
1 ? y ? sin( x ? ) 纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍 y ? sin( 2 x ? ? )
6
6
1
纵坐标不变,横坐标变为原来的 ? 倍 一般地, y ? sin(x ? ? )
y ? sin(?x ? ? )
(? ? 0)
变换法则(二)
函数y ? sin(?x ? ? ) 可以看作由y ? sin(x ? ? ) 上所有的点
的
1
?
?
倍而得,注意 与1
纵坐标不变,横坐标变为原来的
的
大小决定是扩大还是缩小。
1 问题三:画 y ? 2 sin x和 y ? sin x 的图像,并观察其与 y ? sin x 的关系 2
y
2 1
1 2
1 ? 2 ?1
0
A1
y ? 2 sin x
B
A
B1
? 2
?
3? 2
2?
x
y ? sin x
?2
1 y ? sin x 2
y ? sin x
y ? 2 sin x 1 横坐标不变,纵坐标变为原来的 倍 y ? 1 sin x y ? sin x 2 2
A>1时,横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A倍 0<A<1时, 横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A倍
横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍
一般地, y ? sin x
y ? A sin x
y ? A sin x?x ? R, A ? 0? 可以看作由 y ? sin x 上所有的点,横坐标不变,纵坐标 变为原来的A倍而得。注意 A 与1的大小决定是扩大还是缩小。
变换法则(三)
函数y ? A sin x 可以看作由 y ? sin x 上所有
的 点,横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍而得。 注 意 A与1的大小决定是扩大还是缩小。
y ? sin x 的图像变换到 y ? sin( 2 x ? ? ) 的图像? 综合题:如何由
4
变换一:
? ? ? y ? sin x向左平移 4 个单位 y ? sin( x ? ) 纵坐标不变,横坐标变 y ? sin( 2 x ? ) 4 为原来的 1 倍 4 2
y
1
? y ? sin( 2 x ? ) ? 4 y ? sin( x ? )
4
y ? sin x
?
?
4
?
?0
8
? ? 3? ? 5? 3? 7? 8 4 8 2 8 4 8
?
5? 4
3? 2
7? 4
2?
x
-1
一般地:
y ? sin x
向左平移
? 个单位
y ? sin(x ? ? )
纵坐标不变,横坐标
变为原来的
1
y ? sin(?x ? ? )
?
倍
综合题:如何由 y ? sin x 的图像变换到 y ? sin( 2 x ?
变换二:
?
4
) 的图像?
? 向左平移 个单位 ? 8 y ? sin x 纵坐标不变,横坐标变 y ? sin 2 x y ? sin( 2 x ? ) 为原来的 1 倍 4 2
y
1
? y ? sin( 2 x ? ) 4
y ? sin 2 x
y ? sin x
?
?
4
?
?0
8
? ? 3? ? 5? 3? 7? 8 4 8 2 8 4 8
?
3? 2
2?
x
-1
一般地:
y ? sin x
纵坐标不变,横坐标 1 变为原来的 倍
?
y ? sin ?x ?
向左平移
y ? sin(?x ? ? )
?
个单位
变换法则(四) 由函数 y ? sin x 的图像变换得到函数 y ? sin(?x ? ? )
.
? A ? 0, ? ? 0?
的图像。
变换一:从参数? 入手
纵坐标不变,
y ? sin x ? 个单位
变换二:从参数?入手 变为原来的
向左平移
y ? sin(x ? ? ) 横坐标变为原
来的
1
y ? sin(?x ? ? )
?
倍
1
y ? sin x
?
倍
纵坐标不变,横坐标
y ? sin ?x ? 个 单 位
?
向左平移
y ? sin(?x ? ? )
三、归纳问题 由函数 y ? sin x
.
变换一:从参数? 入手 向左平移
的图像变换得到函数
? A ? 0, x ? R, ? ? 0? 的图像。
? 个单位
y ? A sin(?x ? ? )
y ? sin x
y ? sin(x ? ? )
纵坐标不变,
横坐标变为原 1 来的 倍
横坐标不变,
纵坐标伸长到 原来的A倍
?
y ? sin(?x ? ? )
变换二:从参数?入手
y ? A sin(?x ? ? )
y ? sin x
? ? 个 单 位 纵坐标不变,横坐标
1
向左平移
变为原来的
?
倍
y ? sin ?x
向两边扩展
变换三:从参数 A入手(口述)
四、应用举例及练习
是 y ? sin( x ?
? 例1、若将某函数的图像向右平移 以后得到的图像的函数解析式 2
?
? 3? y ? sin( x ? ) B. ) A. y ? sin( x ? 2 4 ? ? ? y ? sin( x ? ) ? C. y ? sin( x ? ) D. 4 4 4 ? ? 例2、为了得到函数 y ? sin( x ? )的图像,只需将函数 y ? sin( 2 x ? )
的图像上的每个点(
A
4
) ,则原来的函数解析式是( A
)。
)。
5
5
A.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变; 1 B.横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变;
C.纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变; 1 D.纵坐标伸长为原来的 2 倍,横坐标不变。
例3:若函数 f ( x ) ? sin( x ?
?
3
)
图像上每一个点的纵坐标不变,横
坐标伸长到原来的3倍得到函数 h(x) 的图像,再将图像上所有的点向右 平移 6 个单位得到k (x)的图像,最后将图像上每一点的横坐标不变, 纵坐标伸长到原来的3倍得到 g (x ) 的图像 则 g (x ) 的解析式为 g ( x ) ? 3 sin(
?
1 5? x? ) 3 18
归纳:1.函数变换前的解析式;函数变换后的解析式;变换法则三者知其二 能求第三 2.求变换法则时要注意变换方向 3. 多步变换时要按步进行
练习:课本
P52 3
P56 3
五、课堂小结
1、变换法则: y ? sin x
y ? sin(x ? ? )
y ? sin ?x y ? sin x y ? sin x
y ? sin(x ? ? )
y ? sin(?x ? ? )(水平平移变换) y ? A sin x
(上下伸缩变换)
y ? sin ?x
y ? sin(?x ? ? )
(水平伸缩变换)
y ? sin x
y ? sin x
y ? sin(?x ? ? ) y ? A sin(?x ? ? )
2、题型:函数变换前解析式,变换后解析式及变换法则三者知其二能求第三。 注意:两函数名相同,变换方向要明确。
知识拓展
1、要得到函数 y ? cos( x ? 2、若 A ?
0, ? 0 ?
?
3
) 的图像,需将函数 y ? 3 sin 4 x怎样变换?
请学生课后思考!!!
呢?
六、布置作业
P115.
2. 3
谢谢