江西省宜春市高中数学比赛王艳课件：三角函数图像的变化

用图像变换法画三角函数
y ? A sin(?x ? ? ) ? A ? 0, ? ? 0? 的图像

樟树中学：王 艳

重点：用电脑动态演示函数图像的变换过程，让 学生形象直观地看到各参数对图像的影响， 从而发现和归纳出各种变换法则。

难点：

y ? sin ?x

/>y ? sin(?x ? ? )
y ? sin(?x ? ? )

y ? sin(x ? ? )

的变换过程.

一、提出问题
问题一： 在同一坐标系中画出 y ? sin( x ?

?
4

) 和 y ? sin( x ?

?
6

) 靠近原点的

一个周期内的图像，并观察它们与 y ? sin x 的图像之间的关系。

1 问题二： 在同一坐标系中画出 y ? sin 2 x 和 y ? sin x 靠近原点的一个 2 周期内的图像，并观察它们与 y ? sin x 的图像之间的关系。

问题三： 在同一坐标系中画出 y ? 2 sin x 和 y ?

周期内的图像，并观察它们与

1 sin x 靠近原点的一个 2 y ? sin x 的图像之间的关系。

二、研究问题
问题一：画 y ? sin( x ?
?
4

?
4

) 和y ? sin( x ?

?
6

)的图像，并观察与 y ? sin x 的图像关系。

y
1
F1
G

y ? sin( x ?

y ? sin x
B1
F B

)

B2
5? C2 4 C 5? 3 E1 3? 2 7? 4

A1
?

A

A2 G2

C1

E

E2
13? 6

?
4

0

?? 64

? 2? 3? 2 3 4

?

7? 6

2?

x
y ? sin( x ?

-1
D1
D

?
6

D2

)

y ? sin x 所有的点向左平移 4 个单位 y ? sin x 所有的点向右平移 6 个单位
一般地， y ? sin x
?

?

y ? sin( x ?

?

y ? sin( x ?

?

4

)

? ＞0时，向左平行移动 ? 个单位 ? ＜0时，向右平行移动 ? 个单位

6

)

y ? sin(x ? ? )

y ? sin(x ? ? )?x ? R? 的图像，可看作由 y ? sin x 上所有的点向左或向右平移|? | ? 个单位而得，注意 ? 的正负决定平移方向， | |决定平移大小。

? ? y ? sin 2 x 的图像变换得到 y ? sin( 2 x ? ) 和 y ? sin( 2 x ? ) 变式1：如何由 4 6
的图像？

y
?
4 )
1
7? 12 3? ? 8 2

y ? sin( 2 x ?

y ? sin 2 x
7? 8 13? 12

0

?

?

? ? 8 12 6

?

2?

x

-1

y ? sin 2 x
y ? sin 2 x

所有的点向左平移 所有的点向右平移
?

?
8

y ? sin( 2 x ? ) 6

?

个单位 个单位
?

y ? sin( 2 x ?

?
4

)
)

?
12

y ? sin( 2 x ?

?
6

注意到：

y ? sin( 2 x ? ) ? sin[ 2( x ? )] 4 8

?

一般地： y ? sin ?x
注意:
? ?

向左平移

? 个单位 ?
?

y ? sin( 2 x ? ) ? sin[ 2( x ? )] 6 12

?

y ? sin(?x ? ? )
的大小决定平移量

( ? ? 0)

的正负决定平移方向， ?

变换法则（一）
函数 y ? sin(?x ? ? )的图像，可看作由函数 y ? sin ?x 的图像上
? 个单位而得，注意? 的正负决定 ?

所有的点向左或向右平移
? 平移方向，?

决定平移大小。

问题二：画

1 y ? sin x y ? sin 2 x 和 2
y
y ? sin 2 x
1

的图像，并观察其与 y

? sin x 的图像关系

y ? sin

1 x 2
3? 4?

0
-1

?

2?

x

y ? sin x
y ? sin x
y ? sin x

1 纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍 2 纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍

y ? sin 2 x
y ? sin 1 x 2

y 一般地， ? sin x

ω ＞1时，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1/ω倍

0＜ω ＜1时，纵坐标不变，横坐标伸长到原来的1/ω倍

y ? sin ?x

y ? sin ?x( x ? R, ? ? 0) 可以看作由 y ? sin x 上所有的点的纵坐标不 变，横坐标变为原来的 1 倍而得，注意 ? 与1的大小决定是扩大还是缩小。 ?

变式2：如何由 y ? sin( x ?

?

)的图像变换得到 y ? sin( 2 x ? ) 的图像？ 6 6
?
y ? sin( x ?

?

y
1

y ? sin( 2 x ? ) 6

?
6

)

? 7? 2 12

?

7? 6 13? 12

3π 2 5? 3

2?

0
-1

? ? 12 6

? 3

2? 5? 3 6

13? 6

x

1 ? y ? sin( x ? ) 纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍 y ? sin( 2 x ? ? )

6

6

1
纵坐标不变，横坐标变为原来的 ? 倍 一般地， y ? sin(x ? ? )

y ? sin(?x ? ? )

(? ? 0)

变换法则（二）
函数y ? sin(?x ? ? ) 可以看作由y ? sin(x ? ? ) 上所有的点

的

1

?

?
倍而得，注意 与1

纵坐标不变，横坐标变为原来的

的
大小决定是扩大还是缩小。

1 问题三：画 y ? 2 sin x和 y ? sin x 的图像，并观察其与 y ? sin x 的关系 2

y

2 1
1 2
1 ? 2 ?1
0

A1

y ? 2 sin x
B

A

B1

? 2

?

3? 2

2?

x
y ? sin x

?2

1 y ? sin x 2

y ? sin x

y ? 2 sin x 1 横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍 y ? 1 sin x y ? sin x 2 2
A>1时，横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍 0<A<1时， 横坐标不变，纵坐标缩短到原来的A倍

横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍

一般地， y ? sin x

y ? A sin x

y ? A sin x?x ? R, A ? 0? 可以看作由 y ? sin x 上所有的点，横坐标不变，纵坐标 变为原来的A倍而得。注意 A 与1的大小决定是扩大还是缩小。

变换法则（三）
函数y ? A sin x 可以看作由 y ? sin x 上所有
的 点，横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍而得。 注 意 A与1的大小决定是扩大还是缩小。

y ? sin x 的图像变换到 y ? sin( 2 x ? ? ) 的图像？ 综合题：如何由
4
变换一：

? ? ? y ? sin x向左平移 4 个单位 y ? sin( x ? ) 纵坐标不变，横坐标变 y ? sin( 2 x ? ) 4 为原来的 1 倍 4 2

y
1

? y ? sin( 2 x ? ) ? 4 y ? sin( x ? )

4

y ? sin x

?

?
4

?

?0
8

? ? 3? ? 5? 3? 7? 8 4 8 2 8 4 8

?

5? 4

3? 2

7? 4

2?

x

-1

一般地：

y ? sin x

向左平移

? 个单位

y ? sin(x ? ? )

纵坐标不变，横坐标

变为原来的

1

y ? sin(?x ? ? )

?

倍

综合题：如何由 y ? sin x 的图像变换到 y ? sin( 2 x ?
变换二：

?
4

) 的图像？

? 向左平移 个单位 ? 8 y ? sin x 纵坐标不变，横坐标变 y ? sin 2 x y ? sin( 2 x ? ) 为原来的 1 倍 4 2

y
1

? y ? sin( 2 x ? ) 4

y ? sin 2 x

y ? sin x

?

?
4

?

?0
8

? ? 3? ? 5? 3? 7? 8 4 8 2 8 4 8

?

3? 2

2?

x

-1

一般地：

y ? sin x

纵坐标不变，横坐标 1 变为原来的 倍

?

y ? sin ?x ?

向左平移

y ? sin(?x ? ? )

?

个单位

变换法则（四） 由函数 y ? sin x 的图像变换得到函数 y ? sin(?x ? ? )
.

? A ? 0, ? ? 0?

的图像。

变换一：从参数? 入手

纵坐标不变，

y ? sin x ? 个单位
变换二：从参数?入手 变为原来的

向左平移

y ? sin(x ? ? ) 横坐标变为原
来的

1

y ? sin(?x ? ? )

?

倍

1

y ? sin x

?

倍

纵坐标不变，横坐标

y ? sin ?x ? 个 单 位
?

向左平移

y ? sin(?x ? ? )

三、归纳问题 由函数 y ? sin x
.
变换一：从参数? 入手 向左平移

的图像变换得到函数

? A ? 0, x ? R, ? ? 0? 的图像。
? 个单位

y ? A sin(?x ? ? )

y ? sin x

y ? sin(x ? ? )
纵坐标不变，

横坐标变为原 1 来的 倍

横坐标不变，
纵坐标伸长到 原来的A倍

?

y ? sin(?x ? ? )
变换二：从参数?入手

y ? A sin(?x ? ? )

y ? sin x

? ? 个 单 位 纵坐标不变，横坐标
1

向左平移

变为原来的

?

倍

y ? sin ?x

向两边扩展

变换三：从参数 A入手（口述）

四、应用举例及练习
是 y ? sin( x ?

? 例1、若将某函数的图像向右平移 以后得到的图像的函数解析式 2

?

? 3? y ? sin( x ? ) B. ) A. y ? sin( x ? 2 4 ? ? ? y ? sin( x ? ) ? C. y ? sin( x ? ) D. 4 4 4 ? ? 例2、为了得到函数 y ? sin( x ? )的图像，只需将函数 y ? sin( 2 x ? )
的图像上的每个点（
A

4

) ，则原来的函数解析式是（ A

）。

）。

5

5

A.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变； 1 B.横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变；

C.纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变； 1 D.纵坐标伸长为原来的 2 倍，横坐标不变。

例3：若函数 f ( x ) ? sin( x ?

?
3

)

图像上每一个点的纵坐标不变，横

坐标伸长到原来的3倍得到函数 h(x) 的图像，再将图像上所有的点向右 平移 6 个单位得到k (x)的图像，最后将图像上每一点的横坐标不变， 纵坐标伸长到原来的3倍得到 g (x ) 的图像 则 g (x ) 的解析式为 g ( x ) ? 3 sin(

?

1 5? x? ) 3 18

归纳：1.函数变换前的解析式；函数变换后的解析式；变换法则三者知其二 能求第三 2.求变换法则时要注意变换方向 3. 多步变换时要按步进行

练习：课本

P52 3

P56 3

五、课堂小结
1、变换法则： y ? sin x

y ? sin(x ? ? )

y ? sin ?x y ? sin x y ? sin x
y ? sin(x ? ? )

y ? sin(?x ? ? )（水平平移变换） y ? A sin x
（上下伸缩变换）

y ? sin ?x
y ? sin(?x ? ? )
（水平伸缩变换）

y ? sin x

y ? sin x

y ? sin(?x ? ? ) y ? A sin(?x ? ? )

2、题型：函数变换前解析式，变换后解析式及变换法则三者知其二能求第三。 注意：两函数名相同，变换方向要明确。

知识拓展
1、要得到函数 y ? cos( x ? 2、若 A ?
0， ? 0 ?

?
3

) 的图像，需将函数 y ? 3 sin 4 x怎样变换？
请学生课后思考！！！

呢？

六、布置作业

P115.

2. 3

谢谢