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高中数列解题大全


第一讲

数列
姓名: 分数:

知识点一 等差数列与等比数列 (1)等差数列 等差数列的定义: 等差数列的通项: 等差数列的前 n 项和: 等差数列的性质: (2)等比数列等比数列的前 n 项和公式. 等比数列的定义: 等比数列的通项: 等比数列的前 n 项和: 等比数列的性质: 基础过关 1. 等差数列 {a n } 中,已知前 15 项的和 S15 ? 90 ,则 a 8 等于( A. ) . D.6 )

45 2

B.12

C.

45 4

2. 一个三角形的三个内角 A、B、C 成等差数列,那么 tan ? A ? C ? 的值是( A. 3 B. ? 3 C. ?

3 3

D.不确定

3. 若一个凸多边形的内角度数成等差数列,最小角为 100° ,最大角为 140° ,这个凸多边形 的边数为 A.6 ( ) B. 8 C.10 D.12

4. 等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,当首项 a1 与 d 变化时,a2+a8+a11 是一个定值, 则下各数中也为定值的是 ( ) A.S7 B.S8 C.S13 D.S15 5. 在等比数列 {a n } 中,若 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 ?

1 1 1 1 ? ? ?? ,则 =( n a1 a 2 an 3

)

3n A. n 3 ?1

3 n?1 ? 3 B. 4

9 1 ? C. 4 4 ? 3 n? 2

3 n?1 ? 1 D. 4



1



6. 在等差数列 {an } 中, 2(a1 ? a4 ? a7 ) ? 3(a9 ? a11 ) =24,则此数列的前 13 项之和等于 ( ) A.13 B.26 C.52 D.156 )

7.已知数列 {an } 中a1 ? ?60, an?1 ? an ? 3, 则 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ??? | a30 | 等于( A.445 B.765 C.1080 D.3105

8. 已知:等差数列{ an }中, a4 =14,前 10 项和 S10 ? 185 . (1)求 an ; (2)将{ an }中的第 2 项,第 4 项,…,第 2 项按原来的顺序排成一个新数列,求此数 列的前 n 项和 Gn .
n

知识点二 数列通项的求法 1. 公式法 2. 作差法

an ?

?S S ?S
1 n

n ?1

(n ? 1) (n ? 2)

(1)已知 {an } 的前 n 项和满足 log 2 (Sn ? 1) ? n ? 1,求 a n

(2)数列 {an } 满足

1 1 1 a1 ? 2 a2 ? ? ? n an ? 2n ? 5 ,求 an 2 2 2



2



(3)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比数 列{bn}的第二项,第三项,第四项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}对任意自然数 n,均有 求 c1+c2+c3+……+c2006 值.

c c1 c2 c3 ? ? ? ?? ? n ? a n?1 , b1 b2 b3 bn

3. 累加法 an?1 ? an ? f (n) (1)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且对于任意自然数 n,都有 an?1 ? an ? n ,则 a100 =

(2)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案: 则第 n 个图案中有白色地面砖_______________块.



3



4. 累乘法

an ?1 ? f ( n) an
2

(1)已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n an ,求 an

5. 构造法: an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? b ( k , b 为常数) (重点)
n

①已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an

6.倒数法 ①已知 a1 ? 1, an ?

an ?1 ,求 an 3an ?1 ? 1

综合训练 1. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 ? 1 , 且 a1 , a2 , a3 成等差数列. (1)求 c 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)若数列 ?bn ? 是首项为1,公比为 c 的等比数列,记 An ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ,

Sn ?1 n ? c * ? ( c 为常数, c ? 1 , n ? N ) , Sn n

4 Bn ? a1b1 ? a2b2 ??? (?1)n?1 anbn , n ? N* .证明: A2 n ? 3B2 n ? (1 ? 4 n ) . 3



4



2. 已知数列 {an } 满足 a1 ?

a 2a ? 1 1 , 且当n ? 1, n ? N *时, 有 n?1 ? n?1 . 5 an 1 ? 2an

(Ⅰ)求证:数列 {

1 } 为等差数列; an

(Ⅱ)试问 a1a2 是否是数列 {an } 中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.



5



知识点三 数列的求和 1. 分组求和 (1)求数列 1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,…的前 n 项和 Sn.

(2)数列 1 ?

1 1 1 1 , 2 ? , 3 ? , … , n ? n , … 的前 n 项和是 2 4 8 2



2. 列项相消 (1)数列 ?an ? 的通项公式 a n ? A. 98 B. 99

1 n ? n ?1
C. 96

,则该数列的前( D. 97

)项之和等于 9 。

(2)已知数列 1,

,其前 n 项的和等于





6



3. 错位相减 典例精析 (1)设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都 为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13
(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

(2) 已知公差大于零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且满足 a1a6 ? 21 , S 6 ? 66. (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)设 bn ?

an ? 3 ?2 4

an ? 3 4

,求数列 {bn }前n 项和 Tn.



7



(3)将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

a1 a2 a4 a7

a3 a5 a8

a6 a9

a10

……………………… 记表 中的第一列数 a1,a2,a4,a7, ? 构成的数列为 ?bn ? ,b1 ? a1 ? 1 .Sn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,且满足 bn ?

Sn 2 (n ? 2) . Sn ? 2 1 1 1 (1)证明: ? ? (n ? 2) ; Sn Sn?1 2
(2)求数列 ?bn ? 的通项 公式; (3)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比

为同一个正数.当 a94 ? ?

9 时,求上表中第 k ( k ? 3) 行所有项的和. 105



8




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