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3. 立体几何中的最值问题


3. 立体几何中的最值问题(一)
求解立体几何的最值问题主要应用代数中的有关函数知识或不等式有关知识求解。解题 的关键是恰当地引入参变量(一元或二元) ,建立目标函数,然后由表达式的特点求最值;求 曲面上的两点间距离或多面体中的折线的最短长度问题,可考虑展开后转化为平面上两点间 的最短距离问题,然后用通常的解三角形的方法加以解决。 一、面积的最值问题 1. 【 湖南省怀化市 2014 届高三第二次模拟考试统一 检测】在空间中有一棱长为 a 的正四面 体,其俯视图的面积的最大值为( ) A. a
2

a2 B. 2

3a 2 C. 4

a2 D. 4

2. (湖北省荆州市 2013 届高三 3 月质量检测(Ⅱ)数学(理)试题)在半径为 R 的球内有 一内接圆柱,设该圆柱底面半径为 r,当圆柱的侧面积最大时,rR 为 ( ) A.
1 4

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

3. (东北三省三校 2013 年 3 月高三第一次联合模拟)点 A、B、C、D 在同一个球 的球面上, 2 AB ? BC ? 2 , AC ? 2 ,若四面体 ABCD 体积的最大值为 ,则这个球的表面积为( ) 3 125? 25? 25? A. 3 B. 8? C. D. 6 4 16

1

4 . (河北省武邑中学 2013 届高三第一次模拟考试数学(理)试题)如 图,在三棱锥 P ? ABC 中 , PA ⊥底面 ABC ,∠ ACB = 90 ? , AE ⊥ PB 于 E , AF ⊥ PC 于 F , 若 PA ? AB ? 2 ,∠ BPC = ? ,则当 ?AEF 的面 积最大时, tan ? 的值为( ) A.2 B.
1 2

P

E

C. 2

D.

2 2

F A C

B

5.(河南省豫东、豫北十所名校 2012 届高三阶段性测试四理科)已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的外接球的表面积为 16 ,则该长方体的表面积的最大值为( A.32 B.36 C.48 D.64 )

6. (湖南省株洲市 2008 届高三第二次质检)已知三棱锥 P — ABC 的四个顶点均在半径为 1 的 球面上,且满足 PA ? PB ? 0 , PB ? PC ? 0 , PC ? PA ? 0 ,则三棱锥 P — ABC 的侧面积的 最大值为( ) 1 1 A.2 B.1 C. D. 2 4

7. 设圆柱轴截面的对角线长为定值,为使圆柱的侧面积最大,则轴截面的对角线与底面所成 的角为( ) ? ? ? 5? A、 B、 C、 D、 12 6 4 3

2

8. 有一个棱长为 a 的正方体骨架,其内放置一气球,使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球 的形状) ,则气球表面积的最大值为( ) A、 ?a 2 B、 2?a 2 C、 3?a 2 D、 4?a 2

1 9. 已知圆锥的母线长为 l , 底面半径为 R,如果过圆锥顶点的轴截面面积的最大值是 l 2 ,则 2 ( )

A、

R 2 ? l 2

B、

R 2 ? l 2

C、

R 2 ? l 2

D、

R 2 ? l 2

10、如果过圆锥顶点的面积最大的截面是轴截面,则圆锥的侧面展开图的圆心角的取值范围 是( )
? 2 ? ? A、 ? ? 0,2 ? ? ? ?

B、 0,2?

?

?

? 2 ? C、 ? ? 0,2 ? ? ? ?

D、 0,2?

?

?

11. 圆锥的轴截面为正三角形,母线长为 8,圆锥的内接圆柱的高为 h,当内接圆柱的侧面积 最大时,h 的值是( ) A、
4 3 3

B、4

C、 3 3

D、 2 3

3

12. (

在正三棱锥 P-ABC 中, AB=8 , PC= 4 5 ,动点 M ? PC,则?ABM 面积的最小值为 ) A、
24 5

B、 4 37

C、 4 35

D、

16 55 5

13. 【2014 年呼伦贝尔市高考模拟统一考试(二)】设 A、B、C、D 是半径为 2 的球面上的四 点,且满足 AB ? AC, AD ? AC, AB ? AD , S?ABC ? S?ABD ? S?ACD 的最大值是 _______ .

14【东北三省三校 2014 届高三第一次联合模拟】 正四面体 ABCD 的棱长为 4,E 为棱 BC 的 中点,过 E 作其外接球的截面,则截面面积的最小值为 .

答案:1-12

BCCD AABB

CCDD

13. 8; 14. 4?
4

3. 立体几何中的最值问题(二)
二、体积的最值问题 1. (2010 全国卷 2 理数) (9)已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积 最大时,它的高为( A.1 ) B.

3

C.2

D.3

2. (2010 全国卷 1 文理数) (12) 已知在半径为 2 的球面上有 A、 B、 C、 D 四点, 若 AB=CD=2, 则四面体 ABCD 的体积的最大值为( ) A.
2 3 3

B.

4 3 3

C .2 3

D.

8 3 3

3.【湖北省稳派教 育 2014 届高三上学期强化训练(三)数学(理)试题】在三棱锥 P ? ABC 中 , PA, PB, PC 两 两 垂 直 , 且 PA ? 3, PB ? 2, PC ? 1 , 设 M 是 底 面 ?ABC 内 一 点 , 定 义
f (M ) ? (m, n, p) ,其中 m, n, p 分别是三棱锥 M ? PAB ,三棱锥 M ? PBC ,三棱锥 M ? PCA 的
1 1 a 体积,若 f ( M ) ? ( , x, y ) ,且 ? ? 8 ,则正实数 a 的最小值为( 2 x y

) D. 4

A. 1

B. 2

C. 2 2

5

4. 【陕西省西工大附中 2014 届高三第四次适应性训练】已知一个四面体有五条棱长都等于 2,则该四面 体的体积最大值为( 1 A.2 B.1 ) 2 C. 2 D.2

5. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )在棱长为 1 的正方体 点 P1 ,P2 分别是线段 AB ,BD1(不包括端点) 上的动点, 且线段 P 1 P2 ABCD ? A1B1C1D1 中, 平行于平面 A1 ADD1 ,则四面体 PP 1 2 AB 1 的体积的最大值是( ) A.
1 24

B.

1 12

C.

1 6

D.

1 2

6.(河南省十所名校 2013 届高三第三次联考数学(理)试题)四面体 ABCD 中,AD 与 BC 互 相 垂 直 ,AD=2BC=4, 且 AB+BD=AC+CD=2 14 , 则 四 面 体 ABCD 的 体 积 的 最 大 值 是 ( A.4 ) B.2 10 C.5 D. 30

6

7.(吉林省实验中学 2012 届高三第六次模拟理科)已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那 么当该棱锥的体 积最大时,它的高为( A.1 B. 3 ) C.2 D.3

8.(四川省成都市新都一中高 2008 级 12 月月考)已知一个四面体有五条棱长都等于 2,则该 四面体的体积最大值为( ) A、 1 2 B、 2 2 C、1 D、2

9. (2009 湖南师大附中第五次月考)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 A1ABB1⊥BC,且 A1 C与底面成 45°角,AB=BC=2,则该棱柱体积的最小值为 ( ) A. 4 3 B. 3 3 C.4

D. 3

10.【湖南省衡阳市八中 2014 届高三上学期第三次月考试卷数学(理) 】在三棱锥 D-ABC 中, 已知 BC 丄 AD,BC=2 ,AD=6,AB+BD=AC+CD=10,则三棱锥 D 一 ABC 的体积的最大值是 __________.

7

11. 【山东省东营市高三 4 月统一质量检测】已知直角梯形 ABCD, AB ? AD , CD ? AD ,
AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 ,沿 AC 折叠成三棱锥,当三棱锥体积最大时,三棱锥外接球的体积





12.【2012 高考真题上海理 14】如图, AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互 相垂直的棱, BC ? 2 ,若 AD ? 2c ,且 AB ? BD ? AC ? CD ? 2a ,其 中 a 、 c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最大值是 。

13.(河南省焦作市 2013 届高三第一次模拟考试数学 (理) 试题) 已知正四棱住 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长 AB=6,侧棱长 AA1=2 7 ,它的外接球的球心为 O,点 E 是 AB 的中点,点 P 是 球 O 上任意一点,有以下判断: (1)PE 的长的最大值是 9; (2)三棱锥 P-EBC 体积的最大值是
32 3

(3)存在过点 E 的平面,截球 O 的截面面积是 9 ? ; (4)三棱锥 P-AEC1 体积的最大值是 20 其中判断正确的序号是_______

答案:1-9 CBABA ACCC

10. 2 15 ; 11.

4? 2 ; 12. c a 2 ? c 2 ? 1 ; 13. ①③④ 3 3
8

3. 立体几何中的最值问题(三)
三、距离和长度的最值问题 1. (2009 全国卷Ⅰ理)已知二面角α -l-β 为 60o ,动点 P、Q 分别在面α 、β 内,P 到β 的距离为 3 ,Q 到α 的距离为 2 3 ,则 P、Q 两点之间距离的最小值为( A. 2 B.2 C. 2 3 D.4 )

2. 【辽宁 省五校协作体 2014 届高三上学期期中考试理】棱长均为 3 三棱锥 S ? ABC ,若 空间一点 P 满足 SP ? x SA ? y SB ? z SC ( x ? y ? z ? 1) 则 SP 的最小值 为( A. 6 B、
6 3

) D、 1

C、

3 6

3. 【台州市 2013 学年第一学期高二年级期末质量评估试题】 如 图,空间直角坐标系 Oxyz 中,正三角形 ABC 的顶点 A , B 分别 在 xOy 平面和 z 轴上移动. 若 AB ? 2 , 则点 C 到原点 O 的最远距 离为 A. 3 ?1 B. 2 C. 3 ? 1
O B C z

D. 3
A x

y

第 13 题图

9

4 . (河北省武邑中学 2013 届高三第一次模拟考试数学 (理) 试题) 某几何体的一条棱长为 7, 在该几何体的正视图中 ,这条棱的投影是长为 6的线段,在该几何体的侧视图与俯视图 中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为( A.2 2 B.2 3 C.4 D.2 5 )

5.(浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校 2013 届高三回头考联考数学(理)试题 )棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 在空间直角坐标系中移动 ,但保持点 A.B 分 别在 x 轴、y 轴 上移动,则点 C1 到原点 O 的最远距离为( A. 2 2 B. 2 3 ) C.5 D.4

6. 【 湖 北 省 部 分 重 点 中 学 2012 届 高 三 起 点 考 试 】 已 知 在 ?ABC 中 , ?A C B? 9?0,
BC ? 3,AC ? 4 . P 是 AB 上的点,则点 P 到 AC,BC 的距离的积的最大值是(

)

A. 2

B.3

C.

3 3 2

D. 3 2

7. (湖北省黄冈中学 2008 届高三第一次模拟考试)点 P 在直径为 6 的球面上,过 P 作两两互 相垂直的三条弦(两端点均在球面上的线段) ,若其中一条弦长是另一条弦长的 2 倍,则 这三条弦长之和的最大值是( ) A.6 B.
4 3 5

C.

2 21 5

D.

2 105 5

10

8. (河南省许昌市 2008 年上期末质量评估)若点 A、B、C 是半径为 2 的球面上三点,且 AB =2,则球心到平面 ABC 的距离最大值为 A. 2 2 B. 3 2 C. 2 D. 3

9. (山西大学附中 2008 届二月月考)平面 ? 、 ? 、 ? 两两互相垂直,点 A ?? ,点 A 到 ? 、 ? 的 距离都是 3,P 是 ? 上的动点,P 到 ? 的距离是到点 A 距离的 2 倍,则点 P 的轨迹上的点 到 ? 的距离的最小值是 A. 3 ? 3 B. 3 ? 2 3 C. 6 ? 3 D. 3

10. 【四川省成都七中高 2014 届高三“一诊”模拟考试数学(理) 】已知正四面体 ABCD 的 棱长为 1, M 为 AC 的中点,P 在线段 DM 上,则 ( AP ? BP)2 的最小值为_____________;

11.【陕西省咸阳市范公中学 2014 届高三上学期摸底考试数学】在单位正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的面对角线 A1B 上存在一点 P 使得 AP ? D1P 最短,则 AP ? D1P 的最小值 .

11

12. (2013 年高考北京卷(理) )如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中 点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为__________.

13. (四川省成都市高中数学 2009 级九校联考)正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中棱长为 a ,点 E 为
M ? M E 最小, 在对角面 BB1DD1 上取一点 M , 使A 其最小值为 AA1 的中点,



2? ,在面 ? 内, AB ? ? 于 B,AB=2,在面 ? 内,CD ? ? 于 3 D,CD=3,BD=1,M 是棱 a 上的一个动点,求 AM+CM 的最小值.

14. 二面角 ? ? AB ? ? 的平面角为

答案:1-9 CACCD

BDBA

10. 1 ?

6 ; 11. 3
12

2 ? 2 ;12.

3 2 5 ; 13. a ;14. 2 5

26


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