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高中数学立体几何教学研究


高中数学“立体几何”教学研究
一 . “立体几何”的知识能力结构 高中的立体几何是按照从局部到整体的方式呈现的,在必修 2 中,先从对空间几何体的整体认识入手,主通过直观感 知、操作确认,获得空间几何体的性质,此后,在空间几何体的点、直线和平面的学习中,充分利用对模型的观察,发现 几何体的几何性质并通过简单的“推理”得到一些直线和平面平行、垂直的几何性质,从微观上为进一

步深入研究空间几 何体做了必要的准备.在选修 2-1 中,首先引入空间向量,在必修 2 的基础上完善了几何论证的理论基础,在此基础上对空 间几何体进行了深入的研究. 首先安排的是对空间几何体的整体认识,要求发展学生的空间想像能力,几何直观能力,而没有对演绎推理做出要求. 在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中,以长方体为模型,通过说理(归纳出判定定理,不证明)或简 单推理进行论证(归纳并论证明性质定理), 在“空间向量与立体几何”的学习中,又以几何直观、逻辑推理与向量运算相结合,完善了空间几何推理论证的理论 基础,并对空间几何中较难的问题进行证明. 可见在立体几何这三部分中,把空间想像能力,逻辑推理能力,适当分开,有所侧重地、分阶段地进行培养,这一编 排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力,同时降低学习立体几何的门槛,同时体现了让 不同的学生在数学上得到不同的发展的课标理念. 二. “立体几何”教学内容的重点、难点 1.重点: 空间几何体的结构特征:柱、锥、台、球的结构特征的概括; 空间几何体的三视图与直观图:几何体的三视图和直观图的画法; 空间几何体的表面积与体积:了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式; 空间点、直线、平面的位置关系:空间直线、平面的位置关系; 直线、平面平行的判定及其性质:判定定理和性质定理的归纳; 直线、平面垂直的判定及其性质:判定定理和性质定理的归纳. 2.难点: 空间几何体结构特征的概括:柱、锥、台球的结构特征的概括; 空间几何体的三视图与直观图:识别三视图所表示的几何体; 空间点、直线、平面的位置关系:三种语言的转化; 直线、平面平行的判定及其性质:性质定理的证明; 直线、平面垂直的判定及其性质:性质定理的证明. 三.空间几何体的教学要与空间想象能力培养紧密结合

空间几何体的教学要注意加强几何直观与空间想象能力的培养,在立体几何的入门阶段,建立空间观念,培养空间想 象能力是学习的一个难点,要注重培养空间想象能力的途径,例如: ①注重模型的作用,让学生动手进行模型制作,培养利用模型解决问题的意识与方法. ②培养学生的画几何图形能力,画图不是描字模(只模仿),而是要边画边思考所画图与实际几何体的对应关系. ③空间想象不是简单的观察、空想,应与概念思辨相结合(前面已经谈到). ④发挥三视图与直观图培养空间想象能力的作用, 利用空间几何体的三视图与直观图的转化过程,可以使学生认识到: 空间图形向平面图形的转化有利于分析和表示较为复杂的空间图形;变换观察视角对空间几何体进行观察可以更容易理解 较为复杂的空间图形,把握空间图形中元素之间的关系. 四.加强对概念、定理的理解与把握的教学 ①用图形辅助理解概念、定理和性质 例如,我们可以按照推理的类别,用图形刻画几何元素的关系,可以避免死记硬背文字和符号的机械式学习,更容易 理解公理、定理、性质等的几何本质,发现问题图形中的元素关系关系.让学生对照图形叙述相关定理或性质,特别要求对 定理或性质的使用条件加以说明.例如,用图形表示平行关系

例如,用图形表示垂直关系

②强化证明的言必有据 所谓“言必有据”,是指每一步推理的根据(即三段论推理的大前提)必须是课本中给出的公理、定义、定理,不可 以自造理由,不可以随意将习题的结论作为根据,不可以把平面几何结论在立体几何中不加证明地随意使用. 不仅在文字语言和符号语言的推理中,要言必有据,在几何作图中也是如此,因为几何作图是几何推理的特珠形式. 立体几何作图也必须步步有据. ③梳理推理依据 例如,从确定平行、垂直关系梳理推理依据(如图),在解决问题时由图形中寻找依据.把推理依据转化为系列图形纳 入立体几何的学习中,用图形归纳立体几何知识,串联立体几何推理的思路,形成对图思考,以图交流,使得逻辑推理与 几何直观有机整合,提高了学生的空间想象能力和推理论证能力.

五. 总结《课程标准》与高考对“立体几何初步专题”的要求 《课程标准》对“立体几何初步专题”的要求 (1)空间几何体 ①利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特 征描述现实生活中简单物体的结构. ②能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立 体模型,会使用材料(如:纸板)制作模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. ③通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. ④完成实习作业,如画出某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). ⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式). (2)点、线、面之间的位置关系 ①借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义,并 了解如下可以作为推理依据的公理和定理: ◆公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. ◆公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. ◆公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ◆公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. ◆定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行、 垂直的有关性质与判定. 通过直观感知、操作确认,归纳出以下判定定理: ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. ◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直. ◆一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直. 通过直观感知、操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明: ◆一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行. ◆两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行. ◆垂直于同一个平面的两条直线平行.

◆两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. ③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 高考对“立体几何初步专题”的要求 (1)空间几何体 ①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ②能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立 体模型,会用斜二测法画出它们的直观图. ③会用平行投影与中心投影两种方法,画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. ④会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). ⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式). (2)点、直线、平面之间的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ◆公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点在此平面内. ◆公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. ◆公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ◆公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. ◆定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 理解以下判定定理. ◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明. ◆如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行. ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. ◆垂直于同一个平面的两条直线平行. ◆如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.


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