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辽宁版2016届高三上学期第二次月考 数学(文)


第二次月考数学文试题【辽宁版】
第Ⅰ卷(共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.若集合 A ? {x | x ? 0} ,且 A ? B ? B ,则集合 B 可能是 A. {1,2} B. {x | x ? 1} C. {?1,0,1} D. R

2.下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? sin( 2 x ? C. y ? sin( 2 x ? 3.已知

?
3

对称的是

? ?
6

) ) D. y ? sin( 2 x ?

B. y ? sin( 2 x ?

?
3

)

?
6

3

)

1 1 ? ? 0 ,则下列结论错误的是 a b b a 2 2 2 2 A. a ? b B. ? ? 2 C. ab ? b D. lg a ? lg ab a b 4.规定 a ? b ? ab ? 2a ? b  , a、b ? R? ,若 1 ? k ? 4 ,则函数 f ( x) ? k ? x 的值域 7 7 A. (2, ??) B. (1,??) C. [ , ??) D. [ , ??) 8 4 1 1 1 5.设命题 p : 函数 y ? 在定义域上为减函数; 命题 q : ?a, b ? (0, ??) ,当 a ? b ? 1 时, ? ? 3 , 以 a b x
下说法正确的是 A. p ? q 为真 B. p ? q 为真 C. p 真 q 假 D. p , q 均假

6.若向量 a 、 b 满足 a ? b ? (2,?1) , a ? (1,2) , 则向量 a 与 b 的夹角等于

?

?

?

?

?

?

?

A. 45

?

B. 60

?

C. 120

?

D. 135

?

7.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的 函数是 A. f ? x ? ? C. f ? x ? ?

x x

B. f ? x ? ? ln D. f ( x) ?

?

x2 ? 1 ? x

?

e x ? e? x e x ? e? x

1? x2 | x ?3| ? | 4? x |

8.已知锐角 ? 且 5? 的终边上有一点 P(sin(?500 ), cos1300 ) ,则 ? 的值为 A. 8
0

B. 44

0

C. 26

0

D. 40

0

9.下列命题正确的个数是 ①“在三角形 ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A ? B ”的否命题是真命题; ②命题 p : x ? 2 或 y ? 3 ,命题 q : x ? y ? 5 则 p 是 q 的必要不充分条件; ③“ ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”. A.0 B.1 C.2 D.3 10.已知锐角 A, B 满足 2 tan A ? tan(A ? B) ,则 tan B 的最大值为 A. 2 2 11.已知函数 f ( x) ? ? B.

2

C.

2 2

D.

2 4

?sin ? x (0 ? x ? 1) ? , 若 a、b、c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 log x x ? 1 ? ? ? 2014 ?
D.[2,2015]

a ? b ? c 的取值范围是
B. (1,2015) C. (2,2015) 10ln x ?1 12.下列四个图中,函数 y ? 的图象可能是 x ?1 A. (1,2014)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分

13. 已知 | a |? 2 , | b |? 3 , a, b 的夹角为 60 ,则 | 2a ? b |? ___________.
?

?

?

? ?

?

?

?a x , x ? 0, 1 1 14.设 a ? cos 420 ,函数 f ( x) ? ? ,则 f ( ) ? f (log 2 ) 的值等于 . 4 6 ?log a x, x ? 0, ? 15. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 C ? , a ? 1 , b ? 3 ,则 6
?

B ? ____________.

? x ? 1, ? 16.实数 x, y 满足 ? y ? a ( a ? 1), 若目标函数 z ? x ? y 的最大值为 4,则实数 a 的值为 ? x ? y ? 0, ?
. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知 ? 为锐角,且 tan( (Ⅰ)求 tan ? 的值; (Ⅱ)求

?
4

??) ? 2 .

sin 2? cos ? ? sin ? 的值. cos 2?

18. (本小题满分 12 分) 已知幂函数 f ( x) ? (m ?1)2 xm
2

?4m?2

在 (0, ??) 上单调递增,函数 g ( x) ? 2x ? k .

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)当 x ? [1, 2] 时,记 f ( x ) , g ( x) 的值域分别为集合 A, B ,若 A ? B ? A ,求实数 k 的取 值范围.

20.(本小题满分 12 分)
2 2 已知函数 f ( x) ? lg[(a ? 1) x ? (a ? 1) x ? 1] ,设命题 p :“ f ( x) 的定义域为 R ”;

命题 q :“ f ( x) 的值域为 R ” . (Ⅰ)分别求命题 p 、 q 为真时实数 a 的取值范围; (Ⅱ) ? p 是 q 的什么条件?请说明理由.

21.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 C ? (Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)若 c ? a ? 5 ? 10 ,求 ?ABC 的面积.

3 5 . ? , sin A ? 4 5

22.(本小题满分 12 分)
2 2 2 x 已知函数 f ? x ? ? ?ax ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e (其中 a ? R ).

?

?

(Ⅰ)若 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,解不等式 f ? x ? ? ? x ? 1? ?

?1 2 ? x ? x ? 1? . ?2 ?

参考答案

1 2 2 ,所以 cos ? ? 3sin ? ,又 sin ? ? cos ? ? 1 , 3 1 2 所以 sin ? ? ,…………………9 分 10 10 又 ? 为锐角,所以 sin ? ? , 10 sin 2? cos ? ? sin ? 10 所以 .…………………10 分 ? cos 2? 10
因为 tan ? ? 18.解: (Ⅰ)依题意得: (m ?1) ? 1, ? m ? 0 或 m ? 2
2

当 m ? 2 时, f ( x) ? x 在 (0, ??) 上单调递减,与题设矛盾,舍去

?2

∴ m ?0.

……………5 分

(Ⅱ)当 x ? [1, 2] 时, f ( x ) , g ( x) 单调递增,∴ A ? [1, 4], B ? [2 ? k , 4 ? k ] ,

? A ? B ? A ,∴ B ? A ,∴ ?

?2 ? k ? 1 ? 0 ? k ?1. ?4 ? k ? 4

……………12 分

b = cos x ? 3 sin x ? 19. (Ⅰ) f ( x) ? a·

1 3 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) . 2 2 2 6
……………4 分 时,解得 k? ?

当 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

?
6

? x ? k? ?

?
3



? f ( x) ? sin( 2 x ?
(Ⅱ) 当x ? [0,

?
6

) 的单调递增区间为 [k? ?

?
6

, k? ?

?
3

]( k ? Z ) .
6 , 6

……………8 分 . ]上的图像知,

?
2

]时, (2 x ?

?
6

) ? [-

? 5?
6 , 6

],由标准函数 y ? sin x在[-

? 5?

f ( x) ? sin( 2 x ?

?

? ? 1 ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2
……………12 分

1 ? ?? 所以,f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 1, ? . ? 2? 2

20.解:(Ⅰ)命题 p 为真,即 f ( x) 的定义域是 R ,等价于 (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 恒成立,

?a 2 ? 1 ? 0, 等价于 a ? ?1 或 ? 2 2 ?Δ ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0.
解得 a ? ?1 或 a ?

5 5 .∴实数 a 的取值范围为 (?? , ? 1] ? ( , ? ?) 3 3

……………4 分

命题 q 为真,即 f ( x) 的值域是 R , 等价于 u ? (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1 的值域 ? (0 , ? ?) ,

?a 2 ? 1 ? 0, 等价于 a ? 1 或 ? 2 2 ?Δ ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0.
解得 1 ? a ?

5 5 .∴实数 a 的取值范围为 [1 , ] 3 3
5 3 5 3

……………8 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知, ? p : a ? (?1 , ] ; q : a ? [1 , ] .

[1 , ] ,∴ ? p 是 q 的必要而不充分的条件 而 (?1 , ] ? 3 ? 3
21. 解: (1)因为 C ?

5

5

……………12 分

3 5 ? , sin A ? 4 5 2 5 2 所以 cos A ? 1 ? sin A ? 5 ? 由已知得 B ? ? A . 4 ? ? ? 所以 sin B ? sin( ? A) ? sin cos A ? cos sin A 4 4 4 2 2 5 2 5 10 ? ? ? ? ? ……………………………………………………6 分 2 2 2 5 10 3? 2 10 (2)由(1)知 C ? 所以 sin C ? 且 sin B ? . 4 2 10 a sin A 10 由正弦定理得 ? . ? c sin C 5 又因为 c ? a ? 5 ? 10 ,所以 c ? 5, a ? 10 .
所以 S ?ABC ?

1 1 10 5 ac sin B ? 10 ? 5 ? ? 2 2 10 2

………………………………12 分

2 2 22. (Ⅰ)因为 f ? x ? ? ?ax 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e x

?

?

2 2 2 2 2 ? x ? f ? ? x ? ? ?2ax ? ? a ? 1? ? e x ? ?ax 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e x ? ? ?ax ? ? a ? 1? x ? a ? e ? ? ? ?

因为 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,所以由 f ? ? 0? ? ae0 ? 0 ,解得 a ? 0 检验,当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? xex ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,故 a ? 0 . (Ⅱ) 当 a ? 0 时,不等式 f ? x ? ? ? x ? 1? ? 整理得 ? x ? 1? ?e x ? ? ……………4 分

?1 2 ? ?1 ? x ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? e x ? ? x ? 1? ? x 2 ? x ? 1? , ?2 ? ?2 ?

? ?

?1 2 ?? x ? x ? 1? ? ? 0 , ?2 ??

?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 ? ? 即? x ?1 2 或? x ? 1 2 ? ? ?e ? ? 2 x ? x ? 1? ? 0 ?e ? ? 2 x ? x ? 1? ? 0 ? ? ? ? ? ?
令 g ? x? ? e ? ?
x

?1 2 ? x ? x ? 1? , h ? x ? ? g? ? x ? ? ex ? ? x ? 1? , h? ? x ? ? ex ?1 , ?2 ?

当 x ? 0 时, h? ? x ? ? ex ?1 ? 0 ;当 x ? 0 时, h? ? x ? ? ex ?1 ? 0 , 所以 h ? x ? 在 ? ??,0? 单调递减,在 (0, ??) 单调递增,所以 h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,即 g? ? x ? ? 0 , 所以 g ? x ? 在 R 上单调递增,而 g ? 0 ? ? 0 ; 故e ??
x

?1 2 ? ?1 ? x ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 ; e x ? ? x 2 ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 , 2 ? ? ?2 ?

所以原不等式的解集为 x x ? 0或x ? 1 .

?

?

……………12 分


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