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高中数学选修4-4第二讲一(1)


第二讲 参数方程

在过 去的学习中我们已经掌 握了一些求 曲线方程的方法在求某些曲线方程时直 . , 接确定曲线上点的坐标 , y的关系并不容 x 易, 但如果利用某个参数作 为联系它们的 桥梁, 那么就可以方便地得出 坐标 x, y 所 要适合的条件即参数可以帮助我们得 , 出 曲线的方程f ? x, y ? ? 0.下面我们就来研究 求曲线参数方程的问题 .

一 曲线的参数方程

1. 参数方程的概念

探究 如图 2 ? 1 , 一架 救援飞机离地面 m 500 高处以 m / s的速度 100 作水平直线飞行 .为使
图2 ? 1

投放的救援物资准确 落于灾区指定地面不 ( 计空气阴力 飞行员应 ), 如何确定投放时机呢 ?

动画模拟投 放物资过程 .

如图2 ? 2, 设飞机在点A y v ? 100m/s 将物资投出机舱在经过 500 . A 飞行航线 ?直线? 且垂直 M 于地平面的平面上建立 直角坐标系 其中x 轴为 , O x 图2 ? 2 地平面与这个平面的交 线 , y 轴经过点 A. 记物资投出机舱时为时 0, 在时刻t时物资的位 刻 置为点M ? x, y ?, 则x表示物资的水平位移 y表示 , 物资距地面的高度 .由水平位移x与高度 y是由两 种不同的运动得到的所以建立x, y 所要满足的 , 关系式并不容易 .

换个角度看问题 .

y

v ? 100m/s
500

A 由物理知识, 物资投出机 M 舱后, 它的运动是下列两 种运动的合成: O x 沿Ox方向以100m / s的速 图2 ? 2 度作匀速直线运动 ; 沿Oy的反方向作自由落体运 . 动 物资出舱后 在时刻t ,它在水平方向的位移量 ? , x 1 2 100t , 离地面的高度 ? 500? gt , 即 y 2 x ? 100t 2 ① g是重力加速度 g ? 9.8m / s . 1 y ? 500 ? g t 2 2

?

?

v ? 100m/s 在t的取值范围内给定t 一个 500 , A 值,由①可以 惟一确定 x, y 的 M 值 .也 就 是说 ,当 t 确定时 , 点 M ? x, y ?的位置就惟一确定了 . O x 比如,当t ? 6s时, x ? 600m, y ? 图2 ? 2 324m, 即物资水平位移量为 m, 高度约为 m. 600 324 1 2 救援物资落地时 , 应有 y ? 0, 即500 ? gt ? 0, 2 ① 解得t ? 10.10s, 把t ? 10.10代入 , 得到x ? 1010 . m 所以, 飞行员在离救援点的水 平距离约为 1010m时 投放物资, 可以使其准确落在指定 地点. 由上所述,由①可以确定物资投放后每 一个时刻的 位置, 还可以确定物资投放时 . 机

y

一般地, 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意 , 一点的坐标x, y都是某个变数t的函数 x ? f ?t ? , ② 并且对t的每一个允许值由方程组 , y ? g ?t ? , ② 所确定的点M ? x, y ? 都在这条曲线上, 那么方 程 ② 就叫做这条曲线的参数方程 联系变数 x, y , 的变数t , 叫做 参变数, 简称 参数相对参 数方程 . 而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做 普 通方程. 参数是联系变数x, y的桥梁, 可以是一个物理意 义或几何意义的变数, 也可以是没有明显实际 意义的变数.

例1 已知曲线的参 x ? 3t, 数方程是 2 y ? 2 t ? 1. ?t 为参数?.

t ? 0, 所以M1在曲线C上. 把点M 2的坐标?5,4 ?代入 方程组, 得

?1? 判断点 M 1 ?0,1? , M 2 ?5,4 ?与曲线C的位

5 ? 3t, 4 ? 2 t 2 ? 1, 这个方程组无解 故点 , M 3不在曲线C上.

置关系 . ?2?已知点M 3 ?6, a ?在曲 线C上, 求a的值.
解 ?1?把点M 1的坐标 ?0,1?代入方程组, 解得

?2?因为点M 3 ?6, a ?在曲线
C上, 所以

6 ? 3t,

a ? 2 t 2 ? 1. 解得 t ? 2, a ? 9, 故a ? 9.


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