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北大附中深圳南山分校高中部2012届高二下学期第一次月考(文数)


北大附中深圳南山分校高中部 2012 届高二下学期第一次月考 文数
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 6 分,满分 72 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的). 1、根据二分法原理求解方程 x2-2=0 得到的算法框图可称为 A.工序流程图 B.程序框图 C.知识结构图 D.组织结构图 2、下列两个变量具有相关关系的是 A.正方体的体积与

它的边长 C.人的身高与体重 3、下列命题中正确的是 A.任意两复数均不能比较大小 C.虚轴上的点表示的是纯虚数 B.匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 D.人的身高与视力 B.复数 z 是实数的充要条件是 z = z D. i+1 的共轭复数是 i-1

4、已知复数 z=-1+i,则 z 在复平面内对应的点在第几象限 A.一 B.二 C.三 D.四 5、“猿用肺呼吸,猫用肺呼吸,象用肺呼吸,所以一切哺乳动物都用肺呼吸”.此推理方法 是 A.完全归纳推理 B.归纳推理 C.类比推理 D.演绎推理 6、我们把 1,4,9,16,25,…这些数 … 称为正方形数,这是因为这些数目的点 可以排成正方形,则第 n 个正方形数是 1 4 9 16 25 A.n(n-1) B.n(n+1) C.n2 D.(n+1)2 7、(2011 湖南高考)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的 列联表: 男 女 总计 2 40 20 60 n(ad ? bc) 爱好 由 K2 ? , 20 30 50 不爱好 (a ? b)(c ? d)(a ? c)(b ? d) 60 50 110 总计 110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 20) 2 算得 K 2 ? ? 7.8 . 附表: 60 ? 50 ? 60 ? 50 2 0.050 0.010 0.001 参照附表,得到的正确结论是 P(K ≥k) k 3.841 6.635 10.828 A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提 下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关” 8、如果用 C,R 和 I 分别表示复数集,实数集和纯虚数集,其中 C 为全集,那么有 A.C=R∪I B.R∩I={0} C.?UR=C∩I D. R∩I=? 2 9、已知集合 A={x|x=a+(a -1)i,a∈R, 开 始 i 是虚数单位},若 A?R,则 a= A.0 B.1 输入n,m C.-1 D.±1 k=1,p=1 p=p(n-m+k) k<m? k=k+1 是

10、如果执行如图的程序框图,输入 n=6, m=4,那么输出的 p 等于 A.720 B.360 C.240 D.120 11、复数 z1=a+i,z2=-2+i,如果|z1|<|z2|, 则实数 a 的取值范围是 A.a>0 B.a>2 C.-2<a<2 D.a<-2 或 a>2 12、i 是虚数单位,若 A.-15

1 ? 7i ? a ? bi (a,b∈R),则乘积 ab 的值是 2?i
C.3 D.15

B.-3

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 11、把两条直线的位置关系 M 填入下图中的 M,N,E,F 中, 两条直线的位置关系 顺序较为恰当的是________. N ①平行 ②垂直 ③相交 ④斜交 12、已知(x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x,y∈R,求 x+y=______.

E

F

13、平面直角坐标系下直线的方程为 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0),请类比空间 .. 直角坐标系下平面的方程为_____________________________. .. 14、观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个 等式为______________________________. 15、i+i2+i3+……+i2012= . 2 16、若 3+2i 是关于 x 的方程 2x +px+q=0 的一个根,则 q 的值是_______.

参考答案
一、选择题答案表: 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 C 5 B 6 C 7 C
2

8 D

9 D

10 B

11 C

12 B

1、解:利用程序框图中的循环结构可以求 x -2=0 的近似值,故选择 B. 2、解:正方体的体积与它的边长,匀速行驶的车辆的行驶距离与时间两个变量具有函数关 系; 而人的身高与体重两个变量是具有相关关系; 人的身高与视力两个变量不具有相关关系, 故选择 C. 3、解:任意两复数均不能比较大小是错误的;虚轴上的点表示的是纯虚数也是错误的;i+1 的共轭复数是 i-1 也是错误的;而复数 z 是实数的充要条件是 z = z 是正确的,故选择 B. 4、解:z=-1+i 的共轭复数 z =-1+i,在复平面内, z 对应的点的坐标为 (-1,-1),在第三象限,故选择 C. 5、解:由“猿、猫、象”三种特殊哺乳动物用肺呼吸推理出一切哺乳动物都用肺呼吸,是 从特殊到一般的归纳推理,故选择 B. 6、解:由图可得第一个到第 n 个图形对应的正方形数是 1,22,32,…,n2, 故选择 C. 7、解:因为 K2≈7.8≥6.635,而 P(K2≥6.635)=0.010,故由独立性检验的意义可知,相关的概 率大于 1-0.010=0.99,故选择 C. 8、 如果用 C, 和 I 分别表示复数集, 解: R 实数集和纯虚数集, 其中 C 为全集, 那么有 R∩I=?, 故选择 D. 9、解:∵A?R,∴x=a+(a2-1)i 中 a2-1=0,∴a=± 1,故选择 D. 10、解:考查认识流程图以及判断流程图输出的结果. 列出每一次输出的结果:第一次循环:p=1× (6-4+1)=3,再进行循环; 第二次循环:k=2,p=3× (6-4+2)=12,再进行循环; 第三次循环:k=3,p=12× (6-4+3)=60,再进行循环; 第四次循环:k=4,p=60× (6-4+4)=360,结束循环,所以 p=360, 故选择 B. 11、 选 C.由于|z1|= a 2 ?1 , 2|= 5 , 1|<|z2|, 解: |z |z 则 a 2 ?1 < 5 , 两边平方, 解得-2<a<2, 故选择 C. 12、解:∵

1 ? 7i (1 ? 7i)(2 ? i) ?5 ? 15i ? ? ? ?1 ? 3i .∴a=-1,b=3. 2?i (2 ? i)(2 ? i) 5

∴ab=-3,故选择 B. 二、填空题: 11、解:由于两直线的位置关系有相交与平行,相交又分为斜交与垂直,所以恰当的是①、 ③、②、④. 12、已知(x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x,y∈ R,则由两个复数相等的充要条件可知,

?x ? 1 = y ?x = 5 ,解得 ? ,故 x+y=9. ? ?1 = y ? 3 ?y = 4

13、平面直角坐标系下直线的方程为 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0),请类比空间 直角坐标系下平面的方程为 Ax+By+Cz+D=0 (A2+B2+C2≠0). 14、解:由 13+23=(1+2)2=32,13+23+33=(1+2+3)2=62,13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102, 13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152, 则第五个式子为: 13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212. 15、解:i+i2+i3+ i4=0,∴i+i2+i3+……+i2012=0. 16、解:把 3+2i 代入方程得:2(3+2i)2+p(3+2i)+q=0,整理得(10+3p+q)+(24+2p)i=0,利用复 数相等的充要条件得 ?

?10 + 3p + q = 0 , ?24 + 2p = 0

解得 ?

?p = ?12 ,故 q=26. ?q = 26

三、解答题: 17、解:(1)当 m2+m-2=0,即 m=-2 或 m=1 时,z 为实数; (2)当 m2+m-2≠0,即 m≠-2 且 m≠1 时,z 为虚数;

1 ? ?2m 2 + 3m ? 2 = 0 ? ?m = 或m = ?2 (3)当 ? 2 ,解得 ? , 2 ?m + m ? 2 ? 0 ? ?m ? ?2且m ? 1 ?
即m =

1 时,z 为纯虚数; 2

1 ? ?2m 2 + 3m ? 2 = 0 ? ?m = 或m = ?2 (4)当 ? 2 ,解得 ? ,即 m=-2 时,z=0. 2 ?m + m ? 2 ? 0 ? ?m ? ?2或m ? 1 ?
注:对于本题,只要概念清晰,就能顺利地列出以上各式,求出 m 值. 18、解:(用反证法证明 1)∵ ac-b2≥0. 假设 B 是钝角,则 cosB<0,由余弦定理可得, cos B ?

1 1 1 2 1 1 1 , , 成等差数列,∴ ? ? ? 2 , ∴b2≤ac 即 a b c b a c ac

a 2 ? c2 ? b2 2ac

?

2ac ? b 2 ac ? b 2 ? ? 0. 2ac 2ac

这与 cosB<0 矛盾,故假设不成立.∴B 不可能是钝角.

1 1 1 2 1 1 , , 成等差数列,∴ ? ? , a b c b a c ? 假设 B 是钝角,则 B ? ,则 B 是△ABC 的最大内角,所以 b>a,b>c, 2 1 1 1 1 2 2 1 1 (在三角形中,大角对大边),从而 ? ? ? ? ,这与 ? ? 矛盾, a c b b b b a c
(用反证法证明 2)∵

故假设不成立,因此 B 不可能是钝角. (用综合法证明) ∵

1 1 1 2 1 1 1 , , 成等差数列,∴ ? ? ? 2 , a b c b a c ac

证明:∵

1 1 1 2 1 1 , , 成等差数列,∴ ? ? ,即 2ac=b(a+c), a b c b a c

由余弦定理和基本不等式可得, cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 2ac ? b2 ? 2ac 2ac

? 1?
∴1 ?

b2 b2 b ,∵a,b,c 为△ABC 三边,∴a+c>b, ? 1? ? 1? 2ac b(a + c) a +c
b ? 0 ,∴cosB>0,∴∠B<900,因此 B 不可能是钝角. a +c

19、解:由题意知,a=18,b=12,c=5,d=78,所以 a+b=30,c+d=83,a+c=23,b+d=90,

113 ? (18 ? 78 ? 5 ?12) 2 n(ad ? bc) 2 n=113.所以 K ? = ≈39.6>10.828. 30 ? 83 ? 23 ? 90 (a ? b)(c ? d)(a ? c)(b ? d)
2

所以患桑毛虫皮炎病与采桑有关系.认为两者有关系会犯错误的概率是 0.1%. 20、解:大小关系为

b c . ? a b

证明:要证

b c b c < ,只需证 < ,∵a、b、c>0,只需证 b2<ac, a b a b

又∵

1 1 1 2 1 1 1 , , 成等差数列,∴ ? ? ? 2 ,即 b2≤ac, a b c b a c ac

又 a、b、c 任意两边均不相等,∴b2<ac 显然成立,故所得大小关系正确. 方法技巧:巧用分析法证明不等式 不等式的证明方法主要有直接证明与间接证明, 而分析法就是直接证明的一种, 用分析法证 明问题思路比较明确,即由结论出发,通过逐步寻求使结论成立的充分条件,直到找到一个 明显成立的条件为止,方法比较简单,推理比较明了,是我们平时在做题时遇到绊脚石时最 好的帮手,应引起大家的足够重视.

附录: 1、假设两个分类变量 X 与 Y,它们的取值分别为{x1,x2},{y1,y2},其 2× 列联表如图所 2 示:对于以下数据,对同一样本能说明 X 与 Y 有关的可能性最大的一组为

A.a=5,b=4,c=3,d=2 C.a=5,b=2,c=4,d=3 1、解:∵ K 2 ?

B.a=5,b=3,c=2,d=4 D.a=2,b=3,c=5,d=4

n(ad ? bc) 2 ,代入数据可知:B 组中各值使 K2 最大,故选 (a ? b)(c ? d)(a ? c)(b ? d)

择 B. 2、如果复数 z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值为 A.1 B. 2 C.2 D. 5

3、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8,S4,S12,S8,S16,S12 成等差数列.类比以 上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,_________,________,

T16 成等比数 T12

列. 3、独具【解题提示】等差数列与等比数列中的类比是“和”类比到“积”,“差”类比到 “商”. 解:通过类比,有等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,

T8 T12 T16 T , , 成等比数列,故填 8 , T4 T8 T12 T4

T T12 T .答案: 8 , 12 . T8 T4 T8
4、已知两条相交直线最多有 1 个交点,三条直线最多有 3 个交点,四条直 线最多有 6 个交点点,五条直线最多有 10 个交点.由此可归纳 n 条直线最多 交点个数为__________.

1 n(n ? 1) 2

5、(2011· 福州高二检测)当实数 m 为何值时,复数 z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i(m∈R)在 复平面内对应的点, (1)在 x 轴上? (2)在第四象限? (3)位于 x 轴负半轴上? 2 5、解:(1)由已知得:m +3m-28=0,∴(m+7)(m-4)=0, 解得:m=-7 或 m=4.

?m 2 - 8m +15 > 0 ?m < 3或m > 5 ? (2)由已知得: ? 2 ,∴ ? ,∴-7<m<3. ?m + 3m ? 28 < 0 ??7 < m < 4 ? ?m 2 - 8m +15 > 0 ?3 < m < 5 ? (3)由已知得: ? 2 ,∴ ? ,∴m=4. ?m + 3m ? 28 < 0 ? m = ?7或m = 4 ?
6、(本小题满分 12 分) 小强要参加班里组织的郊游活动, 为了做好参加这次郊游活动的准备工作, 他测算了如下数 据:整理床铺、收拾携带物品 8 分钟,去洗手间 2 分钟,洗脸、刷牙 7 分钟、准备早点 15 分钟(只需在煤气灶上热一下),煮牛奶 8 分钟(有双眼煤气灶可以利用),吃早点 10 分钟,查 公交线路图 5 分钟,给出差在外的父亲发短信 2 分钟,走到公共汽车站 10 分钟,小强粗略 地算了一下,总共需要 67 分钟.为了赶上 7:50 的公共汽车,小强决定 6:30 起床,可是小强 一下子睡到 7:00 了!按原来的安排,小强还能参加这次郊游活动吗?如果不能,请你帮小

强重新安排一下时间, 画出一份郊游出行流程图来, 以使得小强还能来得及参加此次郊游活 动. 6、解:按原来的安排,小强不能参加这次郊游活动,如图(单位:分钟):共需时间为 8+2+7+15+10+5+2+10=59(分钟),59>50,所以不能.

可设计流程图如下图所示(单位:分钟).

能使小强来得及参加郊游. 7、(本小题满分 12 分) 数列{xn}由下列条件确定:x1=a>0, x n+1 ?

1 a (x n ? ) ,n∈N*. 2 xn

(1)证明:对 n≥2,总有 xn≥ a ;

(2)证明:对 n≥2,总有 xn≥xn+1.

7、解题提示:解答本题要充分利用解决不等式问题的基本方法:基本不等式,作差法,放 缩法等. 证明:(1)由 x1=a>0,及 x n+1 ? 所以,对 n≥2,总有 x n ? a ;

a 1 a (n∈N*), (x n ? ) ,可知 xn>0,从而有 x n+1 ? x n ? xn 2 xn

1 a 1 a ? xn2 (2)当 n≥2 时,因为 x n ? a ? 0 , x n+1 ? (x n ? ) ,所以 x n ?1 ? xn ? ? ?0, 2 xn 2 xn
故对 n≥2,总有 xn≥xn+1 成立. 8、(本小题满分 12 分) 某产品的广告支出 x(单位:万元)与销售收入 y(单位:万元)之间有下表所对应的数据. 1 2 3 4 广告支出 x(单位:万元) 12 28 42 56 销售收入 y(单位:万元)

(1)画出表中数据的散点图; (2)求出 y 对 x 的线性回归方程; (3)若广告费为 9 万元,则销售收入约为多少万元? 8、解:(1)散点图如图: i 1 2 3 4 xi 1 2 3 4 yi 12 28 42 56 xi2 1 4 9 16 xiyi 12 56 126 224

? ? (2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近,列出下列表格,以备计算 a 、 b .于是
x? 5 69 ,y ? ,代入公式得: 2 2

5 69 418 ? 4 ? ? 2 2 ? 73 , ? x y ? x 2 y 2 ? x 3 y3 ? x 4 y 4 ? 4xy ? b? 1 1 2 2 2 2 2 5 5 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 4x 30 ? 4 ? ( ) 2 2 69 73 5 ? a ? y ? bx ? ? ? ? ?2. 2 5 2 ? 73 x ? 2 ,其中回归系数为 73 , 故 y 与 x 的线性回归方程为 y ? 5 5 73 它的意义是:广告支出每增加 1 万元,销售收入 y 平均增加 万元. 5 73 ? 9 ? 2 ? 129.4 (万元). (3)当 x=9 万元时, y ? 5
方法技巧:建立回归模型的基本步骤: ①确定研究对象,明确两个变量; ②画散点图,观察它们之间的关系; ③用最小二乘法估计线性回归方程中的参数; ④得出结论后分析残差是否异常.若有异常,则应检查数据是否有误,或者选用的模型是否 恰当.


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