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培训讲义(高中)


《超级画板》培训讲义

广州大学计算教育软件研究所 2010 年 11 月

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第一部分 超级画板之动态数学入门 ...................................... 3
1.1

认识动态数学..................................................................................................................... 3 1.2 动态数学工具平台 ............................................................................................................. 3 1.3 通过两个实例入门 ............................................................................................................. 5 1.3 动态数学软件的构图规则 ............................................................................................... 11

第二部分 几何图形与变换 .................................................. 13
2.1 经过一点的直线............................................................................................................... 13 2.2 三角形的三条高线 ........................................................................................................... 14 2.3 测量三角形的内角和 ....................................................................................................... 16 2.4 三角形内角和等于平角的直观说明 ............................................................................... 17 2.5 勾股定理的直观说明 ....................................................................................................... 20 2.6 在平面上滚动的车轮 ....................................................................................................... 25 2.7 圆在圆上滚动*................................................................................................................. 27 2.8 翻折得到轴对称图形 ....................................................................................................... 30 2.9 等分圆周设计的图案 ....................................................................................................... 32 2.10 直线与圆的位置关系 ..................................................................................................... 34 2.11 圆与圆的位置关系 ......................................................................................................... 36 2.12 研究圆幂定理................................................................................................................. 38 2.13 制作七巧板游戏............................................................................................................. 40 2.14 勾股树*........................................................................................................................... 43 2.15 二叉树*........................................................................................................................... 47 2.16 多边形的密铺*............................................................................................................... 50 2.17 密铺曲线*....................................................................................................................... 53 2.18 平面中的变换*............................................................................................................... 58

第三部分 函数及图像 ........................................................ 70
3.1 二次函数的图像............................................................................................................... 70 3.2 反比例函数的图像 ........................................................................................................... 74 3.3 指数函数及其反函数的图像* ......................................................................................... 76 3.4 参数方程曲线................................................................................................................... 77 3.5 极坐标方程曲线............................................................................................................... 80 3.6 分段函数的图像............................................................................................................... 82 3.7 变换得到 y=a(x+m)^2+k 的图像..................................................................................... 85 3.8 描点连线画函数图像* ..................................................................................................... 85 3.9 美丽的玫瑰线*................................................................................................................. 87 3.10 根据通项公式画数列的图像 ......................................................................................... 89 3.11 根据递推公式画数列的图像* ....................................................................................... 91

第四部分 运算与代数 ........................................................ 96
4.1 比较 y=x^3 与 y=3^x 增长的快慢................................................................................... 96

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4.2 国王需要付出多少小麦 ................................................................................................... 98 4.3 闰年的规则是如何产生的 ............................................................................................. 101 4.4 如何计算根号 2.............................................................................................................. 102 4.5 研究组合数的性质* ....................................................................................................... 103 4.6 研究二项展开式的规律* ............................................................................................... 104

第五部分 解析几何问题 .................................................... 105
5.1 固定长度的线段在滑动 ................................................................................................. 105 5.2 斜率之积为定值的两直线交点的轨迹 ......................................................................... 106 5.3 根据定义构造椭圆和双曲线 ......................................................................................... 109 5.4 根据定义构造抛物线 ..................................................................................................... 112 5.5 构造标准圆锥曲线 ......................................................................................................... 113 5.6 研究圆锥曲线的光学性质 ............................................................................................. 115 5.7 探索多点驱动下的轨迹曲线* ....................................................................................... 116

第六部分 三角函数关系 .................................................... 125
6.1 利用正弦线画正弦函数的图像 ..................................................................................... 125 6.2 y=sin(x)-> 3sin (2x+pi/4)的动态变换 ............................................................................ 128 6.3 和角正弦公式的一个直观说明* ................................................................................... 133 6.4 已知两边及一边对角解三角形 ..................................................................................... 134 6.5 三角函数曲线的变换 ..................................................................................................... 138 6.6 正弦波的叠加*............................................................................................................... 141

第七部分 算法与编程 ....................................................... 146
7.1 超级画板的程序语言 ..................................................................................................... 146 7.2 了解系统中的函数 ......................................................................................................... 151 7.3 求最大公约数的程序 ..................................................................................................... 156 7.4 判断是否为闰年的程序 ................................................................................................. 158 7.5 模拟随机抛硬币实验的程序 ......................................................................................... 160 7.6 用二分法求方程的近似解 ............................................................................................. 161 7.7 用牛顿迭代法求方程的近似解 ..................................................................................... 164

第八部分 导数与积分 ....................................................... 166
8.1 用导数方法求方程的近似解 ......................................................................................... 166 8.2 利用导数研究函数的性质 ............................................................................................. 167 8.3 曲边多边形的面积 ......................................................................................................... 168

第九部分 概率与统计 ....................................................... 173
9.1 随机得到一个 100 以内的自然数 ................................................................................. 173 9.2 模拟随机抛硬币实验 ..................................................................................................... 174 9.3 模拟随机掷骰子实验* ................................................................................................... 181 9.4 随机抛豆实验估计圆周率 π .......................................................................................... 184 9.5 模拟转盘游戏*............................................................................................................... 188

第十部分 考试内容 ........................................................... 191
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第一部分 超级画板之动态数学入门

1.1 认识动态数学
“任意三角形 ABC...”、“点 P 在圆上 O 上运动过程中...”、“周长固定的长方形”...,这些 都是我们常用的几何语言。这些语言所对应的情景,在传统教学手段下,只能要求学生充分 发挥想象能力。 相对于我们所生活的多姿多彩的空间而言, 高度抽象化了的语言以及图形对 于刚学习数学学生来说是难以接受的。 计算机的出现使这种现象渐渐发生改变。利用计算机所作的图形不仅直观、形象,而且 具有动态性,易于观察和理解。 若利用计算机所作的几何图形, 在被拖动过程中仍保持几何性质不变, 如三角形还是三 角形、圆上的点还是圆上的点、平行还是平行、垂直还是垂直、中点还是中点...,那么这样 的图形就称为动态几何图形。 构造动态几何图形的计算机软件,就叫做动态几何软件(Dynamic Geometry Software) 。 动态几何的名称于上世纪 80 年代中期开始出现, 经过了 20 多年的发展, 动态几何吸引 了越来越多人的关注,它在数学教育上的价值已经得到充分肯定。 目前具有动态几何功能的软件就有几十种,其中被中国数学教师所广泛了解的就有 Geometer's Sketchpad、Z+Z 超级画板、Cabri、AutoGraph、Derive、GeoGebra 等。 由于计算机在动态几何方面的成功, 也促使人们开始研究计算机在数学的其他领域的教 育功能。 因此,计算机代数系统(Computer Algebra System) 、动态统计软件(Dynamic Statistics System) 、随机实验平台(Probability Simulation Platform)等相继出现并被广泛实验应用。 计算机代数系统最重要的应用就是数值计算与符号运算。 动态统计软件能方便地处理大量的数据并且按照人们所熟悉的形式展现。 随机实验平台能够模拟概率事件并且自动记录和计算实验结果。 动态几何软件、计算机代数系统、动态统计软件、随机实验平台等都属于动态数学软件 (Dynamic Mathematics Software) 。

1.2 动态数学工具平台
Z+Z 智能教育平台《超级画板》是目前功能最完善的动态数学平台之一。它是: ●动态几何平台; ●计算机代数系统; ●动态统计平台; ●随机实验平台; 它还是: ●程序设计平台; ●自动推理系统。 为了更加尽快熟悉《超级画板》的上述功能,让我们首先了解一下它的工作界面吧。 超级画板软件启动后窗口如下:
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利用超级画板工作,主要就是通过菜单栏中的菜单命令来实现。菜单栏中包括【文件】 、 【编辑】【查看】【作图】【变换】【测量】等菜单项。 、 、 、 、 菜单栏下是常用工具栏,就是将经常用的命令放在这里,提高我们的工作效率。 工具栏下面的空白区域就是作图等工作的主要区域,简称为作图工作区。 作图工作区左边是另外的一些工作区,包括“对象工作区”、“程序工作区”、“问题工作 区”等。如左下图所示,单击下方的选项卡即可将对应的工作区激活;如右下图所示,单击 工作区右上角的“×”即可将对应的工作区关闭,通过单击【查看】菜单中【工具栏】子菜单 下的对应命令可以重新显示。

我们常用的就是“对象工作区”和“程序工作区”,可以将其他工作区关闭,结果如左下图 所示。

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作图工作区右侧是“对象属性工作区”, 可以方便地修改多个对象的属性。 如右上图所示, 拖动左边框可以改变它的宽度,单击右上方的“自动隐藏”开关按钮可以将“属性工作区”关 闭。鼠标指向。

1.3 通过两个实例入门
这一节我们通过两个实例初步认识超级画板软件的主要功能。 在制作下面的实例过程中,有些内容可能没有介绍得足够详细。 (一)构造星形线和玫瑰线 (1)启动一个新的超级画板文档,下面的工作过程中,我们不需要显示坐标系,那么 如左下图所示在对象工作区中单击“坐标系”对象前的方框,结果(如右下图)方框中“√”消 失的同时在作图工作区中坐标系也被隐藏。在对象工作区中,每个对象前的方框“ ”就是控 制它在作图工作区中被显示或者隐藏的开关按钮。

(2)在新的超级画板文档中,单击工具条中的【画笔】工具 ,光标进入选择画图状 态。 (3)在空白处单击鼠标然后松开,即可作出点 A。 (4)如下图,鼠标指向点 A,按住拖动一段距离后松开鼠标,即可作出线段 AB。

(5)如下图,鼠标指向线段 AB 中点附近的位置,当线段 AB 变为红色且光标右侧出现 “中点”提示时,单击鼠标,作出线段 AB 的中点 C。
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(6)如下图所示,鼠标指向点 C,双击不松开并按住拖动,移动到点 B 的位置时(点 B 变为红色)松开鼠标,作出以点 C 为圆心、经过点 B 的圆。

(7)如下图所示,鼠标指向圆周,圆周变为红色进行提示时单击鼠标,作出圆 C 上的 任意点 D。

(8)单击点 D 并按住拖动到点 C,作出线段 DC。 (9)如下图所示,鼠标指向线段 DC 的延长线与圆周的交点附近的位置,线段 CD 和 圆周同时变为红色进行提示并且光标右侧出现“相交”, 这时单击鼠标即可作出线段 DC 的延 长线与圆周的交点 E。然后连接线段 EC。

(10)在弧 BD 之间,在圆周上任意取另外一个点 F。 (11)单击点 F,并按住拖动到线段 AB 垂足附近的位置,线段 AB 变为红色进行提示 并且光标右侧出现“垂足”,这时松开鼠标即可作出点 F 到线段 AB 的垂足 G 和垂线段 FG。

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(12)作出点 F 到线段 DC 的垂足 H 和垂线段 FH。 (13)连接线段 GH。 (14)作出点 C 到线段 GH 的垂足 I 和垂线段 CI。结果如下图所示:

(15)单击工具条中的【选择】工具

,光标返回到选择状态。

点 A、点 B 平面上的自由点,可以被任意拖动。 点 D、点 F 是圆 C 的圆周上的点,称为半自由点,可以在圆上被任意拖动。 点 C 是线段的中点,点 E 是直线和圆的交点,点 G、点 H、点 I 是点到直线的垂足, 这些称为约束点,不能被拖动。 在点 A、点 B 或者点 D、点 F 被拖动过程中,可以发现图形的几何性质保持不变,中 点还是中点、垂足还是垂足、交点还是交点,这就是动态几何图形的特点。 拖动点 D,使得 CD 与 AB 垂直,结果如下图所示:

容易看出,四边形 CGFH 是一个矩形。根据矩形的性质得知,当点 F 在圆上运动的过 程中,线段 GH 保持长度不变。这样,就可以模拟靠在墙上的梯子向下滑动的过程。 那么,当梯子在下滑过程中,或者说当点 F 在圆周上运动的过程中,线段 GH 扫描过

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的区域是一个什么样的图形呢?点 I 和线段 CI 上又能划出什么性状的图形呢?为了探索这 些问题,我们继续下面的操作: (16)鼠标指向线段 GH,单击鼠标右键,弹出快捷菜单,如左下图在快捷菜单中单击 【跟踪】命令,结果如下图(中)所示在对象工作显示出增加了线段 GH 的跟踪对象。拖动 点 F 在圆周上运动,结果如右下图所示。

(17)增加点 I 的跟踪和线段 CI 的跟踪。 (18)为了让点 F 在圆周上更加均匀地运动,可以增加一个点 F 的动画按钮,操作是: 鼠标指向点 F,单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【动画...】命令,结果弹出动画属性对话 框,直接单击对话框中【确定】按钮完成。单击动画按钮结果如下图所示:

为了让跟踪的图形更加美观,我们需要作如下调整: 将跟踪对象都放在图层的最后面(最下面) ,使得能够清楚地看到原来点、线等几何对 象。将不同的跟踪对象设置不同的颜色,使得容易识别跟踪图形的性质特点。 当作图区中出现一般操作时, 跟踪对象就会自动消失, 所以跟踪对象无法在作图区中被 选中,但可以在左边的对象工作区中容易地选择它们。 为完成上述目的,需要继续下面的操作: (19)[在对象工作区中]选择线段 CI 的跟踪对象,单击【对象】菜单中的【移动对象 到最后面】命令, (这时线段 CI 的跟踪对象仍处于被选中的状态)然后单击工具条中【画笔 颜色】工具 右部分的三角,如下图所示即可打开画线颜色调色板,然后选择一种颜色 即可。

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(20)选择点 I 的跟踪对象,将其移至最后,并且重新设置一种画线颜色。 (21)选择线段 GH 的跟踪对象,将其移至最后,并且重新设置一种画线颜色。结果如 下图所示:

【思考与练习】 当线段 CD 与 AB 不垂直时,跟踪图形如下图所示:

请继续研究下面的问题: (1)线段 GH 的长度是否仍然保持不变? (2)跟踪线段 GH 所留下的图形与上面有什么区别? (3)跟踪点 I 的所留下的图形有什么改变? (二)作 y=ax2 的图像 (1)单击工具栏中【新页】工具 ,在当前文档中建立一个新的页面。

(2)在作图区空白位置单击鼠标右键,在右键菜单中单击【函数或参数方程曲线...】 命令,弹出函数作图属性对话框。 (3)如下图所示,在【y=】对应的编辑框中输入:a*x^2。

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(4)单击【确定】按钮完成,结果如下图所示。

(5)单击【插入】菜单中的【变量对象...】命令,弹出的变量对象属性对话框,如下 图所示,在【变量】对应的编辑框中输入:a,单击【确定】按钮完成。

这时, 从参数 a 的变量控制尺可以看到参数 a 的当前值为 4.70, 通过这个变量控制尺可 以改变参数 a 的值。具体操作方法如下: (6)如左下图所示,鼠标指向中间的控制滑标,单击鼠标,如右下图鼠标光标变为横 向的双向箭头,这时向左或者向右拖动鼠标即可改变参数 a 的值。

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画出了函数图像之后, 我们需要坐标系的刻度显示出来, 在这里只需要设置坐标系的属 性值即可。具体操作方法如下: (7) 如左下图所示, 在对象工作区中单击第 4 号对象“对象组: 坐标系”前面的加号“+”, 结果如右下图所示,展开对象组的列表。

(8)鼠标指向第 0 号对象“直角坐标系 O-xy”,单击右键,即可打开它的属性对话框。 (9)如下图所示,在属性对话框中选择“显示刻度”选项,单击【确定】按钮完成。

【思考与练习】 鼠标单击上面参数 a 的变量控制尺, 这是会出现一些黑色方块, 这些方块都有一定的作 用,拖动这些黑色方块,说说它们对变量控制尺有什么影响。

1.3 动态数学软件的构图规则
根据前面所设计到的问题, 我们粗略谈谈使用动态数学软件工具作图等工作过程中所要 遵从的规则和超级画板中的一些习惯。 (1)当需要用画笔画图时,就单击【画笔】工具 进入画图状态;当不再用画笔画图 时,就单击【选择】工具 返回到选择状态。 (2)平面上的任意点,是完全自由点,可以被任意拖动;直线上的点、圆上的点以及 以后接触到的曲线上的点,是半自由点,可以按照一定的规律被拖动;线段的中点,直线的 垂足等,是约束点,不能被拖动。
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(3)需要选择多个对象时,需要按住 Ctrl 键的同时,依次单击需要被选择的对象。选 择完成后,松开 Ctrl 键即可。 (4)要作三角形的内心,需要首先选择三角形的三个顶点;要构造一个多边形的内部, 需要首先选择多边形的顶点。当选择的对象满足作图条件时菜单命令才会变为亮色被激活, 若选择的对象不满足作图条件,则对应的菜单命令为灰色不能被使用。 (5)控制参数改变的方法上面介绍了两种:插入参数的变量控制尺,增加参数的动画 按钮。

学习小结
首先我们认识了超级画板软件的界面, 进一步学习了根据自己的要求重新布置界面的方 法。另外,你还可以根据自己的需要将常用的菜单命令添加到工具条中,这与一般的应用软 件的操作方法是相同的。 我们学习了用超级画板的【画笔】工具的功能,利用画笔可以直接画出点、线、圆、对 象上的点、 对象之间的交点、垂足、中点等等,而不能任何工具和菜单之间的切换。 实际上, 利用画笔可以直接作出二十几种常用的几何对象。 【画笔】工具的功能丰富而使用简单,不 过需要加强练习才能运用自如。 除此之外,我们还学习了利用菜单命令作图、进行图形变换的操作,从而理解在计算机 上作图的规则,有些命令要首先选择满足作图条件的对象后才能被激活;而另外有些命令, 却是什么都不需要选择即可直接使用。 希腊字母 π 在计算机系统中通常用 pi 表示。

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第二部分 几何图形与变换

2.1 经过一点的直线
在平面上, 经过一个点的直线有多少条呢?我们可以在计算机上画出经过任意两个点的 一条直线,然后其中一个点位置固定的情况下,拖动另外一个点,引导学生探索这个问题。 (1)在新的文档页面中,隐藏坐标系。 (2)单击【画笔】工具,任意画一条线段 AB。 (3)单击【选择】工具,双击线段 AB,打开其属性对话框,如下图所示,选择直线类 型为:直线,单击【确定】按钮完成。

(4)跟踪直线 AB。 拖动点 B,可以观察到经过点 A 的直线的情况,如下图所示:

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【思考与练习】

如上图所示,蓝色圆以点 A 为中心、经过点 B,点 C 是圆 A 上的任意点,红色圆以 C 为圆心经过点 B。当点 C 在圆周上运动时跟踪圆 C 留下的图形,如下图所示,这叫心脏线 或者苹果曲线。请你自己动手展示生成苹果曲线的过程。

2.2 三角形的三条高线
利用动态几何软件画出的图形,其形状可以被任意改变,而图形在改变过程中,所包含 的几何关系始终保持不变,这可以帮助我们探索与发现图形中所隐含的内在规律。 (1)在新建文档中,隐藏坐标系。 (2)单击【画笔】工具,画任意三角形 ABC。 (3)作出点 A 到对边 BC 的垂足 D 和垂线段 AD,作出点 B 到对边 CA 的垂足 E 和垂 线段 BE;作出点对 C 到边 AB 的垂足 F 和垂线段 CF。 (4)单击【选择】工具,返回到选择状态。 (5)设置线段 AD 为直线,设置线段 BE 为直线,设置线段 CF 为直线。 (6)同时选择直线 AD、BE 和 CF,在右侧的属性对话框中设置【画线类型】为:虚 线。结果如右下图所示:
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对于垂直关系,我们往往需要标注出直角符号。例如要将∠ADC 的角标注出来,就首 先要选择三个点,分别是角的始边上的点、角的顶点、角的终边上的点,然后执行标注角的 命令。操作步骤如下: (7)按住 Ctrl 键,依次选择点 A、点 D 和点 C,单击【作图】菜单中的【标注角】命 令。 (8)重复类似操作标注∠BEA 和∠CFB。 (9)选择角的标注符号,可以通过工具条中的【填充】工具将其内部填充。结果如下 图所示:

【思考与练习】 三角形的三条中线、 三条角平分线也分别交于一点, 请你动手完成展示和探索这两个性 质的内容。 要做三角形中一个角平分线和对边的交点,可以通过【作图】菜单下【点】子菜单中的 【角平分线上的点】命令直接实现。

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2.3 测量三角形的内角和
利用计算机作出的三角形, 可以被任意改变形状, 能够更加普遍地探究三角形三个内角 测量值之和的规律。 (1)在新建文档中,作任意三角形 ABC。 (2)依次选择点 C、点 A 和点 B,单击【测量】菜单下的【角的值】命令,结果得到 ∠CAB 的测量值,如下图所示:

当图形比较简单时,我们一般习惯用角的顶点的名字表示这个角,例如在这里表示为 ∠A,所以我们可以将角的名称进行修改。操作步骤如下: (3)双击测量文本,如左下图进入编辑状态,将字符 CAB 修改为 A,然后在作图区空 白处单击鼠标,退出编辑状态,结果如右下图所示。

(4)重复类似操作测量角 B 和角 C 的值,并且按照上面的要求编辑测量结果名称。 (5)单击【测量】菜单下的【测量表达式...】命令,打开测量表达式对话框。如下图 所示,可以看到之前测量的值分别用 m000、m001、m002 记录,这是计算机系统自动产生 的名称,而且这样做的好处是:之前测量得到的结果容易被以后所运用。

(6)在【表达式】编辑框中输入:m000+m001+m002;然后单击【测量结果表示为弧 度】 ,取消对该选项的选择;单击【确定】按钮得到测量结果。

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(7)最后关闭测量表达式对话框,结果如下图所示:

【思考与练习】 如何测量三角形的外角和?同时实验探索或检验三角形外角和的规律。

2.4 三角形内角和等于平角的直观说明
我们可以通过将一个角平移、 将另一个角旋转直观地说明了三角形内角和等于平角的 道理,见下节的【思考与练习】 。在这一节中,将通过同时两个角旋转来直观说明。 (1)画任意三角形 ABC。 (2)作 AB 边的中点 D、CA 边的中点 E、BC 边上的中点 F。 (3)同时选择点 A、点 B 和点 C,单击【作图】菜单下【点】子菜单中的【三角形的 内心】命令,作出三角形 ABC 的内心 G。结果如下图所示:

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下面要完成以点 E 为中心、以 t 为旋转角,将∠C 旋转: (4)右键单击点 E,在快捷菜单中单击【指定旋转或放缩中心】命令。此时,该命令 的名称变为【目前正在使用的旋转或放缩中心为:E】 。 (5)在作图区空白处单击右键,在快捷菜单中单击【指定旋转角或放缩倍数参数...】 命令,在弹出的用户输入对话框中输入:t,单击【确定】按钮完成。此时,该命令的名称 变为【目前正在使用的旋转或放缩倍数参数为:t...】 。 (6)同时选择点 C、点 F 和点 G,单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【旋转几何对象】 命令,结果作出点 H、点 I、点 J。 (7)依次选择点 E、点 H、点 I 和点 J,单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【多边形】 命令,作出多边形 EHIJ。结果如下图所示:

下面要完成以点 D 为中心、以-t 为旋转角,将∠B 旋转: (7)右键单击点 D,在快捷菜单中单击【目前正在使用的旋转或放缩中心为:E】命 令。此时,该命令的名称变为【目前正在使用的旋转或放缩倍数参数为:D】 。 (8)在作图区空白处单击右键,在快捷菜单中单击【目前正在使用的旋转或放缩中心 为:t】命令,在弹出的用户输入对话框中将参数修改为:-t,单击【确定】按钮完成。此时, 该命令的名称变为【目前正在使用的旋转或放缩中心为:-t】 。 (9)同时选择点 B、点 F 和点 G,单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【旋转几何对象】 命令,结果作出点 K、点 L、点 M。 (10)依次选择点 D、点 K、点 L 和点 M,单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【多边形】 命令,作出多边形 DKLM。结果如下图所示:

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(11)以点 A、点 D、点 G 和点 E 为顶点,构造一个多边形。 (12)单击多边形的内部,通过工具条中的【填充工具】为三个多边形设置填充颜色。 下面增加一个控制参数 t 的动画按钮: (13)在作图区空白处单击右键,在快捷菜单中单击【动画...】命令,在弹出的用户输 入对话框中输入:t,单击【确定】按钮,弹出动画属性对话框。 (14)如下图所示,在动画属性对话框中设置运动频率为:300,设置参数范围为:0 到 pi,选择运动类型为:一次运动。

隐藏不需要显示的对象: (15)选择点 D、点 E、点 F、点 G、点 H、点 I、点 J、点 K、点 L、点 M,在空白处 单击右键,在快捷菜单中单击【隐藏】命令。 单击【动画: t[0, pi]】按钮的主按钮(左边部分) ,∠B 和∠C 动态旋转,结果如下图所 示:

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单击【动画: t[0, pi]】按钮的辅按钮(中间部分) ,∠B 和∠C 动态旋转,结果如下图所 示:

【思考与练习】 (1)将三角形通过如下图所示变换,可以直观说明三角形的面积等于底边与高的乘积 的一半。请你在计算机上完成能动态展示这一过程的实验。

(2)将梯形形通过如下图所示变换,可以直观说明梯形的面积等于上、下底边之和与 高的乘积的一半。请你在计算机上完成能动态展示这一过程的实验。

(3)放缩操作和旋转操作的方法类似,请你动手设计一个放缩对象的变换。

2.5 勾股定理的直观说明
勾股定理是几何中最著名的定理之一, 也叫毕达格拉斯定理。 据说毕达格拉斯发现这个 定理时认为这是神赐予的,于是杀了 100 头牛祭祀,大摆宴席。 到今天为止, 证明勾股定理的方法有上百种之多。 在本节中我们将通过计算机的动态演 示直观地说明勾股定理。 (1)在新建文档中,隐藏坐标系。 (2)光标进入画图状态,画任意线段 AB,如下图所示,鼠标单击点 B 并按住向上拖 动,当光标右侧出现“垂直”提示时,松开鼠标,作出经过点 B 与线段 AB 垂直的线段 BC。

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下面我们要做出分别以 AB、BC、CA 为一边的三个正方形。而例如以 AB 为一边的正方 形有两个,分别在 AB 的上方和下方。在超级画板中作正方形需要选择两个点,而以两个已 知点为顶点的正方形有两个。 那么所作出的正方形的位置与选择的点的顺序有关: 以选择的 第一个点为中心,将第二个点按逆时针方向旋转的一侧。具体操作步骤如下: (3)依次选择点 C 和点 B,单击【作图】菜单下【常见多边形】子菜单中的【正方形】 命令,结果如下图所示。

(4)依次选择点 A 和点 C,作出正方形。 (5)依次选择点 B 和点 A,作出正方形。结果如下图所示:

下面我们要将正方形 ABIH 分割成四部分。操作步骤如下: (6)作出对角线 AI 的中点 J。 (若作图过程中作出了对角线 AI,则将其删除即可) (7)光标进入画图状态,如下图所示,过点 J 作出与 AC 垂直且与 HI 相交的线段 JK。 当然你的操作过程中,也可能是与 AG 平行且与 HI 相交的情形,而结果是相同的。删除线 段 JK。

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(8)将点 J 指定为旋转中心,设置旋转角参数为:pi/2。 (9)将点 K 旋转得到点 L,将点 L 旋转得到点 M,将点 M 旋转的到点 N。 将正方形 ABIH 内的四部分分别以不同的向量平移而出,操作步骤如下: (10)作平面上的任意点 P、点 Q、点 R 和点 S。 (11)依次选择点 J 和点 P,单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【选定平移向量】命令。 此时,该命令的名称变为【目前正在使用的平移向量为:JP】 。选择点 K、点 I 和点 L,单 击鼠标右键,在快捷菜单中单击【平移几何对象】命令,得到点 T、点 U 和点 V。作出以点 P、点 T、点 U 和点 V 为顶点的多边形,并将其内部填充一种颜色。 (12)依次选择点 J 和点 Q,单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【目前正在使用的平移 向量为:JP】命令。此时,该命令的名称变为【目前正在使用的平移向量为:JQ】 。选择点 L、点 B 和点 M,单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【平移几何对象】命令,得到点 W、点 X 和点 Y。作出以点 Q、点 W、点 X 和点 Y 为顶点的多边形,,将其内部填充一种颜色。 (13)以有向线段 JR 为平移向量,将点 M、点 A 和点 N 平移得到点 Z、点 A1 和点 B1, 作出以点 R、点 Z、点 A1 和点 B1 为顶点的多边形,并将其内部填充。 (14)以有向线段 JS 为平移向量,将点 N、点 H 和点 L 平移得到点 C1、D1 和点 E1, 作出以点 S、点 C1、D1 和点 E1 为顶点的多边形,并将其内部填充。结果可参照下图中的部 分。 下面将正方形 CBDE 按照指定的向量平移而出,操作步骤如下: (15)作出线段 CD 的中点 F1,作出线段 AF 的中点 G1。 (若作图过程中作出了正方形 的对角线,则将其删除即可) (16)在平面上任意取一点 H1。 (17)以有向线段 F1H1 为平移向量,将点 C、点 B、点 D 和点 E 平移得到点 I1、J1、 K1 和点 L1,作出以点 I1、J1、K1 和点 L1 为顶点的多边形,将其内部填充并增加其内部的透 明度。结果如下图所示:

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下面作出两个直角边对应的正方形内部剪切、平移到斜边对应的正方形内部的动画按 钮。操作步骤如下: (18)依次选择点 P 和点 G,单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【动画...】命令,在弹 出的动画属性对话框中单击【确定】按钮完成,作出点 P 移动到点 G 的动画按钮。 (19)重复类似操作,作出点 Q 移动到点 A 的动画按钮,作出点 R 移动到点 C 的动画 按钮,作出点 S 移动到点 F 的动画按钮,作出点 H1 移动到点 G1 的动画按钮。如下图所示:

(20)同时选择这 5 个动画按钮,单击【课件】菜单中的【动画并行运动按钮】命令, 在弹出的动画属性对话框中,单击【文本】选项卡,设置按钮的名称为:剪拼,单击【确定】 按钮完成,作出按钮【剪拼】 。

下面作出还原按钮。操作步骤如下: (21)作出点 P 移动到点 J 的动画按钮,作出点 Q 移动到点 J 的动画按钮,作出点 R 移动到点 J 的动画按钮,作出点 S 移动到点 J 的动画按钮,作出点 H1 运动到点 F1 的动画按 钮。 (22)同时选择这 5 个动画按钮,单击【课件】菜单中的【动画并行运动按钮】命令, 在弹出的动画属性对话框中,单击【文本】选项卡,设置按钮的名称为:还原,单击【确定】 按钮完成,作出按钮【还原】 。

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下面对作图区中不需要显示的对象隐藏,具体如下: (23)将【剪拼】和【还原】之外的其他 10 个动画按钮隐藏。 (24)将点 A、点 B 和点 C 之外的其他所有点隐藏。 到现在整个内容就制作完毕,单击【剪拼】按钮,结果如左下图所示;单击【还原】按 钮,结果如右下图所示。

【思考与练习】 (1)在上一节中我们通过旋转的方式直观地说明了三角形内角和为平角。我们还可以 将角 A 旋转到角 C 的位置,然后将角 B 平移到角 C 的位置,同样能直观地说明三角形内角 和为平角这个问题。请你动手完成它的直观展示过程。

(2)过去直接进入证明缺少发现的过程,因此几何定理仿佛是从天上掉下来的。新课 程改革中则强调先从直观发现图形性质, 积累了一定知识之后再进入逻辑论证。 这时出现了 一个新的问题: 既然我们发现了图形的性质, 为什么还要进行推理证明呢?似乎没有这个必 要! 怎么让学生感到不能光凭直觉研究图形性质?请你动手制作了下面的内容, 将左边的图 形剪开平移重新组合后得到了右边的图形。并增加一个标题:怎么少了一块?

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2.6 在平面上滚动的车轮
圆形车轮在水平路面上无滑动地滚动的特点就是圆心在水平方向上经过的距离, 即车 轮行驶过的路面长度,等于车轮在路面上滚动所经过的弧长。根据这一原理,我们就可以模 拟车轮在平面上滚动的过程。 首先设置作图区的界面,更加像一个路面,具体操作如下: (1) 在空白文档中, 如左下图所示, 在左边对象工作区中单击“对象组: 坐标系”前的“+”, 结果变为“-”,如右下图所示列表展开。

(2)单击对象“点:坐标原点”前的方框,从作图区中隐藏原点 O;单击对象“直线:y 轴”前的方框,从作图区中隐藏 y 轴。 (3)在左边对象工作区中,如左下图所示,鼠标指向第 0 号对象“直角坐标系 O-xy”, 单击右键,打开其属性对话框,如右下图所示,设置 x 轴的名称为:路面,单击【确定】按 钮完成。

作出一个半径为 1 的车轮,操作步骤如下: (4)在作图区空白处单击鼠标右键,在弹出的快捷菜单中单击【坐标点】命令,弹出 坐标点作图对话框,如下图所示,在第一行中双击 x 坐标对应的网格激活输入状态,输入: a;双击 y 坐标对应的网格激活输入状态,输入:1;为了使得作出的点能够在水平方向上被 拖动,输入“x 拖动”的参数为:a,最后单击【确定】按钮完成,作出点 A。 (其中拖动参数 必须是对应的坐标表达式中所出现的参数)

(5)选择点 A,单击【作图】菜单中【圆和圆弧】子菜单下的【已知圆心和半径的圆...】 命令,在弹出的输入对话框中输入:1,单击【确定】按钮,作出以点 A 为圆心、半径为 1 的圆。 (6)作出圆与路面的交点 B。结果如下所示:

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假设车轮在起点时,对应的点 A 的横坐标是 0,点 B 在起点处。车轮行驶了一段距离 a 后,车轮上的一点应该旋转了 a 弧度(因为圆 A 的半径为 1) ,所以我们将点 B 绕点 A 旋 转 a 弧度所得到的点,就是车轮滚动过程中点 B 应该旋转到的实际位置。具体操作方法如 下: (7) 依次选择点 B 和点 A, 单击鼠标右键, 在快捷菜单中单击 【点绕点的旋转放缩点...】 , 如下图所示, 在弹出的参数输入对话框中输入放缩比例为: 旋转角 1, (角度) 为: -a*180/pi, 单击【确定】按钮,作出点 C 和线段 AC。 (负号表示按照顺时针方向旋转)

作出经过点 C 的直径和与 AC 垂直的直径,具体操作步骤如下: (8)作出线段 CA 的延长线与圆 A 的交点 D,连接线段 AD。 (9) 依次选择点 C 和点 A, 单击鼠标右键, 在快捷菜单中单击 【点绕点的旋转放缩点...】 , 在弹出的参数输入对话框中输入放缩比例为:1,旋转角为:90,单击【确定】按钮,作出 点 E 和线段 AE。 (10)作出线段 EA 的延长线与圆 A 的交点 F,连接线段 AF。结果如下图所示:

(11) 作出点 A 运动的动画按钮, 设置运动的范围为: 到 4*pi, 0 设置运动频率为: 300。 隐藏点 B 和其他轮子上的点的名字,操作如下: (12)隐藏点 B。 (13)单击【编辑】菜单中【全部点的名字】开关命令,将点的名字隐藏。 单击动画按钮,模拟轮子在水平路面上滚动的过程,如下图所示:

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【思考与练习】 (1)跟踪车轮上的点 C,然后再次单击动画按钮,结果如下生成点 C 的跟踪图形:

这种由旋转的轮子在无滑动的滚动中而生成的曲线, 就叫做旋轮线。 请你研究旋轮线的 性质。 (2)在轮子的半径上任意取一点,然后跟踪该点,如下图所示,是其中的两种情形:

这种图形也是无滑动滚动的轮子边沿上的点而生成的曲线吗? 它们被称为广义旋轮线。 (3)请你探索得出(1)中轨迹图形对应点 C 的轨迹方程,也进一步尝试得到(2)中 对应的轨迹曲线方程。 (4)将轮子的半径大小改为 R,重新制作上面的内容。

2.7 圆在圆上滚动*
在固定圆上滚动的圆,跟踪其上面的一点所生成的曲线也是摆线。下面制作半径为 r 的动圆在半径为 R 的定圆上滚动的实验。
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为了方便讨论问题, 在这里我们将圆的半径取为整数。 在计算机和数学语言中取整数的 函数是 floor(a),结果表示比 a 小的最大整数。 首先作出半径为 floor(a)的定圆和半径为 floor(b)的动圆。 (1) 在新建文档中, 隐藏 0 号对象“坐标系”、 号对象“x 轴直线”、 号对象“y 轴直线”, 2 3 只保留坐标原点 O。 (2)如下图所示,作坐标点 A(floor(a)*cos(t),floor(a)*sin(t)) ,设置 x 拖动参数为 t。

(3)以点 O 为圆心、OA 长为半径作圆。 (在什么都不选择的情况下,单击工具条中的 【缩小】工具可以减小坐标系的单位长度) (4)以点 A 为圆心、作半径长为 floor(b)的圆。连接线段 OA,作出 OA 的延长线与圆 A 的另一个交点 B。结果如下图所示:

(4)隐藏圆 B 和线段 OA。 (5)作出以点 B 为圆心经过点 A 的圆。 假定初始位置时,圆 B 与圆 O 相切于点 A,若点 B 绕 O 旋转了 t 弧度,则点 A 绕点 B 旋转的角度是:t*floor(a)/floor(b)弧度。下面作出点 A 绕点 B 旋转的对应点: (6)将点 A 绕点 B 旋转放缩,得到点 C 和线段 BC。其中放缩比例为:1,旋转角(角 度)为:180/pi*t*floor(a)/floor(b)。结果如下图所示:

(8)跟踪点 C。 下面增加点 A 的动画按钮。 设 k=floor(a)/floor(b)。当 k 为整数时,曲线由 k 支组成,圆 B 上的点描完 k 支后(即圆 B 绕圆 A 一周),返回到起始位置;当 k 为分数(k=g/h,g、h 为互素的整数)时,曲线由 g 支 组成,圆 P 上的动点描完 g 支后(即圆 P 绕圆 O 旋转 h 周) ,返回到起始位置。

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在这里,当 k 为整数时,让圆 P 绕圆 O 滚动一周;当 k 为分数时,让圆 P 绕圆 O 旋转 floor(b)周(若用 m 表示 floor(a)与 floor(b)的最大公约数,则旋转 floor(b)周的过程中,是 m 次的循环) 。 “floor(a)被 floor(b)整除”可以用“floor(a)/floor(b)的小数部分小于任何一个正数”这句话 解释;表示成计算机的数学语言就变为:(k-floor(k))<0.01(在这里用 0.01 表示一个小的正 数) 。 “floor(a)不被 floor(b)整除”可以用“k 的小数部分(的绝对值)大于 0”这句话解释;表示 成计算机的数学语言就变为:(k-floor(k))>0。 上面的表达式,当 floor(b)为负数时也成立,请自己验证。 (9) 打开测量表达式对话框, 计算 floor(a)的值, 计算 floor(b)的值, 计算 floor(a)/floor(b) 的值。其中 floor(a)/floor(b)用变量 m002 记录。 (10)增加点 A 的动画按钮,设置运动频率为:500,选择运动类型为:一次运动,设 置参数范围为: 到 sign(m002-floor(m002),0)*2*pi*floor(b)+sign(0.01,m002-floor(m002))*2*pi 0 增加可以控制定圆、动圆半径的坐标点。操作如下: (11)如下图所示,作坐标点 D(floor(a),-4) 、E(floor(b),-5) ,其中设置点 D 的“x拖动”参数为 a、点 E 的拖动参数为 b。

对作图区中的内容进行整理,操作如下: (12)隐藏点 A 及线段 AB,隐藏 floor(a)/floor(b)的测量文本。 (13)将点 D 的名字修改为:a,将点 E 的名字修改为:b,将点 B 的名字修改为:P。 (14)将 floor(a)的测量文本的名称修改为“a=”,将 floor(b)的测量文本的名称修改为 “b=”。结果如下图所示:

(15)设置点 C 的跟踪对象的颜色,并将其移动到最后。 单击【动画】按钮,结果如下图所示:

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多次改变动圆的半径,再次单击【动画】按钮,结果如下:

【思考与练习】 (1)在这里,我们所设计的实验中,a 和 b 的值能不能为负数,若为负数会有怎样的 结果? (2)请你设计一个动圆在定圆内部滚动的实验。

2.8 翻折得到轴对称图形
轴对称图形有什么特点?如何设计轴对称图形?利用仿射变换和计算机的直观动态展 示,可以加深学生轴对称图形相关概念和性质的理解。 首先作出以坐标原点 O 为中心的椭圆,并作出椭圆的左顶点和上顶点。操作如下: (1)选择坐标原点 O,单击【作图】菜单中【圆锥曲线】子菜单下的【根据条件作标 准圆锥曲线...】命令,如左下图所示,在弹出的圆锥曲线作图对话框中,设置长半轴为 3, 设置短半轴为:2,单击【确定】按钮完成。结果如右下图所示:

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(2)进入画笔状态,如左下图所示,鼠标指向椭圆 x 负半轴与椭圆的交点处,当光标 出现“相交”提示时,单击鼠标作出椭圆的左顶点 A。类似操作,作出椭圆的上顶点 B。然后 在椭圆上任取一点 C。结果如右下图所示:

作出以∠AOB 为一角的平行四边形和以∠COB 为一角的平行四边形,操作如下: (3)依次选择点 A、点 O 和点 B,单击【作图】菜单中【常见多边形】子菜单下的【平 行四边形】命令,作出平行四边形 AOBD;依次选择点 C、点 O 和点 B,作出平行四边形 COBE。如下图所示:

拖动点 C,四边形 COBE 就像一扇门,以 OB 直线为轴转动着。而四边形 AOBD 就像一 扇静止的门。若将一个图形“画”在这扇转动的门上,那么就可以动态、直观地展示图形的翻 折过程了。 那就是建立一个仿射变换,从点 O、点 A、点 B 确定的坐标系到点 O、点 C、点 B 确定 的坐标系之间的一个变换。 然后将在当前坐标系中画出的图形进行仿射变换即可。 具体操作 步骤如下: (4)依次选择点 O、点 A 和点 B,单击【变换】菜单中的【指定仿射变换】命令。 (结 果,该命令的名称变为:仿射变换:三角形(0,0)(1,0)(0,1)->三角形 OAB) (5) 依次选择点 O、 C 和点 B, 【变换】 点 单击 菜单中的 【仿射变换: 三角形(0,0)(1,0)(0,1)-> 三角形 OAB】命令。 (结果,该命令的名称变为:仿射变换:三角形 OAB->三角形 OCB)

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结果就建立了从坐标系 OAB 到坐标系 OCB 的仿射变换。 不在同一直线上的三个点可以 确定一个坐标系,在这里选择的第一个点、第二个点和第三个点分别记作坐标系的原点、x 轴上的单位点和 y 轴上的单位点。当然,你选择点的顺序也可以是点 A、点 O 和点 B,而对 应第二个坐标系的三个点的顺序需要对应为:点 C、点 O 和点 B。 下面我们任意画一个图形,然后按照指定的仿射变换进行变换。操作如下: (6)任意画三角形 FGH。 (7)选择点 F、点 G 和点 H,单击【变换】菜单中的【几何对象的仿射变换...】命令, 结果得到点 I、点 J 和点 K。 (8)作出由点 I、点 J 和点 K 确定的多边形,将其内部填充,并增加其透明度。结果 如下图所示:

(9)作出点 C 的动画按钮,设置运动频率为:300,设置参数范围为:pi 到 2*pi,选 择运动类型为:一次运动。 【思考与练习】 (1)利用当前建立的仿射变换,你还可以继续对其他对象进行变换。请你利用【插入】 菜单中的【可变换的文本...】命令插入一个可变换文本,按后设置你自己喜欢的字体和填充 颜色,然后将该文本进行仿射变换。 (2)建立一个从三角形 COB 到三角形 AOB 的仿射变换,然后将多边形 IJK 进行变换, 点 C 动画过程中,变换得到的多边形有什么特点? (3)将不需要显示的对象可以隐藏,例如上图中的坐标系、椭圆、平行四边形 AOBD 和平行四边形 COBE。

2.9 等分圆周设计的图案
在动态几何工具平台中, 利用简单的几何图形和设置就可以设计许多漂亮的图案。 下面 我们设计一个漂亮的五角星。 (1)在新建文档中,只保留坐标原点而隐藏坐标系对象组中的其他对象。 (2)以坐标原点 O 为中心,画半径为 3 的圆。
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(3)在圆上任意取一点 A。 (4)同时选择点 A 和圆 O,单击【作图】菜单中【常见多边形】子菜单下的【圆内接 正多边形】命令,在弹出的对话框中输入多边形的边数:5,单击【确定】按钮完成,结果 如下图所示:

(5)删除多边形 ABCDE,只保留点 A、点 B、点 C、点 D 和点 E。 (6)连接线段 AC、CE、EB、BD、DA。 (7)如下图所示,作出线段之间的交点。然后隐藏线段,结果如右下图所示:

(8)依次选择点 A、点 F、点 B、点 G、点 C、点 H、点 D、点 I 和点 E,作多边形, 结果如左下图所示;隐藏除点 A 和点 O 之外其他点,结果如右下图所示:

(9)双击多边形的内部,打开其属性对话框,单击【填充】选项卡,选择填充类型为: 路径渐变填充,选择“填充”选项,单击【确定】按钮完成。

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结果如下图所示,拖动点 A,可以让五角星绕其中心旋转。

【思考与练习】 (1)请你利用旋转的方式,通过点 A 作出圆内接正五边形的其他顶点。 (2)请你设计出如下两幅图案。

2.10 直线与圆的位置关系
首先作出一个圆和一条直线。具体操作如下: (1)在新建文档中,只保留坐标原点而隐藏坐标系对象组中的其他对象。 (2)以坐标原点 O 为中心,画半径为 2 的圆。 (3)在圆外任意取一点 A。 (4)任作一条半径 OB,作出与 OB 垂直的半径 OC。 (5)依次选择点 O、点 B 和点 C,做平行四边形 OBCD。 (6)依次选择点 A 和线段 OB,单击【作图】菜单中【线段、向量、射线和直线】子 菜单下的【平行直线】命令,作出经过点 A 与 OB 平行的直线,即作直线 m,结果如下图所 示:

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(7)删除线段 OC、BC、CD 和 DO,隐藏点 C。 (8)作出过点 O 到直线 m 的垂足 E 和垂线段 OE。 增加直线 m 移动到与圆 O 相切的位置的动画按钮,操作如下: (9)依次选择点 A 和点 D,单击鼠标右键,在弹出的快捷菜单中单击【动画...】命令, 弹出动画属性对话框。将按钮的名称修改为“相切”,单击【确定】按钮完成。 (10)隐藏点 D。 作出直线 m 与圆的交点,并测量圆的半径和圆心到直线 m 的距离。具体操作如下: (11)同时选择直线 m 和圆 O, 【作图】菜单中【点】子菜单下的【直线和圆锥曲线的 交点】命令,作出点 F 和点 G。 (12)同时选择线段 OB 和线段 OE,单击【测量】菜单下的【线段或向量的长度】命 令。 标注∠OEA,操作如下: (13)依次选择点 O、点 E 和点 A,单击【作图】菜单中的【标注角】命令。 拖动点 A 可以改变直线与圆的位置关系,而单击【相切】按钮可以使得直线移动到与 圆相切的位置。三种情形如下图所示:

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【思考与练习】 请你利用另外一种思路设计一个探索直线与圆的位置关系的实验, 能够方便地改变和表 现直线与圆的三种位置关系。

2.11 圆与圆的位置关系
作出两个半径固定、而圆心可以被随意拖动的圆,具体操作如下: (1)在新建文档中,隐藏坐标系。如下图所示,作坐标点 A(a,0) 、B(b,0) ,并且 设置点 A 的“x 拖动”参数为 a、点 B 的“x 拖动”参数为 b。

(2)向左拖动点 A,使点 A 与点 B 远离些。以点 A 为圆心作半径为 2 的圆,以点 B 为 圆心作半径为 3 的圆。如下图所示:

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增加圆 A 移动到分别与圆 B 外切和内切的动画按钮,操作步骤如下: (3)作点 A 的动画按钮,如下图所示,设置动画频率为:300,设置参数 a 的范围为: a 到 b-5,选择运动类型为:一次运动,设置按钮的名称为:外切。

(4)作点 A 的动画按钮,如下图所示,设置动画频率为:300,设置参数 a 的范围为: a 到 b-1,选择运动类型为:一次运动,设置按钮的名称为:内切。 作出两圆的交点和公切线,具体操作如下: (5)通过【作图】菜单中【点】子菜单下的【两个圆的交点】命令或者进入画笔状态 后直接点击,作出两个圆的交点 C、D。 (6)同时选择圆 A 和圆 B,通过【作图】菜单中【线段、向量、射线和直线】子菜单 下的【两圆的公切线】命令作出两圆的四条公切线。 增加控制四条公切线显示或隐藏的开关按钮,操作如下: (7)在左边的对象工作区中,选择四条公切线,单击【课件】菜单中的【隐藏和显示 按钮】命令,增加控制这四条直线的【隐藏对象】按钮和【显示对象】按钮。 (8)同时选择【隐藏对象】按钮和【显示对象】按钮,单击【课件】菜单中的【序列 按钮...】命令,在弹出的对话框中输入按钮的名称:公切线,单击【确定】按钮完成。

(9)将【隐藏对象】按钮和【显示对象】按钮隐藏。 通过拖动点 A 或者拖动点 B 可以改变两圆的位置关系,单击【外切】按钮则圆 A 移动 到与圆 B 外切的位置,单击【内切】按钮则圆 A 移动到与圆 B 内切的位置。几种情形如下 如所示:

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单击【公切线】按钮,则隐藏公切线;再次单击【公切线】按钮,则公切线被重新显示。 【思考与练习】 (1)增加控制两圆的交点开关按钮【交点】 。 (2)可以根据需要增加两圆半径大小的说明文本,并测量两圆的圆心距。 (3)与圆 B 外切(内切)时,圆 A 可能有两个位置,请增加圆 A 移动到另外一个位置 的动画按钮。 (4)若点 A 和点 B 是平面上的完全自由点,以点 A 为圆心的圆的半径为 2,以点 B 为 圆心的圆的半径为 3。如何设计点 B 的运动,使得圆 B 与圆 A 分别外切和内切?

2.12 研究圆幂定理
相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线定理统称为圆幂定理。计算机可以直观、连 续地将一种形式转化为另一种形式,从而反映圆幂定理几种形式之间的联系与统一。 (1)在新建文档中,作出任意点 A,并以点 A 为圆心作半径为 2 的圆。 (2)在圆 A 外任意取一点 B,在圆 A 的圆周上任一取一点 C,连接线段 BC,作出线段 BC 与圆 A 的另外一个交点 D,结果如下图所示:

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(3) 经过点 B 作出圆 A 的一条切线, 作出切线与圆的交点 E, 隐藏切线, 连接线段 BE。 结果如下图所示:

拖动圆上的点 C, 可以发现, 当点 C“越过”点 E 到达靠近点 B 的圆弧上时, 如下图所示, 点 C 和点 D 重合在一起。

因为直线与圆有两个交点, 而计算机并不能识别我们在什么时候需要显示两个交点中的 哪一个。所以,就出现了这种情形。下面我们设计一种方法解决这个问题: (4)将点 C 拖动到左边位置,删除点 D。 (5)作出点 A 到直线 BC 的垂足 F 和垂线段 AF。 (6)作出点 C 关于直线 AF 的轴对称点 G,结果如下图所示:

(7)隐藏线段 AF 和点 F。将点 G 的名字修改为 D,将点 B 的名字修改为 P,连接线 段 PD。 (8)按照以上的方法,作出另外一条割线 PMN,结果如下图所示:

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(9)测量线段 PC、PD、PM、PN 的长度,计算线段 PC 和 PD 的长度之积,计算线段 PM 和线段 PN 的长度之积。 (10)测量线段 PE 的长度,计算线段 PE 的长度的平方。结果如下图所示:

若将点 P 拖动到圆 A 之内,则有如下的情形:

其中点 C 和点 M 是圆上的任意点可以被拖动。

2.13 制作七巧板游戏
首先制作一个七巧板的模板: (1)作任意正方形 ABCD。 (2)继续作出如下图所示图形,中点 E 为线段 AC 的中点,点 F 为边 AB 的中点,点 G 为边 BC 的中点,H 为线段 FG 的中点,FI⊥AC 于点 I,点 J 为线段 EC 的中点,CGHJ 为平行四边形。

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通过克隆多边形制作一付七巧板: (3)依次选择点 A、点 D 和点 E,单击【作图】菜单中【常见多边形】子菜单下的【克 隆多边形】命令。得到三角形 ADE 的克隆多边形 A'D'E'。 对于克隆得到的多边形 A'D'E',选择点 A'可以平移该多边形;选择点 D'可以使得该多 边形绕点 A'旋转。 单击克隆多边形内部并按住拖动可以平移多边形, 双击多边形内部可以使 多边形绕点 A'逆时针旋转 45° 。 克隆得到的多边形中,不同的顶点会有不同的作用:在执行【克隆多边形】命令之前, 所选择的第一个点(在这里为点 A)对应克隆得到的多边形上的点(在这里为点 A') ,可以 平移克隆多边形;所选择的第二个点(在这里为点 B)对应克隆得到的多边形上的点(在这 里为点 B') ,可以绕第一个点旋转克隆多边形;其他的点不能被拖动。 (4)重复步骤(3)的类似操作,得到三角形 AFI 的克隆多边形,得到三角形 BGF 的 克隆多边形,得到四边形 EIFH 的克隆多边形,得到三角形 HJE 的克隆多边形,得到四边 形 CGHJ 的克隆多边形,得到三角形 DCE 的克隆多边形。结果如下图所示:

对作图区中的内容进行修饰: (5)将原来正方形 ABCD 内的所有对象隐藏。 (6)单击【编辑】菜单中【所有点的名字】命令,隐藏所有点的名字。 (7)将七巧板不同的板块填充不同的颜色。 (8)可以根据需要,隐藏所有的点。结果如下图所示:

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【思考与练习】 (1)根据制作的七巧板,拼成几种图案,并给它们命名一个名字。 (2)如下图所示,为十五巧板模板以及用十五巧板拼成的图案,请你制作一副十五巧 板,并用它拼成几种图案。

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2.14 勾股树*
画出已知线段为斜边的直角三角形,操作如下: (1)在新建文档中,隐藏坐标系;任意线段 AB。 (2)依次选择点 B 和点 A 单击鼠标右键,在快捷菜单中单击“点绕点的旋转放缩点”, 如下图所示,其中旋转角(角度)为:t,放缩比例为:cos(t*pi/180),得到将点 B 绕点 A 旋 转并放缩后的点 C。

插入参数 t 的变量控制尺,具体操作如下: (3)单击【插入】菜单中的【变量对象...】命令,如左下图所示在弹出的对话框中, 输入变量:t,设置最小值为:0,最大值为:90。结果如右下图所示,而在参数 t 的变量控 制尺中最小值是-4.40,这是因为参数 t 的初始值为-3.40,在我们设定的范围[0,90]之外, 所以变量控制尺中系统自动将最小值设置为-4.40(-3.40 减去 1 而得到的结果) 。

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(4)在变量控制尺中,将参数 t 的值拖动到 40 左右,然后重新打开参数 t 的变量控制 尺的属性对话框,将最小值修改为 0。 分别以 AC、CB 为边作正方形,具体步骤如下: (5)依次选择点 A 和点 C,通过【作图】菜单中【常见多边形】子菜单下的【正方形】 命令做出正方形 ACDE;依次选择点 C 和点 B,做出正方形 CBFG。 (6)将所有的线段删除。以点 A、点 C、点 D 和点 E 为顶点构造多边形,以点 C、点 B、点 F 和点 G 为顶点构造多边形。结果如下图所示:

接下来,我们要将点 E 和点 D 分别当作点 A 和点 B,重复以上的操作。同时对点 G 和 点 F 也重复相同的操作。因为在我们上面的操作过程中,计算机已经将我们前面作图的过 程以及图形之间的几何关系悄悄记录下来了(通过左边的对象工作区可以查看) 。那么,计 算机可以通过图形之间的几何关系递推式地构造出后面的图形, 在计算机中这种图形之间的 递推关系就叫做迭代。下面我们建立一个迭代: (7)选择全部几何图形,单击【作图】菜单中【宏或迭代】子菜单下的【新建宏或迭 代】命令。 (8)如下图所示,在迭代对话框中可以看到“新产生对象”列表中的内容是由“入口点” 中的对象所产生。

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(9)如下图所示,我们可以在左上角“迭代和宏名称”编辑框中将迭代的名称修改为: 毕达哥拉斯树。在“新产生对象”列表下方,依次双击点 E 和点 D,将它们增加到“迭代点” 列表中,作为一组迭代点;依次双击点 G 和点 F,作为第二组迭代点。

(10)在左下角中,设置迭代“次数”为:5、设置“延迟时间(毫秒)”为:2000。 (11)在“新产生对象”列表中单击点 C 将其状态设置为:隐藏,重复类似操作将点 D、 点 E、点 F、点 G 的状态均设置为:隐藏。 (12)单击【确定】按钮完成。 画出一个树干,并画出毕达哥拉斯树,操作如下: (13)新建一个文档,隐藏坐标系。插入参数 t 的变量控制尺,并将参数 t 的值改变到 40 左右。

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(14)任作一个矩形 ABCD,并将其内部填充,如下图所示:

(15)依次选择点 D 和点 C,单击【作图】菜单中【宏或迭代】子菜单下的【毕达哥拉 斯树[迭代]】命令,结果是每间隔 2 秒作出一层图形。最后的图形如下图所示:

(16)如左下图所示,在左边对象工作区中选择“对象组:毕达哥拉斯树”,然后通过工 具条栏中的【填充颜色】工具,选择一种填充颜色。将下面不同层次的迭代对应的对象组也 设置不同颜色的填充。结果如右下图所示:

【思考与练习】 (1)我们上面建立的迭代命令,就软件系统中的其他命令一样,可以被保留和反复调 用。 (2)在什么都不选择的情况下,单击【作图】菜单中【宏或迭代】子菜单下的【新建 宏或迭代】命令,可以打开“迭代对话框”对已建立的迭代进行编辑。

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(3)当迭代次数为 0 时,就叫做宏。 (4)通过本节学习的内容,完成下列图案。

2.15 二叉树*
首先增加参数的变量控制尺,并将对应的参数设置在一定的范围之内: (1)增加参数 a、b、c、d 的变量控制尺,如下图所示,设置参数 a 的改变范围为:0 到 1,设置参数 b 的改变范围为:1.5 到 5,设置参数 c 的改变范围为:0 到 1,设置参数 d 的改变范围为:1.5 到 5。

生成一个迭代对象: (2)画任意线段 AB。 (3) 做出点 A 绕点 B 的旋转放缩点 C, 放缩参数为 a, 旋转角参数 (度数) b*180/pi。 为: (4) 做出点 A 绕点 B 的旋转放缩点 D, 放缩参数为 c, 旋转角参数 (度数) d*180/pi。 为: 如下图所示:

(5)选择点 A、点 B、点 C、点 D、线段 AB、线段 BC 和线段 BD,单击【作图】菜单 中【宏或迭代】子菜单下的【新建宏或迭代】命令。 (6)如下图所示,将迭代的名称修改为:二叉树;设置两组迭代点,分别为点 B 和点 C,点 B 和点 D;在“新产生对象”列表中设置点 C 和点 D 的属性为:隐藏;设置迭代的次数 为:5。

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(7)单击【确定】按钮完成。 生成二叉树: (8)删除点 C 和点 D。 (9)依次选择点 A 和点 B,单击【作图】菜单中【宏或迭代】子菜单下的【二叉树】 命令,结果如下图所示:

对图形进行修饰: (10)如左下图所示,在左边对象工作区中,右键选择 17 号对象“对象组:二叉树”, 打开对象组的属性对话框;如右下图所示,设置画线宽度为:6,设置画线颜色为:深红色。

(11)设置 28 号对象的画线宽度为:5,画线颜色为:深红;设置 49 号对象的画线宽

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度为:4,画线颜色为:深红;设置 90 号对象的画线宽度为:3,画线颜色为:深红;设置 171 号对象的画线宽度为:2,画线颜色为:深绿;设置 332 号对象的画线颜色为:绿色。 (12)隐藏点 A 和点 B 的名字。 改变参数 a 或者参数 b 或者参数 c 或者参数 d 的大小,二叉树会呈现不同的形状。 下面 是几种情况:

【思考与练习】 (1)继续操作,使得小树一层一层地生长。 将第一层迭代对象的 Alpha 通道设置为:255*sign(n,1); 将第二层迭代对象的 Alpha 通道设置为:255*sign(n,2); 将第三层迭代对象的 Alpha 通道设置为:255*sign(n,3); 将第四层迭代对象的 Alpha 通道设置为:255*sign(n,4); 将第五层迭代对象的 Alpha 通道设置为:255*sign(n,5)。 然后增加参数 n 的动画按钮,设置动画运动的频率为:5,参数范围为:0 到 6,运动的 时间间隔为 1000 毫秒,运动类型为:一次运动。 完成后,单击动画按钮,过程如下:

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(2)按照小树的生长规律,从小到大都是有绿叶的,如下图所示,那么如何设置呢?

(3)以下图案是同一个图形的三种情形,利用迭代功能,请制作这个图形。

2.16 多边形的密铺*
(一)任意三角形的密铺 (1)在新建文档中,隐藏坐标系,作出任意三个点 A、B、C。 (2)作出点 A 和点 C 之间的中点(若作出了线段 AC,则将它删除) 。 (3)作出以点 A、点 B 和点 C 为顶点的多边形。选择多边形 ABC,将其内部填充,多 次单击工具条中的【增加透明】工具,增加其透明度。结果如下图所示:

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(4)作出多边形 ABC 关于点 D 的中心对称图形,将中心对称图形内部填充为其它颜 色,如下图所示:

(5)将有向线段 BC 设置为平移向量,将多边形 ABC 及其中心对称图形平移,平移得 到图形处于被选中状态,继续执行平移命令,得到新的平移图案,重复几次,结果如下图所 示:

(6)以有向线段 BA 为平移向量,选定所有的多边形,执行平移命令,平移得到的图 形处于被选中状态,继续执行平移命令,得到新的平移图案,重复几次,结果如下图所示:

(7)隐藏点 D。 这样就得到了任意三角形的密铺图案。 (二)四边形的密铺 (1)在新建文档中,隐藏坐标系;任意画四个点 A、B、C、D。 (2)作出点 A 和点 D 之间的中点 E,点 C 和点 D 之间的中点 F。 (若同时做出了线段 AD、CD,则将其删除) (3)以点 A、点 B、点 C 和点 D 为顶点,作多边形,将其内部填充,并增加透明度。 结果如下图所示:

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(4)作出多边形 ABCD 和点 C 关于点 E 的中心对称图形,将旋转得到的多边形内部填 充为另外一种颜色。 (5)作出多边形 ABCD 和点 B 关于点 F 的中心对称图形,将旋转得到的多边形内部填 充为另外一种颜色。 (6)以有向线段 BD 为平移向量,将多边形 ABCD 平移,将平移得到的多边形内部填 充为重新选择一种填充颜色。结果如下图所示:

(7)将有向线段 AH 标记为平移向量,将四个多边形对象平移,平移得到图形处于被 选中状态,继续执行平移命令,得到新的平移图案,重复几次,结果如下图所示:

(8)将有向线段 BG 标记为平移向量,选定所有多边形,执行平移对象命令,平移得 到图形处于被选中状态,继续执行平移命令,得到新的平移图案,重复几次,结果如下图所 示:

(9)将点 E、点 F、点 G 和点 H 隐藏。 这样就做出了任意四边形的密铺图案。拖动四边形 ABCD 的顶点,可以改变其形状,

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如下图所示,四边形 ABCD 也可以是凹多边形。

【思考与练习】 请动手作出下列密铺图案:

2.17 密铺曲线*
(一)基于等腰三角形的密铺曲线 (1)在新建页面中,画任意线段 AB。 (2)画与 AB 垂直的线段 BC。 (3)在线段 AB 两侧各取两个任意点 D、E。 (4)在点 A、点 C 之间任取三个任意点 F、G、H。如下图所示:

(5)依次选择点 A、点 D、点 E、点 B,作多边形;依次选择点 A、点 F、点 G、点 H、 点 C,作多边形。结果如下图所示:

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(6)打开多边形 ADEB 的属性对话框,如左下图所示,选择类型为:通过指定点的样 条曲线,结果如右下图所示:

(7)重复类似操作,将多边形 AFGHC 转换为样条曲线。 (8) 作出样条曲线 ADEB 关于直线 AB 的轴对称曲线, 轴对称得到的曲线的序号为 17, 将该曲线和点 B 按照向量 AB 进行平移,平移得到的曲线的序号为 18,平移得到的点为 I。 (9)作出样条曲线 AFGHC 关于直线 AB 的轴对称曲线,轴对称得到的曲线的序号为 20,将该曲线按照向量 AC 进行平移,平移得到的曲线的序号为 21。结果如下图所示:

(10)隐藏序号为 17 号和序号为 20 的曲线,隐藏线段 AB 和线段 BC。结果如下图所 示:

(11)将有向线段 BC 设定为平移向量,在左边的对象工作区中选择左图区中显示的 4 条曲线,执行平移命令,平移得到曲线处于被选中状态,继续执行平移命令,得到新的平移 图案,重复几次,结果如下图所示:

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(12)将有向线段 IA 设定为平移向量,在左边的对象工作区中选择作图区中显示的所 有曲线,执行平移命令,平移得到曲线处于被选中状态,继续执行平移命令,得到新的平移 图案,重复几次,结果如下图所示:

这就形成了以四条曲线为基础的平面密铺图案。 【思考与练习】 (1)点 D、点 E、点 F、点 G 和点 H,可以被任意拖动,从而改变曲线的形状,从而 可以设计出丰富多彩的图案, 下面就是设计的另外一种图案, 请你自己动手再设计一些有趣 的图案。

(2)将曲线 ADEB 和曲线 AFGHC 的类型修改为:折线段,结果如下图所示,得到了 密铺多边形。

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(二)基于平行四边形的密铺图案 (1)在新建文档中,画任意三点 A、B、C。 (2)如下图所示,作出曲线 ADEFB 和曲线 BGHIC。

(3)以有向线段 BA 为平移向量,将曲线 BGHIC 平移,得到序号为 16 的曲线;结果 如下图所示:

(4)以有向线段 BC 为平移向量,将曲线 ADEFB 平移、曲线 BGHIC 及其平移得到的 16 号曲线进行平移,将平移得到的曲线继续评议,几次平移之后,结果如下图所示:

(5)以有向线段 BA 为平移向量,选择除最下方的一行曲线之外的其他曲线,进行平 移,将平移得到的曲线继续平移,几次平移之后,结果如下图所示:

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这就形成了以两条曲线组成的曲边平行四边形为基础的平面密铺图案。 【思考与练习】 (1)点 D、点 E、点 F、点 G、点 H 和点 I,可以被任意拖动,从而改变曲线的形状, 从而可以设计出丰富多彩的图案,请你自己动手设计一些有趣的图案。 (2)将曲线 ADEB 和曲线 BGHIC 的类型修改为:折线段,结果如下图所示,得到了 密铺多边形。

(3)下面是基于曲边梯形的平面密铺图案,请你动手设计出这种图案。

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2.18 平面中的变换*
平面上我们所熟悉的变换, 大多数是可以用变换公式表示。 利用变换公式研究对应的变 换,能帮助我们更加透彻地研究变换的特点性质。 (一)旋转变换 平面上的一个点绕坐标原点 O 逆时针旋转 t 弧度的坐标变换公式是: x'=x*cos(t)-y*sin(t);y'=x*sin(t)+y*cos(t) 下面我们利用这个变换公式对执行的对象进行旋转: (1)在平面上任取一点 A,连接 OA。 (2)选择点 A 和线段 OA,单击【变换】菜单下的【几何对象的仿射变换...】命令,如 下图所示,在弹出的坐标变换公式输入对话框中输入对应的参数值:a1=cos(t),b1=-sin(t), x0=0,a2=sin(t),b2=cos(t),y0=0。

(3)单击【确定】按钮完成,得到点 B 和线段 OB。结果如下图所示:

(4)增加参数 t 的动画按钮,设置参数 t 的范围为:0 到 pi,选择运动类型为:一次运 动。 单击参数 t 的动画按钮,可以观察到点 B 从点 A 的位置出发,绕坐标原点 O 旋转了半 周。 单击按钮的中间部分--附按钮,则是上述过程的逆向过程。 【思考与练习】 (1)作任意三角形 ABC,通过坐标变换公式作出其关于坐标原点 O 的旋转图形 DEF。
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(2)展示 DEF 绕坐标原点 O 从三角形 ABC 的初始位置旋转到 ABC 关于点 O 中心对 称图形的位置。 (3)任作平面上一点 M,利用旋转变换公式,应该如何作出该点关于 y 轴的对称点? (4)你能求出关于平面上任意点 P(x0,y0)旋转的坐标变换公式吗?然后通过实验 检验你的结论。 (二)反射变换 平面上任意点 A(x,y)关于 x 轴的对称点 A'的坐标为(x,-y) ,相应的坐标变换公式为: x'=x;y'=-y 下面我们利用这个变换公式进行几何对象的反射变换: (1)任意作一个圆 A。 (2)选择圆 A 和点 A,单击【几何对象的仿射变换...】命令,如下图所示,在弹出的 坐标变换公式输入对话框中输入对应的参数值:a1=1,b1=0,x0=0,a2=0,b2=-1,y0=0。

(3)单击【确定】按钮完成,得到点 B 以及以它为圆心的圆周。结果如下图所示:

【思考练习】 (1)根据关于 y 轴对称的坐标变换公式,作出圆 A 关于 y 轴对称的图形。 (2)先作出函数 y=2^x 的图像,根据关于直线 y=x 对称的坐标变换公式,再作出它的 反函数的图像。

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(3)你能求出平面上的点 A(x,y)关于任意直线 y=k*x+b 对称的坐标变换公式吗? 然后通过实验检验你的结论。 (三)伸缩变换 在直角坐标系中,将点的 x 坐标变为原来的 k1 倍、将点的 y 坐标变为原来的 k2 倍的几 何变换叫做伸缩变换。对应的坐标变换公式为: x'=k1*x;y'=k2*y 下面我们利用伸缩的坐标变换公式将函数 y=sin(x)的图像上点的横坐标变为原来的 2 倍: (1)作函数 y=sin(x)在[-2*pi,2*pi]上的图像。 (2)选择该函数图像,单击【几何对象的仿射变换...】命令,在弹出的坐标变换公式 输入对话框中输入对应的参数值:a1=k,b1=0,x0=0,a2=0,b2=1,y0=0。 (3)将变换后的图像以红色虚线显示。 (4)增加参数 k 的动画按钮,设置参数 k 的范围为:1 到 2,选择运动类型为:一次运 动。结果如下图所示:

单击参数 k 的动画按钮,红色曲线从 y=sin(x)的位置出发,在 x 方向上伸长为原来的 2 倍。 单击按钮的中间部分--附按钮,则是上述过程的逆向过程。 【思考练习】 (1)在 x 方向上伸长为原来 2 倍后的函数曲线的方程表达式是? (2)通过坐标变换公式,由函数 y=sin(x)的图像得到 y=sin(2x)的图像,并展示动态变 换过程。 (3)通过坐标变换公式,由函数 y=sin(x)的图像得到 y=3sin(x)的图像,并展示动态变 换过程。 (4)你能求出平面上的点 A(x,y)关于点 P(x0,y0)为中心伸缩旋转的坐标变换 公式吗?然后通过实验检验你的结论。 (四)平移变换 在直角坐标系中,将点 P(x,y)在 x 方向、y 方向分别平移 x0、y0 个单位的几何变 换叫做平移变换。对应的坐标变换公式为: x'=x+x0;y'=y+y0 下面我们利用平移变换的坐标变换公式将函数 y=sin(x)的图像平移得到 y=sin(x+pi)的图 像: (1)作函数 y=sin(x)在[-2*pi,2*pi]上的图像。 (2)选择该函数图像,单击【几何对象的仿射变换...】命令,在弹出的坐标变换公式 输入对话框中输入对应的参数值:a1=1,b1=0,x0=pi,a2=0,b2=1,y0=0。

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(3)将变换后的图像以蓝色虚线显示。

【思考练习】 (1)通过坐标变换公式,由函数 y=sin(x)的图像得到 y=sin(x-pi/2)的图像,并展示动态 变换过程。 (2)通过坐标变换公式,由函数 y=sin(x)的图像得到 y=2+sin(x)的图像,并展示动态变 换过程。 (3)你能求出平面上的点 A(x,y)按照指定的向量 PQ 进行平移的坐标变换公式吗? 其中点 P 的坐标为(x1,y1) ,点 Q 的坐标为(x2,y2) 。然后通过实验检验你的结论。 (五)切变变换 对于下列坐标变换公式对应的变换叫作切变变换: x'=x+s*y;y'=y 或者 x'=x;y'=t*x+y 下面我们研究切变变换的性质: (1)作出以原点为圆心、半径为 2 的圆,作出圆的外切正方形。 (2)作出参数方程{x=2*sin(2*t);y=2*sin(3*t)*sin(5*t)}对应的曲线;设置样点的个数 为:500,参数 t 的范围:0 到 2*pi。结果如下图所示:

(3)选择曲线、圆和正方形,单击【几何对象的仿射变换...】命令,在弹出的坐标变 换公式输入对话框中输入对应的参数值:a1=1,b1=s,x0=0,a2=0,b2=1,y0=0。 (4)将变换得到的对象以红色虚线显示。结果如下图所示:

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(5)插入参数 s 的变量控制尺。 可以发现,原来的正方形变成了平行四边形,原来的圆变换成了椭圆,原来参数曲线经 过变换后形状也发生了改变。 除了这些改变的性质外,在这个切变变换中,有哪些性质是保持不变的? 【思考练习】 (1)将原来的图形,利用变换公式 x'=x,y'=t*x+y 进行变换。总结变换 x'=x,y'=t*x+y 的特点。 (2)将原来的图形,利用变换公式 x'=1.1*x+0.3*y,y'=0.2*x+0.9*y 进行变换。观察变 换后的图形,有哪些性质仍然保持? (六)变换的复合与性质 实数的乘法满足交换律,即 a*b=b*a。变换的乘法是否也满足交换律呢?即 AB=BA 是 否成立? (1)作出一个任意点 A 以及以点 A 为圆心的圆。 (2)将点 A 和圆 A 按照变换公式{x'=x;y'=-y}进行变换,得到点 B 和圆 B。 (3) 将点 B 和圆 B 按照变换公式{x'=cos(-pi/2)*x-sin(-pi/2)*y; y'=sin(-pi/2)*x+cos(-pi/2)*y} 进行变换,得到点 C 和圆 C。 (4) 将点 A 和圆 A 按照变换公式{x'=cos(-pi/2)*x-sin(-pi/2)*y; y'=sin(-pi/2)*x+cos(-pi/2)*y} 进行变换,得到点 D 和圆 D。 (5)将点 D 和圆 D 按照变换公式{x'=x;y'=-y}进行变换,得到点 E 和圆 E。结果如下 图所示:

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可以发现,点 C 和点 E 不在同一位置上,圆 C 和圆 E 也不重合。 【思考与练习】 请你设计两个满足交换律的变换。并进行实验,验证你的结果。 (七)变换的迭代 已知变换 A 对应的矩阵为: |a b| |c d| 利用变换 A 将点 P 得到点 P',再利用变换 A 将点 P'得到点 P'',再利用变换 A 将点 P' 得到点 P'', ......。 这样重复进行下去。 就得到了一组序列的点, 其中第 n+1 个点的坐标(x_n+1, y_n+1)可以表示为: x_n+1=a*x_n+b*y_n;y_n+1=c*x_n+d*y_n 其中(x_n,y_n)是第 n 个点的坐标。 与根据递推公式确定的数列相比较,这里的序列点的坐标公式有什么不同与联系? 数列是一系列数值,在这里我们所研究由同一个变换作用下的一系列点。 (1)作任意点 A。 (2)选择点 A,单击【作图】菜单下【点】子菜单中的【坐标关联点】命令,如下图 所示,设置新生成点的 x 坐标为 a*xxx0+b*yyy0,y 坐标为 c*xxx0+d*yyy0。其中(xxx0, yyy0)是所选择的点 A 的坐标。

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(3)单击【确定】按钮后作出点 B。 (4)为了观察的方便,连接线段 AB。 (5)增加参数 a、b、c、d 的动画按钮和变量控制尺。 (6)同时选择点 A、点 B 和线段 AB,单击【作图】菜单下【宏和迭代】子菜单中的【新 建宏和迭代】命令,如下图所示,弹出迭代对话框,在左上角“迭代和宏名称”编辑框中将迭 代的名称修改为:复合线性变换。在“新产生对象”列表下方,双击点 B,将它增加到“迭代 点”列表中,作为一组迭代点。

(7)在左下角中,设置迭代“次数”为:300;单击【确定】按钮完成。 (8)选择点 B,单击【作图】菜单下【宏和迭代】子菜单中的【复合线性变换】命令, 作出之后的 300 个序列点。 下面是参数 a、b、c、d 取几组数值时对应序列点的图像:

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通过改变参数 a、b、c 或者 d 的值,能够改变变换的性质。 对于上面的每一种情况下的图形你能发现哪些规律? 若继续作出后面 300 个序列点,这些新做出的点将如何分布? 选择最后一个序列点,单击【复合线性变换】命令即可作出后面的 300 个点,验证你的 结论。 拖动点 A,观察每种情况下,点 A 对后面的序列点的位置的影响。 【思考与练习】 (1)当 a=1,c=1,d=0 时,观察参数 b 对序列点的位置的影响。 (2)当 a=1,b=0,c=1 时,观察参数 d 对序列点的位置的影响。 (3)当 b=0,c=1,d=0 时,观察参数 a 对序列点的位置的影响。 (4)当 a=1,b=0,d=1 时,观察参数 c 对序列点的位置的影响。 (5)请你研究其他情况下,序列点的位置的变化规律及性质。 (八)仿射变换 线性变换不能保持两点的距离,不能保持图形的形状。但是对于,可逆的线性变换将直 线仍变成直线,平行直线经过变换后仍保持平行关系。正方形变成了平行四边形,形状改变 了, 但平行四边形还是变成平行四边形, 这就是不变的性质; 圆可以变成椭圆, 形状改变了, 然而若将圆看成是长轴和短轴相等的椭圆,则还是椭圆变成椭圆,这也是不变的性质。 可逆的线性变换、平移变换以及他们的复合变换,构成一个变换群,称为仿射变换群。 研究在这个群的作用下不变的性质的学科,就是仿射几何。 下面我们举一个熟悉的例子: (1)作以原点 O 为中心、半径为 1 圆。 (2)作出圆与 x 轴负半轴的交点 A,作出圆与 y 轴正半轴的交点 B。 (3)依次选择点 O、点 A、点 B,单击【变换】菜单下【指定仿射变换】命令。 再次展开【变换】菜单,可以看到【指定仿射变换】命令的名称变为【仿射变换[三角 形[(0,0)(1,0)(0,1)->三角形 OAB]”。三角形(0,0)(1,0)(0,1)就是对应原来坐标系。 你能写出这个仿射变换的变换公式吗?这是一个什么变换?

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继续操作: (4)在圆上任取一点 C。 (5) 依次选择点 O、 C、 B, 【变换】 点 点 单击 菜单下 【仿射变换[三角形[(0,0)(1,0)(0,1)-> 三角形 OAB]】命令。 再次展开【变换】菜单,可以看到【仿射变换[三角形[(0,0)(1,0)(0,1)->三角形 OAB]】命 令的名称变为【仿射变换[三角形 OAB->三角形 OCB]”。 你能写出这个仿射变换的变换公式吗?这是一个什么变换? 继续操作: (6)作任意正方形 DEFG。 (7)填充正方形 DEFG 的内部。 (8)选择点 D、点 E、点 F、点 G 以及正方形 DEFG 的内部,单击单击【变换】菜单 下【几何对象的仿射变换】命令,如下图所示,结果作出变换后的图形。

可以发现变换后的图形为一个平行四边形。 原来的正方形 DEFG 相比较, 有什么变化? 有哪些不变的关系? 拖动点 C,可以使得平行四边形以 y 轴所在直线为轴进行翻折。 【思考与练习】 (1)增加点 C 的动画按钮,设置参数范围为:pi 到 2*pi,运动类型为:一次运动。单 击动画按钮,运动结束后,变换后的图形与正方形 ABCD 之间有什么关系? (2)先后两个仿射变换的复合变换的变换公式是什么? (九)射影变换 (1)作坐标点 A(4,0) 、B(2,0) (1,0) 、C 、D(-1,0) 、E(1,2) 。 (2)连接线段 AE、BE、CE、DE。 (3)在线段 AE、BE、CE、DE 分别取点 F、G、H、I。结果如下图所示:

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下面将线段上的点按照下列变换公式进行变换: x'=x/(y-2);y'=y/(y-2) (4)选择点 F,单击【作图】菜单下【点】子菜单中的【坐标关联点】命令,设置新 生成点的 x 坐标为 xxx0/(yyy0-2),y 坐标为 yyy0/(yyy0-2)。其中(xxx0,yyy0)是所选择的 点 F 的坐标。结果得到点 J。 (5) 重复类似操作, 利用上面的变换公式将点 G 变换得到点 K, 将点 H 变换得到点 L, 将点 I 变换得到点 M。结果如下图所示:

(6)跟踪点 J、点 K、点 L、点 M。并设置跟踪颜色为红色。 同时选择点 F、G、H、I,通过键盘中的向上方向键↑或向下方向键↓,让它们同时运动, 得到点 J、K、L、M 运动的跟踪图形,结果如下图所示:

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【思考练习】 (1) 点 J、K、L、M 运动过的轨迹分别是什么图形?与变换前的线段 AE、BE、CE、 DE 相比较,有什么变化? (2)这个变换是可逆变换吗?若是可逆变换求出它的变换公式,并通过实验检验你的 结论。 (3)为了更加直观地观察 J、K、L、M 运动过的图形,请构造出他们的轨迹图形。 (4)以坐标原点 O 为圆心、作半径为 r 的圆,在圆 O 上任取一点 P,利用上面的变换 公式将点 P 变换到点 Q,构造点 P 驱动下点 Q 的轨迹。改变半径 r 的大小,观察点 Q 的轨 迹图形。点 Q 的轨迹图形是什么形状?半径 r 对它有什么影响? (5)与线性变换相比较,上面的变换有哪些不同?它改变了哪些关系?而哪些性质又 保持不变?

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第三部分 函数及图像

3.1 二次函数的图像
作函数 y=x^2 的图像,具体操作步骤如下: (1)在新建文档中,在作图区空白处单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【函数或参数 方程曲线...】命令,弹出函数作图对话框。 (2)如下图所示,在“y=”对应的编辑框中输入:x^2,单击【确定】按钮完成,作出 2 y=x 的图像。

(3)在对象工作区中单击第 4 号对象“对象组:坐标系”前面的加号“+”,展开对象组的 列表。 (4)鼠标指向第 0 号对象“直角坐标系 O-xy”,单击右键,即可打开它的属性对话框。 (5)如左下图所示,在属性对话框中选择“显示刻度”选项和“画坐标网格”选项,单击 【确定】按钮完成。结果如下图所示:

若我们希望探索函数 y=1/2*(x-a)2-1 在区间[m,n]上最值的情况,则可以对作出的曲线的 表达式进行修改。操作步骤如下:
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(6)鼠标指向曲线,双击,打开其属性对话框。如下图所示,将曲线表达式修改为: 1/2*(x-a)^2-1,设置参数(变量)的范围为:m 到 n。

(7)单击【确定】按钮完成,结果如下图所示,并未在作图区中出现函数曲线,原因 何在呢?请继续下面的操作。

(8)如下图所示,作坐标点 A(m,0) 、B(n,0) 、C(a,-1) ,其中点 A、点 B、点 C 的“x 拖动”参数分别设置为:m、n、a。

(9)结果如下图所示,可以观察到点 A 和点 B 靠得很近,也就是说参数 m 和参数 n 的初始值大小相差很小,那么函数的图像只有很小的一段,且在相对上方的位置。

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(10)向右拖动点 B,增大参数 n 的值;也可以再往右拖动点 A,向左拖动点 C。结果 如下图所示:

(11)如下图所示,作坐标点 D(m,1/2*(m-a)^2-1) 、E(n,1/2*(n-a)^2-1) 。

(13)连接线段 AD、BE,并将线段 AD 和 BE 的画笔“线型”设置为:虚线。 (14)将点 A 的名字修改为:m,将点 B 的名字修改为:n,将点 C 的名字修改为:a。 结果如下图所示:

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(15)选择曲线,单击工具栏中【放大】工具,增加曲线的画线宽度;设置曲线的画线 颜色为红色。 可以让参数 m、n、a 取不同的数值,则对应不同的情况,如下图所示:

【思考与练习】 (1)请测量出点 D 和点 E 的直角坐标,以能够直接读出函数的最值,以及对应的 x 取 值。 (2)作出函数 y=a*(x-k)^2+h,要求当 a、k、h 改变过程中,曲线总是能够显示对称轴 两侧等距离的图像。如下图所示:

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3.2 反比例函数的图像
画 y=1/x 的图像,具体操作如下: (1)在新建文档中,在作图区空白处单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【函数或参数 方程曲线...】命令,弹出函数作图对话框。 (2)在“y=”对应的编辑框中输入:1/x,单击【确定】按钮完成,作出 y=1/x 的图像, 增加曲线的宽度,并设置画线颜色为红色,结果如下图所示。

上面画出的图像,双曲线的左右两支之间连结了起来,是不正确的。为什么会出现这种 现象呢? 事实上,计算机画函数图像是通过取一定数量的样点,然后将相邻两样点连结起来。样 点的个数越多,曲线画得越准确。下面我们增加曲线取样点的个数,操作如下: (3)双击曲线,打开其属性对话框,如下图所示,将“曲线的点数”修改为:500。

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(4)单击【确定】按钮完成,结果如下图所示:

在曲线作图对话框中还有一个属性为“间断点最小值(单位:坐标)”,缺省情况下属性 值为:20。它表示的意义是,描绘曲线的相邻两样点之间的距离若不大于这个属性值(在这 里是 20)则两点之间连接起来,否则不连线。所以,我们可以将“间断点最小值”的属性值 设置得小一些。操作如下: (5)打开曲线的属性对话框,将“曲线的点数”重新修改为:50,将“间断点最小值”设 置为:10,单击【确定】按钮完成。

请你将最后画出的曲线,跟前面的函数图像进行比较。 【思考与练习】

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如下图所示,为函数 y=sin(x^2)在区间[-2*pi,2*pi]上的图像,请你在计算机中将它画出 来。

3.3 指数函数及其反函数的图像*
画函数 y=a^x 的图像,操作如下: (1)在新建文档中,在作图区空白处单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【函数或参数 方程曲线...】 命令, 在“y=”对应的编辑框中输入: a^x, 设置“曲线的点数”为: 5000, 单击 【确 定】按钮完成,作出 y=a^x 的图像,增加曲线的宽度,并设置画线颜色为红色,结果如下图 所示。 作出直线 y=x,操作如下: (2)选择坐标原点 O,单击【作图】菜单中【线段、向量、射线和直线】子菜单下的 【直线】命令,弹出构造直线对话框,如下图所示,已经缺省选定了构造直线的方式为:点 和斜率,在“斜率”对应的编辑框中输入:1。

(3)单击对话框中的【画笔】选项卡,设置画笔“类型”为:虚线,单击【确定】按钮 完成。 作出曲线 y=a^x 关于直线 y=x 的轴对称图像,操作如下: (4)依次选择曲线 y=a^x 和直线 y=x,单击鼠标右键,在弹出的快捷菜单中单击【关 于直线的轴对称图形】命令,得到 y=a^x 关于直线 y=x 的对称曲线。 (5)将对称得到的曲线的画线颜色设置为:蓝色。结果如下图所示:

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将红色曲线的方程改为对数方程,操作如下: (6)打开曲线 y=a^x 的属性对话框,如左下图所示,将函数的表达式修改为:log(a,x), 单击确定按钮,如右下图所示:

【思考与练习】 (1)插入参数 a 的变量控制尺。 (2)观察当 a 取不同情况的数值时,探讨对数函数 y=log(a,x)与其反函数图像交点的情 况。

3.4 参数方程曲线
半径为 1 的圆 A 沿 x 轴无滑动的滚动,在起始位置点 B 与坐标原点 O 重合。当圆滚动 一段时间距离后,点 B 绕点旋转过的角度为 a 弧度,则圆心 A 在水平位置上平移过的距离 OO'也为 a。

跟踪点 B 得到的轨迹图形就是旋轮线。 容易推导,点 B 的轨迹所在旋轮线的方程可表示为:
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化简后得到:

由此, 我们可以直接画出半径为 1 的圆在 x 轴上无滑动地滚动时, 圆周上一点对应的旋 轮线,操作如下: (1)在作图区空白处单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【函数或参数方程曲线...】命 令,如下图所示,选择函数的类型为:参数方程,在“x=”对应的编辑框中输入:a-sin(a),在 “y=”对应的编辑框中输入:1-cos(a)。

(2)在“参数范围”一行的中间编辑框中输入:a,将 a 设置为参数方程的参数。设置参 数范围为:-4*pi 到 4*pi,单击【确定】按钮,结果如下图所示:

下面我们作出一个圆, 在该圆上任意取一点跟踪后得到的图形都是旋轮线。 首先作出圆 心及圆周上的点,操作如下: (3)在新建文档中,作坐标点 A(a,1) 、B(a-sin(a),1-cos(a)) ,其中点 A 的 x 拖动 参数设置为 a。

(4)跟踪点 B。如下图所示,拖动点 A,则点 B 留下的踪迹就是旋轮线。

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作出从点 B 出发、以点 A 为圆心的圆形曲线,操作如下: (5)在作图区空白处单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【函数或参数方程曲线...】命 令,如下图所示,选择函数的类型为:参数方程,在“x=”对应的编辑框中输入:a-sin(a+u), 在“y=”对应的编辑框中输入:1-cos(a+u)。

(6)在“参数范围”一行的中间编辑框中输入:u,将 u 设置为参数方程的参数。设置参 数范围为:0 到 2*pi,单击【确定】按钮,结果如下图所示:

(7)进入画笔状态,在圆形上任意取一点 C,跟踪点 C。 拖动点 A 的过程中可以观察到点 C 的轨迹图形,如下图所示,

点 C 可以在圆周上被任意拖动,但结果跟踪点 C 留下的图形始终是旋轮线,只是相位 会有区别。 【思考与练习】 (1)通过上面的步骤(5)(6) 、 ,我们可以明白圆形是从点 B 出发绕点 A 旋转一周的 曲线。 (2)在上面的作图过程中,点 B 只是帮助我们理解作出的圆形曲线。你可以将它和它

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的跟踪对象隐藏或者删除,可以刚开始不作出这个点。 (3)当圆的半径为 R 时,请你重新设计上面的实验。 (4)若半径为 r 的圆沿半径为 R 的圆无滑动地滚动时,动圆周上一点 M 所描成的轨迹 也是旋轮线,它的轨迹方程可表示为:

t 为参数,表示动圆的圆心从 x 轴正方向上出发旋转过的角度。 请你设计一个圆在圆上滚动的实验。 使得在滚动的圆上任意取一点, 跟踪得到的图形都 是旋轮线。

3.5 极坐标方程曲线
如下图所示,是我们前面所构造的四叶玫瑰曲线。

四叶玫瑰曲线可以用极坐标方程标示为:ρ=sin(2θ)。 下面我们通过函数方程直接作出四叶玫瑰曲线,操作如下: (1)在作图区空白处单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【函数或参数方程曲线...】命 令, 如下图所示, 选择函数的类型为: 极坐标:ρ=f(θ), 在“ρ=”对应的编辑框中输入: sin(2*thet) (其中 thet 是希腊字母 θ 的单词的前 4 个字母,在这里表示 θ)

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(2)在“参数范围”一行设置参数 thet 的范围为:0 到 2*pi。设置画笔颜色为:红色, 单击【确定】按钮,结果如下图所示:

将坐标系设置为极坐标系,操作如下: (3)打开坐标系的属性对话框。如下图所示,在属性对话框中选择“画坐标网格”选项, 并选择“坐标系类型”为:极坐标系。

(4)单击【确定】按钮,结果如下图所示:

【思考与练习】 (1)方程 ρ=3sin(2θ)表示半径为 3 的四叶玫瑰曲线。请你作出半径为 R 的四叶玫瑰曲 线。 (2)方程 ρ=5sin(nθ)也是玫瑰曲线。做出 n 为整数时的半径为 5 的玫瑰曲线,并改变

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参数 n 的值,观察玫瑰曲线的变化特点。 (3)方程 ρ=5cos(2θ)对应的曲线也是四叶玫瑰线,请你作出该方程对应的曲线,并与 方程 ρ=5sin(2θ)对应的四叶玫瑰曲线进行比较,说出他们的联系与区别。

3.6 分段函数的图像
如下图所示,阶梯函数是一个分段函数,对于任何一个 x,对应函数的值是比 x 小的最 大整数。

下面我们作出阶梯函数的图像,操作如下: (1)在新建文档中,显示坐标网格。 (2)在作图区空白处单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【函数或参数方程曲线...】命 令,在“y=”对应的编辑框中输入:floor(x),设置“曲线的点数”为:500,设置变量 x 的范围 为:-4 到 4,单击【确定】按钮完成,结果如下图所示:

这里我们做出的图形是不符合要求的曲线,原因在于它将上下两段连接起来了。 通过前面的学习, 我们知道只要在曲线的属性对话框中将“间断点的最小值”设置为小于 1 的值即可。操作如下: (3)双击曲线,打开其属性对话框,如下图所示,将“间断点的最小值”设置为:0.9。
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(4)单击【确定】按钮完成,结果如下图所示:

对于阶梯函数的每一段, 应该是包含左端点而不包含右端点。 我们通过画曲线的方式一 次性地作出每一段的左端点。操作如下: (5)在作图区空白处单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【函数或参数方程曲线...】命 令,如下图所示,在“y=”对应的编辑框中输入:x,设置“间断点的最小值”为:0.5,设置“曲 线的点数”为:8,设置变量 x 的范围为:-4 到 3,选择“画点”选项,设置“点的大小”为:2。

(6)在【画笔】选项卡中,设置画线的宽度为:2,单击【确定】按钮完成,结果如下 图所示:

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分段函数 g(x)的表达式如下:

这是常见的分段函数的表达形式。 为了画出这种形式的分段函数的图像, 我们需要了解 符号函数 sign(a,b)。 a 和 b 是符号函数的两个参数,当 a 大于 b 时,sign(a,b)的结果是 1;当 a 不大于 b 时, sign(a,b)的结果是 0。 所以上面 g(x)的表达式可以表示为:y=sign(2,x)*x^2+(1-sign(2,x))*(4-x)^2。 当 x<2 时,sign(2,x)为 1,则 y=1*x^2+(1-1)*(4-x)^2=x^2; 当 x≥2 时,sign(2,x)为 0,则 y=0*x^2+(1-0)*(4-x)^2=(4-x)^2。 下面我们画出 g(x)在区间[-2,6]上的图像,操作如下: (7)在新建文档中,在作图区空白处单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【函数或参数 方 程 曲 线 ... 】 命 令 , 如 下 图 所 示 , 在 “y=” 对 应 的 编 辑 框 中 输 入 : sign(2,x)*x^2+(1-sign(2,x))*(4-x)^2,设置“曲线的点数”为:500,设置变量 x 的范围为:-2 到 6,单击【确定】按钮完成,结果如下图所示:

【思考与练习】

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(1)画出下列函数的图像:

(2)画出下列函数的图像:

3.7 变换得到 y=a(x+m)^2+k 的图像
[作业:变换得到 y=Asin(bx+c)+h 的图像]

3.8 描点连线画函数图像*
通过先列表后描点再连线的方式, 是一般数学教材向学生阐述画函数图像通用方法。 例 2 如刚开始学习画函数 y=x 的图像时,其过程基本上都是: (1)x 取-3,-2,-1,0,1,2,3,然后 y 取对应的数值。 (2)将对应的点在坐标系中描出来。 (3)最后“用光滑的曲线顺次连接各点”。 于是就得到函数 y=x2 的图像。 也有的教材将第(3)步中的“光滑”叙述成“平滑”。 而无论是“平滑”或者“光滑”,对于中学生尤其是初中阶段的学生是无法理解的,而且老 师根据学生知识的掌握情况,也是难以说清楚的。 但是学生对直线形(例如线段、多边形)是熟悉的。所以若将相邻两点用直线段连接起 来,则是他们易于理解并且是易于想到的。 而用直线段连接起来的折线段并不是函数的图像。 不过,利用计算机则可以方便地增加曲线上样点的个数,随着样点的个数增加,让学生 观察函数的图像性质,从而抽象出函数图像的形状。下面我们完成这个过程: (1)在坐标系的属性对话框中,选择“画坐标网格”和“显示刻度”选项。 (2)在作图区空白处单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【函数或参数方程曲线…】命 令,如下图所示弹出函数作图属性对话框,在“y=”对应的编辑框中输入:x^2,然后在下面 的曲线属性中,设置“曲线的点数”为:7,选择曲线以“折线段”方式显示,设置变量 x 的参 数范围为:-3 到 3,选择在折线段上“画点”,设置点的大小为:2;最后单击【确定】按钮 完成。
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结果如下图所示:

打开曲线的属性对话框,若将“曲线的点数”改为:13,则结果如下图所示,取得上面相 邻两点之间的中点,然后再将新的相邻点之间连结直线段。

打开曲线的属性对话框,若将“曲线的点数”改为:25,则结果如下图所示,取得上面相 邻两点之间的中点,然后再将新的相邻点之间连结直线段。

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【思考与练习】 (1)作坐标点 A(floor(n),-2) ,设置“x 拖动”参数为:n。测量点 A 的 x 坐标。 (2)拖动点 A,使得其 x 坐标为正数。 (3)打开曲线的属性对话框,设置“曲线的点数”为:6*m000+1。其中 m000 为点 A 的 x 坐标测量值。 (4)向右拖动点 A,观察函数图像的变化趋势。

3.9 美丽的玫瑰线*
(1)打开函数作图对话框,如下图所示,选择函数类型为“极坐标:ρ=f(θ)”,在“ρ=” 对应的编辑框中输入:3*cos(2*thet),设置曲线的点数为:500,设置参数 thet 的范围为:0 到 2*pi。

(2)单击【确定】按钮完成,结果如下图所示。

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下面将表达式 cos(2*thet)中的数值 2 修改为参数 n,操作如下: (3)作坐标点 A(floor(n),-2) ,设置“x 拖动”参数为 n。 (4)测量点 A 的 x 坐标,系统自动用参数 m000 记录。 (5)打开曲线的属性对话框,将方程表达式修改为:cos(m000*thet);将点 A 的名字修 改为:n。 (6)将点 n 的 x 坐标的测量文本的名称修改为“n = ”,并且以整数格式显示。 (7)设置曲线的颜色为:红色。 将点 n 向右拖动,使得参数为正数。n 为不同的数值时,所得曲线形状如下:

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【思考与练习】 (1)继续改变参数 n 的值,观察曲线的变化情况,你能发现什么规律? (2)将曲线的方程修改为:ρ=3*cos(thet/m000),改变参数 n 的值,观察曲线的变化规 律。 (3)将方程 ρ=3*cos(thet/m000)对应的曲线的参数 thet 的范围设置为 0 到 2*m000*pi, 再次观察曲线的性质,你能观察到曲线的哪些特点?你能解释这种现象吗?

3.10 根据通项公式画数列的图像
数列,就是一种数集到数集的对应。只不过与学生之前所熟悉的函数概念相比较来说, 它是定义在正整数集上的函数。 在学生对函数概念有了一定的理解和基础之后, 从函数的观 点研究数列的性质,可以起到事半功倍的效果。 在研究数列的过程中,若知道它的通项公式,像之前定义域为连续的函数一样可以在 计算机上轻松地画出它的图像。通过观察数列的直观图像,学生可以更容易了解数列的规 律和性质,有助于学生对数列的认识和理解。 (一)利用函数曲线命令画数列的图像

?( 4? ? 画出通项公式为 a? ) n 4 的数列前 20 项的函数图像:
(1)在新建文档中,在坐标系的属性对话框中选择“显示刻度”和“坐标网格”选项。 (2)打开函数作图对话框,在“y=”对应的编辑框中输入:4+4*(-3/4)^x,设置间断点的 最小值为:0.1,设置曲线的点数为:20,设置参数范围为:1 到 20,选择“画点”选项,设 置点的大小为:2。

3 n 4

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(3)在【画笔】属性页面中,设置画线宽度为:3,单击【确定】按钮,结果如下图所 示:

这是巧妙地利用了计算机画图的特点,根据数列的的通项公式(函数表达式)作出了数 列的图像。 【思考与练习】 (1)请作出上面的数列前 50 项的图像。 (2)请作出数列 an=(-1)^n 前 20 项的图像。 (二)利用编程实现画通项公式对应数列的图像 (1)在新建文档中,显示坐标的刻度和网格,激活程序工作区。

?( 4? ? (2)首先在程序工作区中定义在作图区中画出数列 a? ) n 项的图像 n 4 前
的函数输入: f(n) { for(i=1;i<=n;i=i+1) { Point(i,4+4*(-3/4)^i,,,); } } (3)执行后,返回定义的函数 f(n),表示已经定义成功。

3 n 4

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(4)调用函数 f(n),作出数列的前 30 项的图像。在下方继续输入: f(30); (5)执行后,结果如下图所示:

(6)可以将所点的名字隐藏。 【思考与练习】

?( 4? ? 请你定义一个函数画出数列从 k 项开始的 m 项的图像, 并画出数列 a? ) n 4 4 ,
n=10 到 25 的图像。

3 n

3.11 根据递推公式画数列的图像*
限于传统教学手段的约束, 一般教材上关于数列的递推公式讲得相当简单, 往往通过一 个例题就给出递推公式的概念,然后就是几个根据递推公式求数列前几项的练习。 利用传统的纸笔, 根据数列的递推公式计算数列时间非常烦琐的事情, 尤其是越往后计 算就越复杂和困难。 在这种情况下, 教学过程中或在作业练习中一般也只要求学生算出数列 的前几项,就草草了事。这样,学生学习起来就相当乏味,而且教学的意义不大。 我们知道, 根据一个递推公式给出的数列, 它的性质敏感地依赖于初值和公式中的参数, 它能直观、形象地表现出自然界广泛存在的混沌现象。关于混沌的研究,是现代数学研究前 沿一个十分活跃的分支。而且现在在诸多领域对混沌已经有广泛的应用。 利用计算机计算速度快、 作图精确等特点和功能, 在计算机上通过递推公式计算出更多 的数列项并准确画出对应的点是轻松、 容易的工作。 这样就为学生提供了利用数列的递推公 式方便地观察、了解、学习和研究混沌现象的实验环境。 尽管混沌不是中学数学范围内的主要内容, 并且也不能期望学生对它有多么深刻的理解 和认识。但是,这可以激发学生对混沌这一数学现象的兴趣,可以了解到现代数学的气息, 可以对学生在计算机上进行数学实验和研究的认识产生深刻的影响。 更重要的是, 在学习递 推公式的内容时,也不会那么孤立和枯燥乏味。 下面, 我们就通过一个具体的例子说明在计算上研究递推公式数列和混沌现象的实验过 程。 首先作出任意点 A,并作出与点 A 的坐标按照数列的递推公式 an?1 ? (1 ? r )(an ? an )
2

关联的点 B: (1)作出任意点 A。 (2)选择点 A,单击【作图】菜单下【点】子菜单中的【坐标关联点…】命令,如下
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图所示,输入 x 坐标对应参数为:xxx0+1,输入 y 坐标对应参数为:(1+r)*(yyy0-yyy0^2), 单击【确定】按钮作出点 B。

其中作出的点 B 就是与点 A 坐标关联的点。在上面的对话框中,xxx0 表示点 A 的 x 坐 标,yyy0 表示点 A 的 y 坐标。这样一来,若点 A 是数列的第 n 项,则点 B 就表示数列的第 n+1 项。 (3)连接线段 AB。 下面增加由数列的 a n 项生成 a n ?1 项的迭代命令: (4)同时选择点 A、点 B 和线段 AB,单击【作图】菜单下【宏或迭代】子菜单中的【新 建宏或迭代…】命令,如下图所示,弹出迭代对话框,在对话框左上角将“迭代和宏名称” 修改为:数列 1;在中间的“新产生对象”列表中双击“点 B:关联坐标点”将点 B 增加到右侧 的“迭代点”列表中;在对话框左下角将迭代次数修改为:200;单击【确定】按钮完成。

在对象点 A、点 B 和线段 AB 中,点 B 和线段 AB 都是由点 A 所生成的,点 A 在这里是 自由点。所以点 A 是迭代的入口点,而点 B 和线段 AB 是迭代的新生成对象。要继续生成新 的对象,就要有迭代点,即新的入口点。若点 A 表示数列的 a n 项,则点 B 就是由点 A 生成 的 a n ?1 项,接下来要生成 a n ? 2 项,就要作出点 B 的坐标关联点,其坐标关系与点 B 和点 A

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的相同。所以要用点 B 作为新的入口点即迭代点,进行循环和迭代。 接下来作出数列的首项和后面的 200 项对应的点: (5)新建文档或页面。 (6)单击【作图】菜单下【点】子菜单中的【坐标点…】命令,如下图所示,在弹出 的坐标输入对话框中,输入点的坐标(1,0.2) ,单击【确定】按钮作出点 A。

(7)选择点 A,单击【作图】菜单下【宏或迭代】子菜单中的【数列】命令,结果如 下图所示。

这是可能因为参数 r 的影响,数列后面部分图像在作图区可视区域之外。 增加参数 r 的变量控制对象: (8)插入参数 r 的变量控制尺。 (9)在参数 r 的变量控制尺,如下图所示,向右拖动变量控制尺的滑标,然后将变量 r 的可改变范围设置为-3 到 3。

设置坐标系的属性: (10)打开坐标系的属性对话框,如下图所示,选择“显示刻度”选项,设置 x 轴刻度显 示的倍数是:20,取消选择“等单位”选项;单击【确定】按钮完成。

(11)如下图所示,选择坐标系,鼠标指向 y 轴上的黑色控制点并按住向上拖动,增加 y 轴的单位长度;鼠标指向 x 轴上的黑色控制点并按住向左拖动,减小 x 轴的单位长度。

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如下图所示,坐标系中是递推公式 an?1 ? (1 ? r )(an ? an ) , a 0 ? 0.2 对应数列的前
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200 项对应的图像,其中相邻两点之间用直线段连接。当前图像是参数 r=0.80 时的情形,可 以观察到这个数列趋向于某一个极值。

通过参数 r 的变量控制对象,改变 r 的值,可以发现数列会发生对应变化。 如下图所示,当 r=1.50 时,这个数列仍是一个收敛数列,不过是趋向于另一个不同的 数值。

如下图所示,当 r=2.44 时,这个数列好像并不是一个收敛的数列,而是从某一项起数 列的值发生周期性的变化。 若这时的数列真是具有这种周期变化的性质, 则可以预则项数很 大时数列的值。 这个性质, 可以通过观察更多地项, 加以验证。 具体如何观察更多项的操作, 请参照后面【请你动手】中的内容。

如下图所示,当 r=2.63 时,这个数列好像按照另一种情况发生周期性的变化。在上图 中,每经过两个项就重复一次,这种情况成为 2-循环;在这里是每经过四项就重复一次,

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这种情况成为 4-循环。继续改变 r,是否会出现 6-循环 8-循环、16-循环呢?而是否对应任 意 r,这个数列从某一项开始都会出现循环呢?这就引发了一系列有趣的同时也具有挑战性 的问题。

果然,当 r 为 2.63 时,出现了 6-循环。

也可以使得 r 取其他数值,继续进行观察和研究。另外,若首项 a 0 的初始值发生改变, 会对数列的性质产生怎样的影响呢? 【思考与练习】 (1)请你动手研究 r 为其他数值时,数列的性质。 (2)对于上面的各种情况下,让 r 保持不变,改变数列的首项,即点 A 的 y 坐标,观 察数列图像的性质。 (3)在作坐标关联点的过程中,不仅仅可以与一个点进行关联,还可以与两个点、三 个点进行关联,最多可以与六个点进行关联。若作出与两个点关联的坐标关联点,则第二个 被关联的点的坐标用(xxx1,yyy1)表示。 若数列的递推公式是: an?1 ? (an?1 ? an ) , a1 ? a , a2 ? b 。试在坐标系中作出它的
2

前 100 项对应的图像。并研究在 a、b 分别取不同数值时,对应数列的变化趋势。

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第四部分 运算与代数

4.1 比较 y=x^3 与 y=3^x 增长的快慢
前者为幂函数,后者为指数函数,这两个表达式只是将幂的指数和底数互换位置,他们 到底有什么区别呢?我们可以通过具体的实例让学生感受指数函数的爆炸性增长。 启动进行数值运算的工作区: (1)如下图所示,在左边工作区组中单击【程序】选项卡,激活程序工作区。

(2)在程序工作区的空白编辑区域单击鼠标,如下图所示,即可激活输入状态,这是 在作图区中生成一个同步显示的文本对象。

当 x=5 时计算对应的函数值: 计算当 x=5 时,y=x^3 与 y=3^x 对应的函数值。 (3)如下图所示,输入:5^3,然后以(英文输入状态下的)分号“;”结束。

(4)光标放在分号之后,按住 Ctrl 键的同时击 Enter 键,结果如下图所示,得到运算 结果。

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在计算机语言中,“^”是连接一个幂式中的底数和指数的符号,是计算机语言中的统一 输入格式。 在超级画板中,一个语句结束要以分号“;”标示出来。 执行这个式子的运算, 称为向计算机发出了一条命令, 计算机执行这个命令的过程简称 “执行命令”。在超级画板中,执行命令的操作是:按住 Ctrl 键的同时击 Enter 键。 这的返回结果以“>>”开始,以“#”结束。 (5)将光标放在最后一行的结尾处,击 Enter 键,光标转到下一行,继续输入: 3^5; 执行命令后,结果如下图所示:

当 x=10、20、50、100、200、500 时,计算对应的函数值: (6)当 x=10、20、50 时,分别计算 x^3 与 3^x 对应的函数值。 (7)当 x=100、200、500 时,分别计算 x^3 与 3^x 对应的函数值。结果如下图所示:

【思考与练习】 当 x=1000 时,计算 x^3 与 3^x 对应的函数值。

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4.2 国王需要付出多少小麦
关于国王与象棋的故事, 我们大家都耳孰能详。 我们也可以让学生利用计算器或者计算 机动手计算一下国王需要向象棋的发明者具体支付的小麦的数目。 但是, 若只是让学生知道国王需要向象棋发明者提供小麦的粒数, 也许并不能让学生形 象地理解这些小麦到底有多少。 若更进一步计算得到这些小麦的重量, 生产这些小麦需要多长时间, 则能够加深学生对 这一问题的直观理解。 下面我们计算出生产 2^64-1 粒小麦需要的时间,操作如下: (1)如下图所示,在左边工作区组中单击【程序】选项卡,激活程序工作区。

(2)在程序工作区的空白编辑区域单击鼠标,如下图所示,即可激活输入状态,这是 在作图区中生成一个同步显示的文本对象。

(3)如下图所示,输入:2^64-1,然后以(英文输入状态下的)分号“;”结束。

(4)光标放在分号之后,按住 Ctrl 键的同时击 Enter 键,结果如下图所示,得到运算 结果。

若 1000 粒小麦按照 50 克计算,那么,这些小麦的重量有多少呢? (5)将光标放在“#”的后面,按 Enter 键光标转到下一行,继续输入: (2^64-1)*50/1000;

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(6)执行命令,结果如下图所示,得到的结果是一个分数。

“*”表示乘号,“/”表示除号或分数线。 当 2^64-1 作为一个多项式参与运算时,需要用括弧括起来,这里的括弧也必须是英文 输入状态下的符号。 当光标放在某一行语句结尾处,系统从光标上方最后一个“#”开始执行语句命令。例如 在这里只是执行语句“ (2^64-1)*50/1000”,而对于“#”上方的“2^64-1”不再执行。 当分数的分母较大时,我们一般不容易直接看出分数的大小。而对于小数的形式,是我 们较为习惯和熟悉的。下面我们将计算结果同时显示为小数(浮点数)的形式,操作如下: (7)将光标转到下一行继续输入: Float(1); (8)执行命令,得到的返回结果是:>> 计算结果显示浮点数 #。 (9)再次运算 (2^64-1)*50*10^(-3)的值,结果如下图所示:

Float([a])是一个控制计算结果是否同时显示为浮点数的开关函数。例如 Float(1)、 Float(-3)、Float(a)等,若函数的参数不为空,执行命令后,之后的运算结果都同时显示浮点 数;若函数的参数为空,即 Float(),执行命令后,之后的运算结果不显示为浮点数。 Float([a])是系统内部的一个函数,函数名的第一个字母为大写,否则不是同一个函数。 在系统内部还定义了许多各种作用的函数,按 F1 键,如下图所示可以弹出函数列表,单击 列表前面的“+”可以展开该列表,观察到列表中函数的内容。

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上面的结果 9.22337e+017 是类似科学计数法的表示格式,它表示 9.22337× 17。 10 下面我们将这些小麦的重量单位换算成吨,操作如下: (10)计算(2^64-1)*50*10^(-3)*10^(-6)的值。 若按照世界每年产小麦 6 亿吨计算(1997 年中国:1.23 亿吨) ,全世界生产这些小麦需 要多少年?继续进行计算: (11)计算((2^64-1)*50*10^(-3)*10^(-6))/(6*10^9)的值,结果如下图所示:

需要 153 年还要多! 若按照古印度当时的小麦产量,即使后来由于社会的发展小麦的产量也在增加,恐怕 2000 多年后的今天,国王还没还清欠下象棋发明者的小麦的债务! 【思考与练习】

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世界最高峰--珠穆朗玛峰的高度约是 8848 米,一张普通报纸的厚度为 0.1 毫米。将一张 报纸对折一次之后,就变成了 2 层,对折 2 次之后就变成了 4 层,....。你能够将一张纸对折 30 次吗? 请设计一个动手操作的试验方案, 将一张报纸对折多少次之后它的厚度就超过了珠穆朗 玛峰?

4.3 闰年的规则是如何产生的
翻开 2008 年的日历,大家都会发现:阳历 2 月份比往年的 28 天多了 1 天,变成了 29 天,这在历法上叫阳历闰年。历法规定,每四年一闰,逢百年不闰,逢四百年再闰。 为什么会有闰年呢?历法中这个闰年的规则是如何产生的呢? 我们知道,以春分点为参照点:地球绕太阳公转一周叫做一回归年,一回归年长 365 天 5 时 48 分 46 秒,现行的公历即阳历就是按回归年的长度制定的。为便于计算,一年取整 数 365 天。365 天又分为 12 个月:1、3、5、7、8、10、12 月为大月,每月 31 天;其余为 小月,4、6、9、11 月每月 30 天,2 月为 28 天。 这样,每年比回归年就短 5 时 48 分 46 秒。以天为单位,这个 5 时 48 分 46 秒有多少天 呢? 46 秒相当于 46/60 分;46/60 分再加上 48 分,相当于(48+46/60)/60 小时,(48+46/60)/60 小时再加上 5 小时,相当于(5+(48+46/60)/60)/24 天。这是一个繁分数,我们可以利用计算机 演算。 (1)启动程序工作区,输入: Float(1); 执行命令后,之后的运算同时显示浮点数。输入和返回结果清除。 (2)启动程序工作区,输入: (5+(48+46/60)/60)/24; 执行命令后得到结果,如下图所示:

这样每年按照 365 天计算的话,一个历法中的年份就比一个回归年少了 0.242199 天。 (3)继续输入: (5+(48+46/60)/60)/24*4; 执行命令后得到运算结果:>> (10463)/(10800)=0.968796 #。 这样,历法中的四年共比四个回归年短了 0.968796 天。因此故每四年增加一天,这一 年有 366 天,就是闰年,由此规定年份是 4 的倍数的年份为闰年。 (4)继续输入: 1-(5+(48+46/60)/60)/24*4; 执行命令后得到运算结果:(337)/(10800)=0.0312037。
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但在历法中四年增加一天比四个回归年又多 0.0312037 天,400 年后将多 3.12037 天,故在 400 年中少设 3 个闰年,也就是在 400 年中只设 97 个闰年,这样公历年的平均长度与回归年 就相近似了。 因此再规定: 年份是整百数的必须是 400 的倍数才是闰年, 例如 1700 年、 1800 年、1900 年、2100 年、2200 年、2300 年就不是闰年。 【思考与练习】 (1)按照这种历法来计算的话,4000 年后与回归年的误差是多少?可以如何进一步设 置闰年? (2)若地球绕太阳公转的一个回归年长 365 天 3 时 28 分 16 秒,请你设计历法的闰年 规则。

4.4 如何计算根号 2
如何快速有效地计算满足要求的 2^(1/2)的近似值? 当 x=2^(1/2)时,x^2=2, 这时不难得到:

x=1+1/(1+x)。将 1+1/(1+x)代入右边,得到:

x=1+1/(2+1/(1+x)),再继续代如,得到:

还可以继续代入,不断得到新的式子,这就是一个繁分数。利用繁分数逼近无理数的方 法是,可以先舍掉带有未知部分的“尾部”,例如我们在第一个繁分数中 x 取 1 作为 2^(1/2) 的渐近分数,然后将 x=1 代入 x=1+1/(1+x),这样得到一个新的渐近分数,这样逐步代入不 断求得更加接近于 2^(1/2)的新的渐近分数。 我们可以在计算机中实现这个想法,作为求解一般无理数的实验方法。 (1)启动程序工作区,输入: x=1; 执行命令后,结果返回>>1#,表示计算机已经将 x 的值初始化为 1。 (2)继续输入: x=1+1/(1+x); 执行命令后,结果返回>>3/2#,表示计算机将 x 的初始值 1 代入 1+1/(1+x)后,得到了 新的结果 3/2,并且将新的结果赋值给了 x。
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(3)将光标放在“x=1+1/(1+x);”所在行,执行命令,得到新的返回结果>>7/5#。 (4)将光标放在“x=1+1/(1+x);”所在行,执行命令,得到另一个新的结果>>17/12#。 (5)将光标放在“x=1+1/(1+x);”所在行,执行命令,得到一个新的渐近分数>>49/21#。 (6)将光标放在“x=1+1/(1+x);”所在行,执行命令,得到一个更加接近 2^(1/2)的渐进分 数>>99/70#。结果如下图所示:

【思考与练习】 (1)请你继续得到 2^(1/2)的一系列新的渐近分数。 (2)请你得到一个 2^(1/2)渐近分数,使得它与 2^(1/2)的误差小于 10^(-5)。 (3)利用上面的方法,请你计算 3^(1/2)的一系列渐近分数,并且得到一个与 3^(1/2) 的误差小于 10^(-5)的渐近分数。

4.5 研究组合数的性质*
启动程序工作区: (1)输入: C(8,3); 执行命令后得到运算结果。 (2)继续输入: C(8,5); 执行命令后得到运算结果。 (3)继续计算 C(9,4)和 C(9,5)得值。 【思考与练习】 (1)从上面的运算结果中,你能发现什么规律? (2)重新设计几组组合数,计算它们的结果,检验你的结论。 (3)如何解释你所得到的结论?

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4.6 研究二项展开式的规律*
我们知道(a+b)=a+b,(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。 我们还可以进一步计算出(a+b)^3 展开后的结果。操作是,在程序工作区中输入: (a+b)^3; 执行命令后得到返回结果。 我们还可以继续得到(a+b)^4、(a+b)^5、(a+b)^6、(a+b)^7......的展开结果,研究(a+b)^n 展开后的形式特点和规律。 【思考练习】 (1)请直接写出(1-2x)^5 的展开结果,然后在计算机上检验你的结论。 (2)请直接写出(1-2x)^8 的展开结果,然后在计算机上检验你的结论。 (3)请直接写出(1-2x)^10 的展开结果,然后在计算机上检验你的结论。 (4)通过上面的结论,你能猜想一下(1-2x)^n 展开后的结果是什么吗? (5)同时,你能猜想一下(x-2/x)^n 展开后的结果是什么吗?

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第五部分 解析几何问题

5.1 固定长度的线段在滑动
前面我们通过几何构造的方法, 得到了模拟梯子靠在墙上滑动的模型。 下面我们通过解 析几何的方法解决固定长度的线段在线段上滑动的问题。 (1)在新建文档中作坐标点 A(3*cos(t),0) 、B(0,3*sin(t)) ,其中点 A 的 x 拖动参 数为 t。 (2)连接线段 AB。 (3)作点 A 的动画按钮,设置运动范围为:0 到 2*pi,选择运动类型为:重复运动。 (4)跟踪线段 AB,单击动画按钮,结果如下图所示:

【思考与练习】 如下图所示,假设直线 OA 的斜率为 k,如何构造出两端点分别在 x 轴、直线 OA 上滑 动的固定长度的线段?

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5.2 斜率之积为定值的两直线交点的轨迹
问题:已知经过点 A 的直线与经过点 B 的直线的斜率之积为 1,探索两直线交点 C 的 轨迹。 下面我们作出满足上述要求的点 C: (1)在新建文档中,作任意点 A 和点 B。 (2)选择点 A,单击【作图】菜单中【线段、向量、射线和直线】子菜单下的【直线】 命令,如下图所示,在弹出的直线构造对话框“斜率”编辑栏中输入:k,单击【确定】按钮, 作出经过点 A 斜率为 k 的直线,设该直线的名称为 m。

(3)选择点 B,作出斜率为 1/k 的直线,设该直线的名称为 n。 (4)作出直线 m 和直线 n 的交点 C,跟踪点 C。 (5)增加参数 k 的变量控制尺,保留其可拖动范围为:-10 到 10。 通过参数 k 的变量控制尺改变参数 k 的值, 可以发现点 C 的轨迹是两条分别以点 A、 点 B 为顶点的双曲线。

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设置经过点 A 的直线的斜率为 k,有一点不能让人满意的地方就是,斜率 k 不能取所有 数值。结果也使得点 C 的轨迹曲线在点 A 附近留有一个小空隙。 为了改善这个结果,我们将经过点 A 的直线的倾斜角设置为 k。操作如下: (6)打开经过点 A 的直线 m 的属性对话框,如下图所示,选择构造直线的方式为“点 和倾斜角”,在“倾斜角”对应的编辑框中输入:k,单击【确定】按钮完成。

(7)将经过点 B 的直线 n 的属性对话框,将其斜率修改为:1/tan(k),单击【确定】按 钮完成。 (8)将参数 k 的变量控制尺的参数可拖动范围修改为:0 到 3.141593。 再次通过参数 k 的变量控制尺改变参数 k 的值,结果如下图所示。

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若两直线 m 和 n 的斜率之积为定值 a,则点 C 的轨迹又可能是什么呢?为了构造点 C 的轨迹图形,可以进行如下的构造: (9)在新建文档中,作任意点 A、B 和 C。 (10)以点 C 为圆心,作半径为 1 的圆。在圆 C 上任意取一点 D,连接线段 CD。 (11)经过点 A 作平行于线段 CD 的直线,设其名字为 m。 (12) 测量直线 CD 的斜率, 计算机自动用变量 m000 记录测量结果, 隐藏该测量文本。 (13)作出经过点 B、斜率为 a/m000 的直线 n,设其名字为 n。 (14)作出直线 m 和直线 n 的交点 E。 (15)依次选择点 D 和点 E,单击鼠标右键,在快捷菜单中单击【轨迹...】命令,如下 图所示,设置参数的最大值为:pi。

(16)在【画笔】选项页面中,选择画线的类型为:虚线,画线颜色为:红色。单击【确 定】按钮,结果如下图所示:

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(17)增加参数 a 的变量控制尺。 通过参数 a 的变量控制尺改变参数的值,可以观察到当 a 大于 0 时,点 E 的轨迹是双 曲线;当 a 小于 0 时,点 E 的轨迹是椭圆。

【思考与练习】 (1)当 a<-1 与-1<a<0 时,点 E 的轨迹都是椭圆,这两种情况下的椭圆有什么不同之 处? (2)增加 a=-1 的动作按钮,观察 a=-1 时,点 E 的轨迹曲线。 (3)增加 a=0 的动作按钮,观察 a=0 时,点 E 的轨迹曲线。 (4) 为了更加透彻地研究点 E 的轨迹, 通过建立适当的坐标系, 求出点 E 的轨迹方程, 验证上面的结论。

5.3 根据定义构造椭圆和双曲线
(1)任意画一个点 A,以点 A 为圆心作半径为 3 的圆。
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(2)在圆 A 上任意取一点 B,在圆 A 内部任意取一点 C。 (3)连接 AB、CB。 (4)作线段 CB 的中点 D,过点 D 作于 CB 垂直且交 AB 于点 E 的线段 DE,结果如下 图所示:

(5)跟踪点 E。在左边对象工作区中选择 E 的跟踪对象,设置其跟踪对象的画线颜色 为:红色,单击【对象】菜单下的【移动对象到最后面】命令。 (6)增加点 B 的动画按钮,设置“动画的运动频率”为:200,选择其运动类型为:重复 运动。 单击【动画】按钮,结果如下图所示:

将点 C 拖动到圆 A 之外,再次单击【动画】按钮,结果如下图所示:

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为了更加清晰地说明点 E 为直线 DE 和 AB 的交点, 可以将 AB、 的直线类型设置为: DE 直线。结果如下图所示:

【思考与练习】 (1) 圆是椭圆的特殊情形。 也可以把椭圆看作是将圆沿着某一方向伸缩而得到的图形, 如下图所示,请你在计算机上通过动态、直观展示介绍这种思想方法。

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(2)请你自己思考一种构造椭圆的方法,并用计算机动态展示描绘椭圆的过程。

5.4 根据定义构造抛物线
(1)任意画点 A 和线段 BC。 下面我们构造以点 A 为焦点、以线段 BC 所在直线为准线的抛物线。继续操作如下: (2)在线段 BC 上任意取一点 D,连接 AD,取 AD 的中点 E。 (3)过点 E 作线段 AD 的垂线,设该直线的名称为 m。 (4)过点 D 作线段 BC 的垂线,设该直线的名称为 n。 (5)作出直线 m 和直线 n 的交点 F。结果如下图所示:

(6)跟踪点 F。在左边对象工作区中选择 F 的跟踪对象,设置其跟踪对象的画线颜色 为:红色,单击【对象】菜单下的【移动对象到最后】命令。 (7)增加点 D 的动画按钮,设置“动画的运动频率”为:300,保留其他属性不变。 单击【动画】按钮,结果如下图所示:

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我们将线段 BC 显示为直线 BC,操作如下: (8)打开线段 BC 的属性对话框,将画线的类型转换为:直线。 【思考与练习】 (1)当线段 BC 转换为直线 BC 后,单击点 D 的动画按钮,可以发现点 D 从作图区的 一个边界运动到对面的边界。而此时,点 D 动画按钮的属性对话框中,参数的范围仍然是 0 到 1。你能准确地描述点 D 的属性对话框中参数 u000 的意义吗? (2)在新建文档中,在坐标系的 x 轴上任意取一点 A,打开其属性对话框,可以发现 其参数为 u000,而“线段比例”选项缺省情况下没有被选定。通过试验,你能说明在这里参 数 u000 的意义吗?

5.5 构造标准圆锥曲线
下面作出以坐标原点 O 为中心的标准椭圆,操作如下: (1)选择点 O,单击【作图】菜单中【圆锥曲线】子菜单下的【根据条件作标准圆锥 曲线...】命令,弹出构造标准圆锥曲线的属性对话框。 (2)如下图所示,缺省情况下的类型为:椭圆,在“长(实)半轴长”对应的编辑框中
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输入:3,在“短(虚)半轴长”对应的编辑框中输入:1,保留“焦点位置”的缺省选项:焦点 在水平轴上。

(3)单击【确定】按钮,结果如右下图所示:

我们还可以作出长半轴和短半轴为参数的椭圆, 例如作出长半轴和短半轴之和为 3 的椭 圆,操作如下: (4)双击椭圆,打开其属性对话框,如下图所示,将长半轴长修改为:a,将短半轴长 修改为:3-a。

(5)增加参数 a 的动画按钮,设置运动的频率为:30,参数 a 的范围为:0.01 到 2.99。 (6)跟踪椭圆,并设置跟踪颜色。 单击参数 a 的动画按钮,结果如下图所示,椭圆的包络也是星形线。

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5.6 研究圆锥曲线的光学性质
首先画任意椭圆: (1)隐藏坐标系。 (2)单击【作图】菜单下【圆锥曲线】子菜单中的【二次方程作图...】命令,如下图 所示,在弹出的用户输入对话框中输入:x^2/16+y^2/9=1,单击【确定】按钮作出对应的椭 圆。

下面作出椭圆的焦点: (3)选择椭圆,单击【作图】菜单下【圆锥曲线的特征点】子菜单中的【右(下)焦 点】命令,作出椭圆的右焦点 A。 (4)重复类似操作,作出椭圆的左焦点 B。 接下来,作出椭圆上的任意点和经过该点的椭圆的切线及法线: (5)在椭圆上任取一点 C。 (6)选择点 C 和椭圆,单击【作图】菜单下【线段、向量、射线和直线】子菜单中的 【圆锥曲线的切线】命令,作出椭圆上经过点 C 的切线,记作 m。 (7)作出经过点 C 与切线垂直的直线,即椭圆在点 C 处的法线,记作 n。 继续构造入射光线和反射光线: 下面构造从椭圆的焦点 A 处发出的光线,入射到椭圆的内部点 C 处并被椭圆内部反射 出去的光线。 (8)连接线段 AC。 (9)作出点 A 关于直线 n(点 C 处的法线)的对称点 D。 (10)作出射线 CD,并作出射线 CD 与椭圆的交点 E;隐藏射线 CD,连接线段 CE, 隐藏点 E。
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(11)同时选择线段 AC 和线段 CE,单击【查看】菜单下【图形标注】子菜单中的最 后一个【标注线】命令。结果如下图所示:

最后进行修饰: (12)你可以将经过点 C 的切线和法线设置为虚线显示。 拖动点 C, 改变入射光线的位置, 可以发现从右焦点 A 发出的光线点经过椭圆内部被反 射出去后总是经过椭圆的左焦点 B。 【思考与练习】 (1)请你动作设计探索抛物线光学性质的实验。 (2)请你动作设计探索双曲线光学性质的实验。

5.7 探索多点驱动下的轨迹曲线*
(一)单个驱动点产生的轨迹曲线 点 A 是平面上的任意点,点 B 是圆 O 上的任意点,点 C 是线段 AB 的中点。根据你所 掌握的知识,你是否知道当点 B 在圆上运动时点 C 的轨迹是什么图形?

(1)选择坐标原点 O,单击【作图】菜单下【圆和圆弧】子菜单中的【已知圆心和半 径的圆】命令,在弹出的输入对话框中输入:2,单击【确定】按钮完成,作出以点 O 为中 心、半径为 2 的圆。 (2)在平面上任取一点 A、在圆 O 上任取一点 B,连接线段 AB,作出线段 AB 的中点 C。 (3)增加点 B 的动画按钮,设置运动类型为:重复运动。 (4)跟踪点 C。
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单击动画按钮,可以观察到点 C 的轨迹是一个圆。

(5)依次选择点 B 和点 C,单击【作图】菜单下的【轨迹...】命令,在弹出的轨迹属 性对话框中单击【确定】按钮完成,即可生成点 B 驱动下点 C 的轨迹。 【思考与练习】 (1)你能求得点 C 的轨迹方程吗? (2)若点 C 不是线段 AB 的中点,而是直线 AB 上的任意一点,那么点 B 在圆周上运 动时点 C 的轨迹是什么图形呢?请你重新设计类似的实验,探索点 C 的轨迹。 (二)两个点驱动下的轨迹曲线 圆 O 和圆 B 的半径大小相等,点 C 和点 D 分别是圆 A 和圆 B 上的点,点 E 是线段 CD 的中点。当点 C、点 D 分别在圆 A、圆 B 上以不同的速度运动时,点 E 的轨迹是什么图形?

下面我们在计算机进行实验,研究点 C 的轨迹图形的性质。 (1)在平面上任取两点 A、B;分别作出以点 A、点 B 为圆心,半径均为 2 的两个圆。 (2)在圆 A 上任取一点 C,在圆 B 上任取一点 D,作出线段 CD 的中点 E。 (3)作出点 C 的动画按钮,设置运动频率为:200,选择运动类型为:一次运动,保 留运动参数 u000 的范围为:0 到 2*pi;作出点 D 的动画按钮,设置运动频率为:200,选择 运动类型为:一次运动,保留运动参数 u001 的范围为:0 到 2*pi。 (4)跟踪点 E。 当点 C 和点 D 同时分别在圆 A 和圆 B 上运动的过程中,点 E 的轨迹是什么图形?我们 可以进行实验观察,同时选择点 C 的运动按钮和点 D 的运动按钮,单击工具条中的【启动 动画】工具 ,结果如下图所示:

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可以发现,在上述实验过程中,点 C 从有向线段 AC 与 x 轴正方向的夹角为 0 度的位置 绕点 A 按照逆时针方向旋转了一周;与此同时,点 D 从有向线段 BD 与 x 轴正方向的夹角 为 0 度的位置绕点 B 按照逆时针方向旋转了一周。 若点 C 绕点 A 逆时针方向旋转一周的同时,点 D 绕点 B 顺时针旋转了一周,那么点 E 的轨迹图形是什么形状的呢? (5) 打开点 D 的动画按钮属性对话框, 如下图所示, 设置参数 u001 的范围为: 到-2*pi。 0

再次同时启动两个动画按钮,结果如下图所示:

若点 C 绕点 A 逆时针方向旋转一周的同时,点 D 绕点 B 逆时针旋转了两周,那么点 E

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的轨迹图形是什么形状的呢? (6)打开点 D 的动画按钮属性对话框,设置参数 u001 的范围为:0 到 4*pi。 再次同时启动两个动画按钮,结果如下图所示:

若点 C 绕点 A 逆时针方向旋转一周的同时,点 D 绕点 B 逆时针旋转了三周,那么点 E 的轨迹图形是什么形状的呢? 若点 C 绕点 A 逆时针方向旋转一周的同时,点 D 绕点 B 逆时针旋转了四周,那么点 E 的轨迹图形是什么形状的呢? 若点 C 绕点 A 逆时针方向旋转一周的同时,点 D 绕点 B 顺时针旋转了两周,那么点 E 的轨迹图形是什么形状的呢? 若点 C 绕点 A 逆时针方向旋转一周的同时,点 D 绕点 B 顺时针旋转了三周,那么点 E 的轨迹图形是什么形状的呢? 若点 C 的运动参数 u000 范围为:0 到 2*pi,而将点 D 的运动参数 u001 的范围设置为: -pi 到 pi,那么点 E 的轨迹图形是什么形状的呢? 若点 C 的运动参数 u000 范围为:0 到 2*pi,而将点 D 的运动参数 u001 的范围设置为: pi 到-pi,那么点 E 的轨迹图形是什么形状的呢? 请你自己动手探索上述问题。 为了更加方便地研究点 E 在点 C 和点 D 驱动下的轨迹图形,我们可以直接作出点 E 的 轨迹曲线,操作如下: (7)依次选择点 C、点 D 和点 E,单击【作图】菜单下的【轨迹...】命令,如下图所 示, 在弹出的轨迹属性对话框中, 设置运动点的基本频率为: 2000, 设置间断点的最小值为: 0.5,设置点 C 运动范围的最大值为:a*2*pi,设置点 D 运动范围的最大值为:b*2*pi;设 置轨迹的画线颜色为:红色;单击【确定】按钮完成,即可生成点 E 的轨迹。

(8)增加参数 a 的动画按钮,设置运动频率为:1,设置参数 a 的范围为:a 到 1,选 择运动类型为:一次运动。单击该按钮,可使得参数 a 的值初始化为 1。 (9)增加参数 a 的动画按钮,设置运动频率为:1,设置参数 a 的范围为:a 到 a+1, 选择运动类型为:一次运动。单击该按钮,可使得参数 a 的值增加 1。 (10)增加参数 a 的动画按钮,设置运动频率为:1,设置参数 a 的范围为:a 到 a-1,

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选择运动类型为:一次运动。单击该按钮,可使得参数 a 的值减小 1。 (11)增加参数 b 的动画按钮,设置运动频率为:1,设置参数 b 的范围为:b 到 1,选 择运动类型为:一次运动。单击该按钮,可使得参数 b 的值初始化为 1。 (12)增加参数 b 的动画按钮,设置运动频率为:1,设置参数 b 的范围为:b 到 b+1, 选择运动类型为:一次运动。单击该按钮,可使得参数 b 的值增加 1。 (13)增加参数 b 的动画按钮,设置运动频率为:1,设置参数 b 的范围为:b 到 b-1, 选择运动类型为:一次运动。单击该按钮,可使得参数 b 的值减小 1。 (14)分别测量参数 a 和参数 b 的值。 下列几幅图是不同情况下的轨迹曲线:

为了更加一般地研究点 E 的轨迹曲线,我们可以插入参数 a 和参数 b 的变量控制尺, 让参数 a 和参数 b 可以任意的实数。 下列几幅图是不同情况下的轨迹曲线: 还可以将点 C 的轨迹曲线设置为红色。结果如下:

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【思考与练习】 (1)当 a=1、b=2 与 a=3、b=6 时,点 E 的轨迹曲线有什么特征?你能发现哪些规律? (2)通过建立适当的坐标系,你能写出点 E 的轨迹曲线对应的方程吗? (3)若点 E 不是线段 CD 的中点,而是直线 CD 上的任意一点,请你重新设计类似的 实验,研究点 E 的轨迹曲线,能产生什么新的结论? (4)若圆 A 和圆 B 的半径不同,请你重新研究上面的问题,是否有不同的结论? (5)若点 C 和点 D 在同一个圆上,请重新研究点 E 的轨迹曲线,与上面的实验相比能 有哪些共同点和不同点? (三)三点驱动下的轨迹曲线 (1)在平面上任取三个点 A、B、C。 (2)作出以点 A 为圆心、半径为 1 的圆;作出以点 B 为圆心、半径为 2 的圆;作出以 点 C 为圆心、半径为 3 的圆。 (3)在圆 A 上任取一点 D、在圆 B 上任取一点 E、在圆 C 上任取一点 F。 (4)连接线段 DE,在 DE 上任取一点 G,连接 GF,在 GF 上任取一点 H。结果如下 图所示:

(5)依次选择点 D、点 E、点 F 和点 H,单击【作图】菜单下的【轨迹...】命令,如 下图所示,在弹出的轨迹属性对话框中,设置运动点的基本频率为:20000,设置间断点的 最小值为:0.5,设置点 D 运动范围的最大值为:a*2*pi,设置点 E 运动范围的最大值为: b*2*pi,设置点 E 运动范围的最大值为:c*2*pi。

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(6)在画笔属性页面中,设置轨迹的画线颜色为:红色;在填充属性页面中,选择“填 充”选项,并选择填充类型为:路径渐变画刷。单击【确定】按钮完成,即可生成点 H 的轨 迹。 (7)增加参数 a、b、c 的变量控制尺,设置可改变范围为:-100 到 100。 (8)测量变量 a、b、c 的值。 下列几幅图是不同情况下的轨迹曲线:

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【思考与练习】 (1)自己继续动手操作、观察、探索和实验,你能发现多少规律?

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(2)通过建立适当的坐标系,你能写出点 H 的轨迹曲线对应的方程吗? (3)当点 G 在直线 DE 上的不同位置时,曲线变化有什么规律? (4)当点 H 在直线 GF 上的不同位置时,曲线变化有什么规律? (5)若圆 A、圆 B 和圆 C 的半径之比为其他值时,请你重新研究上面的问题,会有新 的结果出现吗? (6)若三个点 D、E、F 在同一个的圆上,会得到不同的结论吗?

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第六部分 三角函数关系

6.1 利用正弦线画正弦函数的图像
为了研究正弦函数 y=sin(x)的性质,需要先画出正弦函数的图像。在单位圆上,正弦线 就代表了对应角的正弦值,所以可以利用正弦线画出正弦函数 y=sin(x)的图像。 相对于传统的作图手段, 利用计算机作图可以在圆周上取任意多条正弦线, 使得到的函 数曲线更精细、更光滑,也更快捷、省时省力。而且利用计算机画图还可以动态地展示正弦 线连续变化生成正弦函数图像的过程, 让学生通过观察详细的函数图像生成过程, 对曲线的 升降起伏变化有形象而直观的了解,对正弦曲线其关键作用的 5 个点(最高点、最低点、与 x 轴的交点)产生深刻的认识。 下面是具体的操作过程。 首先以 x 负半轴上的点为圆心作单位圆: (1)单击【作图】菜单下【点】子菜单中的【坐标点】命令,弹出坐标点输入对话框; 如下图所示,输入点的坐标(-2,0) ,单击【确定】按钮作出点 A(-2,0) ;双击点 A,将 其名字修改为:O'。

(2) 选择点 O’, 【作图】 单击 菜单下 【圆和圆弧】 子菜单中的 【已知圆心和半径的圆…】 命令,在弹出的用户输入对话框中,输入半径:1,单击【确定】按钮完成。 取角的终边在单位圆上的点,并作出对应正弦线: (3)单击【画笔】工具,鼠标指向圆后单击,作出圆上的自由点 B;双击点 B,将其 名字修改为:P;连接 O’P。 (4)过点 P 作到 x 轴的垂线段,垂足为 C,在 x 轴上。结果如下图所示。 作正弦线对应函数曲线上的点: (5)如下图所示,打开坐标点作图对话框,作坐标点 D(u000,0) 、E(u000,sin(u000)) 。

u000 是控制点 P 的参数变量,由计算机系统自动生成。点 P 是圆上的点,u000 控制点 P 在圆上的位置,在这里表示以 O’为顶点、射线 O’O 为始边、O’P 为终边的角的大小。 (6)连接 DE,连接 PE。结果如下图所示。

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增加控制点 P 的动作按钮: (7)选择点 P,单击【作图】菜单下的【动画…】命令,如下图所示,在弹出的对话 框中设置运动频率为:10,参数 u000 的运动范围为:0 到 0,选择运动类型为:一次运动; 单击“文本”选项卡,在文本编辑框中将按钮的名称修改为:初始化;单击【确定】按钮退出。

该按钮的作用在于初始化点 P 的位置。 (8)选择点 P,单击【作图】菜单中的【动画…】命令,如下图所示,在弹出的对话 框中设置运动频率为:24,参数 u000 的运动范围为:u000 到 u000+2*pi,选择运动类型为: 一次运动,设置运动间隔时间为:1000(毫秒) ;单击“文本”选项卡,在文本编辑框中将按 钮的名称修改为:动画;单击【确定】按钮退出。

该按钮的作用在于使得点 P 沿圆周转动一周。 跟踪正弦线和它的顶点: (9)选择点 E、线段 DE、线段 PC 和线段 O’P,单击【作图】菜单中的【跟踪】命令。 增加与正弦线同步的函数曲线: (10)单击【作图】菜单中的【函数或参数方程曲线…】命令,如下图所示,在“y=” 对应编辑框中输入:sin(x),设置变量 x 的范围为:0 到 u000,单击【确定】按钮退出。

显示坐标系的坐标刻度:

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(11)如左下图所示,在左边对象工作区中右键单击对象 0“直角坐标系 0-xy”,打开其 属性对话框;如右下图所示,在坐标系属性对话框中选择“显示刻度”选项,选择“以 π/2 为 单位”选项,单击【确定】按钮退出。

最后进行修饰: (12)在左边对象工作区中同时选择线段 PC、线段 DE、线段 PE、线段 DE 的跟踪、 线段 PC 的跟踪,打开右侧的对象属性工作区,在选择画笔的“画线类型”为:虚线。 (13)在左边对象工作区中,同时选择线段 DE 的跟踪、线段 PC 的跟踪,通过工具条 中的“画线颜色”工具,将其画线颜色设置为:蓝色。 (14)在左边对象工作区中,选择点 E 的跟踪对象,通过工具条中的“画线颜色”工具, 将其画线颜色设置为:红色。结果如下图所示:

单击【初始化】按钮,初始化点 P 的位置。 单击【动画】按钮,点 P 开始在圆周上运动一周,如下图所示,同时跟踪正弦线生成 正弦函数图像。

这时,若在空白处单击鼠标,则跟踪踪迹消失,留下正弦函数的图像。 单击【动画】 ,则生成 2*pi 到 4*pi 之间的图像。 单击【初始化】按钮,则回到初始状态。 双击【动画】按钮右侧的绿色部分打开其属性对话框,可以通过修改其运动频率,改变正弦 线及其端点(函数曲线上的点)的跟踪数目。 在本课件的设计、制作过程中,主要通过改变单位圆上的点 P 的控制参数 u000 来完成 的主要的展示过程。 超级画板的一大特色就是将几何关系用参数或代数表达式表达出来。例如直线上的点、 圆上的点、多边形边界上的点、曲线上的点等等,通过其属性对话框中都可以看都系统自动 为其分配了一个参数。 恰当并充分利用这些参数, 为利用或改变这种几何对象之间的关系会 提供很大的方便,或者有时候就成为解决问题的关键和捷径。

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【思考与练习】 (1)根据定义得到余弦函数曲线 (2)根据定义得到正切函数曲线

6.2 y=sin(x)-> 3sin (2x+pi/4)的动态变换
对于函数 y=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0)的图像,可以通过列表、描点、连线的方 式得到,但通过下面的三个步骤得到它的图像,更能体现函数 y=Asin(ωx+φ)与函数 y=sin(x) 之间周期、振幅以及相位等特征量之间的关系。 (1)将正弦曲线 y=sin(x)向左(当 φ>0)或向右(当 φ<0)平行移动|φ|个单位长度。 (2)再将所得曲线上每一点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的 1/ω 倍。 (3)进一步再将曲线上每一点的纵坐标扩大(A>1)或缩小(0<A<1)为原来的 A 倍。 但是,在传统教学手段的约束下,对于上面三个步骤所述的过程,大部分时候也只能让 学生开动脑筋去想象一下这些过程是怎么样的, 不能产生形象的认识, 更是难以开展师生之 间、学生之间的交流和探讨。 在计算机的帮助下,能够动态、直观、轻松地展示上面三个步骤中所述的变换过程,通 过让学生观察生动、形象的变换过程,可以加深学生对上面三个步骤中所述问题的理解。同 时,更清晰的认识到参数 A、ω、φ 对 y=Asin(ωx+φ)的影响。 让学习过程变得更有趣,让学习知识变得也更容易。 例如在超级画板中作图, 可以直接作出系数带参数的函数方程曲线。 计算机通过控制参 数的变化来使得函数的曲线对应变化, 就完成了动态变换的过程。 控制参数的变化方向可以 是从 a 到 b,也可以是从 b 到 a,所以动态变换过程也可以是逆向的,让学生从不同过程理 解图形变换的内涵。 利用计算机展示动态变换过程,可以多次重复展示,能提高效率并节约时间。 下面是具体的操作步骤。 显示坐标系的坐标刻度: (1)如左下图所示,在左边对象工作区中右键单击对象 0“直角坐标系 0-xy”,打开其 属性对话框;如右下图所示,在坐标系属性对话框中选择“显示刻度”选项,选择“以 π/2 为 单位”选项,单击【确定】按钮退出。

作 y=sin(x)的图像: (2)单击【函数或参数方程曲线…】命令,如下图所示,在“y=”对应编辑框中输入: sin(x),设置变量 x 的范围为:0 到 2*pi;单击【画笔】工具,在“画笔”属性页面中选择画线 类型为:虚线;单击【确定】按钮退出。

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作 y=Asin(ωx+φ)的图像: (3)单击【函数或参数方程曲线…】命令,如下图所示,在“y=”对应编辑框中输入: A*sin(ω*x+φ),设置变量 x 的范围为:-φ/ω 到(2*pi-φ)/ω。

单击【确定】按钮完成,结果如下图所示:

关于输入希腊字母 ω 和 φ 的方法:在输入法工具条中右键单击右侧的软键盘图标 标分别单击希腊字母 ω、φ 所在的键位即可在编辑框中输入。



在弹出的符号列表中选择“希腊字母”,打开希腊字母的软键盘。在软键盘中,如下图所示鼠

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再次单击软键盘图标

,即可退出软键盘窗口。

在上面为什么要将变量 x 的范围设置为:-φ/ω 到(2*pi-φ)/ω?想想看。 增加控制参数变化的动作按钮: (4)单击【作图】菜单中的【动画…】命令,在弹出的变量输入对话框中输入:φ, 单击【确定】按钮同时打开动画属性设置对话框,如下图所示,设置参数 φ 的运动范围为: 0 到 pi/4,选择运动类型为:一次运动,单击【确定】按钮退出。

(5)单击【动画…】命令,在弹出的变量输入对话框中输入:ω,单击【确定】按钮 同时打开动画属性设置对话框,设置参数 ω 的运动范围为:1 到 2,选择运动类型为:一次 运动,单击【确定】按钮退出。 (6)单击【动画…】命令,在弹出的变量输入对话框中输入:A,单击【确定】按钮 同时打开动画属性设置对话框,设置参数 A 的运动范围为:1 到 3,选择运动类型为:一次 运动,单击【确定】按钮退出。 插入曲线的动态表达式: (7)单击【插入】菜单中的【文本…】命令,如下图所示,在弹出的文本编辑框中输 入:y=$bl{A,2}*sin($bl{ω,2}*x+$bl{φ,2}),选择乘号的显示方式为:·,单击【确定】按钮 退出。

对课件进行修饰并初始化状态:

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(8)选择函数曲线 y=sin(x),通过工具条中的【画线颜色】工具 设置为:蓝色。

,将其画线颜色

(9)选择函数曲线 y=Asin(ωx+φ),通过工具条中的【画线颜色】工具 线颜色设置为:红色。 (10)选择曲线的方程表达式文本,通过工具条中的【放大】工具 体大小;通过【填充颜色】工具 ,可以设置其底部填充颜色。

,将其画

,可以增加其字

(11)如下图所示,单击【动画:φ[0,pi/4]】按钮的中间部分,使得 φ 从 pi/4 变化到 0; 单击【动画:ω[1,2]】按钮的中间部分,使得 ω 从 2 变化到 1;单击【动画:A[1,3]】按钮 的中间部分,使得 A 从 3 变化到 1。通过这些操作可以是的曲线 y=Asin(ωx+φ 初始化,与 y=sin(x)重合。

详细的使用方法如下: 如下图所示,在坐标系上,y=Asin(ωx+φ)(红色曲线)的初始位置与 y=sin(x)重合,此 时对应的 A=1、ω=1、φ=0。

(1)单击【动画:φ[0,pi/4]】按钮,参数 φ 从 0 变化到 pi/4,对应的红色曲线也动态向 左平移了 pi/4 个单位,结果如下图所示。

(2)单击【动画:ω[1,2]】按钮,参数 ω 从 1 变化到 2,对应的红色曲线中每一个点的 横坐标动态缩短为原来的 1/2,纵坐标保持不变,结果如下图所示。

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(3)单击【动画:A[1,2]】按钮,参数 A 从 1 变化到 3,对应的红色曲线中每一个点 的纵坐标动态扩大为原来的 3 倍,横坐标保持不变,结果如下图所示。

单击【动画:A[1,3]】按钮的中间部分,则参数 A 从 3 变化到 1,对应的红色曲线中每 一个点的纵坐标缩小为原来的 1/3 倍,横坐标保持不变。与上面的过程(3)互为逆向的。 单击【动画:ω[1,2]】按钮的中间部分,则参数 ω 从 2 变化到 1,对应的红色曲线中每 一个点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标保持不变。与上面的过程(2)互为逆向的。 单击【动画:φ[0,pi/4]】按钮的中间部分,参数 φ 从 pi/4 变化到 0,对应的红色曲线整 体向右平移了 pi/4 个单位。与上面的过程(1)互为逆向的。 在曲线变换过程中,可以通过按钮上方的文本观察到红色曲线的动态方程表达式。 将曲线 y=Asin(ωx+φ)变量 x 的范围设置为:-φ/ω 到(2*pi-φ)/ω,是为了使得作出的图像 始终在一个周期内变动,可以要求 ωx+φ 的范围为:0 到 2*pi,容易解得变量 x 的范围为: -φ/ω 到(2*pi-φ)/ω,这样无论 φ 和 ω 怎样变化,都显示变量 ωx+φ 从 0 到 2*pi 之间的图像。 在文本中,如果希望直接显示插入变量的值,则可以使用函数$bl{ , },它有两个参数用 逗号“,”隔开。其中前一个参数是变量的名称,后一个参数是要显示变量的浮点数的位数。 例如上面的$bl{A,2},就是要插入变量 A,显示其浮点数之后的 2 位小数。 【练习作业】 根据本节学习到的设计思路和操作步骤,请你制作从 y=sin(x)变换到 y=1/2sin(x/3-pi)的 实验。

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6.3 和角正弦公式的一个直观说明*
高中数学课程标准要求:在“三角恒等变换”一章中,通过指导学生运用向量的方法推导 基本的三角恒等变换公式, 并由此出发导出其他的三角恒等变换公式, 并运用这些公式进行 简单的恒等变换,以发展学生的推理能力和运算能力。 几种现行的课程标准实验教科书中, 在本章知识的开始都运用了向量的方法首先推导出 了和角余弦公式,并以此为基础推导出了差角余弦公式、和角正弦公式、差角正弦公式与和 (差)角正切共识,进而推导出了倍角公式、半角公式、积化和差公式以及和差化积公式。 本章公式较多,所以学习好本章的关键:一方面在于搞清楚各公式之间的内在联系,即 由基本的变换公式推导出其他变换公式; 另一方面, 学生能够掌握住所推导出的首个三角恒 等变换公式,并能熟练地自行推导它。 对于学生来说,比向量方法更加直观和熟悉的是三角形的面积关系。在课堂上,教师介 绍和推导之后, 因为利用形象的图形进行说明, 学生对利用面积关系推导的三角恒等变换公 式推导过程的印象也更加深刻,同时,之后也更加容易自行推导。 利用面积关系最容易推导出两角和的正弦公式,它的推导和说明过程如下: (1) 如下图所示,AD 是△ ABC 的 BC 边上的高,∠BAD=α, ∠CAD=β。记 AB=c,AC=b,AD=h。 (2) 由于 S ?ABC ? S ?ABD ? S ?ACD ,

1 1 1 bc sin(? ? ? ) ? hc sin ? ? hb sin ? , 2 2 2 h h 得到: sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? b c h h (3) 又因为: ? cos ? 、 ? cos? , b c
即: 所以上式为: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 这样就得到了正弦的和角公式。 之后,可以推导正弦的差角公式,继而推导余弦的和角公式、余弦的差角公式…。除了 数学课程标准中所要求的用向量方法推导基本三角恒等变换公式外, 例如使用这里所介绍的 面积法从推导和角正弦公式出发, 然后逐步推导其他的基本三角恒等变换公式的途径, 也可 以作为展开这一章内容所能选择的方式。 首先作任意三角形 ABC 及 BC 上的高 AD: (1)单击【画笔】工具,作任意三角形 ABC 及 BC 边上的高 AD。 标注出角的标示符号: (2)单击【选择】工具,依次选择点 B、点 A 和点 D,单击【作图】菜单中的【标注 角】命令;依次选择点 C、点 A 和点 D,单击【标注角】命令;依次选择点 A、点 D 和点 B, 单击菜单命令【标注角】命令。 标注出角的名称和边的名称: (3)打开∠BAD 的标注符号的属性对话框,单击“文本”选项卡,在文本编辑框中输入: $fh{097},单击【确定】按钮完成;打开∠CAD 的标注符号的属性对话框,单击“文本”选项 卡,在文本编辑框中输入:$fh{098},单击【确定】按钮完成。 (4)打开线段 AB 的标注符号的属性对话框,单击“文本”选项卡,在文本编辑框中输

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入:c,单击【确定】按钮完成;打开线段 AC 的标注符号的属性对话框,单击“文本”选项 卡,在文本编辑框中输入:b,单击【确定】按钮完成;打开线段 AD 的标注符号的属性对 话框,单击“文本”选项卡,在文本编辑框中输入:h,单击【确定】按钮完成。 (5)单击【查看】菜单中的【显示选中对象的把手】命令,选择线段,如下图所示, 这是选择线段名称的黑色控制点并按住拖动可以平移线段名称的位置; 同理可以改变角的标 注符号的名称的位置或大小。

【思考与练习】 你能利用面积法推导出其他三角恒等变换公式么?

6.4 已知两边及一边对角解三角形
“已知两边和其中一边的对角解三角形”是解三角形一章内容的难点。 问题的关键在于如 何找到一种关系展开讨论,通过这种关系将抽象的问题具体化、形象化,并通过考虑这种关 系的各种情形,找到解的各种情况。 例如,在这个问题中,已知两边的大小关系就是解决问题的一种途径。在讨论问题的过 程中,画出对应的图形,能帮助学生加深对问题的理解。 而若利用计算机作图,则可以动态、连续地改变两条边的大小关系,通过图形直观地观 察和理解各种情形下解的各种情况,对讨论不同情况下解的情况可以起到事半功倍的作用。 作出任意射线 AB: (1)作出任意水平的直线 AB。 (2)打开线段 AB 的属性对话框,在对话框右下方“类型转换”栏中选择“射线”。 作出以点 A 为顶点、与射线 AB 夹角为 A 度的射线: (3)选择点 A,单击【变换】菜单下的【指定旋转或放缩中心】命令。 (4)单击【变换】菜单下的【指定旋转交或放缩倍数参数…】命令,在弹出的用户输 入对话框中输入:A*pi/180,单击【确定】按钮完成。 (5)选择射线 AB,单击【变换】菜单下的【旋转几何对象】命令。 插入参数 A 的变量控制对象: (6)单击【插入】菜单下的【变量对象…】命令,如下图所示,在弹出的用户输入对 话框中,输入参数 A,设置范围为:0 到 180,单击【确定】按钮完成。

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(7)通过参数 A 的变量控制对象,将参数 A 的值改变到 60 左右。结果如下图所示。

以点 A 为中心作半径为 b 的圆: (8)选择点 A,单击【作图】菜单中【圆和圆弧】子菜单下的【已知圆心和半径的圆…】 命令,在弹出的用户输入对话框中输入:b,单击【确定】按钮完成。 (9)单击【画笔】工具,作出圆 A 与旋转得到的射线的交点 C。 作出以点 C 为中心半径为 a 的圆: (10)单击【选择】工具,选择点 C,单击【已知圆心和半径的圆…】命令,在弹出的 用户输入对话框中输入:a,单击【确定】按钮完成。 作出点 C 到射线 AB 的垂线段: (11)单击【画笔】工具,单击点 C,并按住拖动到 AB 上并与 AB 垂直的位置处,出 现“垂足”提示时,松开鼠标作出点 C 到射线 AB 的垂线段 CD,垂足为 D。结果如下图所示。

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增加参数 a 的动画按钮: (14)选择线段 CD,单击菜单命令【测量线段或向量的长度】 ,得到线段 CD 长度的测 量文本。 (15)单击【作图】菜单中的【动画…】命令,在弹出的用户输入对话框中输入参数: a,单击【确定】按钮探出变量属性设置对话框;设置参数 a 的范围为:a 到 m000,运动类 型为:一次运动,单击【确定】按钮,结果作出按钮【动画:a[a,m000]】 。 (16)单击【动画…】命令,在弹出的用户输入对话框中输入参数:a,单击【确定】 按钮探出变量属性设置对话框;设置参数 a 的范围为:a 到 b,运动类型为:一次运动,单 击【确定】按钮,结果作出按钮【动画:a[a,b]】 。

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修饰课件: (17)隐藏射线 AC;连接线段 AC。 (18)隐藏线段 CD 的长度测量文本,隐藏点 B,隐藏圆 A,将线段 CD 设置为虚线。 结果如下图所示,线段 AC 的长度为 b,圆 C 的半径为 a,虚线段 CD 为点 C 到射线 AD 的距离。

通过参数 A 的变量控制对象,可以改变角 A 的大小;通过参数 a 的变量控制对象,可 以改变圆 C 的半径大小;通过参数 b 的变量控制对象,可以改变线段 AC 的长度。 对于角 A 为锐角的情况,可以从以下几个方面考察研究: (1)容易观察到当圆 C 的半径 a 大于线段 CD 的长度而且小于线段 AC 的长度时,即 b*sin(A)<a<b,圆 C 与经过点 A 的水平射线有两个交点。这时角 B 有两个解,继续探讨或者 在图形上标示出来之后容易知道这两个解为互补的两个角。 点 B 的位置就是圆 C 与射线 AD 的交点处(以下同) 。 (2)单击按钮【动画:a[a,m000]】 ,如下图所示,使得圆 C 与射线 AD 相切。此时圆 C 的半径等于线段 CD 的长度,即 a=b*sin(A),这时角 B 有一个唯一解:90° 。

单击按钮【动画:a[a,b]】 ,如下图所示,使得圆 C 经过点 A,此时圆 C 的半径等于线 段 AC 的长度,即 a=b,这时角 B 有一个唯一的解:B=A。

通过参数 a 的变量控制对象,如下图所示,使得圆 C 的半径大于线段 AC 的长度,即 a>b,这时角 B 有一个唯一的解,点 B 的位置在圆 C 与射线 AD 的交点处。

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(3)通过参数 a 的变量控制对象,如下图所示,使得圆 C 的半径小于线段 CD 的长度, 即 a<b*sin(A),这时圆 C 与射线 AD 没有交点,即角 B 无解。

根据正弦定理知道: sin(B)=b*sin(A)/a, 在这种情况下因为 a<b*sin(A), 所以有 sin(B)>1, 显然此时角 B 无解。 角 A 为锐角时,通过以上的讨论,非常清楚了根据 a 与 b 和 A 的大小关系不同,对应 角 B 的解的情况。 当角 A 为直角或钝角时,解的情况较为简单,可以让学生利用该课件自主探索、发现 和解决。

6.5 三角函数曲线的变换
(1)在新建文档页面中,打开坐标系的属性对话框,如下图所示,选择“显示刻度”、 选择“以 π/2 为单位”、选择“画坐标网格”。

(2)打开函数作图属性对话框,如下图所示,在“y=”对应的编辑框中输入:sin(x),设 置变量的范围:0 到 2*pi。

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(3)在【画笔】属性页面中,设置画线线型为:虚线,单击【确定】按钮,结果如下 图所示。

(4)打开函数作图对话框,如下图所示,作函数 y=a*sin(b*x+c)的图像,设置“曲线的 点数”为:500,设置参数范围为:-c/b 到(2*pi-c)/b, 【画笔】属性页面中,设置画线宽度为: 2,设置画线颜色为:红色,单击【确定】按钮完成。

(5)作坐标点 A(a,-3) ,设置其“x 拖动”参数为:a;作坐标点 B(b,-3) ,设置其“x 拖动”参数为:b;作坐标点 C(c,-3) ,设置其“x 拖动”参数为:c。 (6)将点 A、点 B、点 C 的名字分别修改为 a、b、c。 分别拖动点 a、点 b、点 c,观察参数 a、b、c 对曲线的影响。 下面增加一个动态显示曲线的表达式的文本,操作如下: (7)单击工具条中的【文本】工具,打开文本编辑对话框,如左下图所示,输入: y=$bl{a,2}sin($bl{b,2}x+$bl{c,2}),单击【确定】按钮完成。结果如右下图所示。

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下面展示将 y=sin(x)动态变换为 y=2*sin(x/3+pi)的过程,操作如下: (8)增加点 a 运动的动画按钮,设置参数范围为:1 到 2,选择运动类型为:一次运动。 (9)增加点 b 运动的动画按钮,设置参数范围为:1 到 1/3,选择运动类型为:一次运 动。 (10)增加点 c 运动的动画按钮,设置参数范围为:0 到 pi,选择运动类型为:一次运 动。 将曲线 y=a*sin(b*x+c)的初始化为曲线 y=sin(x),操作如下: 单击点 a 的动画按钮的附按钮(按钮的中间部分) ,变量 a 从 2 变化到 1;单击点 b 的 动画按钮的附按钮,变量 b 从 1/3 变化到 1;单击点 c 的动画按钮的附按钮,变量 c 从 pi 变 化到 0。 将曲线 y=a*sin(b*x+c)由 y=sin(x)逐步转换为 y=2*sin(x/3+pi),操作如下: 单击点 a 的动画按钮,变量 a 从 1 变化到 2,结果如下:

单击点 b 的动画按钮,变量 b 从 1/3 变化到 1,结果如下图所示:

单击点 c 的动画按钮,变量 c 从 pi 变化到 0,结果如下图所示:

【思考与练习】 动态展示将 y=x2 变换为 y=2*(x-3)^2-1 的过程。

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6.6 正弦波的叠加*
f(x)=sin(x)的图像是正弦波曲线,最小正周期是 2π。 f(x)=sin(x) +sin(2x)/2 的图像是什么形状?它的最小正周期是多少?我们可以计算一下, 也可以利用计算机作出图形后观察一下。 f(x)=sin(x)+sin(2x)/2+ .... +sin(nx)/n 的图像呢?若在这里 n 分别取 10、 30、 50…。 20、 40、 他们图像都会是什么形状的呢?如果 n 不断依次递增,曲线会会如何变化? 利用传统教学的手段画这些函数图像,是异常困难的。 若利用计算机上,直接根据函数方程的表达式画对应函数曲线,也会过于繁杂和辛苦, 且不能观察当 n 依次递增时,曲线的变化规律。 这样,我们的要求就变成了这样一件事:希望有一个参数(例如 n) ,曲线的表达式 f(x)=sin(x)+sin(2x)/2+....+sin(nx)/n+... 总 是 取 多 项 式 的 前 n 项 之 和 。 例 如 当 n=3 时 , f(x)=sin(x)+sin(2x)/2+sin(3x)/3; n=5 时, 当 f(x)=sin(x)+sin(2x)/2+sin(3x)/3+sin(4x)/4 +sin(5x)/5。 利用超级画板中的符号函数功能,我们可以将方程的表达式写成: f(x)=sign(n,1)*sin(x)+sign(n,2)*sin(2x)/2+sign(n,3)*sin(3x)/3+sign(n,4)*sin(4x)/4+sign(n,5)*sin( 5x)/5 +sign(n,6)*sin(6x)/6+sign(n,7)*sin(7x)/7+…+sign(n,k)*sin(kx)/k… 具体操作步骤如下: (1)单击【函数或参数方程曲线…】命令,所示在“y=”对应的编辑框中输入: sign(n,1)*sin(x)+sign(n,2)*sin(2*x)/2+sign(n,3)*sin(3*x)/3+sign(n,4)*sin(4*x)/4+sign(n,5)*sin(5 *x)/5+sign(n,6)*sin(6*x)/6+sign(n,7)*sin(7*x)/7+sign(n,8)*sin(8*x)/8+sign(n,9)*sin(9*x)/9+sign (n,10)*sin(10*x)/10 (2)如下图所示,将“曲线的点数”设置为:500,设置变量 x 的范围为:-2*pi 到 2*pi, 单击【确定】按钮退出。

(3)单击【插入】菜单中的【变量对象】命令,在弹出的对话框中输入变量 n,设置 n 的范围为 0 到 10,单击【确定】按钮退出。 (4)如下图所示,拖动参数 n 的控制对象,改变参数 n 的值,可以观察到当函数叠加 不同数目的表达式时,函数曲线的变化规律。

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对于这种方法, 若要观察 n 对应更大的数值对应的函数曲线时, 需要输入更长的表达式。 例如当 n 取 50,则需要输入 f(x)的前 50 项之和,这时表达式将会变得非常之长。若要求 n 取 100,将会花费大量的时间来书写这个表达式。 有没有一个更好地解决办法呢?让计算机代替我们书写这个冗长的表达式。 利用循环或者迭代,是解决问题的一种方法。 这样我们只需要定义一个函数,能自动计算表达式中的 f(x)=sin(x) +1/2 sin(2x) + .... + 1/n sin(nx)前 k 项之和即可。函数的定义如下: Sn(x,n,k) { if(k= =1){sin(x);} else{Sn(x,n,k-1)+sign(n,k)*sin(k*x)/k;} } 在这里定义了一个函数 Sn(x,n,k),有三个参数 x、n、k; x 表示 f(x)中的自变量,n 表示 取 f(x)的前 n 项之和,k 表示 n 可以取到的最大值。 当 k=1 时,f(x)=sin(x);当 k≠1 时,那么 f(x)的前 k 项之和就等于前(k-1)项之和加上 sign(n,k)*sin(k*x)/k。 具体操作如下: (5)在新建文档中,激活程序工作区。 (6)在程序工作区中输入: Sn(x,n,k) { if(k= =1){sin(x);} else{Sn(x,n,k-1)+sign(n,k)*sin(k*x)/k;} } (7)将光标放在最后一行的大括弧“}”之后,按住 Ctrl 键的同时击 Enter 键,得到返回 结果,向计算机定义了函数 Sn(x,n,k)。 下面利用函数 Sn(x,n,k)作函数曲线: (8)在输出结果的下一行继续输入:

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Function(x,Sn(x,n,100),x,-2*pi,2*pi,500,); (9)将光标放在该行,按住 Ctrl 键的同时击 Enter 键,得到返回结果,如下图所示。

函数 Function(x,Sn(x,n,100),x,-2*pi,2*pi,500,)的作用是, 作参数方程{x=x, Sn(x,n,100)} y= (其中参数为 x)对应的曲线,其中参数 x 的范围是从-2*pi 到 2*pi,曲线取 500 个样点。 插入控制参数 n 变化的变量控制尺: (10)单击【插入】菜单中的【变量对象】命令,在弹出的对话框中输入变量 n,设置 n 的范围为 1 到 100,单击【确定】按钮退出。 (11)打开属性工作区,如下图所示,在下方将“显示符点数的精度”的属性值修改为: 0,然后单击属性工作区中其他空白处,之后退出。

结果如下图所示,拖动改变 n 的值,曲线变为不同形状的“锯齿”。

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增加课件的标题: (12)单击【插入】菜单中的【文本...】命令,如左下图所示,在弹出的文本编辑对话 框中输入: f(x)=$he{{i=1,$bl{n,0}}(sin(i*x)/i)}, 然后选择乘号的的显示格式为: “·”, 【确 单击 定】按钮完成,结果如右下图所示。

【思考与练习】 (1)如果将上面 f(x)中的通项 sin(k*x)/k 改变为 sin((2k-1)*x)/(2k-1),则结果变为下面 的形式。请你动手完成这个实验。

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(2)将上面 f(x)中的通项 sin(kx)/k 改变为 cos(kx)/k ,重新进行试验,看看叠加之后的 图形是什么形状的。 (3)将上面 f(x)中的通项 sin(kx)/k 改变为 cos((2k-1)x)/(2k-1),重新进行试验,看看叠 加之后的图形是什么形状的。 (4)将上面 f(x)中的通项 sin(kx)/k 改变为(-1)^k*sin(kx)/k,重新进行试验,看看叠加之 后的图形是什么形状的。 (5)将上面 f(x)中的通项 sin(kx)/k 改变为其他三角形式,重新进行试验,观察叠加之 后的图形性质。

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第七部分 算法与编程

7.1 超级画板的程序语言
相对于很多计算机高级程序设计语言来说, 利用超级画板的程序工作区执行程序具有无 须编译直接执行命令并且即时得到运算结果的优点, 也无须嵌入头文件、 各种类文件即可进 行对应的运算。 学习算法,关键在于编写出让计算机执行的对应程序。看到计算机执行自己的程序,并 且快速准确地给出问题的解答,会让学习者体会到学习算法的成就感;另一方面,若通过计 算机执行程序而并未得到自己预期的答案, 则可以回过头来, 对自己的算法或程序进行检查 错漏,通过实践中的问题学习算法,可以加深对算法及程序的认识和理解。 另一方面,在平时研究的一些问题中,若能将算法和程序有机地融入其中,作为研究这 些问题的途径和工具, 很多时候可以达到仅通过菜单命令难以实现和完成的效果。 通过在研 究一些实际问题中对算法的应用和程序的学习, 可以对算法理解得更深刻、 对程序设计语言 也运用得更熟练。 接下来,我们简要介绍一下超级画板软件中的程序设计语言。 如下图所示,在左边工作区下方单击【程序】选项卡,激活程序工作区。鼠标单击程序 工作区编辑区域,这时出现一个短线在闪烁,表示在等待输入了。

(一)赋值语句、表达式求值和运算 超级画板中的赋值语句和数学中常用的格式一样,用等号"="。例如要将 5 赋值给变量 a,操作是,输入: a=5; 将鼠标的光标放在分号之后,按 Ctrl+Enter 键,结果执行程序,在下面一行显示: >> 5 # 如下图所示。

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解释一下: (1)按 Ctrl+Enter 键,是超级画板程序工作区中执行程序的操作方法,以下简称为“执 行命令”。而且执行命令前,需要将光标处于所执行程序最后一行的结尾。 (2)计算机执行的结果,从>>后开始阅读,以#表示结束。这是计算机对所执行程序 的回答,叫做“返回”。 (3)当计算机再次执行下面的程序时,从最后一个

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