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两条直线位置关系判断方法


两条直线的位置关系判断方法
设平面上两条直线的方程分别为 l1 : a1x ? b1 y ? c1 ? 0, l2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 一.行列式法 记系数行列式为 D ?

a1 a2

b1 b2

, Dx ?

?c1 ?c2

b1 a

, Dy ? 1 b2 a2

?c1 ?c2

l1 和 l2 相交 ? D ? 0 ? a1b2 ? a2b1

l1 和 l2 平行 ? D ? 0, Dx ? 0 或 D ? 0, Dy ? 0
l1 和 l2 重合 ? D ? Dx ? Dy ? 0
二.比值法

l1 和 l2 相交 ? a1 ? b1 ?a2 ,b2 ? 0 ? ;
a2 b2

l1 和 l2 垂直 ? a1b1 ? a2b2 ? 0 ; l1 和 l2 平行 ? a1 ? b1 ? c1 ?a2 ,b2 ,c2 ? 0 ? ;
a2 a2 b2 b2 c2

l1 和 l2 重合 ? a1 ? b1 ? c1 ?a2 ,b2 ,c2 ? 0 ?
c2

三.斜率法

l1 : y ? k1 x ? b1 ? 0.l2 : y ? k2 x ? b2 ? 0 (条件:两直线斜率都存在,则可化成点斜式)
l1与l2相交 ? k1 ? k2 ;
l1与l2 平行 ? k1 ? k2,b1 ? b2 l1与l2重合 ? k1 ? k2,b1 ? b2 ; l1与l2垂直 ? k1.k2 ? -1;
特别提醒:在具体判断两条直线的位置关系时,先考虑比值法,但要注意前提条件(分母不 为零);再考虑斜率法,但也有条件(两条直线的斜率都存在),最后选择行列式(无条件); 注:(1)两直线平行是它们的法向量(方向向量)平行的充分非必要条件; (2)两直线垂直是它们的法向量(方向向量)垂直的充要条件; (3)两条直线平行 ? 它们的斜率均存在且相等或者均不存在; (4)两条直线垂直 ? 他们的斜率均存在且乘积为-1,或者一个存在另一个不存在;

例题分析 1.下列命题中正确的是??????????????????????????( B ) A.平行的两条直线的斜率一定相等 B.平行的两条直线倾斜角相等 C.两直线平行的充要条件是斜率相等 D.两直线平行是他们在 y 轴上截距不相等的充分条件 分析:A.两条直线斜率均不存在时也是平行,此时斜率不存在; C.”斜率相等”是”两直线平行”的既不充分也不必要条件; D.既不充分也不必要条件,因为两条直线斜率均不存在时也是平行,此时不存在 y 轴上的截距,反之显然不成立; 2、若 l1 与 l2 为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别为 a1,a2,斜率分别为 k1,k2,则下 列命题 (1)若 l1∥l2,则斜率 k1=k2; (2)若斜率 k1=k2,则 l1∥l2; (3)若 l1∥l2,则倾斜角 a1=a2;(4)若倾斜角 a1=a2,则 l1∥l2; 其中正确命题的个数是?????????????????????????( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 分析:(2)(3)(4)对,此时要注意已知条件 l1 与 l2 为两条不重合的直线 3、已知两条不重合的直线 l1,l2 的倾斜角分别为α 1,α 2,给出如下四个命题: ①若 sinα 1=sinα2,则 l1∥l2 ②若 cosα 1=cosα2,则 l1∥l2 ③若 l1⊥l2,则 tanα 1?tanα2=﹣1 ④若 l1⊥l2,则 sinα 1sinα2+cosα1cosα2=0 其中真命题是????????????????????????????( B ) A.①③ B.②④ C.②③ D.①②③④ 分析:①sinα 1=sinα 所以不一定推出; ②cosα 1=cosα
2 ,可知 2,

可知α 1=α

2

或α 1 +α 2 = π ,因为倾斜角α 1,α 2 的范围 ?0,π ? ,

α 1=α

2

,因为倾斜角α 1,α 2 的范围 ?0,π ? ,所以可以推出;

π ,致使斜率不存在; 2 ④若两条直线斜率都存在时, 显然成立, 若两条直线斜率有一个不存在时也成立, π 下证,不妨设α 1= π ,α 2= ,此时也成立; 2
③如果成立的话,必须斜率存在,可是α 1= π ,α 2= 4 、 已 知 直 线 l1 : 3 x ? ( k ? 2 ) y ? 6 ? 0 与 直 线 l2 : kx ? ( 2k ? 3 ) y ? 2 ? 0 , 记
D? 3 ? ( k ? 2 ) .” D ? 0 ”是”两条直线 l 与直线 l 平行”的???????????( 1 2 k 2k ? 3

A

)

A.充分不必要条件; B.必要不充分条件 ; C.充要条件; D.既不充分也不必要条件

5、若直线 l1 : x ? ay ? 2a ? 2 与直线 l2 : ax ? y ? a ? 1 不重合,则 l1∥l2 的充要条件( C ) A. a ? ?1 ; B. a ?

1 ; 2

C. a ? 1 ;

D. a ? 1 或 a ? ?1 .

分析:法 1:比值法,此时要保证分母不为零,故讨论 当 a ? 0 时, l1 : x ? 2 ; l2 : y ? 1 ,此时垂直,不满足条件,舍去 当 a ? -1 时, l1 : x ? y ? 0 ; l2 : y ? x ? 0 ,此时重合,舍去

- 1 时, l1∥l2 ? 当 a ? 0,
2

1 a 2a ? 2 ? ? ? a ?1 a 1 a ?1

法 2. D ? 1 ? a , Dx ? (a ? 2) ( a ? 1 ); Dy ? ?2a ? 1?( a ? 1 ) ? a ? 1 类似也可以用斜率法,此时只需要讨论 a ? 0 和 a ? 0 两种情况 6、 直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0,l2 : x ? by ? 1 ? 0, 则 a ? ?1 是 l1 ? l2 的???????????? ( A )
b

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析: l1 ? l2 ? a ? b ? 0 7、 “a=2” 是” 直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1” 的???????????????? ( C ) A.充分不必要条件; B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

分析: (比值法:先观察有没有一条直线方程前面的系数是不是均为零, 若有就把其作为分母) 直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1 ?

a 2 0 ? ? ?a?2 1 1 1

8.已知直线 l1 : ( 2m2 ? m ? 3 )x ? ( m2 ? m ) y ? ?4m ? 1? ? 0 与直线 l2 : 2 x ? ( a ? 1 ) y ? 3 ? 0?a ? R? (1)m 为___ m ? 1且 m ? ?

9 __时, l1与l2 相交; 8

(2)m 为__ ?6 __时, l1与l2 垂直; 分析:直线方程含有参数 m ,故必须保证这个方程表示的是直线( x , y 前面的系数不全为 零),故 m ? 1 (1) l1与l2 相交 ? m ? ?

9 ; (2) l1与l2 垂直 ? m ? ?6 8

9、已知直线 l1 : y ? x sin α?α ? R? 和直线 l2 : y ? 2 x ? c ,则下列关于直线 l1 ,l2 关系判断正确 的有____.③____ ①.通过平移可以重合;②不可能垂直;③可能与 x 轴围成直角三角形; 分析:①如果两条直线平移之后可以重合,就必须满足斜率相同,可是 sin α ? 2

②如果两条直线垂直就必须斜率之积等于-1,此时 sin α ? 2 ? ?1 , α ?

5π 6

③由第②问中,可知这两条直线有可能垂直,故可能与 x 轴围成直角三角形,因为只要有 一个角是直角就可以啦; 10、若直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y﹣2=0 平行,则 m 的值为( C ) A.﹣2 B.﹣3 C.2 或﹣3 D.﹣2 或﹣3 分析:同第 5 题 11、已知 P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,则关于 x 和 y 的方程组 的解的情况是????????????????( B ) B.无论 k,P1,P2 如何,总有唯一解 D. 存在 k,P1,P2,使之有无穷多解

A. 无论 k,P1,P2 如何,总是无解 C.存在 k,P1,P2,使之恰有两解

分析:此时使用行列式法,否则用其他方程需要讨论,因为要保证使用条件, 故下面只需要先判断 a1b2 - a2b1 是否为 0
证: 因为 P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点并 且直线 y=kx+1 的斜率存在, ∴k= ,即 a1≠a2,并且 b1=ka1+1,b2=ka2+1,

∴a2b1﹣a1b2=a2 (ka1+1)-a1(ka2+1)=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1 ∴方程组有唯一解.


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