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空间中直线与直线之间的位置关系


教学目的: 1.会判断两条直线的位置关系,学会用图 形语言、符号语言表示三种位置关系. 2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平 行. 3掌握空间两直线的位置关系,掌握异面直 线的概念,会用反证法和异面直线的判定 定理证明两直线异面; 4. 掌握异面直线所成角的概念及异面直线 垂直的概念,能求出一些较特殊的异面直 线所成的角
王新敞
奎屯 新疆

复习引入: 1、同一平面内不重合两条直线有几种位置 关系?
(1)、相交:有且仅有一个公共点。 (2)、平行:在同一平面内没有公共点。

2、在同一平面内,同平行于一条直线的两 条直线有什么位置关系? 互相平行 提出问题:空间中的两条直线呢?

1.空间中两条直线的位置关系 观察: 观察教室内的日光灯管所在直线与黑 板的左右两侧所在的直线,想一想:它 们相交吗?平行吗?共面吗? 观察上方体的棱所在 直线,回答类似的问题.

思考:我们把具有上述特征的两条 直线取个怎样的名字才好呢?

异面直线的定义: 我们把不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线(skew lines)。 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图 时,通常用一个或两个平面衬托。如下图:
m
?

m

l

l

想一想,做一做: 1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的 点,那么MN与AB所在的直线是异面直线吗?
D1
M

C1

A1
D
A

B1
N

C
B

想一想,做一做: 2. 下图是一个正方体的展开图,如果将它 还原成正方体,那么AB,CD,EF,GH这 四条线段所在直线是异面直线的有几对?

C G H E

A
D B

三对 AB与CD

AB与GH
EF与GH

F 3. l1 ? ? , l2 ? ? , 则l1 , l2一定是异面直线吗?

空间中两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种
? ?平行直线 ?共面直线 ? ? ?相交直线 ? 异面直线 ?

位置关系 相交

只有一个 没有 没有

公共点个 数

是否共面

共面 共面 不共面

平行
异面

2. 空间两平行直线 提出问题:在同一平面内,如果两条直线 都与第三条直线平行,那么这两条直线互 相平行。在空间中,是否有类似的规律?
' ' ' ' ABCD ? A B C D 中, BB'∥ AA' 观察:如图2.1.2-5,长方体

DD'∥ AA'

那么 BB ' 与 DD' 平行吗?
D' C'

A' D A

B' C

B

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相 平行。
公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间 这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
符号表示:设空间中的三条直线分别为a, b, c,若

a∥ b

a∥ c

c∥b
想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直 线垂直,是否也有类似的规律?

例题示范
例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。
分析: 欲证EFGH是一个平行四边形 只需证EH∥FG且EH=FG E A H D G

连结BD,只需证: 1 EH ∥BD且EH = BD

2 1 FG ∥BD且FG = BD 2

B

F

C

E,F,G,H分别是各边中点

例题示范
例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。
证明: 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD 2 1 同理,FG ∥BD且FG = BD E D G A H

2

∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形

B

F

C

变式一:
在例2中,如果再加上条件AC=BD,那 么四边形EFGH是什么图形? A

菱形
分析: 在例题2的基础上 我们只需要证明平行四 边形的两条邻边相等。
B

E

H
D F G C

变式二:
空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中 CF CG 2 点,F,G分别是CB,CD上的点,且 , ? ? CB CD 3 A 求证:四边形ABCD为梯形.
E

H
D

分析:需要证明四边形ABCD有 一组对边平行,但不相等。

B F

G

C

3. 等角定理
提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角 的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个 角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立 呢 ? 观察思考:如图,∠ADC与∠ A'D'C'、∠ADC与 ∠A'B'C'的两边分别对应平行,这两组角的大小 关系如何?

3. 等角定理
定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。
A B D E F
C
?

?

3. 等角定理
定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。
A B
C

?

D F E

?

定理的推论:如果两条相交直线和另两条相 交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐 角(或直角)相等.

4. 异面直线所成的角
如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一 点O作直线a'∥a,b'∥b,我们把a'与b'所成 的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角 (或夹角)。

为了简便,点O通常取在两条异面直线中的一条上,例 如,取在直线b上,然后经过点O作直线a'∥a,a' 和b 所成的锐角(或直角)就是异面直线a与b所成的角。 想一想:a'与b' 所成角的大小与点O的位置有关吗?

4. 异面直线所成的角

如果两条异面直线所成的角为直角, 就说两条直线互相垂直,记作a⊥b。
b

a'

?

a

?

O

记作:a ? b

5. 异面直线的判定定理
异面直线定理:连结平面内一 点与平面外一点的直线,和这 个平面内不经过此点的直线是 异面直线

A ?? , B ?? , l ? ? , B ? l ?
王新敞
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AB

与 l 是异面直线

王新敞
奎屯

新疆

例题示范
例2、如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D' 中。 (1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线? (2)直线BA' 和CC' 的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直? 解:(1)由异面直线的判 定方法可知,与直线 BA? 成异面直线的有直线


B?C?, AD, CC?, DD?, DC, D?C?

例题示范
例2、如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D' 中。 (1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线? (2)直线BA' 和CC' 的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直? 解:(2)由 BB? // CC ? 可知, ?B?BA? 等于异面直线 与 CC ? 的夹角,所以异面直 线BA? 与 的夹角为450 。
BA? (3) 直线 AB, BC , CD, DA, A?B?, B?C ?, C ?D?, D?A? 与直线 AA?都垂直.
CC ?

练一练,巩固新知:P48页练习1,2题。
例3: 如图,A 是平面 BCD 外的一点 G , H 分别是 ?ABC , ?ACD 的重心, A 求证:GH // BD 。 证明:连结 AG, AH 分别交 BC, CD G H MN M , N 于 ,连结 , D B ∵G,H分别是⊿ABC,⊿ACD的重 N M C 心,∴M,N分别是BC,CD的中点, ∴MN//BD, 又∵ AG ? AH ? 2
AM AN 3

∴ GH//MN,由公理4知GH//BD.

练习反馈:

1. 判断: (1)平行于同一直线的两条直线平行.(√ ) (2)垂直于同一直线的两条直线平行.( ×) (3)过直线外一点,有且只有一条直线与已知 直线平行 . ( √ ) (4)与已知直线平行且距离等于定长的直线只 有两条. ( ×) (5)若一个角的两边分别与另一个角的两边平 行,那么这两个角相等(×) (6)若两条相交直线和另两条相交直线分别平 行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相 等. √ ( )
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练习反馈: 2.选择题 (1)“a,b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ ,且a 不平行于b;② a ?平面?,b?平面?且a∩b=Φ ③ a ?平面?,b ?平面? ④ 不存在平面?,能使 a ??且b ??成立 上述结论中,正确的是 ( C) (A)①② (B)①③ (C)①④ (D)③④ (2)长方体的一条对角线与长方体的棱所组成 的异面直线有 ( C) (A)2对 (B)3对 (C)6对 (D)12对

(3)两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交, 则直线a,b的位置关系是( D) (A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线 (C)可能是平行直线 (D)可能是异面直线,也可能是相交直线 (4)一条直线和两条异面直线中的一条平行,则 它和另一条的位置关系是( D ) (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)相交或异面 3.两条直线互相垂直,它们一定相交吗?

答:不一定,还可能异面.

4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系? 答:三种:相交,平行,异面. 5.画两个相交平面,在这两个平面内各画一条 直线使它们成为(1)平行直线;(2)相交直线; (3)异面直线.

6.选择题 (1)分别在两个平面内的两条直线间的位置关系 是 ( D) (A)异面 (B)平行 (C)相交 (D)以上都有可能 (2)异面直线a,b满足a ??,b ??,?∩?=l, 则l与a,b的位置关系一定是( B ) (A)l至多与a,b中的一条相交; (B)l至少与a,b中的一条相交; (C)l与a,b都相交; (D)l至少与a,b中的一条平行.

(3)两异面直线所成的角的范围是 ( C ) (A)(0°,90°) (B)[0°,90°) (C)(0°,90°] (D)[0°,90°] 7.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打 “×” (1)两条直线和第三条直线成等角,则这两条 直线平行 ( ) × (2)平行移动两条异面直线中的任一条,它们 所成的角不变 ( )√ (3)四边相等且四个角也相等的四边形是正方 形 ( ) ×
王新敞
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课堂小结: 这节课我们学习了两条直线的位置关系(平行、 相交、异面),平行公理和等角定理及其推 论.异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概 念; 证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判 定定理”;求异面直线的夹角的一般步骤是: “作—证—算—答”
王新敞
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作业布置: P51 A组3、4(1)(2)(3)、5、6.

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去了。裴氏先给隔壁耿老爹家送去一小笸箩;然后,又给董家送去一小笸箩。这似乎成了惯例,年年如此。除了种两亩水田和三亩坡地外,勤快 而颇有几分经济头脑的耿憨自个儿开了一个小粉坊,还养了几头肥猪,日子过得倒也殷实。小粉坊就在南大街上,差不多在十字大街与家的中间, 是个特别宽敞的大院儿。大院儿里盖有一溜儿10来间房子,耿憨只将其中的三间作为粉坊,其余的,随意地堆放着一些杂七杂八的东西,猪圈就 在正面靠西向阳的地方。由于有充足的粉渣和粉浆喂养着,所以猪们生长得非常肥,每年都能为耿憨家带来不菲的收入。此外,粉坊大院靠大门 的一侧盖了一溜儿宽敞的马厩,是专门为买粉条、送土豆的车马准备的。在这里可以给大牲口喂草料、饮水什么的。每当粉坊里活儿多时,裹着 一双小脚的裴氏也经常过来帮忙。她会把晾晒到半干的粉条,一把一把地弯曲捆扎成不大不小的把儿,做得比丈夫还好!耿憨与妻子裴氏生有两 男一女,女儿耿秀比耿老爹家的大女儿耿英大一岁,不但人长得水灵,而且心灵手巧、温顺善良。受耿老爹家的影响,耿憨夫妻没有给自家的女 儿缠足;所以,当大多数人家四、五岁的女娃儿在家里饱受缠足之苦时,耿秀儿和耿英却能与附近的一些秃小子们一起快快乐乐地疯玩儿。耿憨 的大儿子耿青山和二儿子耿青海是双胞胎,比耿秀儿小三岁。两兄弟长得几乎一模一样,不常见的人根本分不出来哪一个是哥哥,哪一个是弟弟。 耿老爹家的右邻姓董,名家成,年长耿老爹一岁。两人虽不是同姓,但打小儿就以兄弟相称,很是要好。董姓是镇上的第二大姓,但在镇南这一 片儿住的,却只有董家成一家。董家成娶妻刘氏,娘家住在离小镇八里远的刘家庄,那里盛产各种水果,是远近闻名的水果之乡。在“三六九” 集市上,摆水果摊的人大多数是刘家庄人。董家成家的院落里只在北面盖了一溜儿非常宽敞的正房。其他的建筑,除了大门和西南角上那个带有 房顶的宽大茅房之外,再有就是紧挨着茅房的那两间简易棚房了。在董家院落里,另一个很显眼的,就是在那两间简易棚房的旁边长着的那棵高 大的团枣树了。董家成从小儿就听他爹说,这棵团枣树还是他爷爷小时候亲手栽的呢!如今,尽管树干树枝有些老态龙钟的样子了,但每年仍然 还会挂枣。每逢深秋时,一阵秋风吹过,那些即将成熟的大团枣儿总会有一些掉到地上。这个时候,不用招呼,三家的娃儿们一准儿会不约而同 地跑到树下来捡枣儿吃。就这样,因为隔三岔五的刮风,树上的枣儿也就所剩无几了;所以,董家成夫妇俩从来不用动手打枣儿。为了家里吃水 方便,董家成就在自家的院子里打了一口水井。因为这一片地势比较低,所以没有费多大劲儿,就打出了一口水很旺的甜水井。从此以


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