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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(75)


加试模拟训练题(75) (附详细答案) 1 以圆 O 外一点 P,引圆的两条切线 PA,PB,A,B 为 切点。割线 PCD 交圆 O 于 C,D。又由 B 作 CD 的 平行线交圆 O 于 E。若 F 为 CD 中点,求证:A,F, E 三点共线。 A D F O E G B C P 2. 设{an}为有下列性质的实数列: 1=a0≤a1≤a2≤…≤an≤… 又 { bn

} 是 由 下 式 定 义 的 (1) 数 列 : 证明: (a)对所有 n=1,2,3,…,有 0≤bn<2; (b)对 0≤c<2 的任一 c,总存在一个具有性质(1)的数列{an} , 使得由(2)导出的数列{bn}中有无限多个下标 n 满足 bn>c. 3.在一平面上已知 n 个点,其中 n>4 且无三点在一直线上, 4.设 m, n ? N? , 且 m ? 2 ,证明: 2m ? 1 ? 2n ? 1 。 ? ? ? ? 加试模拟训练题(75) 1 以圆 O 外一点 P,引圆的两条切线 PA,PB,A,B 为切点。 割线 PCD 交圆 O 于 C,D。又由 B 作 CD 的平行线交圆 O 于 E。 若 F 为 CD 中点, 求证: A, D F,E 三点共线。 证 如图,连 AF,EF,OA,OB,OP,BF,OF, 延长 FC 交 BE 于 G。 易如 OA 丄 AP,OB 丄 BP, OF 丄 CP,所以 P,A,F,O,B E 五点共圆,有∠AFP=∠AOP=∠POB=∠PFB。 又因 CD∥BE,所以有∠PFB=∠FBE,∠EFD=∠FEB, 而 FOG 为 BE 的垂直平分线,故 EF=FB,∠FEB=∠EBF, 所以∠AFP=∠EFD,A,F,E 三点共线。 2. 设{an}为有下列性质的实数列: 1=a0≤a1≤a2≤…≤an≤… 又{bn}是由下式定义的数列: A F O G B C P (1) 证明: (a)对所有 n=1,2,3,…,有 0≤bn<2; (b)对 0≤c<2 的任一 c,总存在一个具有性质(1)的数列{an} , 使得由(2)导出的数列{bn}中有无限多个下标 n 满足 bn>c. 【题说】第十二届(1970 年)国际数学奥林匹克题 3.本题由瑞士提 供. 所以 =2 第 k 项是 现在要求对无穷多个 n,d(1+d) (1-dn)>c,则 事实上,这时有 d(1+d)>c.故(3)右端为一正数.因为 0<d<1 时,dn→0,所以存在一个确切的自然数 N(如取 N=[ln(1-c/(d(1+d) /lnd) )]) ,使得当 n>N 时(3)成立.于是(b)得证. 3.在一平面上已知 n 个点,其中 n>4 且无三点在一直线上, 【题说】 第十一届(1969 年)国际数学奥林匹克题 5.本题由蒙古提供. 大者设为△ABC.过 A、B、C 分别作对边的平行线相交得△A′B′C′. 因为△ABC 的面积最大, 所以其余的 n-3 个点均在△A′B′C′中(如果有一点 T 在△A′B′ C′外,那么 T 与 A、B、C 中某两点构成的三角形的面积大于△ABC 的面积,矛盾!). 除 A、B、C 外的 n-3 个点中,任取二点 D、E,则直线 DE 不可能与△ABC 三边都相交,不妨 设直线 DE 与 BC 不相交,于是四边形 BCDE 4.设 m, n ? N? , 且 m ? 2 ,证明: 2m ? 1 ? 2n ? 1 。 解析 按 m, n 的大小关系分三种情形讨论: (1

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