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15导数的概念及计算


导数的概念及计算

一、知识概述 导数的概念及其基本运算是本周学习的重点内容, 导数有着丰富的实际背景和广泛 应用,通过对平均变化率的分析入手,层层深入,展现了从平均变化率到瞬时变化率的 过程,指明了瞬时变化率就是导数,介绍了导数的一般定义.并借助函数图象,运用观 察与直观分析阐明了曲线的切线斜率和导数间的关系.导数的计算主要包括两个方面, 首先是几个常见函数

的导数,然后是基本初等函数的导数公式和导数的运算法则,关键 在于使用这些公式与法则求简单函数的导数. 二、重难点知识归纳 1.变化率与导数 (1)平均变化率

通常把式子

称为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率.







则平均变化率可表示为

(2)导数的概念

一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是

则称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数(derivative),记作



,即

当 x 变化时,

便是 x 的一个函数,则称它为 f(x)的导函数(derivative funtion)

(简称导数),记作



,则



(3)注意事项: 弄清“函数 f(x)在点 x0 处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系,可以从以 下几个方面来认识. ①函数在一点处的导数,就是在该点的函数改变量与自变量的改变量之比的极限, 它是一个常数,不是变数. ②导函数(导数)是一个特殊的函数,它的引出和定义始终贯穿着函数思想,对于 每一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 就构成了一个新函数,即导数. ,根据函数的定义,在某一区间内

③函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 =

就是导函数

在 x=x0 处的函数值,即

.这也是求函数在 x=x0 处的导数的方法之一.

(4)导数的几何意义

函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 率 k,即 2.导数的计算 (1)基本初等函数的导数公式 ①若 f(x)=c,则 ; .

就是曲线 y=f(x)在点

处的切线的斜

②若

,则



③若 f(x) sinx,则



④若 f(x)=cosx,则



⑤若 f(x)

,则

(a>0);

⑥若 f(x)

,则



⑦若 f(x)

,则

(a>0,且 a

1);

⑧若 f(x)

,则

.

(2)导数运算法则 ① ;





③ (3)复合函数的求导法则(难点)

设函数 数

在点 x 处有导数 或写作 .

,函数 y=f(u)在点 x 的对应点 u 处有导

复合函数求导法则: 复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以 中间变量对自变量的导数,即 三、典型例题剖析 .

例 1.利用导数的定义,求出函数 y=x+

的导数,并据此求函数在 x=1 处的导数.

[解析]

例 2.求等边双曲线

在点

处的切线斜率,并写出切线方程. [解析]

例 3. 设 f(x)是定义在 R 上的函数, 且对任何 x1, x2 R 都有 f(x1+x2)=f(x1)· f(x2).若 f(0) 0, .

(1)求 f(0)的值; (2)证明:对任何 x R,都有 . [解析] 例 4.求下列函数的导数:

(1)



(2)



(3)



(4)

. [解析]

例 5.求下列函数的导数:

(1)



(2)

;

(3)

;

(4)

. [解析]

例一

解析:利用导数的定义,结合求函数的导数的方法步骤进行计算.



从而



总结:求函数 y=f(x)的导数可分如下三步:

(1)求函数的增量



(2)求函数的增量与自变量的增量的比值

;

(3)求极限,得函数



例二 的导数

解: 函数 f(x)图象上点 P 处的切线方程的求解步骤: 先求出函数在点 (即过点 P 的切线的斜率),再用点斜式写出切线方程.





切线的斜率



切线方程为 y-2=-4(x-

),即 4x+y-4=0.

注:求导数也可以直接用公式,这里只是说明公式的推导过程. 例三 解析: 本题主要考查用导数的定义求函数的导数的方法, 以及函数极限的运算.

(1)

对任意

都成立,



,得 f(0)=f2(0).



(2)



对任何 x R,都有 例四



解析:这些函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数,求导时,

可直接利用四则运算法则和基本初等函数的导数公式求导.

(1)

(2)解法一:

解法二:



(3)



(4)



. 例五解析:应用指数、对数函数的求导公式,结合函数四则运算的求导法则及复合函数 的求导法则进行求导.

(1)

(2) 设







(3) (4)方法一:

方法二:



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一、选择题

1.若函数 f(x)=2x2-1 的图象上一点(1,1)及邻近一点

,则

( )

A.4

B.4x

C.4+2

D.4+2

2.物体运动方程为

,则 t=5 时的瞬时速度为( )

A.5

B.25

C.125

D.625

3.设

,则曲线 y=f(x)在点

处的切线( )

A.不存在

B.与 x 轴平行或重合

C.与 x 轴垂直

D.与 x 轴斜交

4.曲线

在点(1,-1)处的切线方程为( )

A.y=3x-4

B.y=-3x+2

C.y=-4x+3

D.y=4x-5

5.与直线 2x-y+4=0 平行的抛物线 y=x2 的切线方程是( )

A.2x-y+3=0

B.2x-y-3=0

C.2x-y+1=0

D.2x-y-1=0

6.设 f(x)=(2x+5)6,在函数

中,x3 的系数是( )

A.2000

B.12000

C.24000

D.非以上答案

7.设

,则

等于( )

A.0

B.

C. 8.函数 y=cos(cosx)的导数为( )

D.

A.

=[sin(cosx)]sinx

B.

=-[sin(cosx)]sinx

C.

=[cos(sinx)]sinx

D.

=-cos(sinx)

9.设 f(x)=



,则 a 的值为( )

A.1

B.2

C.

D.0

10.



等于( )

A.

B.

C.

D.

重 做

提 示

B 卷
二、填空题

11. 若曲线 f(x)=

-x 在点P处的切线平行于直线 3x-y=0, 则P点的坐标是________.

12.设

,则不等式

的解集为_________.

13.设 f(x)=

,且

,则 a=______,b=______.

14.若曲线

与直线 y=3x+1 相切,则常数 a 的值为_________. [答案]

三、解答题

15.求曲线 y=cosx 在点 A

处的切线方程. [答案]

16. 已知曲线

, 直线

, 且直线 l 与曲线 C 相切于点

求直线 l 的方程及切点方程. [答案]

17. 直线 l 与 m 都是抛物线 求 l,m 的直线方程.

的切线, l 过点 P(3, 2)且斜率小于1,



[答案]

18.求下列函数的导数: (1) ;

(2)

. [答案]
第 1 题答案错误! 第 2 题答案错误! 第 3 题答案错误! 第 4 题答案错误! 第 5 题答案错误! 第 6 题答案错误! 第 7 题答案错误! 第 8 题答案错误! 第 9 题答案错误! 第 10 题答案错误! 正确答案为 C 正确答案为 C 正确答案为 B 正确答案为 B 正确答案为 D 正确答案为 C 正确答案为 C 正确答案为 A 正确答案为 B 正确答案为 D

提示:

1.解析:



2.解析:



3.解析:

,即切线的斜率为0.

4.解析:本题主要考查导数的几何意义.由题意可知

,当 x=1 时,

则过点(1,-1)的切线方程为 y+1=-3(x-1),即为 y=-3x+2.

5.解析:由题意可知 线方程为 y-1=2(x-1),即为 2x-y-1=0.

上的点为(1,1),则所求的切

6.解析:

,根据二项式定理,则含有 x3 项为



7.解析:





8.解析:



9.解析:

,又



可得

,解得 a=2.

10.解析: 答案: 11.(1,0). 12.(-1,3). 13.a=0,b=-1.



14.



15.解:





在点A处的切线方程为



16.解:

直线 l 过原点,则



由点

在曲线 C 上,得











整理得



此时



因此直线 l 的方程为

,切点坐标为



17.解:

,设 l 与抛物线相切于点 Q







因 Q 在抛物线上,故

.又

点 P(3,2)



,即



于是

.当

时,





时,

(舍去).

则 l 的方程为

,即 x-2y+1=0.

由于

,故 m 的斜率 k=-2,从而





,所以切点为



故 m 的方程为 18.解:

,即 16x+8y+1=0.

(1)

(2)设





高考解析
1.(2009 年全国卷)已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为( A.1 答案:B 解析: B.2 C.-1 D.-2 )

对 y=ln(x+a)求导得



设切点为(m,n),则切线斜率为 n=ln(m+a)=ln1=0,

=1,m+a=1,

再由(m,n)在直线 y=x+1 上得 m=-1, 从而得 a=2.故选 B.

2.(2009 年湖北卷)已知函数 f(x)= 答案:1 解析:

cosx+sinx,则 f(

)的值为_______.

从而有

3.(湖北省高考试题)某日中午 12 时整,甲船自 A 处以 16km/h 的速度向正东行驶,乙 船自 A 的正北 18km 处以 24km/h 的速度向正南行驶,则当日 12 时 30 分时两船之间的 距离对时间的变化率是________km/h. 解析: 本题主要考查导数的几何意义,设时刻 t 时,甲到 C 处,乙到 D 处,此时两船的距 为 y,则



两边同时求导可得

答案:-1.6

4.(全国高考试卷 III 试题)已知直线 为曲线 曲线的另一条切线,且 .

在点(1,0)处的切线, 为该

(1)求直线 的方程;

(2)求由直线 , 和 x 轴所围成的三角形的面积. 解析: 本题主要考查导数的几何意义、两条直线垂直的性质,以及分析问题和综合运算的 能力.解答本题的思路是:先利用导数的几何意义求出切线 的方程,然后利用斜率之 积等于-1 求出 的方程.

(1)

,则直线 的方程为 y=3x-3.

设直线 过曲线 b2-2.

上的点B

,则 的方程为 y=(2b+1)x-

因为

,则有 2b+1=

,b=

,所求直线 的方程为



(2)解方程组





所以直线 和 的交点坐标为



直线 , 与 x 轴的交点坐标分别为(1,0),



所以所求三角形的面积为 S=




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