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2016如东掘港高级中学高三数学周练试卷


高三周练试卷 2015.12.13
一、填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分) 1. 已知:A= ?x, y ? x ? y ? 0 ,B= ?x, y ? x ? y ? 2 ,则 A∩B=_________. 2. 曲线 y ? x3 ? 2x 在点(1,-1)处的切线方程是 3. 命题“ ?x ? R, x3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”的否

定是 (用数学符号表示).

?

?

?

?

4.已知以坐标原点为顶点,坐标轴为对称轴的抛物线上一点 P(—4,—1) ,求抛物线的方 程 5. 已知幂函数 y ? m ? 9m ? 19 x
2

?

?

2 m2 ? 7 m ?9

的图象不过原点, 则实数 m 的值为_





6. 向量 a ? (1,2),b ? (?2,3),若ma ? nb 与 a ? 2b 共线(其中 m, n ? R, 且n ? 0)则 . 7. 已知函数 f ( x) ? f ?( ) sin x ? cos x ,则 f ( ) =

m 等于 n

?

2

? 4

8. 若函数 y ? log2 ax ?1 的图象对称轴是直线 x ? 2 ,则非零实数 a 的值为 9. 若椭圆 x ? my ? 1 的离心率 e ? ?
2 2

? 3 2? ? 3 , 2 ? ? ,则 m 的取值范围 ? ?

10.已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β 为两个不同的平面,下列四个命题: ①若 m⊥α ,n⊥β ,m⊥n,则 α ⊥β ; ②若 m∥α ,n∥β ,m⊥n,则 α ∥β ; ③若 m⊥α ,n∥β ,m⊥n,则 α ∥β ; ④若 m⊥α ,n∥β ,α ⊥β ,则 m⊥n. 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号). 11. 计算
6 tan10? ? 4 2 cos80? 的值等于



12. 如图,在△ABC 中,AD⊥AB, BC ? 3 BD, AD ? 1, AC ? AD ? _________. 13.在平面直角坐标系中, 设直线 l: kx ? y ? 2 ? 0 与圆 C:x ? y ? 4 相交于 A, B 两点,
2 2

??? ?

??? ? ????

???? ????

OM ? OA ? OB ,若点 M 在圆 C 上,则实数 k=__________
14.设函数 f ( x) ? x3 ? 2ex2 ? mx ? ln x ,记 g ( x) ? 实数 m 的取值范围是 .
f ( x) ,若函数 g ( x) 至少存在一个零点,则 x

二、解答题(本大题共共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分) 设 a ? (cos ? , (? ? 1) sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ), (? ? 0, 0 ? ? ? ? ? 量,若向量 a ? b 与 a ? b 互相垂直. (Ⅰ)求实数 ? 的值; (Ⅱ)若 a ? b ?

?

?

?
2

) 是平面上的两个向

? ?

? ?

? ?

4 4 ,且 tan ? ? ,求 tan ? 的值. 5 3
o

16. (本题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 ?ACB ? 90 ,M 为 A1B 与 AB1的交点,N 为棱 B1C1 的中点 (1) 求证:MN∥平面 AA1C1C (2) 若 AC=AA1,求证:MN⊥平面 A1BC
C1 N A1 B1

M C

A

B

17. 圆 C 经过 P(4, ?2), Q(?1,3) 两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,半径小于 5。 (1) 求直线 PQ 与圆 C 的方程 (2) 若直线 l ∥PQ,且 l 与圆 C 交于点 A,B,又以线段 AB 为直径的圆过坐标原点,求直 线 l 的方程 18. 某地政府为科技兴市,欲在如图所示的矩形 ABCD 的非农业用地中规划出一个高科技 工业园区(如图中阴影部分) ,形状为直角梯形 QPRE (线段 EQ 和 RP 为两个底边) ,已知

AB ? 2km, BC ? 6km, AE ? BF ? 4km, 其中 AF 是以 A 为顶点、 AD 为对称轴的抛物
线段.试求该高科技工业园区的最大面积. (16 分) D R E F C

Q A

P B

19. 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右准线为直线 L,动 a 2 b2
1 e

直线 y=kx+m(k<0,m>0)交椭圆于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,射线 OM 分别交椭圆及直线 于点 P,Q,如图,当 A,B 两点分别是椭圆 E 的右顶点和上顶点时,点 Q 的纵坐标为 (其中 e 为椭圆的离心率),且 OQ ? 5OM (1)求椭圆 E 的标准方程。 (2)如果 OP 是 OM,OQ 的等比中项,那么 明理由。

m 是否为常数?若是,求出该常数;若不是,请说 k

B O M P A

Q

20. (本小题满分 16 分)已知函数 g ? x ? ? (1)求函数 g ? x ? 的单调区间;

x , f ? x ? ? g ? x ? ? ax . ln x

(2)若函数 f ? x ? 在?1, ??? 上是减函数,求实数 a 的最小值;
2 (3)若 ?x1 , x2 ? ? ? e, e ? ? ,使 f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

(Ⅲ)命题“若 ?x1 , x2 ? [e,e 2 ], 使 f ( x1 ) ? f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于[来 “当 x ? [e,e 2 ] 时,有 f ( x)min ? f ? ? x ?max ? a ”.


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