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高中数理竞赛


数学竞赛 竞赛的学习远不同于高考,差异性的根源就来自老师这一角色的转变。所谓的教练,已经从传道授业解惑 的老师,转变为了引路的灯塔。他们可以为学生搜集资料,编制试题,懂得启发、引导学生思考,善于布 局谋划学生的发展方向,却极少拿起教材真正教你些什么。 当学习过程中的第一知识来源几乎不再为你注入源头活水的时候,你自然明白,书本就成了你获取知识的 唯一可行途径。你看什么书,它知识点讲

解是否清楚,它囊括的练习题是否典型而具有启发性,就直接决 定了你的学习质量,其重要性无需我再多言。 作为一个数学竞赛的过来人,我写下这篇文章,按照时间顺序分段介绍数学竞赛几个必经的层次,及其对 应的参考书籍。希望给正在或者即将踏上长路奔驰的你,带来一些实质性的帮助。 Period 1:初三毕业的那个夏天——高一的第一个学期结束 第一阶段是大多数竞赛生学习必备知识的阶段, 说白了就是先把高考课程内要求掌握的所有知识自学完成, 吃饱了上路。这一阶段的目标,清晰明确:配合老师的课堂教学,尽可能快地自学完成高考数学的绝大多 数内容,在最短时间内达到高考的要求。 在这一部分,我并没有什么值得推荐的参考书,我只想介绍我当时的情况。我高中的第一个学期,期中考 试数学分数非常低,这不是我个人的问题,而是我们整个数学竞赛组都存在的麻烦。于是我的竞赛老师就 自己搜集了一些高考的难题,汇总,并且按照联赛一试的形式命制成了一套套的试题让我们练习。毫不夸 张地说,到了期末,数学组的高考数学成绩就统治全班了,前前后后不过两个月的时间。 Period 2:高一第一学期结束的寒假

第二阶段是竞赛生第一次真正意义上地开始竞赛的学习,是飞机起飞前的第一冲刺滑行阶段。我建议你需 要完成的事情是:学习一试的内容和平面几何的内容。

对于一试部分的内容,我推荐的教材是华东师范大学出版社出版的《奥数教程》,注意是高一年级和高二 年级的基础篇(只有基础篇)。学数学竞赛的人不可能没听说这一套书,这一系列共分三本,分别在封面 注明了高一到高三三个年级。高一的这一本包括的知识点有:集合、函数、数列、三角函数、向量和立体 几何,除了集合包含一定的组合知识,其他的内容均为一试内容(可能还包括一点二试的代数内容),题 目非常典型且有难度,不管是基础篇还是提高篇都是必须刷完的;高二这本书基础篇包括:一试难度的不 等式,解析几何和复数,提高篇基本就是二试内容了,不推荐在这个阶段完成。

平面几何的内容,我只推荐一本书,这本书也是我唯一看过的一本平面几何的书:《奥赛经典——奥林匹 克数学中的几何问题》,主要由沈文选老师编写,湖南师范大学出版社出版。请你无视第二篇和第三篇关 于立体几何和解析几何的内容,重点在第一篇。除了三四五六七章(从托勒密到九点圆)可以略看,不是 考察重点,其他都要认真看。这本书的精华就在每一章节的基础知识部分,严密细致的总结归纳,堪称平 面几何教科书的典范。另外这本书上的题目难度分级也很合理,不是一味的难或者水,刷的时候可以明显 感觉到能力的提升。一个小的不足是错误较多。

关于这一阶段的学习,还要多啰嗦几句。第一,两条线要穿插着进行,尤其是一试内容的学习,不仅是在

这一阶段,在以后的过程中,都要保证常规的最低训练量;第二,这个阶段以及第三阶段,都是新知识学 习的阶段,你的目标很明确:快速地把这个圈子摸一遍。所以对于部分难题,该放的果断放,必须保证一 定的学习速度,但同时要保证质量,走马观花同样是大忌,建议题目的完成+阅读率在 80-90%。

Period 3: 高一第二学期开始到高一结束后暑假的中期 第三阶段是你一试实力进一步提升的阶段,同时也是你开始接触二试部分较难知识(数论、组合)的时期。 一试在第二阶段已经说过,在第三阶段你要持续看那两本书。 二试还有三块重要的内容你需要接触:代数、数论和组合。 代数方面,和刷什么书相比更重要的事情是,先说清楚一个未公开的公认事实:代数不一定考,要考也只 能是不等式或者数列函数等和一试紧密联系的部分。明面上代数的内容包括不等式、多项式、所有函数、 数列、复数等内容,但实际上你需要真的把它当作二试内容来训练的,就只有不等式。不等式的内容,我 当时练习的是高二年级的《奥数教程》提高篇不等式的部分,难度适中,没有什么特别的亮点,但是入门 已经足够了。 (在这个阶段,不等式也不是你的准备重点) 数论方面,我推荐必读书有两本: 《奥数教程》高三年级里面的数论部分(第 6-10 讲以及第 19、20 讲) , 还有《数学奥林匹克小丛书高中卷 10 数论》 ,两本书均由余红兵老师编写。说起余老师,他绝对算得上是 数学竞赛界数论这一块数一数二的老师, 他编写的教材精致而有深度, 这两本书是不得不刷的。 《奥数教程》 这一本,题目简单基础,非常适合入门阅读。它的闪亮之处,在于余老师给知识点和问题分析写下的注解, 一步步引导你思考和挖掘问题,这是竞赛书籍里绝无仅有的,值得你一个一个字地细看深思。而小丛书那 一本,就已经具有一定的难度了,题目非常典型和深刻,属于进阶的数论书,适合在入门后阅读。 组合方面,在这个阶段我推荐的书是《数学奥林匹克小丛书高中卷 11 组合数学》 ,由张垚老师编著。除了 母函数这一节可以略看,其他几章章章都堪称精华,难度梯度设置合理,知识覆盖全面,题目典型而有深 度,解答细致易懂。即便是入门书籍,它也已经具有了相当的难度,能真正看好这本书,全国联赛的组合 基础题肯定是不在话下的。

最后多说一句,组合和数论是二试内容中较难的两块,尤其是组合千变万化,思维性稍欠缺一点的同学会 觉得很难上手。如果你在看书的时候觉得很吃力,一定要把速度降下来 Period 4:高一结束暑假的中后期——高二开学不久的数学联赛 第二、三阶段都是竞赛内容全面铺开、构建知识网络的时期,是你储备知识,提高水平的发酵期,那么现 在就是验收成果的时候了,你直面的就是数学联赛。你在这一阶段会经历一个大爆发的过程,你这一步究 竟飞得有多高,直接取决于你前两个阶段准备得怎样。 这一阶段, 我不再推荐新的书, 你可以把前两个阶段没有刷完的书继续跟进。 但是有一本刊物: 《中等数学》 , 它每年到了暑假就会发行几本增刊,有一本收集了上一年全国乃至全世界各地的考题,有一本就是各省的 竞赛名师专门为联赛命制的模拟题,后者是你准备联赛的利器。这本增刊一般都包括十几套模拟题,其中 每一套你都要当作模拟考试一样限时完成,书写过程然后阅卷。需要注意的是,不同的老师有不同的喜好,

命制的模拟题风格各异。整本增刊良莠不齐,大多数都是好的,但是个别的几套真的很过分(比如我当年 遇到一套题,把一试题当作二试题出,全组一试的平均分不超过 30 分,一半同学 0 分或者 8 分) ,你需要 自己判断。

最后补充几句话,这一阶段通过练习联赛模拟题,预期的效果当然把你前期的积累转化为联赛的分数,说 白了就是找找联赛的感觉。除此之外,你的一试还会有很大的提升或者巩固,所以你务必把你的一试错题 整理收集,一定要保证所有的一试题是以下几种情况:正确完成;算错了的重新计算;不会的看过解答, 弄明白了。另一方面,你的二试不会有硬实力的提高,所以如果你遇到了一些看不太明白的二试题,就让 它去吧 Period 5:高二联赛结束——高二结束暑假的前中期 高二的联赛是一个分水岭。如果你的竞赛目标是强省的省队,国赛金牌,集训队甚至更远,下面的推荐适 合你。如果你的目标没有这么远,剩下的内容你可以完全忽略,前几个阶段的事情,你大可放慢速度。情 况就是这样:我之前的推荐那些书,真正看好,就已经能够达到弱省省队和强省省一等奖的层次。 高二联赛的准备,你的一试、平面几何基本达到了联赛要求,这两块也不会是你高二这一年的准备重点, 你的重心需要转移到剩下的三个内容上来,尤其是数论和组合。 先说任务量稍轻的一块吧。关于代数,尽管多项式的内容在近几年的各类大型考试中几乎销声匿迹,但是 你也要提防,我的建议是刷完余红兵老师的《奥数教程》高三年级多项式部分即可。关于不等式,如果你 想要练,建议是《数学奥林匹克小丛书高中卷 5 不等式的解题方法和技巧》 ,由苏勇和熊斌两位老师合著。 之前说过的《奥数教程》高二年级的部分主要是针对重要的不等式,这一本书则是针对不等式的技巧方法, 全面细致。 以上关于代数部分的建议,你根据自己的情况适当调整,不想刷也没关系,但是以下关于数论和组合的部 分是必看的。 数论方面,只需做好一本书,不用再看其他的书,就可以达到冬令营的难度要求,甚至走得更远。这本书 就是《数学奥林匹克命题人讲座——初等数论》 ,由冯志刚编写,上海科技教育出版社出版。这本书知识讲 解几乎可以忽略,远没有余老师的书出色,但是这本书涵盖了大量的习题,简直就是数论这一块的黄金题 库,题目的质量实在是太高(大多数都是很难的,尤其是第一章难度最高) ,一道道刷过来,数论的能力会 有质的飞越。 组合方面,我推荐三本书,推荐首先阅读第一本: 《奥赛经典——奥林匹克数学中的组合问题》 ,这是组合 这一块综合性的大百科全书,除了第一二章可以略看,后五章要认真刷完,题量大,题目质量很高,对于 组合能力的提升要很大的帮助。剩下的两本书,你可以根据需要选择其中一本刷。两本书是《数学奥林匹 克小丛书高中卷 13 组合极值》以及《高中数学竞赛专题讲座——组合构造》 ,都是由冯越峰老师编著。上 面收集的问题同样很精彩,尤其是后者,难度很大,有能力可以两本都刷,组合多练一些绝对错不了。

最后一个建议是,如果你平时有机会进行一些模拟考试,推荐这一阶段不要考联赛模拟题,难度要上升, 需要尝试去考 CMO,美国数学奥林匹克竞赛,有能力甚至可以去试试国家集训队测试、国家队选拔、罗马

尼亚大师杯和 IMO(在《走向 IMO》系列丛书中都有收录) 。如果说高二的联赛你是够着去考的话,高三 这一年你需要以俯视的姿态回归。有意的拔高难度,才能够做到在联赛的考试中游刃有余

Period 6:高二结束暑假的后期——高三联赛

这一阶段,是你在一系列拔高练习之后的回归期。这一阶段你要做好两件事。

首先,把你之前刷过的所有书都要过一遍,作为复习。这一个习惯很重要,而且很多人都没有这个习惯。 第一遍看书时难免走得坑坑洼洼,有些题压根没看,有些题当时没看懂,现在是时候回过头来料理它们的 时候了。你现在可以从一个更高的观点,去审视原来的问题,想想这道题是怎么来的?它的背后蕴藏了什 么东西?这类技巧还经常在哪些题中出现?当时我为什么没有做出来……一切有意义、有价值的问题,你 都可以去思考,然后把你的感悟记下来,这就是总结,它可以帮助你完善知识网络,加深印象,更重要的 是它能够帮助你形成解题的经验。另外一个好处就是,当你发现当年把你虐得死去活来的问题不过就那么 回事的时候,心情真是倍儿爽。

其次,高二暑假出来的那一本《中等数学》的增刊你需要完成,这一点无需我多说,你已经明白。

Period 7:高三联赛结束——中国数学奥林匹克竞赛(又称国赛、冬令营、CMO) 如果你考进了省代表队,并且有资格参加国赛,那你的数学竞赛之路还能继续往前走。联赛结束到国赛开 始,还有一段时间,在这个阶段,你需要刷的是三本书。其中两本是《数学竞赛研究教程》的上下册,还 有一本就是《奥数教程学习手册》高三年级,在解答部分结束之后有两个专题:组合问题和数论问题,上 面收集的题目和所做的注解非常棒。 除了书之外,你还需要拔高难度去练习一些国家集训队测试、国家队选拔、美赛、罗马尼亚大师杯、 IMO 等试题,在《走向 IMO》系列丛书中都有收录。

如果你在国赛当中取得了不错的成绩,升学问题就不用担心了,我分享的经验也就到此结束。最后我想总 结几点,作为提醒送给你: l 竞赛书在精不在多。这是我一路走来的一大感悟,我用我亲身经历和我看见的实例告诉你,很多时候一 本书就足够练好一大块内容,一本书刷好了就可以有惊艳的表现。水平上不来,不是因为你书刷得不够, 而是你刷得不好。 l 竞赛书不能光看,一定要自己动笔练习。很多人习惯非常不好,只看不做,很多问题的解答非常精彩, 你直接去阅读和你先动笔试试再去看,收获的东西是不在一个数量级上的。 l 看书的时候要养成动笔记录想法、观点的习惯。我见过身边很多人看完的书干净得像没看过一样,做出 来了的打个勾,没做出来的画个圈,仅此而已。这是很糟糕的习惯。刷题时一定要记录一切有价值,有意 义的东西,可以是不同于解答的新解法,可以是你的思考和感悟,也可以是你的困惑,总之一切你认为的 闪光点,都值得记录。 l 切忌走马观花,但也不能在一个角落过分纠结。这是两种极端,有些人看书飘得很高,这样的人其实什 么都学不到,最后注定死得很惨。但也有些人看书过分追求完美,总觉得我要无死角扫平这本书,但这是 不可能的,有些难题和偏题,适当跳过也是必须的。

l 要有书看多遍的习惯,这个之前也提过。一本书看第二遍的时候,整个人的感觉都会不一样,觉得自己 就像处在另外一个境界,很多问题一下就豁然开朗,这样的体验非常奇妙,而且能够给你带来实质性的帮 助——经验式解题的形成,对于稳定联赛成绩,避免极端情况的发生,它具有关键性的作用。

物理竞赛 9 月 19 日,物理竞赛的考生们就要踏上战场啦!创知路特以本文为物竞党加油!祝大家考试顺利,梦想成 真! 本文由创知路两位学长共同完成,国际物理竞赛 IPhO 金牌李嘉宇提供主要信息,物理国赛银牌蒋耀湘补 充整理。 走在竞赛之路上的同学,或许已经发现或正在发现,自主学习对于竞赛的重要意义。这里,作为一个过来 人,我就来谈谈自己对物理竞赛的教材使用的看法。

初三毕业党 对于刚初中毕业的同学,我想说的是,高中物竞与初中所学的物理知识相去甚远,所以对于初中刚毕业的 同学,能自学高中的物理书本,提前学习一下高中的物理知识就已经很不错了。

高一上学期 在这个阶段,我认为首要的的是掌握高考的所有物理知识,包括入学、光学、原子物理等等。而这个阶段 比较好的教材,我首推范小辉编写的《新编高中物理奥赛指导》——俗称黑白皮。特别是白皮书上面的题 目,很基础,如果能悉数掌握,甚至能在理论考试中达到冲击省队的程度。

当然,范小辉主编的《物理竞赛教程》 (共三册)也是不错的,但两套丛书选一个认真做好就可以了。一般 学完几乎就过完一个学期了,高一的这个寒假,在完成了上面所说丛书的基础上,可以开始学习《更高更 妙的物理》这一册丛书。这本书讲了很多巧妙解题的方法。

不像数学竞赛,物理竞赛与大学物理知识有很多挂钩的地方,所以建议配套程守洙编写的《普通物理学》 (上) (下)两册书一起学习。当然,书中太过超纲的部分可以不学。

当然,高一上还要自学或在老师那里学习高等数学中的微积分部分。这个在物竞中是必需的。做《高妙》 的时候你就会发现,其实很多题用微积分来解题会更快,而书上面却用求和来解题,异常繁琐。

高一下学期

到了高一下学期,可以入手程稼夫编写的《力学篇》 《电磁学篇》 《讲座》 ,程稼夫老师出品的这三本书都是 精品。如果能在一个学期内学完书上的知识、完成习题,相信你的实力会上升一大截。

暑假的时候可以考虑购入《最新国际国内物理奥林匹克竞赛优化解题题典》 ,进行刷题大业了。

高二上学期 这个学期的九月二十多号,就能第一次参加竞赛的理论考试了,但是这个时候的考试成绩在很多省都是不 承认的,他们只承认应届高三学生的成绩。但是这对自己是一个很好的考验,一定要用心准备,考完后分 析得失。

复赛后可以入手崔宏斌的《热学、光学、近代物理》 ,然后开始大学知识的补充,包括舒幼生写的《力学》 、 叶邦角参与编著的《电磁学与电动力学(上) 》 ,这两本书的习题也要认真完成,这些题目很接近竞赛。

大学的丛书还可以参考赵凯华编写的《新概念力学》 《新概念电磁学》 《新概念热学》 《新概念光学》等等。

一般高二都会开始试验培训了,这个学期主要是将国家指定的物理竞赛实验教材上的那些试验全部完成。

高二下学期 包括高二寒假以及之后的阶段,就进入疯狂刷题的阶段了。推荐丛书包括《俄罗斯 500 道》 、舒幼生老师 的《难题集萃》和《题选》 、复旦出版的《国际物理奥赛的培训与选拔》 、江四喜编写的《物理竞赛专题精 编》以及湖南师范大学老师们编写的《奥林匹克物理竞赛教程》 《奥林匹克物理竞赛解题金钥匙》 。

高二下学期任务会很重,特别是试验,要做很多基础的实验,教材的话推荐《国际物理奥赛的培训与选拔》 后面的实验部分以及湖南师范大学老师编写的《奥林匹克物理竞赛试验教程》等等。

等你学到了这一步,就不要多想了,放松心情带着信心上考场吧!


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