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不等式性质与基本不等式


不等式性质与基本不等式 考纲解读
考试内容 了解现实世界和日常生活中的不等关系, 掌握不等式性质及其应用, 了解基本不等式的证明 过程,掌握基本不等式及应用,会用基本不等式解决最大(小)值问题。 能力要求 培养观察能力、化归能力,会利用作差(商)法比较大小,会正确并灵活利用不等式性质解 决相关问题,会用其他方法解决在利用基本不等式(等号取不到时)的最值问题,培养学生 的

探究能力。

知识梳理
1、不等关系:

a ? b ? a ?b ? 0 ; a ? b ? a ?b ? 0 ; a ? b ? a ?b ? 0

1 2 平方和)()定号 3 比较法 ?作差 ? ?步骤()作差( )变形(因式积、商或 ? ?作商 2、不等式的性质: (1)自反性: a ? b ? b ? a ; a ? b ? b ? a

(2)传递性: a ? b, b ? c ? a ? c

a ? b, b ? c ? a ? c (3)可加性: a ? b ? a ? c ? b ? c ,故 a ? b ? c ? a ? c ? b (移项法则的依据) 推论: a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加) (4)可乘性: a ? b,c ? 0 ? ac? bc , a ? b,c ? 0 ? ac ? bc
推论 1: a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac? bd 推论 3: a ? b ? 0 ? n a ? n b 3、常用的基本不等式和重要的不等式 (1) a ? R, a ? 0, a ? 0 ,当且仅当 a ? 0, 取“?”
2
n n 推论 2: a ? b ? 0 ? a ? b

(2) a, b ? R,则a2 ? b2 ? 2ab ,当且仅当 a ? b, 取“?” (3) a, b ?R? ,则 a ?b ? 2 ab ,当且仅当 a ? b, 取“?”

a2 ? b2 a?b 2 ?( ) 2 2 a?b (注: ? ?算术平均数, ? ?几何平均数) ab 2 4、最值定理:设 x, y ? 0,由x ? y ? 2 xy
(4) (1)如积 xy ? P(定值),则积 x ? y有最小值 2 P
2 (2)如积 x ? y ? S (定值),则积 xy有最大值( )

S 2

即:积定和最小,和定积最大。注:运用最值定理求最值的三要素:一正二定三相等

能力提升
1、 利用基本不等式求最值时,特别要注意条件:一正二定三相等; 2、 在利用放缩法证明不等式时,可以用不等式性质或者基本不等式进行放缩; 利用基本不等式求最值时常会碰到等号取不到的情况,那么我们可改用构造“勾对函数” , 通过研究函数的单调性来确定最值。如函数 y ? x ? (Ⅰ)基本不等式 x ? 0的x ?

p x

p p ? 2 p ; x ? 0的x ? ? ?2 p x x

(Ⅱ) p ? 0时,在区间( ? ?, 0 ),( , ?)上为增函数 , 0?

p ? 0时,在(0, p ],[? p ,0)上减函数 在(? ?, p ],[? p ,?? )上增函数

典例分析
题型一 不等式性质的应用 【例 1】 (1)已知 f ( x) ? ax2 ? bx ,① ? 1 ? f (1) ? 1 ;② 1 ? f (?1) ? 3 ,求: 3a ? b 的取
值范围。 (2)对于实数 a,b,c,有下列命题:①若 a>b, 则 ac<bc;②若 a c >b c ,则 a>b ;③ 若 a<b<0, a >ab> b ; 则 ④若 c>a>b>0, 则
2 2
2 2

a b 1 1 ;⑤若 a>b, ? 则 a>0, b<0.○ 6 ? c ?a c ?b a b
?x ? y ? 3 ? x ? y ? ?1 ?x ? 1 ?? ?y ? 2

a b b a 若 a>0, b>0 ,且 a ? b ,则 a ? b < a b 。其中真命题的个数是________.

解:1) 3a ? b ? x(a ? b) ? y (a ? b) ? ( x ? y )a ? ( x ? y )b ? ? ( 设: 由①+②×2 得: ? 1 ? 2 ? (a ? b) ? 2(a ? b) ? 1 ? 3 ? 2

即 : 1 ? 3a ? b ? 7 . 说明:此题的一种典型错误做法,如下: ? ?1 ? a ? b ? 1,1 ? a ? b ? 3, ?0 ? 2a ? 4 ,即: 0 ? a ? 2 ? ? 1 ? a ? b ? 1 , ? 3 ? b ? a ? ?1? ? 4 ? 2b ? 0 即: ? 2 ? b ? 0 ? 0 ? 3a ? 6 , 0 ? ?b ? 2 ,? 0 ? 3a ? b ? 8 此解法的错误原因是因为 a 与 b 是两个相互联系,相互制约的量,而不是各自独立的,当 所以用以上方法可能扩大变量的范 a ? b 取到最大值或最小值时,a ? b 不一定能取到最值,
围.避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入” ,见解题过程.也可以用线性规划来解。 (2)①中,c 的符号不确定,故 ac,bc 的大小也不能确定,故为假.②中,由 a c >b c 知 c≠0,又 c >0,则 a>b,故为真.③中,由可得 ab> b ,由可得 a >ab,∴ a >ab> b 为 真. ④中, a>b, 由 得-a<-b, ∴c-a<c-b, c>a>b>0, 而 ∴0<c-a<c-b, ∴ 又 a>b>0,∴
2 2 2 2 2 2 2

1 1 . ? c ?a c ?b

a b 1 1 1 1 为真.⑤中,由 a>b?a-b>0, ? ? ? >0,又 a-b>0, ? c ?a c ?b a b a b a b a b a a ?b b ? a ? ( ) a ?b ,当 a>b>0 时, ∴ab<0,而 a>b,∴a>0,b<0 为真. ○ b a ? a b 6 b a b a a a a > , a ? b>0 ,? ( ) a ?b > ;当 b>a>0 时, 0< < , a ? b<0 ? ( ) a ?b > 1 1 1 1 b b b b a abb a ? ( ) a ?b > 即 b a >1 ,又? a b b a>0 ,? a a b a>a b b a 综上可知,真命题有 5 个. 1 a b b
1

【变式 1】 (2010· (1) 全国)设 a= log3 2 , b=ln 2, 5 2 , a, c 的大小关系是________ c= 则 b, (2)已知 f ( x) ? ax2 ? 2bx , 0 ? f (1) ? 2 ; 4 ? f (3) ? 5 ,求: f (5) 的取值范围 (3)若 0 ? x ? 1 ,证明 log a (1 ? x) ? log a (1 ? x) ( a ? 0 且 a ? 1 ) . 解析:方法一:a= log3 2 =
1

1 1 ,b=ln 2= ,而 log 2 3 > log 2 e >1,所以 a<b, log 2 3 log 2 e

1 ,而 5 >2= log 2 4 > log 2 3 ,所以 c<a,综上,c<a<b. 5 1 1 1 1 方法二:a= log3 2 = ,b=ln 2= ,1< log 2 e < log 2 3 <2, < < log 2 3 log 2 e 2 log 2 3
c= 5 2 =

1 1 1 1 <1,c= 5 2 = < = ,∴c<a<b. log 2 e 5 4 2 5 5 35 (2) f (5) ? f (?1) ? f (3) ?[10, ] 2 2 2 (3)解法 1 ○当 a ? 1 时,因为 0 ? 1 ? x ? 1,1 ? x ? 1 , 1
所以 log a (1 ? x) ? log a (1 ? x) 2 ○当 0 ? a ? 1时,因为

1

? ? loga (1? x) ? loga (1? x) ? ? log a (1 ? x 2 ) ? 0 .

0 ? 1 ? x ? 1,1 ? x ? 1

2 所以 log a (1 ? x) ? log a (1 ? x) ? log (1? x) ? log (1? x) ? log a (1 ? x ) ? 0 . a a

综合(1) (2)知 log a (1 ? x) ? log a (1 ? x) . 分析 2 直接作差,然后用对数的性质来去绝对值符号. 解法 2 作差比较法. 因为 log a (1 ? x) ? log a (1 ? x)

?

lg(1 ? x ) lg(1 ? x ) 1 ? ? lg( ? x) ? lg( ? x) 1 1 lg a lg a lg a

?

?

?

1 ?? lg( ? x) ? lg( ? x)? ? ?1 lg( ? x2 ) ? 0 ,所以 log a (1 ? x) ? log a (1 ? x) . 1 1 1 lg a lg a

题型二 利用基本不等式求最值 【例 2】 (1)已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0,求 xy 的最小值. 2 (2)已知 x>y>0,且 xy=1.若 x + y 2 ≥a(x-y)恒成立,求实数 a 的取值范围.
【解析】 (1)由 2x+8y-xy=0,得

8 2 8 2 16 8 ? ? 1 ,又 x>0,y>0,则1 ? ? ? 2 , ? x y x y xy xy

得 xy ? 64 ,当且仅当 x=16,y=4 时等号成立

x2 ? y2 (2)? x ? y ? y ? 0, xy ? 1 ,?由x ? y ? a( x ? y) ,得 a ? x? y
2 2

6? 2 ( x ? y) 2 ? 4 xy 2 = , ? ( x ? y) ? ? 2 2 ,当且仅当 x ? y ? 2 ,即 x ? 2 x? y x? y

y?

6? 2 时等号成立。所以 a ? (?? ,2 2 ] 2


【变式 2】 (1)若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数 f(x)=ax 1+1(a>0 且 a≠1)的图象恒过 1 1 同一个定点,则当 + 取最小值时,函数 f(x)的解析式是________. a b 2 (2)已知关于 x 的不等式 2x+ ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小值 x-a 为________. 1 1 1 1 1 1 x+1 解(1)函数 f(x)=a +1 的图象恒过(-1,2),故 a+b=1, + =( a+b)( + ) 2 a b 2 a b 3 b a 3 2 2 1 = + + ≥ + 2.当且仅当 b= a 时取等号,将 b= a 代入 a+b=1 得 a=2 2-2, 2 a 2b 2 2 2 2 故 f(x)=(2 2-2)
x+1

+1. 2 2 =2(x-a)+ +2a≥2 x-a x-a 2(x-a)· 2 +2a=2a x-a

(2) 因为 x>a, 所以 2x+

3 3 +4,即 2a+4≥7,所以 a≥ ,即 a 的最小值为 . 2 2 题型三 利用基本不等式证明 2 2 2 2 2 2 【例 3]】已知 x = a + b ,y = c + d ,且所有字母均为正,求证:xy≥ac + bd 证:证法一(分析法)∵a, b, c, d, x, y 都是正数∴要证:xy≥ac + bd 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 只需证:(xy) ≥(ac + bd) 即:(a + b )(c + d )≥a c + b d + 2abcd 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 展开得:a c + b d + a d + b c ≥a c + b d + 2abcd 2 2 2 2 即:a d + b c ≥2abcd 由基本不等式,显然成立 ∴xy≥ac + bd 证法二(综合法)xy = a ? b
2 2

c 2 ? d 2 ? a 2c 2 ? b2c 2 ? a 2 d 2 ? b2 d 2

≥ a 2 c 2 ? 2abcd ? b2 d 2 ? (ac ? bd) 2 ? ac ? bd 证法三(三角代换法) 2 2 2 ∵x = a + b ,∴不妨设 a = xsin?, b = xcos? y2 = c2 + d2 c = ysin?, d = ycos? ∴ac + bd = xysin?sin? + xycos?cos? = xycos(? ? ?)≤xy 【变式 3】已知 x > 0,求证: x ?

1 ? x

1 x? 1 x

?

5 2

证:构造函数 f ( x) ? x ? 由 f (?) ? f (?) ? ? ? 显然 ∵2≤?<?

1 1 ( x ? 0) 则 x ? ? 2 , 设 2≤?<? x x

? 1 1 ? (? ? ?)(?? ? 1) 1 1 ? (? ? ) ? (? ? ?) ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?

∴? ? ? > 0, ?? ? 1 > 0, ?? > 0 ∴上式 > 0

∴f (x)在 [2,?? ) 上单调递增,∴左边 ? f (2) ?

5 2

题型四 不等式应用题 2 【例题 4】设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840 cm ,画面的宽与高的比为 λ (λ <1),画 面的上下各留 8 cm 的空白,左右各留 5 cm 的空白,问怎样确定画面的高与宽的尺寸,能使 ?2 3? 宣传画所用纸张面积最小?如果 λ ∈? , ?,那么 λ 为何值时,能使宣传画所用纸张面积 ?3 4? 最小? 2 【解析】 :设画面的高为 x cm,宽为 λ x cm,则 λ x =4840,设纸张面积为 S,则有 5 ? ? S= (x+16)(λ x+10)=λ x2+(16λ +10)x+160=5000+44 10?8 λ + ?≥6760,当 λ ? ? 且仅当 8 λ = ×88=55 cm. 5 5 时,即 λ = 时,S 取最小值,此时,高 x= 8 λ 4840 5 =88 cm,宽 λ x= λ 8

?2 3? ?2 3? 如果 λ ∈? , ?,则上述等号不能成立.现证函数 S(λ )在? , ?上单调递增. 3 4? ? ?3 4? 5 5 ? 2 3 ? -8 λ 2- 设 ≤λ 1<λ 2≤ ,则 S(λ 1)-S(λ 2)=44 10?8 λ 1+ ? 3 4 λ 1 λ 2? ?

2 5 5 ? >0, ?,因为 λ 1λ 2≥3>8? 8- λ 1λ 2? ? λ 1λ 2 ?2 3? 又 λ 1- λ 2<0,所以 S(λ 1)-S(λ 2)<0,故 S(λ )在? , ?上单调递增, ?3 4? 2 ?2 3? 因此对 λ ∈? , ?,当 λ = 时,S(λ )取得最小值. 3 ?3 4? =44 10( λ 1- λ 5
2

)?8- ?

【变式 4】如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 22 米,要求通行车辆限高 4.5 米,隧 道全长 2.5 千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。 (1) 若最大拱高 h 为 6 米, 则隧道设计的拱宽 l 是多少? (2)若最大拱高 h 不小于 6 米,则应如何设计拱高 h 和 拱宽 l ,才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小? (半个椭圆的面积公式为 s= 底面积乘 lh, 柱体体积为: 4 以高, 2 ? 1.414 , 7 ? 2.646本题结果均精确到 0.1 米) 解:1)建立如图所示直角坐标系,则 P(11,4.5)

?

x2 y2 ? ? 1 将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程得 a 2 b2 44 7 88 7 a? , 此时l ? 2a ? ? 33.3 故隧道拱宽约为 33.3 米 7 7 x2 y 2 112 4.52 2)由椭圆方程 2 ? 2 ? 1得 2 ? 2 ? 1 a b a b 2 2 11 4.5 2 ? 11? 4.5 ? 2 ? 2 ? ,? ab ? 99 a b ab ? ?ab 99? 112 4.52 1 ? s ? lh ? ? ,当s最小时有 2 ? 2 ? 4 2 2 a b 2
椭圆方程为:

? a ? 11 2 , b ?

9 2 此时l ? 2a ? 31.1, h ? b ? 6.4 2

故当拱高约为 6.4 米,拱宽约为 31.1 米时,土方工程量最小.

错解剖析
【例题】已知两正数 x,y 满足 x+y=1,求 z ? ( x ? 【解析】错解 1:由 x>0,y>0,知 z= ( x ? )( y ? 错解 2: z ? ( x ? )( y ?

1 1 )( y ? ) 的最小值 x y

1 x

1 1 1 ) ? 2 x? ? y? ? 4 y x y

1 x

1 2 ? x 2 y 2 ? 2 xy 2 )? ? ( ? xy) ? 2 ? 2 2 ? 2 y xy xy

导致以上两种错解的原因在于利用基本不等式解决最值问题中未注意到等号能否取到。 正解: z ? ( x ? )( y ?

1 x

1 1 y x 1 ( x ? y) 2 ? 2 xy 1 ) ? xy ? ? ? ? xy ? ? ? xy ? ? 2 y xy x y xy xy xy
1 2 1 1 ?x? y? 由 故当 t ? 时, ? ? , f (t ) ? t ? 在 (0, ] 上单调递减。 4 t 4 4 ? 2 ?
2

令 t=xy, 0 ? t ? xy ? ? 则

2 1 25 33 f (t ) ? t ? 有最小值 ,所以当 x ? y ? 时 Z 有最小值 t 2 4 4
“321”针对训练 三年高考
1. (2011 年浙江)若 a , b 为实数,则“ 0 ? ab ? 1”是“ a ? A 充分不必要条件 【答案】A B 必要不充分条件
2

1 1 或 b ? ”的( b a



C 充分必要条件

D 既不充分也不必要条件
2

?ab ? 1? ? 0 , 1 1 ?ab ? 1? 【解析】( a ? )( b ? )= ,因为 0 ? ab ? 1,所以 ab ab b a 1 1 1 1 1 1 即( a ? )( b ? ) ? 0 , 所以 a ? 或 b ? , 充分条件成立; 反之若 a ? 或 b ? 成立, b a b a b a 2 ?ab ? 1? ? 0 ,故 ab<0,不必要条件。故选 1 ab ? 1 1 ab ? 1 即a? ? ? 0 或b ? ? ? 0 ,则 ab b b a a
A 2. (2011 年天津)已知 a ? 5 A. a ? b ? c C. a ? c ? b 【答案】C 【解析】 m ? l g 令 o

?1? , b ? 5log4 3.6 , c ? ? ? ?5? B. b ? a ? c D. c ? a ? b
log 2 3.4

log3 0.3

, 则(

) y=log3x y=log2x

3.4 2 ,

n ? log

3.6 4 ,

l ? log

10 3 3 ,

y

在同一坐标系下作出三个函数的图象, 由图象可得 m ? l ? n , 3. (2011 年重庆)已知 a>0,b>0,a+b=2,则

1 4 ) ? 的最小值是( a b 7 9 (A) (B)4 (C) (D)5 2 2 y?
解析:选 C。因为 a+b=2,所以

o y=log4x

x

y?

1 4 ? 1 4 ?? a ? b ? 1 ? b 4a b 4a ? 9 ? 1? ? ? ? ? ?? ? 4? ? ?5 ? 2 ? ? ? ? ? ?1 ? ? a b ? a b ?? 2 ? 2 ? a b a b ? 2 ? 2? ? ?

4.(2009 江苏)某商场对商品进行两次提价,现提出四种提价方案,提价幅度较大的一种 是( ) A,先提价 p%,后提价 q% B,先提价 q%,后提价 p% C,分两次提价

p?q % 2

D,分两次提价

p2 ? q2 %(以上 p≠q) (吉林质检) 2 p2 ? q2 p?q 与 的大小。这 2 2 p2 ? q2 p ? q > ,选 D。 2 2

解:设原价为 1,则 A、B 提价后都为(1+p%)(1+q%),A、B 都不当选;方案 C 提价后为 (1+

p?q 2 %) ,方案 D 提价后为(1+ 2

p2 ? q2 2 %) ,只要比较 2

是教材中一个习题,有

p2 ? q2 p?q ≥ ,由于 p≠q,所以 2 2

说明:不等式

p2 ? q2 p?q ≥ 反应了平方和与和的大小关系,是教材中的一个习 2 2
2

题,用它可以解决许多问题,该题给我们的启示是, “应将之视作一个基本不等式对待” 。 5. 2010 年四川) a ? b ? c ? 0 , 2a ? ( 设 则
w_w w. k# s5_u.c o*m

1 1 ? ? 10ac ? 25c 2 的最小值是 ( ab a (a ? b)



(B)4 (C) 2 5 (D)5 1 1 1 1 2 ? ? 10ac ? 25c 2 = (a ? 5c) 2 ? a 2 ? ab ? ab ? ? 解析: 2a ? ab a (a ? b) ab a (a ? b) 1 1 2 ? a ( a ? b) ? = (a ? 5c) ? ab ? ≥0+2+2=4 ab a ( a ? b) 当且仅当 a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1 时等号成立 如取 a= 2 ,b= 答案:B 6. (2011 年浙江)设 x, y 为实数,若 4x2 ? y2 ? xy ? 1, 则 2x ? y 的最大值是 【答案】

(A)2

w_w_w.k *s 5*u .c o*m

2 2 ,c= 满足条件. 2 5
.。

2 10 5 【解析】 4x2 ? y2 ? 4xy ? 3xy ? 1 ,1 ? (2 x ? y)2 ? 3 ? 2 xy ? (2 x ? y)2 ? 3 ? ( 2 x ? y )2 ? 5 (2 x ? y)2
2 2 2 8

? 2x ? y ?

x2 x3 7. (2010· 江苏)设 x,y 为实数,满足 3≤xy2≤8,4≤ ≤9,则 4的最大值是________. y y x2 1 y 1 1 y2 1 解析:∵4≤ ≤9,∴ ≤ 2≤ ,∴ ≤ 4≤ . y 9 x 4 81 x 16 x3 1 1 1 y2 1 x3 又∵3≤xy2≤8,而 4= 4= ≤xy2·4≤ ,∴2 ≤ 4≤27. 2,且 y y y 27 x 2 y xy2·4 x3 x 答案:27 8.(2011 年安徽)(本小题满分 12 分)

2 10 2 10 ,故 2x ? y 的最大值为 5 5

1 1 1 ? ? ? xy , xy x y (Ⅱ) 1 ? a ? b ? c ,证明 loga b ? logb c ? logc a ? logb a ? logc b ? loga c . 1 1 ? ? xy ? xy( x ? y) ?1 ? y ? x ? ( xy)2 , 【解析】 (Ⅰ)∵ x ≥1, y ≥1,∴ x ? y ? xy x
(Ⅰ)设 x ? 1, y ? 1, 证明 x ? y ? ∴ [ y ? x ? ( xy)2 ] ?[ xy( x ? y) ?1] = [( xy)2 ?1] ? [ xy( x ? y) ? ( x ? y)] = ( xy ? 1)( xy ? 1) ? ( x ? y)( xy ? 1) = ( xy ? 1)( x ? y ? xy ? 1) = ( xy ? 1)( x ? 1)( y ? 1) ≥0, ∴x? y?

1 1 ? ? xy . xy x

(Ⅱ)设 log a b = x , logb c = y ,则 log c a =

1 log a a 1 1 1 = = = = , log a c logb c log b c logb c log a b xy 1 logb a log a b

1 1 , logc b = , loga c = xy , y y 1 1 ? ? xy , ∴所要证明不等式即为 x ? y ? xy x ∵ c ? b ? a ? 1 ,∴ x ? loga b ≥1, y ? logb c ≥1,

logb a =

由(Ⅰ)知所证明的不等式成立. 9. (2011 年湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况, 在一般情况下, 大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数,当桥上 的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米 时,车流速度为 60 千米,/小时,研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一 次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ( x ) 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: 辆/小时) f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 解析: (Ⅰ)由题意:当 0 ? x ? 20 时, v?x ? ? 60 ;当 20 ? x ? 200时,设 v?x? ? ax ? b ,

1 ? ?a ? ? 3 ?200 a ? b ? 0 ? 显然 v?x? ? ax ? b 在 ?20,200 ?是减函数,由已知得 ? ,解得 ? ?20 a ? b ? 60 ?b ? 200 ? 3 ? 0 ? x ? 20, ?60, ? 故函数 v?x ? 的表达式为 v?x ? = ?1 20 ? x ? 200 . ? 3 ?200? x ?, ? 0 ? x ? 20, ?60x, ? (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 f ?x ? ? ?1 20 ? x ? 200 . ? 3 x?200? x ?, ?
当 0 ? x ? 20 时, f ?x? 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60? 20 ? 1200;

1 1 ? x ? ?200 ? x ?? 10000 当 20 ? x ? 200时, f ?x ? ? x?200 ? x ? ? ? ? ? 3 , 3 3? 2 ? 当且仅当 x ? 200? x ,即 x ? 100时,等号成立. 10000 所以,当 x ? 100时, f ?x? 在区间 ?20,200 ?上取得最大值 . 3 10000 综上,当 x ? 100时, f ?x? 在区间 ?0,200? 上取得最大值 ? 3333, 3
2

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.

两年模拟

? x? y?2?0 ?4 x ? y ? 4 ? 0 ? ? x?0 1.2011 江西新余) x, y 满足约束条件 ? ( 设 , 若目标函数 z ? ax ? by (a>0, b>0) ? y?0 ? 1 2 的最大值为 6,则 log 3 ( ? ) 的最小值为( ) a b
A.
1 2

B.3

C.2

D.4

y ? ? x ? .当直线过 A 点时, 【解析】 首先做出线性规划函数. z ? ax ? by 变形为 by ? ?ax ? z , 即 b b

a

z

? x ? 2, ? x? y?2?0 ? ,解得 ? y ? 4. 故 A ? 2, 4 ? . 6 ? 2a ? 4b ,即 a ? 2b ? 3 , ? ?4 x ? y ? 4 ? 0 1 2 ? 1 2 ?? a 2b ? 1 2b 2a 4 5 2 2 5 4 1 2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ,则 log 3 ? ? ? ? 2 .故选 ? ? a b ? a b ?? 3 3 ? 3 3a 3b 3 3 3 3 3 3 ?a b?
C. 2.(2010 皖南八校) 设有四个命题:
2 ①关于 x 的不等式 ( x ? 2) x ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 ?x | x ? 2? ;

②若函数 y ? kx2 ? kx ?1 的值恒小于 0,则 ?4<k<0 ; ③

y ? sin 2 x ?

3 的最小值 2 3 ; sin 2 x

④若 a, b, c ? R, ac 2>bc 2 ,则 a>b ; 其中正确命题的题号是 . 解:①求解不等式先求函数的定义域;②遇到二次项有参数的问题,首先对参数进行讨论;③注意重
2 要不等式的求最值满足的条件.【答案】④【解析】①满足 x ? 3 x ? 2 ? 0 或? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 解得 x ? 2 或

? ?

? x ? 2? ? 0
3

x ? ?1 , 所 以 ① 错 ; 当 k ? 0 满 足 条 件 , 所 以 ② 错 ; ③ y ? sin x ? sin 2 x ? 2 3 当 且 仅 当 3 sin 2 x ? 2 ? sin 4 x ? 3 不成立,所以最小值不是 2 3 所以③错;④是正确. sin x
2

3. (2011· 浙江五校联考)设 x,y 为正实数,a= x2+xy+y2,b=p xy,c=x+y. (1)如果 p=1,则是否存在以 a,b,c 为三边长的三角形?请说明理由; (2)对任意的正实数 x,y,试探索当存在以 a,b,c 为三边长的三角形时 p 的取值范围. 解: (1)存在. p=1 时, 当 b= xy, x+y+ x2+xy+y2> xy显然成立, x+y- x2+xy+y2 且 =
? ?a+c>b xy ? ,故当 p=1 时,存在以 a,b,c 为三 2 2<xy,易知 a<c,由上得 ? x+y+ x +xy+y ?c-a<b

边长的三角形.
?a+c>b ? (2)∵a<c,∴若存在以 a,b,c 为三边长的三角形时,只需? , ? ?c-a<b

?x+y+ x2+xy+y2>p xy 即? ?x+y- x2+xy+y2<p xy

① ②

?f?t?>p ? x 1 不等式①②两边都除以 xy,令 =t ,得? ,这里 f(t)= t+ + y t ? ?g?t?<p

1 t+ +1, t

1 g(t)= t+ - t

1 1 t+ +1,由于 f(t)= t+ + t t

1 t+ +1≥2+ 2+1=2+ 3, t

1 1 当且仅当 t=1 时,f(t)取最小值 2+ 3,令 m= t+ ,则 m≥2,g(t)= t+ - t t 1 t+ +1=m- m2-1,易知函数 φ(m)=m- m2-1在[2,+∞)上单调递减,故 φ(m)max t =2- 3,即 g(t)≤2- 3,当且仅当 t=1 时,g(t)取最大值 2- 3;因此 p 的取值范围为 2 - 3<p<2+ 3.即 p 的取值范围为 2- 3<p<2+ 3时,存在以 a、b、c 为三边长的三角形.

一年冲刺
1. 若 0 ? y ? x ? A.

?
2
B.

,且 tan x ? 3 tan y ,则 x ? y 的最大值为(



? 4

? 6

C.

? 3

D.

? 2

答案:B 解析: tan( x ? y ) ?

tan x ? tan y 3 tan y ? tan y ? 1 ? tan x tan y 1 ? 3 tan 2 y

?

2 tan y ? 1 ? 3tan 2 y

2 1 ? 3tan y tan y

? 2

2 1 ? 3tan y tan y

?

3 3

, 故选B 6 a 2 b2 (a ? b) 2 2.⑴已知 a、b 是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),求证: + ≥ ,指出等号成 x y x? y 2 2
立的条件;

又? 0 ? y ? x ?

?

,? 0 ? x ? y ?

?

, ( x ? y)max ?

?

2 9 1 + (x∈(0, ))的最小值,并求出相应的 x 的值。 x 1 ? 2x 2 2 y y 2 a b x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解:⑴( + ) ·(x+y)=a +b +a x +b . ≥a +b +2ab=(a+b) 等号成立 ? a x +b . x y y y 2 3 2 2 3 1 (2 ? 3) ? ay=bx ⑵由⑴f(x)= + ≥ =25 等号成立 ? x= ,fmin(x)=25 2 x 1 ? 2 x 2 x ? (1 ? 2 x) 5
⑵利用⑴的结果,求函数 f(x)=


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