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海淀区2015-2016学年第一学期期末高三数学(理)试题


海淀区高三年级第一学期期末练习

数学(理科)2016.1
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1.已知 (1 ? bi)i ? ?1 ? i(b ? R) ,则 b 的值为 A. 1 B. ?1 C. i D. ?i

2. 抛物线 x2 ? 4 y 的准线与 y 轴的交点的坐标为 A. (0, ? )

1 2

B. (0, ?1)

C. (0, ?2)

D. (0, ?4)
D

E

???? ??? ? ??? ? 3.如图,正方形 ABCD 中, E 为 DC 的中点,若 AD ? ? AC ? ? AE ,
则 ? ? ? 的值为 A. 3 B. 2 C. 1 D. ?3

C

A

B

4.某程序框图如图所示,执行该程序,若输入的 a 值为 1,则输 出的 a 值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

开始 输入

5.已知数列 A : a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,其中 ai ?{?1,0,1}, i ? 1,2,3,4,5 , 则 满足 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 3 的不同数列 A 一共有


A. 15 个

B. 25 个

C. 30 个

D. 35 个
输出



6. 已知圆 C: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,直线 l1 : y ? 3 x , l2 : y ? kx ? 1 若 l1 , l2 被圆 C 所截得的弦的长度之比为 1 : 2 ,则 k 的值为

结束

A. 3

B.1

C.

1 2

D.

3 3

第 1 页,共 4 页

? x ? y +2 ? 0, ? 7. 若 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0, 则 z ? y ? 2 | x | 的最大值为 ? y ? 0, ?
A. ?8 B. ?4 C. 1 D. 2

8. 已知正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' ,记过点 A 与三条直线 AB, AD , AA ' 所成角都相等的直线 条数为 m , 过点 A 与三个平面 ..AB ', AC , AD ' 所成角都相等的直线的条数为 n ,则下面结 论正确的是 A. m ? 1, n ? 1 C. m ? 3, n ? 4 B. m ? 4, n ? 1 D. m ? 4, n ? 4

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 已知双曲线 x 2 ? 10. 在 ( x ?

y2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线过点 (1,2) ,则 b ? ___, 其离心率为 __. b2

1 6 ) 的展开式中,常数项为____.(用数字作答) x2
2 2 主视图 1 1 左视图

11. 已知等比数列 ?an ? 的公比为 2 ,若 a2 ? a3 ? 4 ,则 a1 ? a4 ? ___. 12. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥中最长棱的棱长为 ___.

? 2 x ? a, x ? 0, ? 13.已知函数 f ( x ) ? ? 2 若 f ( x ) 的最小值是 a , ? ? x ? ax, x ? 0.
则 a ? __. 14.已知 ?ABC ,若存在 ?A1B1C1 ,满足 一个“友好”三角形. (i) 在满足下述条件的三角形中,存在“友好”三角形的是____:(请写出符合要求的 条件的序号) ① A ? 90? , B ? 60? , C ? 30? ;② A ? 75? , B ? 60?, C ? 45? ; ③ A ? 75? , B ? 75? , C ? 30? . (ii)若等腰 ?ABC 存在“友好”三角形,则其顶角的度数为___.
俯视图

cos A cos B cos C ? ? ? 1 ,则称 ?A1B1C1 是 ?ABC 的 sin A1 sin B1 sin C1

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三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 2 cos x sin( x ? ) ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [

π 4

π π , ] 上的最大值与最小值的和. 12 6

16. (本小题满分 13 分) 已知某种动物服用某种药物一次后当天出现 A 症状的概率为 .为了研究连续服用该 药物后出现 A 症状的情况,做药物试验.试验设计为每天用药一次,连续用药四天为一个用 药周期. 假设每次用药后当天是否出现 A 症状的出现与上次用药无关. (Ⅰ)如果出现 A 症状即停止试验” ,求试验至多持续一个用药周期的概率; (Ⅱ)如果在一个用药周期内出现 3 次或 4 次 A 症状,则这个用药周期结束后终止试验,试 验至多持续两个周期. 设药物试验持续的用药周期数为 ? ,求 ? 的期望.

1 3

17. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PB ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 为梯形, AD ??BC ,

AD ? AB ,且 PB ? AB ? AD ? 3, BC ? 1 .
(Ⅰ)若点 F 为 PD 上一点且 PF ? 证明: CF ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求二面角 B ? PD ? A 的大小; (Ⅲ)在线段 PD 上是否存在一点 M ,使得 CM ? PA ? 若存在,求出 PM 的长;若不存在,说明理由.

P F

1 PD , 3
A B

D

C

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18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? kx ? (k ? 1)ln x ? (Ⅰ)当 k ?

1 . x

1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; 2 (Ⅱ)求证:当 0 ? k ? 1 时,关于 x 的不等式 f ( x ) ? 1 在区间 [1,e] 上无解.
(其中 e ? 2.71828? )

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 W :

3 x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左顶点 2 a b 2

y

A 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 16 上.
(Ⅰ)求椭圆 W 的方程; (Ⅱ)若点 P 为椭圆 W 上不同于点 A 的点,直线 AP 与圆 O 的另一个交点为 Q .是否存在点 P ,使得
A O B x

| PQ | ? 3? | AP |

若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 13 分) 若实数数列 {an } 满足 an?2 ? an?1 ? an (n ? N* ) ,则称数列 {an } 为“ P 数列”. (Ⅰ)若数列 {an } 是 P 数列,且 a1 ? 0, a4 ? 1 ,求 a 3 , a 5 的值; (Ⅱ) 求证:若数列 {an } 是 P 数列,则 {an } 的项不可能全是正数,也不可能全是负数; (Ⅲ)若数列 {an } 为 P 数列,且 {an } 中不含值为零的项,记 {an } 前 2016 项中值为负数的项 的个数为 m ,求 m 所有可能取值.

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