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奥林匹克及自主招生辅导材料第二集(强烈推荐)第三讲:直线与圆的方程


第三讲 直线与圆的方程 解析几何的优点在于数形结合而又动态地处理问题,解题思路具有很强的程序性.直线 与圆的方程是解析几何中的基础内容, 在研究的过程中所用的方法与技巧在以后将要学习到 的椭圆、抛物线、双曲线中仍可以用得到。 一.直线的方程 1.直线方程的五种形式 已知条件 过点 P(x0,y0)且斜率为 k 在 y 轴上的截距为 b,斜率为 k 过两点 P1(x1,y1),(

x2,y2) (x1 ? x2, y1 ? y2) 过 (a, 0), (0, b) 且 ab ? 0 截距式 方程名称 点斜式 斜截式 两点式 方程形式 y-y0=k(x-x0) y=kx+b y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1 适用范围 不能表示与 x 轴垂直的直线 不能表示与 x 轴垂直的直线 不能表示与坐标轴垂直的 直线 x y ? ?1 a b Ax ? By ? C ? 0 不能表示与坐标轴垂直 或过原点的直线 两个独立条件 2.直线的参数方程 (1)标准式 一般式 可表示任何直线 过点 P0 ( x0 , y0 ) 的倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程是 ? x ? x0 ? t cos ? , ( t 为参数). ? ? y ? y0 ? y sin ? . (2)一般式 过点 P0 ( x0 , y0 ) 斜率 k ? tan ? ? b 的直线 l 的参数方程是 a ? x ? x0 ? at , ( t 为参数). ? ? y ? y0 ? bt. 3.中心对称 设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 关于点 M ( x0 , y0 ) 对称,则 x0 ? x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 . 2 2 因为确定一条直线需要两个条件, 所以求直线的方程也需要两个独立的条件, 其一般方 法主要有: (1)直接法 直接选用直线方法的四种形式,写出形式适当的直线方程; 先由题意写出满足其中一个条件并含有一个待定系数的直线方程, (2)待定系数法 再由题设中的条件求出待定系数,最后求得系数代入所设的直线方程,即得。 25 例 1.直线 l 过点 P(2,1) 且分别交 x 轴, y 轴的正半轴于 A,B 两点,当 | PA | ? | PB | 最小时,求 l 的方程。 分析:本例是求当 | PA | ? | PB | 最小时的直线 l 的方程,故宜采用函数的思想方法来处理。 直观地看,影响 | PA | ? | PB | 大小的量可以是 l 的倾斜角, 可以是 l 的斜率, 也可以是 l 的截距, 选择其中任一个量为变量,均可以确定 | PA | ? | PB | 的函数式,利用函数值最小的条件,就可 以确定变量的取值,从而求出直线 l 的方程. 解法一: 如图所示, 设 ?OAB ? ? (0 ? ? ? 90? ) , 过P 作 PN ? x 轴于 M ,作 PN ? y 轴于 N , 1 2 ,| PB |? , 则 | PA |? sin ? cos ? | PA | ? | PB |? 2 4 . ? sin ? ? cos ? sin 2? N O M P (2,1) y B 当 ? ? 45? 时, | PA | ? | PB | 最小,此时直线 l 的斜率 为 ?1 ,故 l 的方程为 y ? 1 ? ?( x ? 2) ,即 x ? y ? 3 ? 0. A x 解法二:设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? 1

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