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2016年高考全国卷Ⅰ理科数学全解全析


2016 年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理工类)命题说明
理科数学试题卷共 4 页,考试时间 120 分钟,满分 150 分。 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。请考生把姓名、准考证号 写在试卷左上角。 2.作答前,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 4.考试结束后,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x | 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B ? 3 3 3 3 (A) (?3, (B) (?3, ) (C) (1, ) (D) ( , ? ) 3) 2 2 2 2 立意:本题考查一元一次不等式、一元二次不等式、求两个集合的交集集等基本知识, 考查了考生运算求解的能力. 3 3 解答:由已知 A ? {x |1 ? x ? 3} , B ? {x | x ? } ,则 A ? B ? {x | ? x ? 3} ,答案为(D). 2 2 2.设 (1 ? i) x ? 1 ? y i ,其中 x,y 是实数,则 |x ? y i| ? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 2 立意:本题考查了复数的基本概念、复数相等的充要条件、复数的代数表示法及其几何 意义等基本知识. 解答:由题 x ? 1 , y ? 1 ,则 |x ? y i| ? |1 ? i| ? 2 ,答案为(B). 3.已知等差数列 ?an ? 前 9 项的和为 27, a10 ? 8 ,则 a100 ? (A) 100 (B) 99 (C) 98 (D) 97 立意: 本题考查了等差数列通项公式与前 n 项和公式等基本知识, 考查了考生运算求解 的能力.
?9a ? 36d ? 27, ? a ? ?1, 解答:设公差 d,则 ? 1 解得 ? 1 于是 a100 ? a1 ? 99d ? 98 ,答案为(C). ? d ? 1, ? a1 ? 9d ? 8, 4.某公司的班车在 7:00,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车, 且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 1 1 2 3 (A) (B) (C) (D) 3 2 3 4 立意:本题考查了几何概型等基本知识,考查了考生化归与转化的能力以及应用意识 解得:小明在 7:50 至 8:00,8:20 至 8:30 之间到达车站能赶上班车,且等车时间不超过 20 1 10 分钟,根据几何概型,他等车时间不超过 10 分钟的概率为 ? ,答案为(B). 40 2 x2 y2 5.已知方程 2 ? 2 ? 1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值 m ? n 3m ? n 范围是

(A) (?1, 3)

(B) (?1, 3)
-1-

(C) (0, 3)

(D) (0, 3)

立意:本题考查了双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及简单的几何性质等基本知 识,考查了考生分类与整合等数学思想以及运算求解的能力. 解得:由 m2 ? n ? 3m2 ? n ? 4 ,得 m2 ? 1 ,此时 ?1 ? n ? 3 .答案为(A). 6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相 28? 互垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是 3 (A) 17π (B) 18π (C) 20π (D) 28π 立意:本题考查简单空间图形的三视图、球体的计算公式,考 查考生的空间想象能力和运算求解等能力. 1 7 4 28 解得:该几何体是球体挖去一个 球体,由 ? πR 3 ? π得 8 8 3 3 7 3 R ? 2 ,则表面积为 ? 4πR 2 + ? πR 2 ? 17π ,答案为(A). 8 4 2] 的图象大致为 7.函数 y ? 2 x 2 ? e| x| 在 [?2,

(A) (B) (C) (D) 立意:本题考查了函数的图象和性质,运用函数、导数等知识解决问题的能力.
0 ? 8 ? e 2 ? 1 ,知(A),(B)错误;当 x ? ? 0, 2 ? 时, y ? ? 4 x ? e x 有一 解得:由 f (2) ? 8 ? e 2,

零点, 设为 x0 , 当 x ? (0, x0 ) 时, f ( x) 为减函数, 当 x ? ( x0 , 2) 时, f ( x) 为增函数. 答案为(D). a ? b ? 1 0 ? c ? 1 8.若 , ,则 (A) a c ? bc (C) a log b c ? b log a c (B) abc ? bac (D) log a c ? logb c

立意: 不等式的基本性质、指数函数、对数函数的性质,考查了化归与转化等数学思 想,以及推理论证运算求解的能力.
ac a c a 0 ab c b b c c ,则 ,选项 (A) 错误;由 ? ( ) ? ( ) ? 1 ? ( ) c ?1 ? ( ) 0 ? 1 , a ? b c c b b b ba a a a a log c a lg a lg a b ? ? ? 1 ,则 则 abc ? bac ,选项(B) 错误;由 a log b c ? 0 , b log a c ? 0 ,且 b log a c b lg b lg b b

解得:由于

log c lg b 选项(C)正确; 由于 log a c ? 0 , 则 log a c ? logb c , ?1, a log b c ? b log a c , logb c ? 0 , a ? log b c lg a

选项(D)错误,故答案为(C). 9.执行右面的程序图,如果输入的 x ? 0 , y ? 1 , n ? 1 ,则 输出 x,y 的值满足 (A) y ? 2 x (B) y ? 3x (C) y ? 4 x (D) y ? 5 x 立意:本题考查了程序框图的基本逻辑结构、算法基本语 句等基本知识. 解得:第 1 次循环, x ? 0 , y ? 1 ;第 2 次循环, n ? 2 ,

-2-

1 3 , y ? 2 ;第 3 次循环, n ? 3 , x ? , y ? 6 ,结束循环,故 x,y 的值满足 y ? 4 x , 2 2 答案为(C). x?

10. 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A, B 两点, 交 C 的准线于 D, E 两点. 已知|AB|= 4 2 , |DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为 (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 立意:本题考查抛物线的定义、标准方程及几何性质,圆的方程等基本知识,考查了化 归与转化等数学思想以及运算求解的数学能力. 解得:设抛物线方程为 y 2 ? 2 px , AB,DE 交 x 轴于 P,Q 点,则 AP ? 2 2 ,即 A 点 4 4 纵坐标为 2 2 ,则 A 点横坐标为 ,即 OP ? ,由勾股定理知 DQ 2 ? OQ 2 ? DO 2 ? r 2 , p p p 4 AP 2 ? OP 2 ? AO 2 ? r 2 ,即 ( 5) 2 ? ( ) 2 ? (2 2) 2 ? ( ) 2 ,解得 p ? 4 ,即焦点到准线的距离 2 p 为 4,答案为(B). 11.平面α过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,α//平面 CB1D1,α∩平面 ABCD=m,α∩平 面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为
3 2 3 1 (B) (C) (D) 2 2 3 3 立意:本题考查了简单几何体的直观图、空间线面平行的性质、空间直线、平面的位置 关系等基本知识,考查了推理论证等数学能力和创新意识以及化归与转化等数学思想. 解得:由于α//平面 CB1D1,平面α,平面 CB1D1 分别与平面 ABCD 的交线互相平行,则 m//BD,同理,m//A1B,则 m,n 所成角等于 BD,A1B 所成的角,而 BD,A1B 所成的角为 60°,故答案为(A). π π π | ? |? ) , x ? ? 为 f ( x) 的零点, x ? 为 y ? f ( x) 图 12.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0, 2 4 4 π 5π 象的对称轴,且 f ( x) 在 ( , ) 单调,则 ? 的最大值为 18 36 (A) 11 (B) 9 (C) 8 (D) 7 立意:本题考查了 y ? sin(? x ? ? ) 的图象、正弦函数的图象和性质、函数的零点等基本

(A)

知识,考查了化归与转化、数形结合等数学思想以及推理论证、运算求解、抽象概括等数学 能力和创新意识. π π T π 4k ? 1 4k ? 1 2π 解得:由题 ? (? ) ? ? kT ,即 ? ,所以 ? ? 4k ? 1(k ? N* ) , T? ? 4 4 4 2 4 4 ? π 5π 5π π π T 2π 又因为 f ( x) 在 ( , ) 单调,所以 ,即 ? ≤ 12 ,由此 ? 的最大值为 9. ? ? ≤ ? 18 36 36 18 12 2 2? 答案为(B).

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分, 第 13~21 题为必考题, 每个考生都必须作答。 第 22~24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分。 13.设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则 m=________. 立意:本题考查向量的加法、数量积的含义及坐标表达式、求平面向量的数量积等基本 知识,考查学生运算求解的数学能力. 解答:由|a+b|2=|a|2+|b|2 得 a·b=0.所以 m ? 2 ? 0 ,故 m ? ?2 ,答案为-2.

-3-

14. (2 x ? x ) 5 的展开式中,x3 的系数是________.(用数字填写答案) 立意:本题考查了组合数公式,运用二项式定理解决与二项展开式有关的简单的问题, 考查了运算求解的能力. 解答:据通项 Tr ?1 ? C5r (2 x )5?r ( x )r ? 25?r C5r x
2C54 ? 10 ,答案为 10.
5? r 2

,令 5 ?

r ? 3 ,得 r ? 4 , x3 的系数是 2

15.设等比数列 ?an ? 满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2 ? an 的最大值为________. 立意:本题考查了等比数列的概念、通项公式、等差数列的前 n 项和公式、函数的性质 等基本知识,考查了运算求解的能力. ? a1 ? 8, ? a1 ? a1q 2 ? 10, 1 n(n2?1) ? ? n n 1? 2???( n?1) 解答:设公比 q, 由题 ? 解得 则 = 8 ? ( ) a a ? a ? a q ? 1 1 2 n 1 3 2 q? , ? ? ? a1q ? a1q ? 5, ? 2
? n ?7 n ? n 2 ? 7n 1 7 49 ? n 2 ? 7n =2 ,而 ,当 n ? 3 或 4 时, 取得最大值 6,则 2 2 ? ? (n ? ) 2 ? 2 2 2 8 2 的最大值为 64,即 a1a2 ? an 的最大值为 64,答案为 64. ? n2 ?7 n 2
2

16.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲 材料 1.5kg, 乙材料 1kg, 用 5 个工时; 生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg, 乙材料 0.3kg, 用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该 企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、 产品 B 的利润之和的最大值为________元. 立意: 本题考查了二元一次不等式组与简单的线性规划问题, 会从实际情境中抽象出一 些简单的二元线性规划问题,考查了化归与转化、抽象概括、运算求解等能力. 解答:设生产产品 A、产品 B 分别为 x、y 件,利润之和为 z 元,

?1.5 x ? 0.5 y?150, ?3 x ? y? 300, ? x ? 0.3 y?90, ?10 x ? 3 y?900, ? ? 那么 ? 即? 目标函数 z ? 2100 x ? 900 y 过点 M (60,100) 5 x ? 3 y ? 600, 5 x ? 3 y ? 600, ? ? ? ? x ? 0, y ? 0. ? ? x?0, y?0.
时,z 取得最大值 21600,答案为 21600. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别别为 a,b,c,已知 2cos C (a cos B ? b cos A) ? c . (Ⅰ) 求 C;
3 3 ,求△ABC 的周长. 2 立意:本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理、简单的三角恒等变换等基 础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化等数学思想. 解答:(Ⅰ) 由已知及正弦定理得, 2cos C (sin A cos B ? sin B cos A) ? sin C ,

(Ⅱ) 若 C ? 7 ,△ABC 的面积为

即 2cos C sin( A ? B) ? sin C . 故 2sin C cos C ? sin C .
π . 3 1 3 3 (Ⅱ) 由已知, ab sin C ? . 2 2

可得 2 cos C ? 1 ,所以 C ?

-4-

π ,所以 ab ? 6 . 3 由已知及余弦定理得, a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? 7 ,

又C ?

故 a 2 ? b2 ? 13 ,从而 (a ? b) 2 ? 25 . 所以△ABC 的周长为 5 ? 7 . 18.(本小题满分 12 分) 如图,在以 A,B, C, D, E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD, ?AFD ? 90°,且二面角 D-AF-E 与二 面角 C-BE-F 都是 60°. (Ⅰ) 证明平面 ABEF ? EFDC; (Ⅱ) 求二面角 E-BC-A 的余弦值. 立意:本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面垂直、平行的判定与性质、空间面面 垂直的判定、空间面面夹角的计算等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求 解能力. 解答:(Ⅰ) 由已知可得 AF ? DF , AF ? FE ,所以 AF ? EFDC. 又 AF ? 平面 ABEF,故平面 ABEF ? EFDC. (Ⅱ) 过 D 作 DG⊥EF,垂足为 G,由(Ⅰ)知 DG⊥平面 ABEF. ???? ???? 以 G 为坐标原点, GF 的方向为 x 轴正方向, | GF | 为单位长度,建立如图所示的空间 直角坐标系 G-xyz. 由(Ⅰ)知∠DFE 为二面角 D-AF-E 的平面角, 故∠DFE=60°, 则 DF ? 2 ,DG ? 3 ,
4 0) , B(?3,, 4 0) , E (?3,, 0 0) , D (0,, 可得 A(1,, 0 3) .

由已知,AB∥EF,所以 AB∥平面 EFDC. 又平面 ABCD∩平面 EFDC=DC,故 AB∥CD,CD∥EF. 由 BE∥AF,可得 BE⊥平面 EFDC,所以∠CEF 为二面角 C-BE-F 的平面角,∠CEF =60°,从而可得 C (?2,, 0 3) . ??? ? ??? ? ???? ??? ? 所以 EC ? (1,, 0 3) , EB ? (0,, 4 0) , AC ? (?3, ? 4, 3) , AB ? (?4,, 0 0) . y z ) 是平面 BCE 的法向量,则 设 n ? ( x,, ??? ? ? ? x ? 3z ? 0, ? n ? EC ? 0, ? 即? 所以可取 n ? (3,, 0 ? 3) . ? ? ??? ? ? 4 y ? 0, ? n ? EB ? 0, ? 设 m 是平面 ABCD 的法向量,则 ???? ? ? m ? AC ? 0, 同理可取 n ? (0, 3, 4) . ? ? ??? m ? AB ? 0 , ? ? m ?n 2 19 ?? 则 cos m,n ? . | m | ?| n | 19 故二面角 E-BC-A 的余弦值为 ?
2 19 . 19

19.(本小题满分 12 分) 某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进 机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再 购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

-5-

以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率, 记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零 件数. (Ⅰ) 求 X 的分布列; (Ⅱ) 若要求 P( X ≤ n) ≥ 0.5 ,确定 n 的最小值; (Ⅲ) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n ? 19 与 n ? 20 之中选其一,应 选用哪个? 立意: 本题主要考查随机事件的概率、 古典概型、 随机变量的分布列、 数学期望等基础知识, 考查运算求解能力、 应用意识, 考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能 力. 解答:(Ⅰ) 由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8, 9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2,从而 P( X ? 16) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04 ;
P( X ? 17) ? 2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.16 ; P( X ? 18) ? 2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.24 ; P( X ? 19) ? 2 ? 0.2 ? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.24 ; P( X ? 20) ? 2 ? 0.2 ? 0.4 ? 2 ? 0.2 ? 0.2 ; P( X ? 21) ? 2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.08 ; P( X ? 22) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04 . 所以 X 的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 P( X ≤18) ? 0.44 , P( X ≤19) ? 0.68 ,故 n 的最小值为 19.

(Ⅲ) 记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当 n ? 19 时, EX ? 19 ? 200 ? 0.68 ? (19 ? 200 ? 500) ? 0.2 ? (19 ? 200 ? 2 ? 500) ? 0.08 + (19 ? 200 ? 3 ? 500) ? 0.04 ? 4040 . 当 n ? 20 时, EY ? 20 ? 200 ? 0.88 ? (20 ? 200 ? 500) ? 0.08 ? (20 ? 200 ? 2 ? 500) ? 0.04 ? 4080 . 可知当 n ? 19 时所需费用的期望值小于 n ? 20 时所需费用的期望值,故应选 n ? 19 . 20.(本小题满分 12 分) 设圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 15 ? 0 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (Ⅰ) 证明 | EA | ? | EB | 为定值,并写出点 E 的轨迹方程;

-6-

(Ⅱ) 设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围. 立意:本题主要考查圆的方程与几何性质、椭圆的标准方程与几何性质、曲线与方程、直线 方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结 合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想. 解答:(Ⅰ) 因为 | AD |?| AC | ,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC. 所以 | EB |?| ED | ,故 | EA | ? | EB |?| EA | ? | ED |?| AD | . 又圆 A 的标准方程为 ( x ? 1) 2 ? y ? 16 ,从而 | AD |? 4 ,所以 | EA | ? | EB | =4. 由题设可得 A(?1,0) , B(1,0) , | AB |? 2 ,由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为:
x2 y 2 ? ? 1 ( y ? 0) . 4 3 (Ⅱ) 当直线 l 不与 x 轴垂直时, 设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) ,M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y2 ) . ? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 得 (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 . ? ? 1 , ? 3 ?4 8k 2 4k 2 ? 12 则 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? . 4k ? 3 4k 2 ? 3 12( k 2 ? 1) | MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x 2 |? . 4k 2 ? 3 2 1 过点 B(1,0) 且与 l 垂直的直线 m: y ? ? ( x ? 1) ,A 到 m 的距离为 , 2 k k ?1

所以 | PQ |? 2 4 2 ? (

2 k2 ?1

)2 ? 4

4k 2 ? 3 . k2 ?1

故四边形 MPNQ 的面积 S ?

1 1 | MN || PQ |? 12 1 ? 2 . 2 4k ?3

可得当 l 与 x 轴不垂直时,四边形 MPNQ 面积的取值范围为 (12,8 3) . 当 l 与 x 轴垂直时,其方程为 x ? 1 , | MN |? 3 , | PQ |? 8 ,四边形 MPNQ 的面积为 12. 综上,四边形 MPNQ 面积的取值范围为 [12,8 3) . 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e x ? a ( x ? 1) 2 有两个零点. (Ⅰ) 求 a 的取值范围; (Ⅱ) 设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个零点,证明 x1 ? x2 ? 2 . 立意:本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查 推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归 与转化等数学思想. 解答:(Ⅰ) f ?( x) ? ( x ? 1)e x ? 2a ( x ? 1) ? ( x ? 1)(e x ? 2a ) . (ⅰ) 设 a ? 0 ,则 f ( x) ? ( x ? 1)e x , f ( x) 只有一个零点. (ⅱ) 设 a ? 0 ,则当 x ? (??,1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在 (??,1) 单调递减,在 (1, ??) 单调递增. a 又 f (1) ? ?e , f (2) ? a ,取 b 满足 b ? 0 且 b ? ln ,则 2 a 3 2 2 f (b) ? (b ? 2) ? a (b ? 1) ? a (b ? b) ? 0 , 2 2 故 f ( x) 存在两个零点.
-7-

(ⅲ)设 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? ln(?2a ) . e 若 a ≥ ? ,则 ln(?2a) ≤1 ,故当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,因此 f ( x) 在 (1, ??) 单调递 2 增.又当 x ≤ 1 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 不存在两个零点. e 若 a ? ? ,则 ln(?2a ) ? 1 ,故当 x ? (1,ln(?2a)) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (ln(?2a), +?) 时, 2 f ?( x) ? 0 .因此 f ( x) 在 (1, ln(?2a )) 单调递减,在 (ln(?2a), +?) 单调递增.又当 x ≤ 1 时,
f ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 不存在两个零点.

综上,a 的取值范围为 (0, ??) . (Ⅱ) 不妨设 x1 ? x2 , 由(Ⅰ)知,x1 ? (??,1),x2 ? (1, ? ?) ,2 ? x2 ? (??,1) , f ( x) 在 (??,1) 单调递减,所以 x1 ? x2 ? 2 等价于 f ( x1 ) ? f (2 ? x2 ) ,即 f (2 ? x2 ) ? 0 . 由于 f (2 ? x2 ) ? ? x2e 2 ? x2 ? a ( x2 ? 1) 2 ,而 f ( x2 ) ? ( x2 ? 2)e x2 ? a ( x2 ? 1) 2 ? 0 , 所以 f (2 ? x2 ) ? ? x2 e 2 ? x2 ? ( x2 ? 2)e x2 . 设 g ( x) ? ? xe 2 ? x ? ( x ? 2)e x ,则 g ?( x) ? ( x ? 1)(e 2 ? x ? e x ) . 所以当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,而 g (1) ? 0 ,故当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 . 从而 g ( x2 ) ? f (2 ? x2 ) ? 0 ,故 x1 ? x2 ? 2 . 请考生在第 22~24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 1 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以 O 为圆心, OA 为半径作圆. 2 (Ⅰ) 证明:直线 AB 与 O 相切; (Ⅱ) 点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明: AB∥CD. 解答:(Ⅰ) 设 E 是 AB 的中点,连结 OE, 因为 OA=OB,∠AOB=120°, 所以 OE⊥AB,∠AOE=60°. 在 Rt△AOE 中, OE ?
1 AO ,即 O 到直线 AB 的距离等于圆 2

O 的半径,所以直线 AB 与⊙O 相切. (Ⅱ) 因为 OA=2OD,所以 O 不是 A,B,C,D 四点所在 圆的圆心,设 O? 是 A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线 OO ? . 由已知得 O 在线段 AB 的垂直平分线上,又 O? 在线段 AB 的垂直平分线上,所以 OO ? ? AB . 同理可证, OO ? ? CD .所以 AB∥CD. 23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程
? x ? a cos t, 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? (t 为参数,a>0) .在以坐 ? y ? 1 ? a cos t, 标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cosθ. (Ⅰ) 说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (Ⅱ) 直线 C3 的极坐标方程为θ=α0,其中α0 满足 tanα0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都 在 C3 上,求 a.

解答:(Ⅰ) 消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x 2 ? ( y ? 1)2 ? a 2 .C1 是以 (0,1) 为圆心,a 为半径

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的圆. 将 x ? ? cos? , y ? ? sin ? 代入 C1 的普通方程中,得到 C1 的极坐标方程为

? 2 ? 2? sin ? ? 1 ? a2 ? 0 . (Ⅱ) 曲线 C1 与 C2 的公共点的极坐标满足方程组
? ? 2 ? 2? sin ? ? 1 ? a2 ? 0, ? ? ? ? 4 cos? , 若 ? ? 0 ,由方程组得 16cos2 ? ? 8sin ? cos? ? 1 ? a 2 ? 0 ,由已知 tan ? ? 2 ,可得 16cos2 ? ? 8sin ? cos ? ? 0 ,从而 1 ? a 2 ? 0 ,解得 a ? ?1 (舍去), a ? 1 . a ? 1 时,极点也为 C1 与 C2 的公共点,在 C3 上. 所以 a ? 1 . 24.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | 2 x ? 3 | .

(Ⅰ) 画出 y ? f ( x) 的图象; (Ⅱ) 求不等式 | f ( x) |? 1 的解集.
? ? x ? 4, x ≤ ?1, ? 3 ? 解答:(Ⅰ) f ( x) ? ?3x ? 2,? 1 ? x ≤ , 2 ? 3 ? ? x ? 4, x? . ? ? 2 函数 y ? f ( x) 的图象如图所示.

(Ⅱ) 由 f ( x) 的表达式及图象, 当 f ( x) ? 1 时, 可得 x ? 1 或 x ? 3; 1 当 f ( x) ? ?1 时,可得 x ? 或. 3 故 f ( x) ? 1 的 解集 为 {x |1 ? x ? 3} ; f ( x) ? ?1 的 解集 为 1 {x | x ? 或 x ? 5} . 3 1 所以 | f ( x) |? 1 的解集为 {x | x ? 或 1 ? x ? 3 或 x ? 5} . 3

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