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2013届高三北师大版文科数学一轮复习课时作业(33)数列的综合应用B)


课时作业(三十三)B [第 33 讲 数列的综合应用] [时间:45 分钟 分值:100 分] 基础热身 1.一张报纸厚度为 a,对折(沿一组对边的中点连线折叠)7 次后,报纸的厚度为( ) A.8a B.64a C.128a D.256a 2.某放射性物质的质量每天衰减 3%,若此物质衰减到其质量的一半以下,则至少需 要的天数是(参考数据 lg0.97=-0.0132,lg0.

5=-0.3010)( ) A.22 B.23 C.24 D.25 3.[2011· 杭州二中模拟] 在数列{an}中,a1=2,当 n 为正奇数时,an+1=an+2,当 n 为正偶数时,an+1=2an,则 a6=( ) A.11 B.17 C.22 D.23 4.夏季高山上的气温从山脚起每升高 100 米降低 0.7 ℃,已知山脚气温为 26 ℃,山顶 气温为 14.1 ℃,那么此山相对山脚的高度为________米. 能力提升 5.已知数列{an}中,a1=-1,an+1· an=an+1-an,则数列通项 an=( ) 1 2 A. B. n n 1 2 C.- D.- n n 3 1 6.[2011· 丰台二模] 已知数列{an}中,a1= ,an=1- (n≥2),则 a2011=( ) 5 an-1 1 2 A.- B.- 2 3 3 5 C. D. 5 2 7.[2011· 江西八校联考] 设数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,a1+a4+a7=99, a2+a5+a8=93.若对任意 n∈N*,都有 Sn≤Sk 成立,则 k 的值为( ) A.22 B.21 C.20 D.19 8.[2011· 湖北卷] 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节 的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共 3 升, 下面 3 节的容积共 4 升, 则第 5 节的容积为( ) 67 47 37 A.1 升 B. 升 C. 升 D. 升 66 44 33 9. 已知等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都是整数, 前 n 项和为 Sn, 若 a1>1, a4>3, S3≤9, 1 99 设 bn= ,则使 b1+b2+?+bn< 成立的最大 n 值为( ) nan 100 A.97 B.98 C.99 D.100 10.某厂在 2011 年底制订生产计划,要使 2021 年底的总产量在原有基础上翻两番,则 年平均增长率为________. 11.[2011· 江西重点中学三模] 已知数列{an}中,a201=2,an+an+1=0(n∈N+),则 a2011 =________. 12.[2011· 江西鹰潭一中模拟] 在数列{an}中,若 a1=2,且对任意的正整数 p,q 都有 ap+q=apaq,则 a8 的值为________. 13.已知 an=3n,把数列{an}的各项排列成如下的三角形状: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ?????? 记 A(m,n)表示第 m 行的第 n 个数,则 A(11,12)=________.

1 14.(10 分)[2011· 揭阳一模] 已知数列{an}是首项为 2,公比为 的等比数列,Sn 为{an} 2 的前 n 项和. (1)求数列{an}的通项 an 及 Sn; (2)设数列{bn+an}是首项为-2,公差为 2 的等差数列,求数列{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn.

15. (13 分)张先生 2011 年底购买了一辆排量 1.6 L 的小轿车, 为积极响应政府发展“森 林碳汇”的号召 (森林碳汇是指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤 中),买车的同时出资 1 万元向中国绿色碳基金购买了 2 亩荒山用于植树造林.科学研究表 明:轿车每行驶 3000 公里就要排放 1 吨二氧化碳,林木每生长 1 立方米,平均可吸收 1.8 吨二氧化碳. (1)张先生估计第一年(即 2012 年)会用车 1.2 万公里,以后逐年会增加 1000 公里,若轿 车使用 10 年,则共要排放二氧化碳多少吨? (2)若种植的林木第一年生长了 1 立方米,以后每年以 10%的生长速度递增,问林木至 少生长多少年吸收的二氧化碳相当于轿车 10 年间排出的二氧化碳?

难点突破 nban-1 16.(12 分)[2011· 广东卷] 设 b>0,数列{an}满足 a1=b,an= (n≥2). an-1+n-1 (1)求数列{an}的通项公式; + (2)证明:对于一切正整数 n,2an≤bn 1+1.

课时作业(三十三)B 【基础热身】 1.C [解析] 报纸的厚度为 27a=128a.故选 C. lg0.5 2.B [解析] 依题意有(1-3%)n<0.5,所以 n> ≈22.8.故选 B. lg0.97 3.C [解析] 逐项计算得该数列的前 6 项依次为:2,4,8,10,20,22,故选 C. 4.1700 [解析] 从山脚到山顶气温的变化成等差数列,首项为 26,末项为 14.1,公差 为-0.7,设数列的项数为 n,则 14.1=26+(n-1)×(-0.7),解得 n=18,所以山的高度为 h=(18-1)×100=1700(米). 【能力提升】 1 1 1 5.C [解析] 已知变形为 - =-1,设 bn= ,则{bn}是等差数列,b1=-1,bn an an+1 an 1 =-1+(n-1)×(-1)=-n,所以 an=- .故选 C. n 2 5 3 2 6.C [解析] 由递推公式得 a2=- ,a3= ,a4= ,a5=- ,?,所以数列{an}是周 3 2 5 3 3 期数列,周期为 3,于是 a2011=a2010+1=a1= .故选 C. 5 7.C [解析] 依题意即求 Sn 最大时的项数 n.将两已知等式相减,可得公差 d=-2,所 以 3a1+9d=99,解得 a1=39,所以 an=39-2(n-1)=41-2n.当 an>0 时,Sn 取得最大值, 所以 41-2n>0,得 n<20.5,所以 k=n=20.故选 C. ?a1+a2+a3+a4=3, ? 8. B [解析] 从上到下各节记为 a1, a2, ?, a9, 公差为 d, 则有? ?a9+a8+a7=4, ?
? ?4a1+6d=3, 即? 解得 ?3a1+21d=4, ?

?d=66, ? 13 ?a =22,
1

7

13 7 67 所以 a5=a1+4d= +4× = .故选 B. 22 66 66 9.B [解析] 因为 S3=3a2≤9,即 a2≤3,且 a1>1,a4>3,首项及公差 d 为整数,所以 1 1 1 1 1 可得 a1=2, d=1, 所以 an=n+1, 所以 bn= = - , b +b +?+bn=1- + - 2 2 n?n+1? n n+1 1 2 1 1 1 1 n n 99 +?+ - =1- = ,所以 < 成立的最大 n 值为 98.故选 B. 3 n n+1 n+1 n+1 n+1 100 10. 10 4-1 [解析] 令 2011 年底的产量为 1,则 2021 年底的产量为 4,则(1+x)10=4,

10 所以 x= 4-1. 11.2 [解析] 由已知得 an+1=-an,所以 a202=-2,a203=2,a204=-2,?,可以看 出,奇数项为 2,偶数项为-2,所以 a2011=2. 12.256 [解析] 令 p=q=1,则 a2=4,令 p=q=2,则 a4=16,令 p=q=4,则 a8= 256. 13.3112 [解析] 由图形知,各行数字的个数构成首项为 1,公差为 2 的等差数列,所 10×9 以前 10 行数字个数的和为 10×1+ ×2=100,故 A(11,12)为{an}的第 112 项,所以 2 112 A(11,12)=a112=3 . 1 14.[解答] (1)因为数列{an}是首项 a1=2,公比 q= 的等比数列, 2 1 - - n 1 2 n ? ? =2 , 所以 an=2· ?2?

1? 2? ?1-2n? ? 1 ? Sn= =4?1-2n?. 1 1- 2 (2)依题意得:bn+an=-2+2(n-1)=2n-4, - 所以 bn=2n-4-an=2n-4-22 n. 设数列{bn+an}的前 n 项和为 Pn, n?-2+2n-4? 则 P n= =n(n-3), 2 1 - 所以 Tn=Pn-Sn=n(n-3)-41- n=n2-3n-4+22 n. 2 15.[解答] (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}, 其中 a1=128,q=1.5, 则在 2018 年应该投入的电力型公交车为 a7=a1q6=128×1.56=1458(辆). (2)记 Sn=a1+a2+?+an, Sn 1 依据题意,得 > ,即 Sn>5000, 10000+Sn 3 128?1-1.5n? 于是 Sn= >5000, 1-1.5 657 lg 32 657 即 1.5n> ,则有 n> ≈7.5,因此 n≥8. 32 lg1.5 1 所以,到 2019 年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 . 3 【难点突破】 nban-1 16.[解答] (1)由 a1=b>0,知 an= >0, an-1+n-1 n 1 1 n-1 = + · . an b b an-1 n 1 令 An= ,A1= , an b 1 1 当 n≥2 时,An= + An-1 b b 1 1 1 = +?+ n-1+ n-1A1 b b b 1 1 1 = +?+ n-1+ n. b b b 1 1? 1- n? b? b ? bn-1 ①当 b≠1 时,An= = n , 1 b ?b-1? 1- b ②当 b=1 时,An=n. nb ?b-1? ? ? n ,b≠1, ∴an=? b -1 ? ?1, b=1. 2nbn?b-1? n+1 bn-1 + (2)证明:当 b≠1 时,欲证 2an= ≤b +1,只需证 2nbn≤(bn 1+1) . n b -1 b- 1 bn-1 2n 2n-1 + + - - ∵(bn 1+1) =b +b +?+bn 1+bn 1+bn 2+?+1 b-1
n

1 1 1 n n-1 =bn?b +bn+b +bn-1+?+b+b? ? ? n >b (2+2+?+2) =2nbn, 2nbn?b-1? + ∴2an= <1+bn 1. bn-1 + 当 b=1 时,2an=2=bn 1+1. + 综上所述 2an≤bn 1+1.


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