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N023 空间向量的正交分解


NO.23

学案

空间向量的正交分解及其坐标表示
1.下列说法正确的是

课后三维导练
( ) A.零向量可作为空间的一个基底中的基向量 B.空间任意一对向量均可作为空间向量的一个基底 C.空间只有一对不共面的向量可作为空间向量的基底 D.空间有无数多对不共面的向量可作为空间向量的基底 2.已知 a, b, c 是不共面的三个向量,则下列选项中能构成一个基底的一组向量是( A. 2a, a ? b, a ? 2b A. OA 、 OB 、 OC 必共线 C. OB 、 OC 必共线 B. 2b, b ? a, b ? 2a B. OA 、 OB 必共线 D.O、A、B、C 四点共面 ) C. a,2b, b ? c ) D. c, a ? c, a ? c )

课前自学导航 ? ? ? i 1.设 , j , k 是 2.空间向量定理: 3.单位正交基底定义:
4.空间向量坐标运算:

课堂探究导学 例 1:如图,M,N 分别是四面体 OABC 的边 OA,BC 的中点,P, Q 是 MN 的三等 分点。用向量 OA, OB, OC 表示 OP和OQ 。

3.O、A、B、C 为空间四点,且向量 OA 、 OB 、 OC 不能构成空间的一个基底,则 (

4.设 D、E、F 分别是 ? ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 DC ? 2BD , CE ? 2 EA , ( A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.即不平行也不垂直 5. (1)点 B 是点 A(2,-3.5)关于 xOy 面的对称点,则 B 点坐标为____________;

AF ? 2FB ,则 AD ? BE ? CF与BC

例 2:如图在直三棱柱 ABO ? A1B1O1 中, ?AOB ?
A1 B1 的中点,求 DO和A1B 的坐标。

? , AO ? 4, BO ? 2, AA1 ? 4 ,D 为 2

(2)点 B 是点 A(3,7,-4)关于 xOz 平面上的射影,则 B 点坐标为____________; 6.已知空间四边形 OABC,点 M、N 分别是 OA、BC 的中点,且 OA ? a , OB ? b , OC ? c , 用 a、 ._ b、 c 表示向量 MN ? _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ 7.在四面体 O-ABC 中, OA ? a , OB ? b , OC ? c ,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则 用 a、 b、 c 表示), OE ? _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _.(_ 8.已知 AB ? (2,2,1), AC ? (4,5,3)求平面 ABC 的单位法向量。

例 3. 若 {a, b, c} 是空间的一个基底, 试判断 {a ? b, b ? c, c ? a} 能否作为空间的一个基 底。

9.如图,在平行六面体 ABCD ? A? B?C ?D? 中, AB ? a , AD ? b, AA? ? c ,P 是 CA? 的中点,M 是 CD? 的中点,N 是 C ?D ? 的中点,点 Q 是 CA? 上的点,且 CQ : QA? ? 4 : 1 用基底 {a, b, c} 表示下 列向量:(1) AP (2) AM (3) AN (4) AQ

例 4.已知矩形 ABCD,P 为平面 ABCD 外一点,且 PA ? 平面ABCD ,M、N 分别 为 PC 、 PD 上 的 点 , 且 M 分 PC 成 定 比 2 , N 为 PD 的 中 点 , 求 满 足

MN ? x AB ? y AD ? z AP 的实数 x、 y、 z 的值。

10.已知关于 x 的方程 x ? (t ? 2) x ? t ? 3t ? 5 ? 0 有两个实根, c ? a ? t b ,且 a ? (?1,1,3) ,
2 2

b ? (1,0,?2) ,问: c 能否取得最大值?若能,求实数 t 的值及对应的向量 b 与 c 夹角的余弦值;
若不能,试说明理由。


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