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福建省福州闽清高级中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题


2016 届福建省闽清高级中学高三学年第一学期期中考试 数学试卷
注意事项: 1、答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写,字体 工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答,超出范围的答案无效,在草纸、试卷上作答无效。

/>
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1.过双曲线

=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0) (c>0) ,作圆 x +y = =2 ﹣

2

2

的切线,

切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若

,则双曲线的离心率为( )

(A)

(B)

(C)

(D)

2.在四面体 P﹣ABC 中,PA=PB=PC=1,∠APB=∠BPC=∠CPA=90°,则该四面体 P﹣ABC 的外接 球的表面积为( ) (A)π (B) π (C)2π (D)3π )

3. 下列结论正确的个数是(

① 若 x ? 0 , 则 x ? sin x 恒 成 立 ; ② 命 题 “ ?x ? 0, x ? ln x ? 0 ” 的 否 定 是 “ ?x0 ? 0, x0 ? ln x0 ? 0 ”; ③“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的充分不必要条 件. (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

4.已知平面直角坐标内的向量 a ? (1,3),b ? (m,2m ? 3) ,若该平面内不是所有的向量都能 写成 xa ? yb ( x, y ? R) 的形式,则 m 的值为( (A) ?

?

?

?

?

) (D)—3 )

9 7

(B)

9 7

(C)3 的图象可能是(

5. 下列四个图中,函数 y ?

10 ln x ? 1 x ?1

6. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,且 ?A ? 2?B 则 (A)

sin B = sin 3B

(

)

a c

(B)

c b

(C)

b a

(D)

b c


7. 已知等差数列 {an } 前 n 项为 S n ,若 (A)

S S3 1 ? ,则 6 ? ( S6 3 S12
(C)

3 10

(B)

1 3

1 8

(D)

11 46

8.设函数 f ( x) ? 是( )

5? 3 sin ? 3 cos ? 2 x ? x ? 4 x ? 1 ,其中 ? ? [0, ] ,则 f '(?1) 的取值范围 6 3 2

(A) [3, 6]

(B) [3, 4 ? 3]

(C) [4 ? 3,6]

(D) [4 ? 3, 4 ? 3]

9. 正三角形 ABC 内一点 M 满足 CM ? mCA ? nCB , ?MCA ? 45? ,则 (A) 3 ? 1 ( B) 3 ? 1

???? ?

??? ?

??? ?

m 的值为( n



(C)

3 ?1 2

(D)

3 ?1 2

10. 已知函数 f ( x) ? ln x ? tan ? (? ? (0, 成立的 x0 <1,则实数 ? 的取值范围为 ( (A) (

?
2

)) 的导函数为 f ?( x ) ,若使得 f ?( x0 ) = f ( x0 )


? ? , ) 4 2

(B) (0,
3 2

? ) 3

(C) (

? ? , ) 6 4

(D) (0,

? ) 4

11. 已知数列 an ? n ? 10n ? 32n (n ? N*) ,给定 n ,若对任意正整数 m ? n ,恒有

am ? an ,则 n 的最小值为(
(A)1 (B)2

) (C)3 (D)4

2 12. 设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m m 2

的取值范围是(

) (C) ? ??, ?2? ? ? 2, ?? (D)

(A) ? ??, ?6? ? ? 6, ?? (B) ? ??, ?4? ? ? 4, ??

? ??, ?1? ? ?1, ??
第Ⅱ卷 二.填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 与向量 a ? (3,4) 垂直且模长为 2 的向量为
2 14. 已知递增的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a3 ? a2 ? 4 ,则 an ?

?

. .
2

15. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 4 sin

A? B 7 ? cos 2 C ? ,且 2 2

a ? b ? 5, c ? 7 ,则 ab 为
16.已知函数 f ( x) ?

.
?

a t t ? ln x ? n(a ? 0) ,其中 n ? ? 2 (2 sin ? cos )dt 。若函数 f ( x) 在 0 x 2 2
.

定义域内有零点,则实数 a 的取值范围为

三.解答题:本大题共 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 在

?ABC







A、 B、 C











a、 b、 c





2a

s ? A i n

?b ( c 2

? B )

s ? .ic n b

( C 2

)

s

i

n

(Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ) 若 a ? 2 ,求 ?ABC 周长的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 已知向量 a , b 满足 a ? (?2 sin x, 3(cosx ? sin x)) , b ? (cosx, cos x ? sin x) ,函数

?

?

?

?

? ? f ( x ) ? a · b ( x ? R) .
(Ⅰ)将 f ( x ) 化成 A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ? ) 的形式; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调递减区间;

(Ⅲ) 求函数 f ( x ) 在 x ? [0, 19.(本小题满分 12 分)

?
2

] 的值域.

已 知 数列 {an } 的 前 n 项 和 S n ? n 2 ? 2n ( n ? N ) , 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 Tn ? 2n ?1 ( n ? N ). (Ⅰ)求数列 {
?

?

1 } 的前 n 项和; a n ? a n ?1

(Ⅱ)求数列 {an ? bn } 的前 n 项和.

20.(本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中,

AB ? 2, AC ? 1, ?BAC ? 120o , AD 为角分线.
(Ⅰ)求 AD 的长度;
A E B D C F

, A C于 不 同 两 点 E , F , 且 满 足 (Ⅱ)过点 D 作直线交 AB

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 2 ? ?3. ,求证: A E ? x A,B A? F yA C x y

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ?
2

2 3 ax (a ? 0), x ? R 3

(1) 求 f ( x ) 的单调区间和极值; (2)若对于任意的 x1 ? (2, ??) ,都存在 x2 ? (1, ??) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,求 a 的取值 范围.

22.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x, g ( x) ? (a ? 1) x , a ? ?1 . 2

(I) 若函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同, 求实数 a 的 取值范围;

? g ( x, ) 求 证 : 当 x1 , x2 ?[1, a] 时 , 不 等 式 ( II ) 若 a ? (1, e ] , 设 F ( x) ? f ( x)

| F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 1 成立.

答案: 1-12 CDBDC DAADA AC

13. ( ,? ), (? , ) 14. an ? 2n ? 1 15.6
2

8 5

6 5

8 6 5 5

16. (0,1]
2 2 ?

17.(1)由正弦定理得 a ? b ? c ? bc ,得 A ? 120

(2)由正弦定理得

b c 4 3 ? ? sin B sin C 3

所以 b ? c ?

4 3 4 3 4 3 (sin B ? sin C ) ? (sin B ? sin(600 ? B)) ? (2, ] 3 3 3 4 3 ] 或者用均值不等式 3
2? ? 5? ) ,周期为 ? (2) [k? ? , k? ? ], k ? Z (3) [?2, 3] 3 12 12

周长 ? (4, 2 ?

18.(1) f ( x) ? sin(2 x ?

19. an ? 2n ? 1, bn ? 2n?1 (1)

n (2) (2n ?1)2n ? 1 3(2n ? 3)

??? ? ???? ???? 2 ???? AB 2 AC 20.(1)由角分线定理 AD ? ,两边平方可得 | AD |? ? 3 3 3

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? AB 2 AC AE 2 AF 1 2 ? ?1 (2) AD ? ,所以 ? ? ? 3x 3 y 3 3 3x 3y
21 解(1)由已知有 f ?( x) ? 2x ? 2ax2 (a ? 0). 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ?

1 ,列表如下: a

x
f ?( x)

(??,0)
?

0 0

1 (0, ) a

1 a
0

1 ( , ??) a
?

?

f ( x)

?

0

?

1 3a 2

?

1 1 1 减区间 ( ?? ,0), ( ,?? ) 。 当 x ? 0 时, f ( x) 取极小值 0, 当x ? f ( x) 的增区间是 (0, ) , a a a 1 时, f ( x) 取极大值 2 3a 3 3 3 ) 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? ( ,?? ) 时, (2)由 f (0) ? f ( ) ? 0 及(1)知,当 x ? (0, 2a 2a 2a

f ( x) ? 0
设 集 合 A ? ? f ( x) | x ? (2,??)? , B ? ?

? 1 ? | x ? (1,??), f ( x) ? 0? , 则 对 任 意 的 ? f ( x) ?

x1 ? (2,??) ,都存在 x2 ? (1,??) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 等价于 A ? B ,显然 0 ? B
3 3 3 ? 2 即 0 ? a ? 时,由 f ( ) ? 0 可知 0 ? A 而 0 ? B ,不满足 A ? B ; 2a 4 2a 3 3 3 ? 2 即 ? a ? 时, ? A ? (??, f (2)) 当1 ? 有 f (2) ? 0 且此时 f ( x) 在 (2,??) 递减, 2a 4 2


? A ? (??,0) ,由 f (1) ? 0 ,有 f ( x) 在 (1,??) 上的取值范围包含 (??,0) ? A ? B ;


3 3 ?1 即 a ? 2a 2

时 有

f (1) ? 0 且 此 时

f ( x) 在 (1,??) 递 减 ,

?B ? (

1 ,0), A ? (??, f (2)) f (1)

不满足 A ? B 综上,

3 3 ?a? 4 2 a , g ?( x) ? a ? 1 , x

22.解: (I) f ?( x) ? x ?

∵函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同, ∴当 x ? [1,3] 时, f ?( x) ? g ?( x) ? 即 (a ? 1)( x ? a) ? 0 恒成立,
2

(a ? 1)( x 2 ? a) ? 0 恒成立, x

∴?

?a ? ?1 ?a ? ? x

在 x ? [1,3] 时恒成立,或 ? 2

?a ? ?1
2 ?a ? ? x

在 x ? [1,3] 时恒成立,

∵ ?9 ? x ? ?1 ,∴ a ? ?1 或 a ? ?9

??????????????6

(II) F ( x) ?

1 2 a ( x ? a)( x ? 1) x ? a ln x, ?(a ? 1) x , F ?( x) ? x ? ? (a ? 1) ? 2 x x

∵ F ( x) 定义域是 (0, ??) , a ? (1, e] ,即 a ? 1 ∴ F ( x) 在 (0,1) 是增函数,在 (1, a) 上是减函数,在 ( a, ??) 是增函数 ∴当 x ? 1 时, F ( x) 取极大值 M ? F (1) ? ?a ?

1 , 2

当 x ? a 时, F ( x) 取极小值 m ? F (a) ? a ln a ? a 2 ? a , ∵ x1 , x2 ?[1, a] ,∴ | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |?| M ? m |? M ? m 设 G (a) ? M ? m ? ∴ [G?(a )]? ? 1 ?

1 2

1 2 1 a ? a ln a ? ,则 G?(a) ? a ? ln a ? 1 , 2 2

1 ,∵ a ? (1, e] ,∴ [G?(a)]? ? 0 a

∴ G?(a) ? a ? ln a ? 1 在 a ? (1, e] 是增函数,∴ G?(a) ? G?(1) ? 0 ∴ G (a ) ?

1 2 1 a ? a ln a ? 在 a ? (1, e] 也是增函数 2 2

∴ G(a) ? G (e) ,即 G (a) ?

1 2 1 (e ? 1) 2 e ?e? ? ?1, 2 2 2



1 2 1 (e ? 1)2 (3 ? 1) 2 e ?e? ? ?1 ? ? 1 ? 1 ,∴ G(a) ? M ? m ? 1 2 2 2 2

∴当 x1 , x2 ?[1, a] 时,不等式 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 1 成立. ???????????12

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