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福建省福州闽清高级中学2016届高三上学期期中考试数学(文)试题


2016 届福建省闽清高级中学高三学年第一学期期中考试 数学试卷
注意事项: 1、答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写,字体 工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答,超出范围的答案无效,在草纸、试卷上作答无效。 卷Ⅰ

一、选择题: 本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.某企业为节能减排,用 9 万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用 2 万元,从第 二年起,每年运营费用均比上一年增加 2 万元,该设备每年生产的收入均为 11 万元. 设该 设备使用了 n(n∈N )年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本) ,则 n 等于( ) (A)6 (B)5 (C)4 (D)3
*

2.以双曲线
2 2

的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( )
2 2

(A)x +y ﹣10x+9=0 (B)x +y ﹣10x+16=0 (C)x +y +10x+16=0 (D)x +y +20x+9=0 3.设 f ( x) ? ? (A) ?1
2 2 2 2

? ?1 ? x , x ? 0 ,则 f ( f ( ?2)) ? x 2 , x ? 0 ? ?
(B)

1 4

(C)

1 2

(D)

3 2

4.命题“ ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 ”的否定是 (A) ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 (C) ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1 (B) ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 (D) ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1

5.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 (A) y ? x ? sin x
2

(B) y ? x ? cos x
2

(C) y ? 2 x ?

1 2x

(D) y ? x ? sin 2 x

6.执行如右图所示的程序框图,输出的 k 的值为

(A) 3 (C) 5

(B) 4 (D) 6

7. 设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a |?| b |?| c |, a ? b ? c ,则向量 a 与向量 c 的夹角为 (A) 1500 8.若实数 a, b 满足 (A) 2 (B) 1200 (C) 60 0 (D) 30 0

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

1 2 ? ? ab ,则 ab 的最小值为 a b
(B)2
4

(C)2 2

(D)4

9. 要得到函数 y ? cos( 2 x ? (A)向左平移

? 的图象,可由函数 y ? sin 2 x )
(B)向右平移

? 个长度单位 8 ? (C)向左平移 个长度单位 4
10.设 ?an ? 是等差数列. 下列结论中正确的是 (A)若 a1 ? a2 ? 0 ,则 a2 ? a3 ? 0 (C)若 a1 ? 0 ,则 ? a2 ? a1 ? ? a2 ? a3 ? ? 0

? 个长度单位 8 ? (D) 向右平移 个长度单位 4

(B)若 a1 ? a3 ? 0 ,则 a1 ? a2 ? 0 (D) 若 0 ? a1 ? a2 ,则 a2 ? a1a3

11.设四边形 ABCD 为平行四边形, AB ? 6 , AD ? 4 .若点 M , N 满足 BM ? 3MC ,

??? ?

????

???? ?

???? ?

???? ???? ???? ? ???? ? DN ? 2 NC ,则 AM ? NM ?
(A)20 12.“对任意 x ? (0, (B)15 (C)9 (D)6

?
2

) , k sin x cos x ? x ”是“ k ? 1 ”的
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

卷Ⅱ 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.关于 x 的不等式 2
x

x2 ? x

? 4 的解集为________.

14.函数 f ( x) ? xe 在其极值点处的切线方程为____________. 15.已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x ?? ? 0 ? , x ? R ,若函数 f ? x ? 在区间 ? ?

? ? ?? , ? 内单 ? 4 4?

调递增,且函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ?

? 对称,则 ? 的值 4
?



16.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 60, an?1 ? an ? 2n, (n ? N ) ,则

an 的最小值为__________. n

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | (Ⅰ) 解关于 x 的不等式 f ( x) ? 4 ; (Ⅱ) 若关于 x 的不等式 f ( x) ? c 恒成立,求实数 c 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分)
π 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某一个周期内的图象时, 2

列表并填入了部分数据,如下表:

?x ? ?
x

0

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6
?5



A sin(? x ? ? )

0

5

0

(Ⅰ)请在答题卡上 将上表数据补充完整,并直接写出函数 f ( x) 的解析式; ..... (Ⅱ)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动
π 个单位长度,得到 y ? g ( x) 图象,求 6

y ? g ( x) 的图象离原点 O 最近的对称中心.

19.(本小题满分 12 分)

?? ? ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m ? ( a, 3b) 与 n ? (cos A,sin B ) 平

行. (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ?

7, b ? 2 求 ?ABC 的面积.

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 是首项为正数的等差数列,数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和为 ? an ? an ?1 ?

n (n ? N ? ) . 2n ? 1
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? ? an ? 1? ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1. 2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x1 , x 2 ? (0, ??) , x1 ? x 2 ,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 . x1 ? x2

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

( x ? 1) 2 . 2

(Ⅰ) 求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 ; ( Ⅲ ) 确 定 实 数 k 的 所 有 可 能 取 值 , 使 得 存 在 x0 ? 1 , 当 x ? (1, x0 ) 时 , 恒 有

f ( x) ? k ? x ? 1? .

一.选择题

BACDA 二.填空题

BCCAD

CB

(?1, 2)

y??

1 e

?

29 2

三.解答题 17. (Ⅰ) (??, ?2.5) ? (1.5, ??) ; (Ⅱ) (??,3] .

? ? 5? 3? π 18. (Ⅰ) 根据表中已知数据可得:A ? 5 , ? ? ? ? , ? ? ? ? , 解得 ? ? 2, ? ? ? . 3 2 6 2 6
数据补全如下表:
π 2
π 3
5

?x ? ?
x

0

π

3π 2
5π 6
?5



π 12
0

7π 12
0

13 π 12
0

A sin(? x ? ? )

π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . 6 π π π π (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ,因此 g ( x) ? 5sin[2( x ? ) ? ] ? 5sin(2 x ? ) .因 6 6 6 6

为 y ? sin x 的 对 称中 心 为 (kπ, 0) , k ? Z . 令 2 x ?

π kπ π , k ? Z .即 ? kπ , 解 得 x ? ? 6 2 12

kπ π π 其中离原点 O 最近的对称中心为 (? , 0) . y ? g ( x) 图象的对称中心为 ( ? ,) 0 ,k ? Z , 2 12 12

19. (Ⅰ)因为 m // n ,所以 a sin B ? 3b cos A ? 0 ,由正弦定理,得

??

?

sin A sin B ? 3 sin B cos A ? 0 ,
又 sin B ? 0 ,从而 tan A ?

3 ,由于 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
3



(Ⅱ)解法一:由余弦定理,得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,代入数值求得 c ? 3 ,由面 积公式得 ?ABC 面积为

1 3 3 7 2 .解法二:由正弦定理,得 , bc sin A ? ? ? 2 2 sin B sin 3

从 而 sin B ?

21 2 7 , 又 由 a ? b 知 A ? B , 所 以 cos B ? , 由 7 7

sin C ? sin( A ? B ) ? sin(B ?

?
3

) , 计 算 得 sin C ?

3 21 , 所 以 ?ABC 面 积 为 14

1 3 3 . ab sin C ? 2 2
20. (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d , 令 n ? 1, 得

1 1 ? ,所以 a1a2 ? 3 . a1a2 3 1 1 2 ? ? ,所以 a2 a3 ? 15 . a1a2 a2 a3 5

令 n ? 2, 得

解得 a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1. (Ⅱ)由(I)知 bn ? 2n ? 22 n ? 4 ? n ? 4n , 所以 Tn ? 1 ? 41 ? 2 ? 42 ? ...... ? n ? 4 n , 所以 4Tn ? 1 ? 42 ? 2 ? 43 ? ...... ? ( n ? 1) ? 4 n ? n ? 4 n ?1 , 两式相减,得 ?3Tn ? 41 ? 42 ? ...... ? 4 n ? n ? 4 n ?1

4(1 ? 4n ) 1 ? 3n n ?1 4 ? ? n ? 4n ?1 ? ?4 ? , 1? 4 3 3
所以 Tn ?

3n ? 1 n ?1 4 4 ? (3n ? 1) ? 4n ?1 ?4 ? ? . 9 9 9

21.解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) 。

f ' ( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? 2分 x x x

(i)若 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 ,则

f ' ( x) ?

( x ? 1) 2 x

故 f ( x ) 在 (0, ??) 单调增加。
' (ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ( x) ? 0 ;

当 x ? (0, a ? 1) 及 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0
'

故 f ( x ) 在 (a ? 1,1) 单调减少,在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调增加。 (iii)若 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,同理可得 f ( x ) 在 (1, a ? 1) 单调减少, 在 (0,1), (a ? 1, ??) 单调增

加. (II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x

?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x 2

则 g ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

a ?1 a ?1 ? 2 xg ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 x x

由 于 1<a<5, 故 g ?( x) ? 0 , 即 g(x) 在 (4, + ∞ ) 单 调 增 加 , 从 而 当 x1 ? x2 ? 0 时 有

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即 f (x1) ? f (x 2) ?x 1 ?x 2 ? 0 ,故
f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ?1 x1 ? x2 x2 ? x1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 ,当 0 ? x1 ? x2 x1 ? x2

时,有

22. (Ⅰ) f ? ? x ? ? 由 f ?? x? ? 0 得 ?

1 ? x2 ? x ? 1 , x ? ? 0, ?? ? . ? x ?1 ? x x
解得 0 ? x ?

?x ? 0 ?? x ? x ? 1 ? 0
2

1? 5 . 2

故 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0,

? 1? 5 ? ?. ? 2 ? ? ?

(Ⅱ)令 F ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? 1? , x ? ? 0, ?? ? .

1 ? x2 则有 F? ? x ? ? . x
当 x ? ?1, ?? ? 时, F? ? x ? ? 0 , 所以 F ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减, 故当 x ? 1 时, F ? x ? ? F ?1? ? 0 ,即当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 . (III)由(II)知,当 k ? 1 时,不存在 x0 ? 1 满足题意. 当 k ? 1 时, 对于 x ? 1 , 有 f ? x ? ? x ? 1 ? k ? x ? 1? , 则 f ? x ? ? k ? x ? 1? , 从而不存在 x0 ? 1 满足题意. 当 k ? 1 时,令 G ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ? 1? , x ? ? 0, ?? ? ,

则有 G ? ? x ? ?

? x 2 ? ?1 ? k ? x ? 1 1 . ? x ?1? k ? x x
2

由 G ? ? x ? ? 0 得, ? x ? ?1 ? k ? x ? 1 ? 0 .

解得 x1 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 0 , x2 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

2

?4

? 1.

当 x ? ?1, x2 ? 时, G ? ? x ? ? 0 ,故 G ? x ? 在 ?1, x2 ? 内单调递增. 从而当 x ? ?1, x2 ? 时, G ? x ? ? G ?1? ? 0 ,即 f ? x ? ? k ? x ? 1? , 综上, k 的取值范围是 ? ??,1? .

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