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【全程复习方略】2016届高考数学(文科人教A版)大一轮复习课件:8.5 椭 圆


第五节 椭 圆

【知识梳理】

1.必会知识

教材回扣

填一填

(1)椭圆的定义 条 件 结论1 结论2 F1,F2 _____ 为椭圆的焦点 M点的轨迹 为椭圆 |F1F2| ______ 为椭圆的焦距

平面内的动点M与平面内 的两个定点F1,F

2 |MF1|+|MF2|=2a 2a>|F1F2|

(2)椭圆的标准方程和几何性质





标准方程

x 2 y2 ? 2 ?1 2 a b __________(a>b>0)

y2 x 2 ? 2 ?1 2 __________(a>b>0) a b

性 质

范围
对称性

-a a ___≤x≤__ b -b ___≤y≤__

-b b ___≤x≤__ a -a ___≤y≤__ 坐标轴 对称轴:_______ 原点 对称中心:_____

顶点

(-a,0) 2______ (a,0) A1_______,A (0,-b) 2______ (0,b) B1_______,B

(0,-a) 2______ (0,a) A1_______,A (-b,0) 2______ (b,0) B1_______,B

性 质


焦距

2a 长轴A1A2的长为___ 2b 短轴B1B2的长为___ 2c |F1F2|=___
c (0,1) e= a ∈______

离心率
a,b,c 的关系

b2+c2 a2=_____

2.必备结论

教材提炼

记一记

x 2 y2 (1)设椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)上任意一点P(x,y),则当x=0时,|OP|有最 a b

b 这时,P在短轴端点处;当x=±a时,|OP|有最大值__, a 这时,P在 小值__, 长轴端点处.
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中a

是斜边长,a2=b2+c2.
4a (3)已知过焦点F1的弦AB,则△ABF2的周长为___.

(4)若P为椭圆上任一点,F为其焦点,则a-c≤|PF|≤a+c.

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:待定系数法、定义法、点差法. (2)数学思想:数形结合思想、分类讨论思想与方程思想.

【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判

(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭 圆.( )

(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭 圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( (3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( ) ) )

(4)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.(

【解析】(1)错误.由椭圆的定义知,当该常数大于|F1F2|时,其轨迹才
是椭圆,而常数等于|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2,常数小于|F1F2|时,

不存在图形.
(2)正确.由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a,

又|F1F2|=2c,所以|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c.

2 2 c a ? b b 2 所以e越大,则 b 越小,椭圆 (3)错误.因为 e ? ? ? 1? ( ) , a a a a

就越扁.

(4)正确.由椭圆的对称性知,其关于原点中心对称,也关于两坐标轴对
称.

答案:(1)× (2)√

(3)×

(4)√

2.教材改编

链接教材

练一练

2 2 x y (1)(选修1-1P42T2(1)改编)已知椭圆 =1的焦点在x轴上, ? m ? 2 10 ? m

焦距为4,则m等于( A.8 B.7

) C.6 D.5

2 2 x y 【解析】选A.因为椭圆 =1的焦点在x轴上. ? m ? 2 10 ? m ?10 ? m ? 0, 所以 ? 解得6<m<10. ?m ? 2 ? 0, ?m ? 2 ? 10 ? m, ?

因为焦距为4, 所以c2=m-2-10+m=4, 解得m=8.

(2)(选修1-1P42T5(3)改编)已知椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率 为 1 ,则椭圆的标准方程为_______.
x 2 y2 【解析】设椭圆的标准方程为 2 ? 2 =1(a>b>0). a b 1 因为椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率 e ? , 2 ?c ? 1, ?c 1 ?a ? 2c ? 2, 所以 ? 解得 ? 2 ? ? , ? b ? 3, ?a 2 2 2 2 ? a ? b ? c , ? 2 2 x y 故椭圆的标准方程为 ? ? 1. 4 3 2 2 x y 答案: ? ? 1 4 3
2

3.真题小试

感悟考题

试一试

2 2 x y (1)(2014?大纲版全国卷)已知椭圆C: ? ? 1(a>b>0)的左、右 a 2 b2 焦点为F1,F2,离心率为 3 , 过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的 3

周长为 4 3,则C的方程为(
x 2 y2 x2 A. ? ? 1????????????B. ? y 2 ? 1 3 2 3 x 2 y2 x 2 y2 C. ? ? 1????????????D. ? ?1 12 8 12 4

)

【解析】选A.由椭圆的定义可知,|AF1|+|AF2|=2a, |BF1|+|BF2|=2a, 又因为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|= 4 3, 即4a= 4 3,解得 a ? 3. 又 c ? 3,
a 3

则c=1,b2=a2-c2=2,
2 2 x y 所以椭圆的方程为 ? ? 1. 3 2

(2)(2014·辽宁高考)已知椭圆C:

x 2 y2 ? ? 1点 , M与C的焦点不重合, 9 4

若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则
|AN|+|BN|= .

【解析】根据题意,椭圆的左右焦点分别为F1(- 5 ,0),F2( 5 ,0),

由于点M的不确定性,不妨令其为椭圆的左顶点M(-3,0),线段MN的中
点为椭圆的上顶点H(0,2),则M关于C的焦点的对称点分别为A(-2 5 +3,

0),B(2 5 +3,0),而点N(3,4),据两点间的距离公式得
|AN|+|BN|
?

?

?2 5 ? 3 ? 3 ? ? 0 ? 4 ? ?
2

?

2

?

2 5 ? 3 ? 3 ? ? 0 ? 4 ? ? 12.
2

?

2

答案:12

(3)(2014·江西高考)设椭圆C:

x 2 y2 的左右焦点为 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若 AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于 .

2 2 b b 【解析】不妨令 A(c, ),B(c, ? ),F1 (?c,0), a a 2 所以直线F1B的方程为 y ? ? b ? x ? c ?, 2ac 2 令x=0可得 y ? ? b , 2a 2 ??? ? ? b 3b2 ??? b2 即 D(0, ? ), AD ? (?c, ? ), F1B ? (2c,- ), 2a 2a a 4 因为AD⊥F1B,所以 ?2c2 ? 3b ? 0, 2a 2

整理得 3b2 ? 2ac,故

3a 2- 3c2 ? 2ac,
3(负值舍去). 3

即 3e2 ? 2e- 3 ? 0, 解得e= 答案: 3
3

考点1

椭圆的定义及应用

x 2 y2 【典例1】(1)(2015?本溪模拟)椭圆 ? ? 1 的左、右焦点分别 25 16

为F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的内切圆周长为π ,A,B两点的坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为 .

2 2 x y (2)已知F1,F2是椭圆C: 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的 a b ??? ? ??? ? 一点,且 PF1 ? PF2 . 若△PF1F2的面积为9,则b= .

【解题提示】(1)由椭圆的定义可知,△ABF2的周长为4a=20,然后利用
1 1 (a+b+c)r= |F1F2||y1-y2|,(其中r为内切圆半径)解决. 2 2 ??? ??? ? (2)注意到点P为椭圆上的一点,则有|PF1|+|PF2|=2a,再利用 PF1 ? PF2

面积相等即

求出|PF1||PF2|,进而可求得b值.

【规范解答】(1)△ABF2的内切圆周长为π,所以△ABF2的内切圆的半

径为 1 ,又△ABF2的周长为4a=20,所以△ABF2的面积为 × ×20=5,另
2

一方面△ABF2的面积为

1 |F1F2|·|y1-y2|,则|y1-y2|= 2

答案: 5

1 1 2 2 2?5 5 ? . 2?3 3

3

??? ? ??? ? (2)由题意知|PF1|+|PF2|=2a, PF ? PF ,
1 2

所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, 所以(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2, 所以2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2. 所以|PF1||PF2|=2b2, 所以 S? PF F =
1 2

1 |PF1||PF2|= 1 ×2b2=b2=9. 2 2

所以b=3. 答案:3

??? ? ??? ? 【互动探究】将本例(2)中条件“ PF1 ? PF2 ”“△PF1F2的面积为9”

分别改为“∠F1PF2=60°”“ S? PF F ? 3 3 ”,则结果如何?
1 2

【解析】由题意得|PF1|+|PF2|=2a,

又∠F1PF2=60°,
所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2,

所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4c2,
所以3|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2,

所以|PF1||PF2|=
1 2

4 2 b, 3

所以 S? PF F ? 1 PF1 PF2 sin 60? ? 1 ? 4 b2 ? 3 ? 3 b2 ? 3 3,
2 2 3 2 3

所以b=3.

【规律方法】 1.椭圆定义的应用范围 (1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆. (2)解决与焦点有关的距离问题. 2.焦点三角形的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”, 利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|;通过整体 代入可求其面积等.

x 2 y2 【变式训练】(2015?成都模拟)椭圆 ? ? 1 的左焦点为F,直 4 3

线x=m与椭圆相交于点A,B.当△FAB的周长最大时,△FAB的面积是 .

【解析】设A(2cos θ, 3 sin θ),△FAB的周长为
2(|AF|+ 3 sin θ)=2(2+cos θ+ 3 sin θ)=4+4sin(θ+ ? ).
3 ? 当θ= ,即A(1, )时,△FAB的周长最大. 2 3 1 此时△FAB的面积为S= ×2×3=3. 2 6

答案:3

x2 2 【加固训练】1.已知椭圆 +y =1,F1,F2为其两焦点,P为椭圆上任一 4

点,则|PF1|·|PF2|的最大值为( A.6 B.4 C.2

) D.8

【解析】选B.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a=4,|PF1|?|PF2|=mn≤
( m?n 2 ) =4(当且仅当m=n=2时,等号成立). 2

2 x 2.椭圆 +y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与 4

椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|=(
A. 7 2 B. 3 2 C. 3 D.4

)

【解析】选A.a2=4,b2=1,所以a=2,b=1, c ? 3, 不妨设P在x轴上
2 ( ? 3) 方,则F1(- 3 ,0),设P(- 3 ,m)(m>0),则 ? m2 ? 1 , 4 解得m= 1 ,所以|PF1|= 1 ,根据椭圆定义:|PF1|+|PF2|=2a,所以 2 2 |PF2|=2a-|PF1|= 2 ? 2 ? 1 ? 7 . 2 2

考点2

椭圆的标准方程与几何性质

【典例2】(1)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的 距离分别为 4 5 和 2 5 ,过点P作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦
3 3

点,则椭圆的标准方程为

.

(2)(2014?安徽高考)设F1,F2分别是椭圆E:

x 2 y2 ? 2 ? 1(a>b>0)的 2 a b

左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|. ①若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|.

②若cos∠AF2B= 3 ,求椭圆E的离心率.
5

【解题提示】(1)考虑设出椭圆的标准方程,然后求参数,注意由已知
条件不能确定焦点所在坐标轴,因此椭圆的标准方程有两种形式 .

(2)①根据椭圆的定义及三角形的周长求解;②由已知条件及椭圆定义
结合余弦定理、离心率的定义求解.

2 2 x y 【规范解答】(1)设椭圆的标准方程是 ? 2 ? 1(a>b>0) 2 a b 2 2 或 y2 ? x 2 ? 1 (a>b>0),两个焦点分别为F1,F2,则由题意,知 a b

2a=|PF1|+|PF2|=2 5 ,所以a= 5 .

x 2 y2 b2 在方程 2 ? 2 ? 1中,令x ? ?c, 得 y ? . a b a y2 x 2 b2 在方程 2 ? 2 ? 1中,令y ? ?c, 得 x ? . a b a b2 2 5 10 依题意知 ? ,所以b 2 ? , a 3 3 x 2 3y 2 y 2 3x 2 即椭圆的方程为 ? ? 1或 ? ? 1. 5 10 5 10
x 2 3y 2 y 2 3x 2 答案: ? ? 1或 ? ?1 5 10 5 10

【一题多解】解答本例(1)还有如下方法:
设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,

不妨令|PF1|= 4 5 ,|PF2|= 2 5 .
3 3

由椭圆的定义,知2a=|PF1|+|PF2|=2 5 ,即a= 5 .

由|PF1|>|PF2|知,PF2垂直于长轴.
故在Rt△PF2F1中,4c2=|PF1|2-|PF2|2= 60 ,
9

所以c2=

5 10 ,于是b2=a2-c2= . 3 3

又所求椭圆的焦点可以在x轴上,也可以在y轴上,故所求椭圆的方程
2 2 2 2 x 3y 3x y 为 ? ? 1或 ? ? 1. 5 10 10 5

答案: x 2

3y2 y 2 3x 2 ? ? 1或 ? ?1 5 10 5 10

(2)①由|AF1|=3|BF1|,|AB|=4,得|AF1|=3,|BF1|=1, 因为△ABF2的周长为16, 所以由椭圆定义可得4a=16, |AF1|+|AF2|=2a=8, 故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5. ②设|BF1|=k,则k>0,且|AF1|=3k,|AB|=4k, 由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k,

在△ABF2中,由余弦定理可得

|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B,
即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2- 6 (2a-3k)(2a-k),
5

化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0, 故a=3k,于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k, 因此|BF2|2=|AF2|2+|AB|2?F1A⊥F2A, 故△AF1F2为等腰直角三角形, 从而 c ? 2 a ? e ? c ? 2 .
2 a 2

x 2 3y 2 【易错警示】本例(1)中易得出 ? ? 1 的错误结论. 5 10

其原因是没有注意到题目中没有指明椭圆焦点的位置,误认为焦点在

x轴上,在解决与椭圆方程有关问题时,如果题目中没有明确焦点位
置,要注意分析题意或分类讨论.

【规律方法】 1.用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤 (1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是 两个坐标轴都有可能. (2)设方程:根据上述判断设出方程. (3)找关系:根据已知条件,建立关于a,b,c的方程组. (4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.

2.求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.

(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去
b,转化为含有e的方程(或不等式)求解.
2 2 x y 提醒:当椭圆焦点位置不明确时,可设为 ? ? 1 (m>0,n>0, m n

m≠n),也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B).

2 2 x y 【变式训练】如图,椭圆C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左焦点为F1,上顶点 a b

为B2,右顶点为A2,过点A2作x轴的垂线交直线F1B2于点P,若|PA2|=3b, 则椭圆C的离心率为 .

【解析】由题意知
答案: 1
2

B2 O FO b c 1 1 ? 1 ,所以 ? ? , 所以e ? . PA 2 F1A 2 3b a ? c 3 2

2 2 x y 【加固训练】已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 a b a c F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存在点P使 ? ,则该椭 sin?PF1F2 sin?PF2 F1

圆的离心率的取值范围为

.

PF2 a ? (注意到P不与F1F2共线), 【解析】依题意及正弦定理,得 PF1 c PF2 a 即 ? , 2a ? PF2 c

2a c 2a c 2a 所以 ? 1 ? , 所以 ? ?1 ? , PF2 a PF2 a a ?c 2 2 即e ? 1 ? , 所以 ? e ? 1? ? 2.又0 ? e ? 1,因此 2 ? 1 ? e ? 1. 1? e

答案:( 2 -1,1)

考点3

直线与椭圆的位置关系

知·考情
直线与椭圆的综合问题是高考命题的一个热点问题,主要以解答

题的形式出现,考查椭圆的定义、几何性质、直线与椭圆的位置关系,
考查学生分析问题、解决问题的能力.

明·角度
命题角度1:由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质
2 2 x y 【典例3】(2014?新课标全国卷Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆C: 2 ? 2 ? 1 a b

(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另 一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为 3 ,求C的离心率.
4

(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.

【解题提示】(1)将M,F1的坐标都用椭圆的基本量a,b,c表示,由斜率

条件可得到a,b,c的关系式,然后由b2=a2-c2消去b2,再“两边同除以
a2”,即得到离心率e的二次方程,由此解出离心率.
2 b (2)利用“MF2∥y轴”及“截距为2”,可得yM= =4,然后利用 a

|MN|=5|F1N|及焦半径公式即可求出a,b的值.

MF2 3 b2 1 3 【规范解答】(1)因为由题知, ? ,所以 ? ? , F1F2 4 a 2c 4

又a2=b2+c2.联立整理得:2e2+3e-2=0,
解得e= 1 .所以C的离心率为 1 .
2 2

b2 (2)由三角形中位线知识可知,|MF2|=2×2,即 =4. a

设|F1N|=m,由题可知|MF1|=4m.由两直角三角形相似,可得M,N两点 横坐标分别为c,- 3 c.由焦半径公式可得:
3 |MF1|=a+ec,|NF1|=a+e(- c),且|MF1|∶|NF1|=4∶1, 2
2 c 2 b e ? ,a ? b 2 ? c2 , ? 4.联立解得a ? 7,b ? 2 7. a a

2

命题角度2:由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质
2 2 x y 【典例4】(2014?天津高考)设椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)的左、右焦点 a b 为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|= 3 |F1F2|. 2

(1)求椭圆的离心率. (2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1, 经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.

【解题提示】(1)根据|AB|= 3 |F1F2|及a2=b2+c2求离心率.
??? ? ??? ? (2)以PB为直径的圆经过点F1等价于 PF1 ? BF1.

2

【规范解答】(1)设椭圆的右焦点F2的坐标为(c,0). 由|AB|= 3 |F1F2|,可得a2+b2=3c2,
2 c 1 又b2=a2-c2,则 2 ? . a 2

2

所以,椭圆的离心率 e ? 2 .
2

(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.
x 2 y2 故椭圆方程为 2 ? 2 ? 1. 2c c

??? ? ??? ? 设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有 F1P =(x0+c,y0), F1B =(c,c). ??? ? ??? ? 由已知,有 F1P?F1B ? 0,

即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有 x0+y0+c=0. 又因为点P在椭圆上,故
x 0 2 y0 2 ? 2 ? 1. 2 2c c





由①和②可得3x02+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故 x 0 ? ? 4c ,
代入①得y0= ,即点P的坐标为 (- 4c , c ).
3 3 4 c - c?0 ?c 2 2 设圆的圆心为T(x1,y1),则 x ? 3 3 ? - c , y ? ? c, 1 1 2 3 2 3 c 3 3

进而圆的半径 r ? (x1-0)2 ? (y1-c)2 ? 5 c.
3

设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.

由l与圆相切,可得

| kx1-y1 |
2

k ?1 2c 2c | k(- )- | 3 3 ? 5 c, 即 3 k2 ?1

? r,

整理得k2-8k+1=0,解得k=4± 15 .
所以,直线l的斜率为4+ 15 或4- 15 .

悟·技法 1.直线与椭圆位置关系判断的步骤 (1)联立直线方程与椭圆方程. (2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程. (3)当Δ >0时,直线与椭圆相交;当Δ =0时,直线与椭圆相切;当Δ <0时, 直线与椭圆相离.

2.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法 涉及问题 弦长 处理方法 根与系数的关系、弦长公式 (直线与椭圆有两交点)

中点弦或弦的中点

点差法(结果要检验)

通?一类 1.(2014?北京高考)已知椭圆C:x2+2y2=4. (1)求椭圆C的离心率. (2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断 直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.

x 2 y2 【解析】(1)由题意知,椭圆C的标准方程为 ? =1, 4 2

所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=
故椭圆C的离心率 e ? c ? 2 .
a 2

2 ,

(2)直线AB与圆x2+y2=2相切,证明如下: 设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0. 因为OA⊥OB,所以 OA?OB =0, 即tx0+2y0=0,解得t= ?
2y0 . x0
??? ? ??? ?

2 t 当x0=t时,y0= ? , 2

代入椭圆C的方程,得t=± 2 ,故直线AB的方程为x=± 2 ,圆心O到直
线AB的距离d= 2 , 此时直线AB与圆x2+y2=2相切. 当x0≠t时,直线AB的方程为y-2= 即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.
y0 ? 2 (x-t), x0 ? t

圆心O到直线AB的距离d ? 2y 0 又x 0 ? 2y 0 ? 4, t ? ? , x0
2 2

2x 0 ? ty 0

? y0 ? 2 ? ? ? x 0 ? t ?
2

2

.

故d ?

2y 0 2 | 2x 0 ? | x0 x 0 2 ? y0 2 ? 4y 0 ?4 2 x0
2

?

4 ? x 02 | | x0 x 0 ? 8x 0 ? 16 2x 0 2
4 2

? 2.

此时直线AB与圆x2+y2=2相切. 综上所述,直线AB与圆x2+y2=2相切.

x 2 y2 2.(2015?济南模拟)如图,已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的右顶点为 a b A(2,0),点P (2e, 1 ) 在椭圆上(e为椭圆的离心率). 2

(1)求椭圆的方程. (2)若点B,C(点C在第一象限)都在椭圆上,
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 满足 OC ? ?BA,且OC? OB ? 0, 求实数λ 的值.

【解析】(1)由已知,得a=2,e= c ,
2 1 c2 将P (c, ) 代入椭圆的方程,得 ? 1 2 =1. 2 4 4b

因为b2+c2=4,所以b2=1,c2=3,
2 x 所以椭圆的方程为 +y2=1. 4

(2)显然直线OC的斜率存在.
设直线OC的斜率为k,则直线OC的方程为y=kx,
2 x 代入椭圆的方程 +y2=1,即x2+4y2=4,得(1+4k2)x2=4, 4 2 所以xC= ,则 C( 2 , 2k ). 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

又直线AB的方程为y=k(x-2),代入椭圆的方程x2+4y2=4,
得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0.
2 ? 4k 2 ? 1? 1 ? 4k
2

因为xA=2,所以xB=
则 B(
2 ? 4k 2 ? 1? 1 ? 4k 2 ,

,

?4k ). 2 1 ? 4k

??? ? ??? ? 因为OC?OB ? 0, 1 ? 4k 2 1 所以k2= . 2 所以 2 ? 4k 2 ? 1? ? 2 1 ? 4k 2 ? ?4k 2k ? ? 0. 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k

因为C在第一象限, 所以k>0,所以k=
2 . 2 ??? ? 2 2k OC ? ( , ). 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k

??? ? 2 ? 4k 2 ? 1? ?4k 4 4k BA ? (2 ? ,0 ? ) ? ( , ). 2 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k

??? ? ??? ? 1 由OC ? ? BA, 得? ? k 2 ? . 4 因为k ? 2 3 , 所以? ? . 2 2

规范解答12

与椭圆有关的综合问题

【典例】(12分)(2014?辽宁高考)圆x2+y2=4的切线
与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角
x 2 y2 形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1: 2 ? 2 ? 1 a b

过点P且离心率为 3 .

(1)求C1的方程.
(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于 A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.

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规范解答 阅卷标准 体会规范

(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0).
则切线斜率为x0 x ,切线方程为y-y0=- 0 (x-x0), y0 y0

即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为
1 4 4 8 S? ? ? ? . ????????????????2分 2 x 0 y0 x 0 y0

由x02+ y02=4≥2x0y0知,当且仅当x0=y0= 2 时,x0y0有最大值,即S有最 小值,此时点P的坐标为 ( 2, 2). ??????????3分

?2 2 ? 2 ? 1, 2 由题意知 ? b ?a ?a 2 ? b 2 ? 3a 2, ?

解得a2=1,b2=2,
2 y 故C1的方程为 x ? =1. …????????????5分 2 2

(2)由(1)知椭圆C2的焦点坐标为 (? 3,0),( 3,0), 由此设C2的方程为
2 2 x2 y2 ? ?1 , 其中 b >0. 由点 P 在 C 上,得 ? 2 ? 1, ( 2, 2) 1 2 2 2 2 3 ? b1 b1 3 ? b1 b1 2 2 解得b12=3,因此C2的方程为 x ? y ? 1, ??????7分 6 3

显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+ 3 ,
点A(x1,y1),B(x2,y2),
? x ? my ? 3, 由? ? x 2 y2 ? 1, ? ? 3 ?6

得(m2+2)y2+2 3 my-3=0,又因为y1,y2是方程的根,

? 2 3m y ? y ? ? ,????????① ? 1 2 2 ? m ?2 所以 ? ????????????8分 ? y y ? ?3 ,???????????????② 1 2 ? m2 ? 2 ?

由x1=my1+ 3 ,x2=my2+ 3 ,得
? 4 3 x ? x ? m y ? y ? 2 3 ? ,③ ? ? ? 2 1 2 2 ? 1 m ?2 ? 2 6 ? 6m ? x x ? m 2 y y ? 3m ? y ? y ? ? 3 ? ④ 1 2 1 2 1 2 2 ? m ?2 ?

????????????????????????9分

??? ? 2 ? x1 , 2 ? y1 , BP ? ??? ? ??? ? 由题意知AP?BP ? 0,

??? ? 因AP ?

?

?

?

2 ? x 2 , 2 ? y2 .

?

所以x1x 2 ? 2 ? x1 ? x 2 ? ? y1 y 2 ? 2 ? y1 ? y 2 ? ? 4 ? 0.⑤ 将①, ②, ③, ④代入⑤式整理得 2m 2 ? 2 6m ? 4 6 ? 11 ? 0, 解得m ? 3 6 6 ? 1或m ? ? ? 1. 2 2

???????????????????????????11分
因此直线l的方程为 x ? (
3 6 6 ? 1)y ? 3 ? 0或x ? ( ? 1)y ? 3 ? 0. ?12分 2 2

高考状元

满分心得

把握规则

争取满分

1.注意巧设直线方程 当已知直线与x轴交点坐标时,常设为x=my+b的形式,这样能避免对斜 率是否存在的分类讨论,从而减少了失分点.

2.注意整体代入思想的应用

在解决直线与圆锥曲线的位置关系时,通常联立直线与圆锥曲线构成
方程组求解,进而利用根与系数的关系表示x1+x2及x1x2,很少有直接求

出x1和x2的情况,如本例在求x1x2,x1+x2,y1y2及y1+y2中均采用了整体代
换的思想,从而简化了运算,提高了运算的效率及正确率.


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