当前位置:首页 >> 数学 >>

2.2.1椭圆及其标准方程经典版


椭圆及其标准方程

复习回顾

圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合

一、椭圆的定义 思考1: 取一条细绳,把它的两端固定在板上的 两点,用笔尖把细绳拉紧,慢慢移动笔尖画 出的轨迹是___________________ 椭圆

M ?

? F1
<

br />? F2

动画演示

1. 椭圆定义:

|MF1|+|MF2|=2a (|F1F2|=2c, 2a>2c>0)

平面内与两个定点 F1 , F2的距离的和等于常数(大于 | F1F2 )的点的轨迹叫作椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦 | M 点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 。
记焦距为2c,椭圆上的点M与F1, F2的 距离和记为2a。 F1 F2

注意:椭圆定义中的关键点: (1)距离的和2a 大于焦距2c .即2a>2c>0. (2) 平面内. ---这是大前提 (3)动点M与两定点的距离的和等于常数2a.

思考2:
画出的曲线有何特点? __________________________________ 笔尖(动点)到定点距离和是常数 移动笔尖满足的几何条件? 笔尖到两定点距离和大于两点的距离 _________________________________

? 绳长大于两定点之间的距离时笔尖轨迹 是椭圆。 ? 若绳长等于两定点之间的距离,笔尖轨 迹又会如何? ? 若绳长小于两点之间的距离时,笔尖轨 迹呢?

绳长等于两定点之间的距离

绳长小于两定点之间的距离

结论:
1.当绳长大于两点间距离时轨迹 为椭圆

2.当绳长等于两点间距离时轨迹 3.当绳长小于两点间距离时

为线段 无轨迹

练习1 判断下列动点M的轨迹是否为椭圆
1. 到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹是

2. 到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹 不是
3. 到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹 没有轨迹

小结:椭圆必须满足的几个条件

1.动点 M 到两个定点 F1、F2的距离之和是常数。 2.常数要大于焦距。

? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y

y
F1
O O O

M
OF2

原则:尽可能使方 程的形式简单、运 算简单;
xx x

x

(一般利用对称轴或已有的互相垂直 的线段所在的直线作为坐标轴.)
(对称、“简洁”)

以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2 的垂直平分线 为y轴。 设M(x,y)为椭圆上任意一点,椭圆的焦距 y 为2c. M( x , y) 则F1(-c,0),F2(c,0)。 M与F1和F2的距离和为2a。 求点M的曲线方程。 F1 0

M应满足什么条件: |M F1|+|MF2|=2a
( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a
2 2 2 2

F2

X

( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a 移项平方
2 2 2 2

( ( x ? c ) 2 ? y 2 ) 2 ? (2a ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ) 2

x ? 2cx ? c ? y ? 4a ? 4a ( x ? c) ? y ? x ? 2cx ? c ? y
2 2 2 2 2 2 2 2

2

整理得: a ? cx ? a ( x ? c ) ? y
2 2
4 2 2 2 2 2 2

2

两边再平方
2 2 2 2

a ? 2a cx ? c x ? a x ? 2a cx ? a c ? a y
2 2 2 2 2 2 2

整理得: (a ? c )x ? a y ? a (a ? c )
2

(a ? c )x ? a y ? a (a ? c ( ) *)
2 2 2 2 2 2 2 2

a ? c ? 0? a ?c ? 0
2 2

所以(*)式两端同除以a2(a2- c2)

x y ? ? 1 2 2 2 a a ?c

2

2

x2 y2 椭圆的标准方程为 2 + 2 2 = 1 (a > c > 0) a a -c
y

P
a2 - c2

F1

o

a

在此图中你能否找到表示 a,c, a - c 的线段吗?
2 2

c
M
2 2

F2

x 2 y2 椭圆的方程为:2 + 2 = 1 (a > b > 0) a b

x

令 a ? c ? b ,则椭圆的方程可以化简为
2

x2 y2 + 2 = 1 (a > b > 0) 焦点在x轴椭圆的方程为: 2 a b

你能类比焦点在x轴上的椭圆标准方程的建立过 程,建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程吗?
y
(0, c)

F1

0 (0, ?c)
F2

x
M ( x, y )

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

?椭圆的标准方程的特点:
Y
M M

Y O

F2 (0 , c)
X

F1 (-c,0)
2

O
2

F2 (c,0)

X

F1 (0,-c)

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

1)椭圆标准方程的形式:左是两个分式的平方和右边是1。

2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
3)a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半;c—半焦距.
4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在

哪一个轴上。

求椭圆标准方程的步骤
2 2

? 1.根据焦点所在轴,选择标准方程的形式。
焦点在x轴则选择

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

焦点在y轴则选择

2利用题中的条件确定a,b的值。

例1 求两焦点的坐标是(-4,0),(4,0)椭圆上 一点P到两焦点的距离之和等于10。 解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设标准方程为

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2a = 10, 2c = 8,
a = 5, c = 4.

2

2

b ? a ?c ?5 ?4 ?9
2 2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1 所以标准方程为 25 9

例2:

解:因为椭圆的焦点在 x 轴上,设 x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 由椭圆的定义知
2a ? ?5 ? ? 3? ? 2 ? ?2 ? ?? 2? ? ? ? ? ?
2 2 2

3? ?5 并且经过点P ? , ? ? ,求它的标准方程. y 2? ?2
F1 O

已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0),

F2

P

x

?5 ? ? 3? ? 2 ? ?2 ? ?? 2? ? ? ? ?

2

定义法

所以 a ? 10. 又因为 c ? 2 , 所以 b2 ? a 2 ? c2 ? 10 ? 4 ? 6 2 2 x y 因此,所求椭圆的标准方程为 ? ?1 10 6

例2:

解:因为椭圆的焦点在 x 轴上,设 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b y 2 2 由于 c ? 2, 所以 a ? b ? 4 ①
又点
2

3? ?5 并且经过点P ? , ? ? ,求它的标准方程. 2? ?2 2 2

已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0),
x y

? 5 3? ? ? ? , ? 2 2?

在椭圆上
2

? 5? ? 3? ? ? ?? ? ? 2? ? ? 2? ?1 a2 b2

F1 O

F2

P

x



待定系数法

联立方程①②解得

a 2 ? 10 , b 2 ? 6

x2 y2 ? ?1 因此所求椭圆的标准方程为 10 6

例3.求中心在原点,焦点在 坐标轴上,且经过 两点P( 6 ,1), Q(? 3,? 2 )的椭圆的标准方程。

解:分两类:①当椭圆的焦点在X轴上时,设它的 方程为: x 2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
1 ? 6 ? 2 ?1 2 ? ?a b 将P, Q带入得: ? ? 3 ? 2 ?1 ? ? a2 b2

? ?a ? 9 解得: ? 2 ? ?b ? 3
2

②当椭圆的焦点在y轴上时,设它的方程为:
1 2 ? 6 ? ? 1 ? b 2 ? 将P, Q带入得: ? ?b2 a 解得: ? ? 2 3 2 ? ? a ? 2 ?1 ? 2 ? ?b 2 a 2

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

? 9 不符合 ?3
a?b

x y 综上:椭圆的方程为 ? ? 1(a ? b ? 0) 9 3

例 4:
x2 y2 已知P为椭圆 ? ? 1上一点,F1 , F2是椭圆 25 16 焦点,?F1PF2 ? 60? , 求?F1PF2的面积。

拓展提高:
一动圆与圆O1 : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1外切, 与圆O2: ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 81 内切,试求 动圆圆心的轨迹方程
P ●

● O1



O2

小 结
不 同 点

焦点在x轴上
y B P

焦点在y轴上
y
F2

a
F 1

b c
o

P

F2

x

b

B

a
F 1

o

c

x

焦点 方 程

F1 ( ? c, 0), F2 (c, 0)

F1 (0, ? c ), F2 (0, c )
y2 x2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 2 a b

x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 2 a b

相 定义 同 参数 点

PF1 ? PF2 ? 2a
a2 ? b2 ? c2.

a?b?0

a?c?0

课后探索
思考题: 2 2 方程 Ax ? By ? 1 什么时候表示椭圆? 什么时候表示焦点在x轴上的椭圆? 什么时候表示焦点在y轴上的椭圆? 能表示圆吗?


相关文章:
2.2.1椭圆及其标准方程--高二理科
2.2.1 椭圆及其标准方程教学目标: 1.知识与技能目标 理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题;理解椭圆标准方程 的推导过程及化简无理方程的...
2.2.1椭圆及其标准方程(2)
2.2.1椭圆及其标准方程(2)_数学_高中教育_教育专区。2-1第二章,题目适中 §2.2.1 椭圆及其标准方程(2)编写:英德市第二中学,叶加修;审核:英西中学,刘东 ...
2.2.1椭圆及其标准方程教案
2.2.1椭圆及其标准方程教案_数学_高中教育_教育专区。椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程【教学目标】 1、知识与技能: ① 理解椭圆的定义; ② 了解椭圆标准方程的...
2.2.1.椭圆及其标准方程教案
2.2.1.椭圆及其标准方程教案_数学_高中教育_教育专区。人教A版选修2——1,2...绝对经典搞笑照片 67份文档 九妖笑话 2014年笑话大全之让你笑个够 儿童笑话大...
高中数学选修2-1同步练习 2.2.1 椭圆及其标准方程(含答案)
高中数学选修2-1同步练习 2.2.1 椭圆及其标准方程(含答案)_数学_高中教育_教育专区。高中数学选修2-1同步练习 2.2.1 椭圆及其标准方程一、选择题(每小题 5...
2.2.1椭圆的标准方程
3页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 2.2.1椭圆的标准方程 隐藏>> 人教A 版高二年级数学选修...
2015-2016学年高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程课后习题 新人教A版选修2-1
2015-2016学年高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程课后习题 新人教A版选修2-1_数学_高中教育_教育专区。2.2.1 课时演练?促提升 椭圆及其标准方程 A组 1.若 F1...
2.2.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程导学案
2.2.1 椭圆及其标准方程教学目标:1.掌握椭圆的定义,标准方程的两种形式。 2.会根据条件确定椭圆的标准方程, 会用待定系数法求椭圆的标准 方程。 教学重点:椭圆...
金版学案 数学选修2-1 2.2.1 椭圆及其标准方程(一)
金版学案 数学选修2-1 2.2.1 椭圆及其标准方程(一)_数学_高中教育_教育专区。金版学案,数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程 数学·选修 2-1(人教 A 版) ...
更多相关标签:
椭圆的标准方程 | 椭圆及其标准方程ppt | 椭圆及其标准方程 | 椭圆的标准方程ppt | 椭圆的标准方程课件 | 椭圆及其标准方程教案 | 椭圆的标准方程教案 | 椭圆标准方程 |