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【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习精品讲义 第六章 不等式、推理与证明(含解析)


第六章
对应学生用书P85

不等式、推理与证明

第一节不等关系与不等式

基础盘查一 两个实数比较大小的方法 (一)循纲忆知 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系; 2.了解不等式(组)的实际背景. (二)小题查验 判断正误 (1)不等关系是通过不等式来体现的,离开了不等式,不等关系就无从体现( (2)两

个实数 a,b 之间,有且只有 a>b,a=b,a<b 三种关系中的一种( (3)若 >1,则 a>b( ) )

a b

)

答案:(1)√ (2)√ (3)× 基础盘查二 不等式的基本性质 (一)循纲忆知 掌握不等式的性质及应用. (二)小题查验 1.判断正误 (1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变( (2)一个非零实数越大,则其倒数就越小( (3)同向不等式具有可加和可乘性( (4)a>b>0,c>d>0? > ( 1 1 (5)若 ab>0,则 a>b? < ) ) ) )

a b d c a b

答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2.(人教 A 版教材习题改编)用不等号“>”或“<”填空: (1)a>b,c<d? a-c________b-d; (2)a>b>0,c<d<0? ac________bd; (3)a>b>0? 3

a________ b; b

3

1 1 (4)a>b>0? 2________ 2.

a

答案:(1)>

(2)< (3)>

(4)<

1

对应学生用书P85

考点一 比较两个数?式?的大小(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 两个实数比较大小的法则 关系 法则 作差法则 作商法则

a>b a=b a<b

a-b>0 a-b=0 a-b<0

a a >1(a,b>0)或 <1(a,b<0) b b a =1(b≠0) b a a <1(a,b>0)或 >1(a,b<0) b b

[题组练透] 1.已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是( A.M<N C.M=N 解析:选 B M-N=a1a2-(a1+a2-1) =a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1), 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1), ∴a1-1<0,a2-1<0. ∴(a1-1)(a2-1)>0,即 M-N>0. ∴M >N. ln 2 ln 3 2.若 a= ,b= ,则 a____b(填“>”或“<”). 2 3 B.M >N D.不确定 )

b 2ln 3 解析:易知 a,b 都是正数, = =log89>1,所以 b>a. a 3ln 2
答案:< 3 3.若实数 a≠1,比较 a+2 与 的大小. 1-a 3 -a -a-1 a +a+1 解:∵a+2- = = . 1-a 1-a a-1
2
2 2

3 ∴当 a>1 时,a+2> ; 1-a 3 当 a<1 时,a+2< . 1-a [类题通法] 比较两个数(式)大小的两种方法 (1)比较大小时,要把各种可能的情况都考虑进去,对不确定的因素需进行分类讨论,每 一步运算都要准确,每一步推理都要有充分的依据. (2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键 是化简变形,从而使结果能够与 1 比较大小. 考点二 不等式的性质(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1.不等式的基本性质 (1)对称性:a>b?b<a. (2)传递性:a>b,b>c? a>c. (3)可加性:a>b? a+c>b+c. (4)可乘性:a>b,c>0? ac>bc;a>b,c<0? ac<bc. (5)加法法则:a>b,c>d? a+c>b+d. (6)乘法法则:a>b>0,c>d>0? ac>bd. (7)乘方法则:a>b>0? a >b (n∈N,n≥2). (8)开方法则:a>b>0? 2.不等式的倒数性质 1 1 (1)a>b,ab>0? < .
n n

n

n a> b(n∈N,n≥2).

a b

1 1 (2)a<0<b? < .

a b

(3)a>b>0,0<c<d? > . [提醒] 不等式两边同乘数 c 时,要特别注意“乘数 c 的符号”. [典题例析] 1.(2013·天津高考)设 a,b∈R 则“(a-b)·a <0”是“a<b”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 解析: 选A
2 2

a b c d

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

(a-b)·a <0, 则必有 a-b<0, 即 a<b; 而 a<b 时, 不能推出(a-b)·a
2

<0,如 a=0,b=1,所以“(a-b)·a <0”是“a<b”的充分而不必要条件.
3

2.(2015·西宁二模)已知 a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( A.若 a>b,则 ac >bc B.若 > ,则 a>b 1 1 3 3 C.若 a >b 且 ab<0,则 >
2 2

)

a b c c

a b a b
3 3

1 1 2 2 D.若 a >b 且 ab>0,则 < 解析:选 C 当 c=0 时,可知 A 不正确;当 c<0 时,可知 B 不正确;由 a >b 且 ab<0 1 1 知 a>0 且 b<0,所以 > 成立,C 正确;当 a<0 且 b<0 时,可知 D 不正确.

a b

[类题通法] (1)判断不等式是否成立, 需要逐一给出推理判断或反例说明. 常用的推理判断需要利用 不等式的性质. (2)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考 虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识, 比如对数函数,指数函数的性质等. [演练冲关] 1.若 a>b>0,则下列不等式不成立的是( 1 1 A. < ) B.|a|>|b|

a b

C.a+b<2 ab

?1?a ?1?b D.? ? <? ? ?2? ?2?

1 1 ?1?a ?1?b a b 解析:选 C ∵a>b>0,∴ < ,且|a|>|b|,a+b>2 ab,又 2 >2 ,∴? ? <? ? ,选 C. a b ?2? ?2? 2.若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc;② + <0;③a-c>b-d; ④a(d-c)>b(d-c)中成立的个数是( A.1 C.3 ) B. 2 D. 4

a b d c

解析:选 C 法一:∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0, ∴ad<bc,故①错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0, ∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∴a(-c)>(-b)(-d), ∴ac+bd<0,∴ + =

a b ac+bd <0, d c cd
4

故②正确. ∵c<d,∴-c>-d, ∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),

a-c>b-d,故③正确.
∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c), 故④正确,故选 C. 法二:取特殊值. 考点三 不等式性质的应用(题点多变型考点——全面发掘) [一题多变] [典型母题] 已知函数 f(x)=ax +bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求 f(-2)的取值范围. [解] f(-1)=a-b,f(1)=a+b.
2

f(-2)=4a-2b.
设 m(a+b)+n(a-b)=4a-2b. 则?
? ?m+n=4, ?m-n=-2, ?

解得?

? ?m=1, ?n=3. ?

∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1). ∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤f(-2)≤10. 即 f(-2)的取值范围为[5,10].

[ 题 点 发 散 1]

若 本 例 中 条 件 变 为 : 已 知 函 数 f(x) = ax + bx , 且 1<f( -

2

1)≤2,2≤f(1)<4,求 f(-2)的取值范围. 解:由本例知 f(-2)=f(1)+3f(-1). 又∵1<f(-1)≤2,2≤f(1)<4, ∴5<3f(-1)+f(1)<10, 故 5<f(-2)<10. 故 f(-2)的取值范围为(5,10). [题点发散 2] 若本例条件不变,求 2a-3b 的取值范围. 解:设 2a-3b=m(a+b)+n(a-b) 1 ? ?m=-2, 解得? 5 ? ?n=2,
5

? ?m+n=2, 则由待定系数法可得? ?m-n=-3, ?

1 5 所以 2a-3b=- (a+b)+ (a-b) 2 2 1 5 =- f(1)+ f(-1) 2 2 ∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 1 5 5 ∴-2≤- f(1)≤-1, ≤ f(-1)≤5, 2 2 2 1 ∴ ≤2a-3b≤4. 2

?1 ? 故 2a-3b 的取值范围为? ,4?. ?2 ?
[类题通法] 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但应注意两点:一是必须严格运用不等 式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先 建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求 解范围.

对应B本课时跟踪检测?三十四?

一、选择题 1.设 a,b∈[0,+∞),A= a+ b,B= a+b,则 A,B 的大小关系是( A.A≤B C.A<B
2 2

)

B.A≥B D.A>B

解析:选 B 由题意得,B -A =-2 ab≤0,且 A≥0,B≥0,可得 A≥B,故选 B. 2.若 m<0,n>0 且 m+n<0,则下列不等式中成立的是( A.-n<m<n<-m C.m<-n<-m<n B.-n<m<-m<n D.m<-n<n<-m )

解析:选 D 法一:(取特殊值法)令 m=-3,n=2 分别代入各选项检验即可. 法二:m+n<0? m<-n? n<-m,又由于 m<0<n,故 m<-n<n<-m 成立. β ? π? ? π? 3.(2015·西安检测)设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,那么 2α - 的取值范围是( 2 2 3 ? ? ? ? )

? 5π ? A.?0, ? 6 ? ?
C.(0,π )

? π 5π ? B.?- , ? 6 ? ? 6 ? π ? D.?- ,π ? ? 6 ?

6

β π π β π β 解析: 选 D 由题设得 0<2α <π , 0≤ ≤ , ∴- ≤- ≤0, ∴- <2α - < 3 6 6 3 6 3 π. 1 1 4.在所给的四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0 中,能推出 < 成立的有

a b

(

) A.1 个 C.3 个 解析:选 C B. 2 个 D. 4 个 1 1 b-a < 成立,即 <0 成立,逐个验证可得,①②④满足题意.

a b

ab

1 1 5.若 < <0,则下列结论不正确的是(

a b
2

) B.ab<b
2

A.a <b

2

C.a+b<0 1 1 解析:选 D ∵ < <0,∴0>a>b.

D.|a|+|b|>|a+b|

a b

∴a <b ,ab<b ,a+b<0,|a|+|b|=|a+b|. 6.(2015·北京平谷模拟)已知 a,b,c,d 均为实数,有下列命题: ①若 ab>0,bc-ad>0,则 - >0; ②若 ab>0, - >0,则 bc-ad>0; ③若 bc-ad>0, - >0,则 ab>0. 其中正确命题的个数是( A.0 C.2 解析:选 D ∵ab>0,bc-ad>0, ∴ - = ) B. 1 D. 3

2

2

2

c d a b

c d a b

c d a b

c d bc-ad >0,∴①正确; a b ab c d a b bc-ad >0, ab

∵ab>0,又 - >0,即

∴bc-ad>0,∴②正确; ∵bc-ad>0,又 - >0,即 ∴ab>0,∴③正确.故选 D. 二、填空题

c d a b

bc-ad >0, ab

7

7.已知 a,b,c∈R,有以下命题: ①若 a>b,则 ac >bc ;②若 ac >bc ,则 a>b; ③若 a>b,则 a·2 >b·2 . 其中正确命题的序号是__________. 解析:①若 c=0 则命题不成立.②正确.③中由 2 >0 知成立. 答案:②③ 8.若 1<α <3,-4<β <2,则 α -|β |的取值范围是________. 解析:∵-4<β <2,∴0≤|β |<4.∴-4<-|β |≤0. ∴-3<α -|β |<3. 答案:(-3,3)
c c c
2 2 2 2

a b 1 1 9.已知 a+b>0,则 2+ 2与 + 的大小关系是________. b a b a b a
2 a b ?1 1? a-b b-a ? 1 1 ? ?a+b??a-b? . 解析: 2+ 2-? + ?= 2 + 2 =(a-b)·? 2- 2?= 2 2

b

a

?a b?
2 2

?b

a?

ab

∵a+b>0,(a-b) ≥0, ∴ ?a+b??a-b?

ab b a

2 2

≥0.

a b 1 1 ∴ 2+ 2≥ + . a b a a b 1 1 答案: 2+ 2≥ + b a b
2

10.已知存在实数 a 满足 ab >a>ab,则实数 b 的取值范围是________. 解析:∵ab >a>ab,∴a≠0, 当 a>0 时,有 b >1>b,即?
2 2

?b >1, ? ? ?b<1,
2

2

解得 b<-1;

? ?b <1, 当 a<0 时,有 b <1<b,即? ?b>1, ?
2

无解.

综上可得 b<-1. 答案:(-∞,-1) 三、解答题 11.若 a>b>0,c<d<0,e<0.求证: 2> 2. ?a-c? ?b-d? 证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0. ∴(a-c) >(b-d) >0.
2 2

e

e

8

1 1 ∴0< 2< 2. ?a-c? ?b-d? 又∵e<0,∴ 2> 2. ?a-c? ?b-d? 12.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票, 其余人可享受 7.5 折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的 8 折优惠.”这两个车 队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠. 解:设该单位职工有 n 人(n∈N ),全票价为 x 元,坐甲车需花 y1 元,坐乙车需花 y2 元, 3 1 3 则 y1=x+ x·(n-1)= x+ xn, 4 4 4
*

e

e

y2= nx.
1 3 4 1 1 所以 y1-y2= x+ xn- nx= x- nx 4 4 5 4 20 1 ? n? = x?1- ?. 4 ? 5? 当 n=5 时,y1=y2; 当 n>5 时,y1<y2; 当 n<5 时,y1>y2. 因此当单位去的人数为 5 人时,两车队收费相同;多于 5 人时,甲车队更优惠;少于 5 人时,乙车队更优惠.

4 5

第二节

一元二次不等式及其解法

对应学生用书P87

基础盘查 一元二次不等式 (一)循纲忆知 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系; 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. (二)小题查验 1.判断正误
9

(1)不等式 ax +x-1>0 一定是一元二次不等式(
2

2

)
2

(2)一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)的解集就是二次函数 y=ax +bx+c(a>0)的 图象在 x 轴上方时点的横坐标 x 的集合(
2

)
2

(3)一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)的解集为 R 时,ax +bx+c>0 恒成立(
2 2

)

(4)若一元二次方程 ax +bx+c=0 的解是 x1,x2,且 x1<x2,则 ax +bx+c>0 的解集 为{x|x<x1或x>x2}( )

答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)×
?x -4x+3<0, ? 2.不等式组? 2 ? ?2x -7x+6>0
2

的解集是(

)

A.(2,3) 3? ? C.?-∞, ?∪(3,+∞) 2? ? 解析:选 B ∵x -4x+3<0,∴1<x<3.
2

? 3? B.?1, ?∪(2,3) ? 2?
D.(-∞,1)∪(2,+∞)

又∵2x -7x+6>0,∴(x-2)(2x-3)>0, 3 ∴x< 或 x>2, 2

2

? 3? ∴原不等式组的解集为?1, ?∪(2,3). ? 2?
3.(人教 A 版教材例题改编) 不等式-x +2x-3>0 的解集为________. 答案:? 4.已知集合 A={x|-5<x<1},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B=(-1,
2

n),则 m=________,n=________.
答案:-1 1

对应学生用书P87

考点一 一元二次不等式的解法(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 设一元二次不等式为 ax +bx+c>0(a≠0),其中 Δ =b -4ac,x1,x2 是方程 ax +bx+
2 2 2

c=0(a≠0)的两个根且 x1<x2.
(1)当 a>0 时,若 Δ >0,则不等式的解集为{x|x<x1,或 x>x2};

10

若 Δ =0,则不等式的解集为?x?x∈R,且x≠- 2a ? ? ? 若 Δ <0,则不等式的解集为 R.

? ?

?

b

? ? ?; ? ?

(2)当 a<0 时,若 Δ >0,则不等式的解集为{x|x1<x<x2}; 若 Δ =0,则不等式的解集为?; 若 Δ <0,则不等式的解集为?. [题组练透] 1.已知不等式 x -2x-3<0 的解集为 A,不等式 x +x-6<0 的解集为 B,不等式 x +
2 2 2

ax+b<0 的解集为 A∩B,则 a+b 等于(
A.-3 C.-1

) B. 1 D. 3

解析:选 A 由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},∴A∩B={x|-1<x< 2},由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则 a+b=-3,故选 A. 2.解下列不等式: (1)-3x -2x+8≥0; (2)0<x -x-2≤4; (3)x -4ax-5a >0(a≠0). 解:(1)原不等式可化为 3x +2x-8≤0, 即(3x-4)(x+2)≤0. 4 解得-2≤x≤ , 3
? ? ? 4 所以原不等式的解集为?x?-2≤x≤ 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?
2 2 2 2 2

(2)原不等式等价于
?x -x-2>0, ? ? 2 ?x -x-2≤4 ?
2

?x -x-2>0, ? ?? 2 ?x -x-6≤0 ?

2

? ??x-2??x+1?>0, ?? ??x-3??x+2?≤0 ?

??

? ?x>2或x<-1, ?-2≤x≤3. ?

借助于数轴,如图所示,

原不等式的解集为{x|-2≤x<-1或2<x≤3}. (3)由 x -4ax-5a >0 知(x-5a)(x+a)>0. 由于 a≠0 故分 a>0 与 a<0 讨论. 当 a<0 时,x<5a 或 x>-a;
2 2

11

当 a>0 时,x<-a 或 x>5a. 综上,a<0 时,解集为{x|x<5a或x>-a};a>0 时,解集为{x|x>5a或x<-a}. [类题通法] 1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)判:计算对应方程的判别式. (3)求:求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根. (4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0,小于 0,还是大于 0,然后将不等式转化为一 次不等式或二次项系数为正的形式. (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式 Δ 与 0 的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确 定解集形式. [提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时,不要忘记讨论其等于 0 的情况. 考点二 一元二次不等式恒成立问题(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] 一元二次不等式恒成立的条件 (1)不等式 ax +bx+c>0 对任意实数 x 恒成立??
2

? ?a=b=0, ?c>0, ? ?a=b=0, ? ?c<0, ?

? ?a>0, 或? ?Δ <0. ? ?a<0, ? 或? ?Δ <0. ?

(2)不等式 ax +bx+c<0 对任意实数 x 恒成立??

2

[多角探明] 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题 时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问 题,常根据二次函数图象与 x 轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围. 归纳起来常见的命题角度有: (1)形如 f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围; (2)形如 f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数范围; (3)形如 f(x)≥0(参数 m∈[a,b])确定 x 的范围. 角度一:形如 f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围 1.已知不等式 mx -2x-m+1<0,是否存在实数 m 对所有的实数 x,不等式恒成立?若 存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:不等式 mx -2x-m+1<0 恒成立,
12
2 2

即函数 f(x)=mx -2x-m+1 的图象全部在 x 轴下方. 1 当 m=0 时,1-2x<0,则 x> ,不满足题意; 2 当 m≠0 时,函数 f(x)=mx -2x-m+1 为二次函数, 需满足开口向下且方程 mx -2x-m+1=0 无解, 即?
?m<0, ? ?Δ =4-4m?1-m?<0, ?
2 2

2

不等式组的解集为空集,即 m 无解. 综上可知不存在这样的 m. 角度二:形如 f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数范围 2.设函数 f(x)=mx -mx-1(m≠0),若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的 取值范围. 解:要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立,
2

? 1?2 3 2 则 mx -mx+m-6<0,即 m?x- ? + m-6<0 在 x∈[1,3]上恒成立. ? 2? 4
有以下两种方法:

? 1?2 3 法一:令 g(x)=m?x- ? + m-6,x∈[1,3]. ? 2? 4
当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max=g(3)=7m-6<0. 6 6 所以 m< ,则 0<m< . 7 7 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以 g(x)max=g(1)=m-6<0. 所以 m<6.所以 m<0.
? ? ? 6 综上所述,m 的取值范围是?m?0<m< 或m<0 7 ? ? ? ? ? ?. ? ?

? 1?2 3 2 法二:因为 x -x+1=?x- ? + >0, ? 2? 4
又因为 m(x -x+1)-6<0, 所以 m< 6 . x -x+1
2 2

因为函数 y=

6 = x -x+1 ?
2

6 6 6 在[1,3]上的最小值为 ,所以只需 m< 即可. 1? 3 7 7 ?x-2?2+4 ? ?

13

? ? ? 6 因为 m≠0,所以 m 的取值范围是?m?m<0或0<m< 7 ? ? ?

? ? ?. ? ?

角度三:形如 f(x)≥0(参数 m∈[a,b])确定 x 的范围 3.对任意 m∈[-1,1],函数 f(x)=x +(m-4)x+4-2m 的值恒大于零,求 x 的取值范 围. 解:由 f(x)=x +(m-4)x+4-2m =(x-2)m+x -4x+4, 令 g(m)=(x-2)m+x -4x+4. 由题意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,
? ?g?-1?=?x-2?×?-1?+x -4x+4>0, ∴? 2 ?g?1?=?x-2?+x -4x+4>0, ?
2 2 2 2 2

解得 x<1 或 x>3. 故当 x<1 或 x>3 时,对任意的 m∈[-1,1],函数 f(x)的值恒大于零. [类题通法] 恒成立问题及二次不等式恒成立的条件 (1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁 当主元,求谁的范围,谁就是参数. (2)对于二次不等式恒成立问题, 恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全 部在 x 轴上方;恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方. 考点三 一元二次不等式的应用(重点保分型考点——师生共研) [典题例析] 甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1≤x≤10),每小时可获得 3? ? 利润是 100?5x+1- ?元.

?

x?

(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大, 问: 甲厂应该选取何种生产速度?并求最 大利润. 解:(1)根据题意, 3? ? 200?5x+1- ?≥3 000,

?

x?

3 整理得 5x-14- ≥0,

x

即 5x -14x-3≥0, 又 1≤x≤10,可解得 3≤x≤10. 即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元,x 的取值范围是[3,10].
14

2

(2)设利润为 y 元,则

y=

3? 900 ? ·100?5x+1- ?

x

?

x?

1 3? 4? =9×10 ?5+ - 2?

?

x x?

?1 1?2 61? 4? =9×10 ?-3? - ? + ?, ? ?x 6? 12?
故 x=6 时,ymax=457 500 元. 即甲厂以 6 千克/小时的生产速度生产 900 千克该产品获得的利润最大, 最大利润为 457 500 元. [类题通法] 求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系. (2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数 学模型. (3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果. [演练冲关] 某商品每件成本价为 80 元,售价为 100 元,每天售出 100 件.若售价降低 x 成(1 成= 8 10%),售出商品数量就增加 x 成(要求售价不能低于成本价). 5 (1)设该商店一天的营业额为 y, 试求 y 与 x 之间的函数关系式 y=f(x), 并写出定义域; (2)若要求该商品一天营业额至少为 10 260 元,求 x 的取值范围.

x? 8 ? ? ? 解:(1)由题意得 y=100?1- ?·100?1+ x? ? 10? ? 50 ?
=20(10-x)(50+8x) 因为售价不能低于成本价, 所以 100?1- ?-80≥0,解得 x≤2. ? 10? 所以 y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2]. (2)由题意得 20(10-x)(50+8x)≥10 260, 化简得 8x -30x+13≤0. 1 13 解得 ≤x≤ . 2 4
2

?

x?

?1 ? 所以 x 的取值范围是? ,2?. ?2 ?
15

对应A本课时跟踪检测?三十五?

一、选择题
? ?x?x+2?>0, 1.(2014·大纲卷)不等式组? ? ?|x|<1

的解集为(

)

A.{x|-2<x<-1} C.{x|0<x<1}

B.{x|-1<x<0} D.{x|x>1}

解析:选 C 解 x(x+2)>0,得 x<-2 或 x>0;解|x|<1,得-1<x<1.因为不等式组的解 集为两个不等式解集的交集,即解集为{x|0<x<1},故选 C. 2.不等式 4

x-2

≤x-2 的解集是(

) B.[0,2)∪[4,+∞) D.(-∞,2]∪(4,+∞)
2

A.(-∞,0]∪(2,4] C.[2,4)

解析:选 B ①当 x-2>0,即 x>2 时,不等式可化为(x-2) ≥4,∴x≥4;②当 x-2<0, 即 x<2 时,不等式可化为(x-2) ≤4,∴0≤x<2. 3.已知 f(x)=ax -x-c,不等式 f(x)>0 的解集为{x|-2<x<1},则函数 y=f(-x) 的图象为( )
2 2

1 c 解析:选 B 由根与系数的关系知 =-2+1,- =-2,得 a=-1,c=-2.f(-x)=

a

a

?1 9? 2 -x +x+2 的图象开口向下,顶点坐标为? , ?.故选 B. ?2 4?
4.如果关于 x 的不等式 5x -a≤0 的正整数解是 1,2,3,4,那么实数 a 的取值范围是 ( ) A.[80,125) C.(-∞,80) 解析:选 A 由 5x -a≤0,得-
2 2

B.(80,125) D.(125,+∞)

a

≤x≤ 5

a
5



16

而正整数解是 1,2,3,4, 则 4≤

a
5

<5,

∴80≤a<125. 故选 A. 5.某商场若将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售,每天可销售 100 件,现准备采 用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高 1 元,销售量就要减少 10 件.那么要 保证每天所赚的利润在 320 元以上,销售价每件应定为( A.12 元 C.12 元到 16 元之间 B.16 元 D.10 元到 14 元之间 )

解析:选 C 设销售价定为每件 x 元,利润为 y,则:

y=(x-8)[100-10(x-10)],
依题意有,(x-8)[100-10(x-10)]>320, 即 x -28x+192<0, 解得 12<x<16, 所以每件销售价应为 12 元到 16 元之间. 故选 C. 6.若不等式 x +ax-2>0 在区间[1,5]上有解,则 a 的取值范围是(
2 2

)

? 23 ? A.?- ,+∞? ? 5 ?
C.(1,+∞)
2

? 23 ? B.?- ,1? ? 5 ?
23? ? D.?-∞,- ? 5? ?

解析:选 A 由 Δ =a +8>0,知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负, 所以方程必有一正根、一负根. 23 于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是 f(5)>0,解得 a>- ,故 a 的取值范围 5

? 23 ? 为?- ,+∞?, ? 5 ?
二、填空题 7.不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集是________. 解析:不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集即 x(x-2)<0 的解集,解得 0<x<2. 答案:{x|0<x<2} 8.若不等式(1-a)x -4x+6>0 的解集是{x|-3<x<1},则 a 的值为________. 解析:∵(1-a)x -4x+6>0 的解集是{x|-3<x<1}, ∴1-a<0,即 a>1.
2 2

17

于是原不等式可化为(a-1)x +4x-6<0,a-1>0, 其解集为{x|-3<x<1}. 则方程(a-1)x +4x-6=0 的两根为-3 和 1.
2

2

? 4 ? -3+1=- , a-1 由? 6 , ?-3×1=-a- ? 1
a>1,
答案:3

解得 a=3.

9. 某种产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=3 000+20x-0.1x ,

2

x∈(0,240),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时的最低产量是________台.
解析:由题意知 3 000+20x-0.1x -25x≤0, 即 0.1x +5x-3 000≥0, ∴x +50x-30 000≥0, ∴(x-150)(x+200)≥0. 又 x∈(0,240), ∴150≤x<240, 即生产者不亏本时的最低产量为 150 台. 答案:150 10.(2013·重庆高考)设 0≤α ≤π ,不等式 8x -(8sin α )x+cos 2α ≥0 对 x∈R 恒 成立,则 α 的取值范围为________. 解析:根据题意可得(8sin α ) -4×8cos 2α ≤0,即 2sin α -cos 2α ≤0,2sin α 1 1 π 5π 2 -(1-2sin α )≤0,即- ≤sin α ≤ .因为 0≤α ≤π ,故 α ∈0, ∪ ,π . 2 2 6 6 π 5π 答案:0, ∪ ,π 6 6 三、解答题 11.已知函数 f(x)= ax +2ax+1的定义域为 R. (1)求 a 的取值范围; (2)若函数 f(x)的最小值为
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 ,解关于 x 的不等式 x -x-a -a<0. 2

解:(1)∵函数 f(x)= ax +2ax+1的定义域为 R, ∴ax +2ax+1≥0 恒成立, 当 a=0 时,1≥0 恒成立.
2

18

当 a≠0 时,则有? 解得 0<a≤1,

?a>0, ? ?Δ =?2a? -4a≤0, ?
2

综上可知,a 的取值范围是[0,1]. (2)∵f(x)= ax +2ax+1= a?x+1? +1-a, ∵a>0,∴当 x=-1 时,f(x)min= 1-a, 由题意得, 1-a=
2 2 2 2

2 1 ,∴a= , 2 2

∴不等式 x -x-a -a<0 可化为

x2-x- <0.解得- <x< ,

3 4

1 2

3 2

? 1 3? 所以不等式的解集为?- , ?. ? 2 2?
12.设二次函数 f(x)=ax +bx+c,函数 F(x)=f(x)-x 的两个零点为 m,n(m<n). (1)若 m=-1,n=2,求不等式 F(x)>0 的解集; 1 (2)若 a>0,且 0<x<m<n< ,比较 f(x)与 m 的大小.
2

a

解:(1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n), 当 m=-1,n=2 时,不等式 F(x)>0, 即 a(x+1)(x-2)>0. 那么当 a>0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|x<-1 或 x>2}; 当 a<0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|-1<x<2}. (2)由函数 F(x)=f(x)-x 的两个零点为 m,n,得 f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x -m)(ax-an+1), 1 ∵a>0,且 0<x<m<n< ,∴x-m<0,1-an+ax>0.

a

∴f(x)-m<0,即 f(x)<m.

第三节

二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

对应学生用书P89

19

基础盘查一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 (一)循纲忆知 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组; 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. (二)小题查验 1.判断正误 (1)二元一次不等式的解是由 x 和 y 两部分构成的有序实数对(x,y)( ) )

(2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集( (3)原点能判断二元一次不等式 Ax+By+C>0 所表示的平面区域( ) )

(4)不等式 Ax+By+C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax+By+C=0 的上方(

(5)点(x1,y1),(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0 同侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2 +C)>0,异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0( (6)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式 xy<0 表示( 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√ 2.(人教 A 版教材习题改编) 不等式组?
? ?x-3y+6≥0 ?x-y+2<0 ?

) )

表示的平面区域是(

)

答案:B 基础盘查二 线性规划中的基本概念 (一)循纲忆知 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题, 并能加以解决(线性约束条件、 线 性目标函数等概念). (二)小题查验 1.判断正误 (1)最优解指的是使目标函数取得最大值的变量 x 或 y 的值( (2)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解( (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上( ) ) )
20

(4)目标函数 z=ax+by(b≠0)中,z 的几何意义是直线 ax+by-z=0 在 y 轴上的截距 ( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(人教 A 版教材练习改编)

y≤x, ? ? 设 x,y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1.
答案:3

则目标函数 z=2x+y 的最大值为________.

对应学生用书P90

考点一 二元一次不等式?组?表示平面区域(基础送分型考点——自主练透)

[必备知识] 已知直线 l:Ax+By+C=0. (1)直线与平面内的点 直线 l 把直角坐标平面内的所有点分成三类:在直线上的点;在直线上方区域内的点; 在直线下方区域内的点. (2)不等式表示的区域: 以不等式的解(x,y)为坐标的所有点构成的区域,即为不等式表示的区域. [题组练透]

x≥0, ? ? 1.不等式组?x+3y≥4, ? ?3x+y≤4
A. C. 3 2 4 3

所表示的平面区域的面积等于(

)

B. D.

2 3 3 4

解析:选 C 平面区域如图所示. 解?
?x+3y=4, ? ? ?3x+y=4

得 A(1,1),

? 4? 易得 B(0,4),C?0, ?, ? 3?

21

4 8 |BC|=4- = . 3 3 1 8 4 ∴S△ABC= × ×1= . 2 3 3

x-y≥0, ? ? 2.若满足条件?x+y-2≤0, ? ?y≥a
是整数的点,则整数 a 的值为( A.-3 C.-1 )

的整点(x,y)恰有 9 个,其中整点是指横、纵坐标都

B.-2 D. 0

解析: 选 C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分, 当a =0 时,只有 4 个整点(1,1),(0,0),(1,0),(2,0);当 a=-1 时, 正好增加(-1,-1),(0,-1),(1,-1),(2,-1),(3,-1) 共 5 个整点,故选 C. 3.如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________.

解析:两直线方程分别为 x-2y+2=0 与 x+y-1=0. 由(0,0)点在直线 x-2y+2=0 右下方可知 x-2y+2≥0, 又(0,0)点在直线 x+y-1=0 左下方可知 x+y-1≥0, 即?
?x+y-1≥0, ? ? ?x-2y+2≥0

为所表示的可行域.

答案:?

?x+y-1≥0, ? ?x-2y+2≥0 ?

[类题通法] 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 (1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组.若满足不等 式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应与特殊 点异侧的平面区域. (2)当不等式中带等号时, 边界为实线, 不带等号时, 边界应画为虚线, 特殊点常取原点.

考点二 求目标函数的最值(常考常新型考点——多角探明) [必备知识]
22

求目标函数的最值要明确几个概念 (1)约束条件:由变量 x,y 组成的不等式(组); (2)线性约束条件:由关于 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组); (3)目标函数:关于 x,y 的函数解析式,如 z=2x+3y 等; (4)可行解:满足线性约束条件的解(x,y); (5)最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. [多角探明] 线性规划问题是高考的重点,而线性规划问题具有代数和几何的双重形式,多与函数、 平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透,自然地融合在一起,使数学问题 的解答变得更加新颖别致. 归纳起来常见的命题角度有: (1)求线性目标函数的最值; (2)求非线性目标的最值; (3)求线性规划中的参数. 角度一:求线性目标函数的最值

x+y-7≤0, ? ? 1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)设 x,y 满足约束条件?x-3y+1≤0, ? ?3x-y-5≥0,
最大值为( A.10 C.3 ) B. 8 D. 2

则 z=2x-y 的

解析:选 B 作出可行域如图中阴影部分所示,由 z=2x-y 得 y =2x-z,作出直线 y=2x,平移使之经过可行域,观察可知,当直线 经过点 A(5,2)时,对应的 z 值最大.故 zmax=2×5-2=8.

y≤1, ? ? 2 .(2014·北京高考 ) 若 x , y 满足 ?x-y-1≤0, ? ?x+y-1≥0,
________.

则 z = 3 x + y 的最小值为

解析:根据题意画出可行域如图,由于 z= 3x+y 对应的直线斜率为- 3,且 z 与 x 正相关,结合图形可知,当直线过点 A(0,1)时,z 取得最小值 1.

23

答案:1 角度二:求非线性目标的最值 2x-y-2≥0, ? ? 3.(2013·山东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组?x+2y-1≥0, ? ?3x+y-8≤0 表示的区域上一动点,则直线 OM 斜率的最小值为( A.2 1 C.- 3 B. 1 1 D.- 2 )



解析:选 C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示, 显然当点 M 与点 A 重合时直线 OM 的斜率最小,由直线方程 x+2y- 1 1=0 和 3x+y-8=0,解得 A(3,-1),故 OM 斜率的最小值为- . 3 4 . (2015· 郑 州 质 检 ) 设 实 数 x , y 满 足 不 等 式 组

x+y≤2 ? ? ?y-x≤2, ? ?y≥1,
A.[1,2] C.[ 2,2]

则 x +y 的取值范围是(

2

2

)

B.[1,4] D.[2,4]

解析: 选 B 如图所示, 不等式组表示的平面区域是△ABC 的内 部(含边界),x +y 表示的是此区域内的点(x,y)到原点距离的平 方.从图中可知最短距离为原点到直线 BC 的距离,其值为 1;最远 的距离为 AO,其值为 2,故 x +y 的取值范围是[1,4].
2 2 2 2

角度三:求线性规划中的参数

x+y-2≥0, ? ? 5.(2014·北京高考)若 x,y 满足?kx-y+2≥0, ? ?y≥0,

且 z=y-x 的最小值为-4,则

24

k 的值为(
A.2 C. 1 2

) B.-2 1 D.- 2

x+y-2≥0, ? ? 解析:选 D 作出线性约束条件?kx-y+2≥0, ? ?y≥0

的可行域.当 k>0 时,如图①所

示, 此时可行域为 y 轴上方、 直线 x+y-2=0 的右上方、 直线 kx-y+2=0 的右下方的区域, 显然此时 z=y-x 无最小值. 当 k<-1 时,z=y-x 取得最小值 2;当 k=-1 时,z=y-x 取得最小值-2,均不符 合题意.

? 2 ? 当-1<k<0 时,如图②所示,此时可行域为点 A(2,0),B?- ,0?,C(0,2)所围成的三 ? k ?
1 ? 2 ? ? 2? 角形区域,当直线 z=y-x 经过点 B?- ,0?时,有最小值,即-?- ?=-4? k=- .故选 2 ? k ? ? k? D.

x+y-2≤0, ? ? 6.(2014·安徽高考)x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0, ? ?2x-y+2≥0.
的最优解不唯一,则实数 a 的值为( 1 A. 或-1 2 C.2 或 1 ) 1 B. 2 或 2 D.2 或-1

若 z=y-ax 取得最大值

解析:选 D 法一:由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,可知 A(0,2),B(2,0),

C(-2,-2),则 zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,
只要 zA=zB>zC 或 zA=zC>zB 或 zB=zC>zA,解得 a=-1 或 a=2.

25

法二:目标函数 z=y-ax 可化为 y=ax+z,令 l0:y=ax,平移 l0,则当 l0∥AB 或 l0 ∥AC 时符合题意,故 a=-1 或 a=2. [类题通法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求.其关键是准确作出可行域,理解目 标函数的意义. 2.常见的目标函数有: (1)截距型:形如 z=ax+by. 求这类目标函数的最值常将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y=- x+ ,通过求 直线的截距 的最值间接求出 z 的最值. (2)距离型:形如 z=(x-a) +(y-b) . (3)斜率型:形如 z=
2 2

a b

z b

z b

y-b . x-a

[提醒] 注意转化的等价性及几何意义. 考点三 线性规划的实际应用(重点保分型考点——师生共研) [典题例析] (2013·湖北高考)某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种 车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社要求租 车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为( A.31 200 元 C.36 800 元 B.36 000 元 D.38 400 元 )

解析:选 C 设租用 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,目标函数 为 z=1 600x+2 400y,则约束条件为 36x+60y≥900, ? ?y-x≤7, ?y+x≤21, ? ?x,y∈N,

26

作出可行域,如图中阴影部分所示,可知目标函数过点 (5,12)时,有最小值 zmin =36 800(元). [类题通法] 1.解线性规划应用题的步骤 (1)转化——设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为线性规划问题; (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题; (3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案. 2.求解线性规划应用题的三个注意点 (1)明确问题中的所有约束条件,并根据题意判断约束条件是否能够取到等号. (2)注意结合实际问题的实际意义,判断所设未知数 x,y 的取值范围,特别注意分析 x,

y 是否是整数、是否是非负数等.
(3)正确地写出目标函数,一般地,目标函数是等式的形式. [演练冲关]

A,B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品.已知 A
产品需要在甲机器上加工 3 小时,在乙机器上加工 1 小时;B 产品需要在甲机器上加工 1 小 时,在乙机器上加工 3 小时.在一个工作日内,甲机器至多只能使用 11 小时,乙机器至多只 能使用 9 小时.A 产品每件利润 300 元,B 产品每件利润 400 元,则这两台机器在一个工作日 内创造的最大利润是________元. 3x+y≤11, ? ? 解析:设生产 A 产品 x 件,B 产品 y 件,则 x,y 满足约束条件?x+3y≤9, ? ?x∈N,y∈N, 利润为 z=300x+400y. 画出可行域,如图中阴影部分(包含边界)内的整点,显 然 z=300x+400y 在点 A 处取得最大值,
?3x+y=11, ? 由方程组? ?x+3y=9, ?

生产

解得?

? ?x=3, ?y=2, ?

则 zmax =300×3+400×2=1 700. 故最大利润是 1 700 元. 答案:1 700

对应B本课时跟踪检测?三十六?

27

一、选择题 1. 已知点(-3, -1)和点(4, -6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧, 则 a 的取值范围为( A.(-24,7) C.(-∞,-7)∪(24,+∞) B.(-7,24) D.(-∞,-24)∪(7,+∞) )

解析:选 B 根据题意知(-9+2-a)·(12+12-a)<0. 即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24.

x≥0, ? ? 2.(2015·临沂检测)若 x,y 满足约束条件?x+2y≥3, ? ?2x+y≤3,
( ) A.-3 C. 3 2 B. 0 D. 3

则 z=x-y 的最小值是

x≥0, ? ? 解析:选 A 作出不等式组?x+2y≥3, ? ?2x+y≤3

表示的可行域(如图

所示的△ABC 的边界及内部).平移直线 z=x-y,易知当直线 z=x-y 经过点 C(0,3)时,目标函数 z=x-y 取得最小值,即 zmin =-3. 3.(2015·泉州质检)已知 O 为坐标原点,A(1,2),点 P 的坐标(x,y)满足约束条件
? ?x+|y|≤1, ? ?x≥0, ?

则 z= OA · OP 的最大值为(

??? ?

??? ?

)

A.-2 C.1 解析:选 D 如图作可行域,

B.-1 D. 2

z= OA · OP =x+2y,显然在 B(0,1)处 zmax=2.故选 D. x≥0, ? ? 4.设动点 P(x,y)在区域 Ω :?y≥x, ? ?x+y≤4

??? ?

??? ?

上,过点 P 任作直线 l,设直线 l 与区域

Ω 的公共部分为线段 AB,则以 AB 为直径的圆的面积的最大值为( A.π B.2π

)

28

C.3π

D.4π

解析:选 D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,

?4?2 则根据图形可知,以 AB 为直径的圆的面积的最大值 S=π ×? ? =4π , ?2?
故选 D.

y≥-1, ? ? 5.(2015·东北三校联考)变量 x,y 满足约束条件?x-y≥2, ? ?3x+y≤14,
得最大值的最优解有无穷多个,则实数 a 的取值集合是( A.{-3,0} C.{0,1} B.{3,-1} D.{-3,0,1} )

若使 z=ax+y 取

解析:选 B 作出不等式组所表示的平面区域,如图所示. 易知直线 z=ax+y 与 x-y=2 或 3x+y=14 平行时取得最大值 的最优解有无穷多个,即-a=1 或-a=-3,∴a=-1 或 a=3.故 选 B. 6.(2014·新课标全国卷Ⅰ)设 x,y 满足约束条件? 值为 7,则 a=( A.-5 C.-5 或 3 ) B. 3 D.5 或-3
? ?x+y≥a, ?x-y≤-1, ?

且 z=x+ay 的最小

解析: 选B

? ?x+y=a, 法一: 联立方程? ?x-y=-1, ?

a-1 ? ?x= 2 , 解得? a+1 ? ?y= 2 ,

代入 x+ay=7 中,

解得 a=3 或-5,当 a=-5 时,z=x+ay 的最大值是 7;当 a=3 时,z=x+ay 的最小值是 7,故选 B. 法二:先画出可行域,然后根据图形结合选项求解. 当 a=-5 时,作出不等式组表示的可行域,如图(1)(阴影部分).

图(1)

29

由?

?x-y=-1, ? ?x+y=-5 ?

得交点 A(-3,-2),

则目标函数 z=x-5y 过 A 点时取得最大值.

zmax=-3-5×(-2)=7,不满足题意,排除 A,C 选项.
当 a=3 时,作出不等式组表示的可行域,如图(2)(阴影部分).

图(2) 由?
?x-y=-1, ? ? ?x+y=3

得交点 B(1,2),则目标函数 z=x+3y 过 B 点时取得最小值.zmin=1

+3×2=7,满足题意. 二、填空题

x+y-2≥0, ? ? 7 . (2014· 安 徽 高 考 ) 不 等 式 组 ?x+2y-4≤0, ? ?x+3y-2≥0
________.

表示的平面区域的面积为

1 解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,可知 S△ABC= ×2×(2+2)= 2 4.

答案:4

x≥1, ? ? 8.(2015·重庆一诊)设变量 x,y 满足约束条件?x+y-4≤0, ? ?x-3y+4≤0,
则目标函数 z=3x-y 的最大值为________.

解析:根据约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示,∵z =3x-y, ∴y=3x-z, 当该直线经过点 A(2,2)时, z 取得最大值, 即 zmax =3×2-2=4.
30

答案:4

x≥0, ? ? 9.(2013·北京高考)设 D 为不等式组?2x-y≤0, ? ?x+y-3≤0
点与点(1,0)之间的距离的最小值为________.

所表示的平面区域,区域 D 上的

解析: 作出可行域, 如图中阴影部分所示, 则根据图形可知, 点 B(1,0) |2×1-0| 2 5 2 5 到直线 2x-y=0 的距离最小,d= = ,故最小距离为 . 2 5 5 2 +1 2 5 答案: 5

x≥0, ? ?y≥0, 10.(2015·通化一模)设 x,y 满足约束条件? x y ? ?3a+4a≤1,
3 小值为 ,则 a 的值为________. 2 解析:∵ 而

若 z=

x+2y+3 的最 x+1

x+2y+3 2?y+1? =1+ , x+1 x+1

y+1 表示过点(x,y)与(-1,-1)连线的斜率, x+1

易知 a>0, ∴可作出可行域, 由题意知 =

y+1 1 ?y+1? 的最小值是 , 即? ?min x+1 4 ?x+1?

0-?-1? 1 1 = = ? a=1. 3a-?-1? 3a+1 4 答案:1 三、解答题

x+y≥1, ? ? 11.若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?2x-y≤2.
1 1 (1)求目标函数 z= x-y+ 的最值; 2 2 (2)若目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求 a 的取值范围.

31

解:(1)作出可行域如图,可求得 A(3,4),B(0,1),C(1,0).平 1 1 移初始直线 x-y+ =0,过 A(3,4)取最小值-2,过 C(1,0)取最大 2 2 值 1. 所以 z 的最大值为 1,最小值为-2. (2)直线 ax+2y=z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1 <- <2,解得-4<a<2. 2 故所求 a 的取值范围为(-4,2). 12.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个,生产一个卫 兵需 5 分钟,生产一个骑兵需 7 分钟,生产一个伞兵需 4 分钟,已知总生产时间不超过 10 小时.若生产一个卫兵可获利润 5 元,生产一个骑兵可获利润 6 元,生产一个伞兵可获利润 3 元. (1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 w(元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少? 解:(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100-x-y, 所以利润 w=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300. 5x+7y+4?100-x-y?≤600, ? ? (2)约束条件为?100-x-y≥0, ? ?x≥0,y≥0,x,y∈N.

a

x+3y≤200, ? ? 整理得?x+y≤100, ? ?x≥0,y≥0,x,y∈N.
目标函数为 w=2x+3y+300. 作出可行域.如图所示:

初始直线 l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点 A 时,w 有最大值.由?
? ?x=50, ?y=50. ?

?x+3y=200, ? ?x+y=100, ?

得?

32

最优解为 A(50,50),所以 wmax=550 元. 所以每天生产卫兵 50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最大,最大利润为 550 元.

第四节

基本不等式

对应学生用书P92

基础盘查一 基本不等式、算术平均数与几何平均数的概念 (一)循纲忆知 1.了解基本不等式的证明过程; 2.理解基本不等式及变形应用. (二)小题查验 判断正误 (1)当 a≥0,b≥0 时,
2 2

a+b
2

≥ ab(

) )

(2)两个不等式 a +b ≥2ab 与 (3)(a+b) ≥4ab(a,b∈R)(
2

a+b
2 )

≥ ab成立的条件是相同的(

(4)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项( 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 基础盘查二 利用基本不等式求最值问题 (一)循纲忆知 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. (二)小题查验 1.判断正误 1 (1)函数 y=x+ 的最小值是 2(

)

x

) )

(2)x>0 且 y>0 是 + ≥2 的充分不必要条件( 1 2 (3)若 a≠0,则 a + 2的最小值为 2( )

x y y x a

答案:(1)× (2)√ (3)√ 2.(人教 A 版教材习题改编)设 x,y∈R+,且 x+y=18,则 xy 的最大值为________.
33

答案:81 3.若 x,y∈(0,+∞),且 x+4y=1,则 xy 的最大值是________. 解析:∵x,y∈(0,+∞),则 1=x+4y≥4 xy,即 xy≤ 答案: 1 16 1 . 16

对应学生用书P92

考点一 利用基本不等式证明不等式(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1.基本不等式 ab≤

a+b
2

(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a +b ≥2ab (a,b∈R). (2) + ≥2(a,b 同号). (3)ab≤? (4)
2 2

b a a b

?a+b?2(a,b∈R). ? ? 2 ?
≥?

a2+b2 ?a+b?2
2

? (a,b∈R). ? 2 ?
[典题例析]

设 a,b,c 都是正数,求证: + 证明:∵a,b,c 都是正数, ∴ ∴

bc ac ab + ≥a+b+c. a b c

bc ca ab , , 都是正数. a b c bc ca + ≥2c,当且仅当 a=b 时等号成立, a b

ca ab + ≥2a,当且仅当 b=c 时等号成立, b c ab bc + ≥2b,当且仅当 a=c 时等号成立. c a
三式相加,得 2?

?bc+ca+ab?≥2(a+b+c), ? ?a b c?

34



bc ca ab + + ≥a+b+c,当且仅当 a=b=c 时等号成立. a b c
[类题通法]

利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本 不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项, 并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等. [演练冲关] 1 1 设 a,b 均为正实数,求证: 2+ 2+ab≥2 2.

a

b

证明:由于 a,b 均为正实数, 1 1 所以 2+ 2≥2 1

a

b

a2 b2 ab

1 2 · = ,

1 1 当且仅当 2= 2,即 a=b 时等号成立,

a

b

2 又因为 +ab≥2

2

ab

ab

·ab=2 2,

2 当且仅当 =ab 时等号成立,

ab

1 1 2 所以 2+ 2+ab≥ +ab≥2 2,

a

b

ab

1 1 ? ?a =b , 当且仅当? 2 ? ?ab=ab,
2 2

4 即 a=b= 2时取等号.

考点二 利用基本不等式求最值(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 已知 x>0,y>0,则: (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p.(简记:积定和 最小) (2)如果和 x+y 是定值 p, 那么当且仅当 x=y 时, xy 有最大值是 .(简记: 和定积最大) 4 [一题多变] [典型母题]

p2

35

1 1 已知 a>0,b>0,a+b=1,则 + 的最小值为________.

a b

[解析] ∵a>0,b>0,a+b=1, 1 1 a+b a+b b a ∴ + = + =2+ +

a b

a

b

a b

≥2+2

b a · =4, a b

1 1 1 即 + 的最小值为 4,当且仅当 a=b= 时等号成立. a b 2 [答案] 4

? 1?? 1? [题点发散 1] 本例的条件不变,则?1+ ??1+ ?的最小值为________. ?
a?? b?

? 1?? 1? ? a+b??1+a+b?=?2+b?·?2+a?=5+2?b+a?≥5+4=9.当 解析:?1+ ??1+ ?=?1+ ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
a?? b? ? a ?? b ? ? a? ? b?

?a b?

1 且仅当 a=b= 时,取等号. 2 答案:9 1 1 [题点发散 2] 本例的条件和结论互换即:已知 a>0,b>0, + =4,则 a+b 的最小

a b

值为________. 1 1 1 1 解析:由 + =4,得 + =1. a b 4a 4b 1 b a 1 ?1 1? ∴ a+ b=? + ?(a + b)= + + ≥ + 2 2 4a 4b 2 ?4a 4b? 号. 答案:1 2 1 [题点发散 3] 若本例条件变为: 已知 a>0, b>0, a+2b=3, 则 + 的最小值为________.

b
4a

a 1 + = 1.当且仅当 a =b= 时取等 4b 2

a b

1 2 解析:由 a+2b=3 得 a+ b=1, 3 3 2 1 ?1 2 ??2 1? 4 a 4b ∴ + =? a+ b?? + ?= + + a b ?3 3 ??a b? 3 3b 3a 4 ≥ +2 3

a 4b 8 · = . 3b 3a 3

3 当且仅当 a=2b= 时,取等号. 2 8 答案: 3

36

1 1 1 [题点发散 4] 本例的条件变为:已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1,则 + + 的

a b c

最小值为________. 解析:∵a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1, 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c b c a c a b ∴ + + = + + =3+ + + + + +

a b c

a

b

c

a a b b c c

?b a? ?c a? ?c b? =3+? + ?+? + ?+? + ?≥3+2+2+2=9. ?a b? ?a c? ?b c?
1 当且仅当 a=b=c= 时,取等号. 3 答案:9 [题点发散 5] 若本例变为:已知各项为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在 1 4 两项 am,an,使得 am·an=2 2a1,则 + 的最小值为________.

m n

解析:设公比为 q(q>0),由 a7=a6+2a5? a5q =a5q+2a5? q -q-2=0(q>0)? q=2.
m-1 n-1 am·an=2 2a1? a12m-1·a12n-1=8a2 ·2 =8? m+n-2=3? m+n=5, 则 + = 1? 2 m n 5

2

2

1

4 1

?1+4?(m+n)=1?5+?n+4m??≥1(5+2 4)=9, ?m n? ? ? ?? 5? ?m n ?? 5 5 ? ?
10 当且仅当 n=2m= 时等号成立. 3 9 答案: 5 [类题通法] 利用基本不等式求最值的方法及注意点 (1)知和求积的最值:求解此类问题的关键:明确“和为定值,积有最大值”.但应注意 以下两点:①具备条件——正数;②验证等号成立. (2)知积求和的最值:明确“积为定值,和有最小值”,直接应用基本不等式求解,但要 注意利用基本不等式求最值的条件. (3)构造不等式求最值: 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时, 通常采用“变量替 换”或“常数 1”的替换,构造不等式求解. (4)利用基本不等式求最值时应注意:①非零的各数(或式)均为正;②和或积为定值;③ 等号能否成立,即“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可. 考点三 基本不等式的实际应用(重点保分型考点——师生共研)

[典题例析]

37

某厂家拟在 2014 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m 万元(m≥0)满足 x=3-

k

m+1

(k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品

的年销售量只能是 1 万件. 已知 2014 年生产该产品的固定投入为 8 万元. 每生产一万件该产 品需要再投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品 成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将 2014 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (2)该厂家 2014 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 解:(1)由题意知,当 m=0 时,x=1(万件), ∴1=3-k? k=2,∴x=3- 2

m+1 x



8+16x 每件产品的销售价格为 1.5× (元), ∴2014 年的利润 y=1.5x× =-? 8+16x -8-16x-m

x

? 16 +?m+1??+29(m≥0). ? ?m+1 ?
16

(2)∵m≥0 时,

m+1

+(m+1)≥2 16=8,

∴y≤-8+29=21, 当且仅当 16

m+1

=m+1? m=3(万元)时,ymax=21(万元).

故该厂家 2014 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大为 21 万元. [类题通法] 利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)此类型的题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型, 转化为数学问题求解. (2)当运用基本不等式求最值时, 若等号成立的自变量不在定义域内时, 就不能使用基本 不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解. [演练冲关] 某化工企业 2014 年年底投入 100 万元, 购入一套污水处理设备. 该设备每年的运转费用 是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化, 以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元.设该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 为 y(单位:万元). (1)用 x 表示 y; (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时, 企业需重新更换新的污水处理设备. 则该企
38

业几年后需要重新更换新的污水处理设备. 100+0.5x+?2+4+6+?+2x? 解:(1)由题意得,y= ,

x

100 * 即 y=x+ +1.5(x∈N ).

x

(2)由基本不等式得:

y=x+

100 +1.5≥2

x



100 +1.5=21.5,

x

100 当且仅当 x= ,即 x=10 时取等号.

x

故该企业 10 年后需要重新更换新的污水处理设备.

对应A本课时跟踪检测?三十七?

一、选择题 1 1.已知 f(x)=x+ -2(x<0),则 f(x)有 (

x

)

A.最大值为 0 C.最大值为-4

B.最小值为 0 D.最小值为-4

1 ? ? 解析:选 C ∵x<0,∴f(x)=- ??-x?+ -2≤-2-2=-4,当且仅当- ?-x??

?

?

x=

1 ,即 x=-1 时取等号. -x 2.若 a,b∈R 且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( A.a+b≥2 ab 1 1 2 B. + > )

a b
2

ab

C. + ≥2 解析:选 C ∵ab>0,∴ >0, >0.

b a a b

D.a +b >2ab

2

b a

a b

由基本不等式得 + ≥2,当且仅当 = ,即 a=b 时等号成立,故选 C.

b a a b

b a a b

?1 a? 3. 已知不等式(x+y)? + ?≥9 对任意正实数 x, y 恒成立, 则正实数 a 的最小值是( x y ? ?
A.2 C.6 B. 4 D. 8

)

39

y ax ?1 a? 解析:选 B (x+y)? + ?=1+a+ + ≥1+a+2 a,∴当 1+a+2 a≥9 时不等式

?x y?

x

y

恒成立,故 a+1≥3,a≥4. 4.若 a,b 均为大于 1 的正数,且 ab=100,则 lg a·lg b 的最大值是( A.0 C.2 B. 1 D. 5 2 )

解析:选 B ∵a>1,b>1,∴lg a>0,lg b>0. ?lg a+lg b? ?lg ab? lg a·lg b≤ = =1. 4 4 当且仅当 a=b=10 时取等号. 5.设 OA =(1,-2), OB =(a,-1), OC =(-b,0)(a>0,b>0,O 为坐标原点), 2 1 若 A,B,C 三点共线,则 + 的最小值是(
2 2

??? ?

??? ?

??? ?
)

a b

A.4 C.8

B.

9 2

D. 9

? ??? ? ??? ? ??? 解析:选 D ∵ AB = OB - OA =(a-1,1), ??? ? ??? ? ??? ? AC = OC - OA =(-b-1,2),
若 A,B,C 三点共线, 则有 AB ∥ AC , ∴(a-1)×2-1×(-b-1)=0, ∴2a+b=1, 又 a>0,b>0, 2 1 ?2 1? ∴ + =? + ?·(2a+b)

??? ?

??? ?

a b ?a b? a b

2b 2a =5+ + ≥5+2 2b 2a ? ? = , 当且仅当? a b ? ?2a+b=1, 6.函数 y= A.2 3+2 C.2 3

2b 2a × =9,

a

b

1 即 a=b= 时等号成立.故选 D. 3

x2+2 (x>1)的最小值是( x-1

) B.2 3-2 D. 2

40

解析:选 A ∵x>1,∴x-1>0. ∴y= =

x2+2 x2-2x+2x+2 x2-2x+1+2?x-1?+3 = = x-1 x-1 x-1
2

?x-1? +2?x-1?+3 3 =x-1+ +2 x-1 x-1 ?x-1??

≥2

? 3 ?+2=2 3+2. ? ?x-1?
3 ,即 x=1+ 3时,取等号.

当且仅当 x-1= 二、填空题

x-1

7.已知 a,b∈R,且 ab=50,则|a+2b|的最小值是________. 解析:依题意得 a,b 同号,于是有|a+2b|=|a|+|2b|≥2 |a|·|2b|=2 2|ab|= 2 100=20,当且仅当|a|=|2b|=10 时取等号,因此|a+2b|的最小值是 20. 答案:20 8.当 x>1 时,不等式 x+ 1 ≥a 恒成立,则实数 a 的最大值为________. x-1 1

解析:因为 x>1,所以 x-1>0.又 x+ 时等号成立,所以 a 的最大值为 3. 答案:3

x-1

=x-1+

1

x-1

+1≥2+1=3,当且仅当 x=2

9.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货 物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比,如果在距车站 10 公里处建仓库,这两项费用 y1 和

y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________公里
处. 20 20 解析:设 x 为仓库与车站距离,由已知 y1= ,y2=0.8x.费用之和 y=y1+y2=0.8x+

x

x

≥2

20 20 0.8x· =8,当且仅当 0.8x= ,即 x=5 时“=”成立.

x

x

答案:5 10.?创新题?规定记号“?”表示一种运算,即 a?b= ab+a+b(a,b 为正实数).若 1?k=3,则 k 的值为________,此时函数 f(x)=

k ?x 的最小值为________. x

解析:1?k= k+1+k=3,即 k+ k-2=0, ∴ k=1 或 k=-2(舍),∴k=1.

f(x)=

1?x x+x+1 1 = =1+ x+ ≥1+2=3,

x

x

x

41

当且仅当 x= 答案:1 3

1

x

,即 x=1 时等号成立.

三、解答题 11.已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0,求 (1)xy 的最小值; (2)x+y 的最小值. 解:(1)由 2x+8y-xy=0, 8 2 得 + =1,

x y

又 x>0,y>0, 8 2 则 1= + ≥2

x y

8 2 8 · = ,

x y

xy

得 xy≥64, 当且仅当 x=16,y=4 时,等号成立. 所以 xy 的最小值为 64. 8 2 (2)由 2x+8y-xy=0,得 + =1,

x y

2x 8y ?8 2? 则 x+y=? + ?·(x+y)=10+ +

?x y?
y

y

x

≥10+2

2x 8y · =18.

x

当且仅当 x=12 且 y=6 时等号成立, ∴x+y 的最小值为 18. 12.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化 为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理 1 2 成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y= x -200x+80 000,且每 2 处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴 多少元才能使该单位不亏损?

y 1 80 000 解 : (1) 由 题 意 可 知 , 二 氧 化 碳 每 吨 的 平 均 处 理 成 本 为 = x + - 200≥2 x 2 x
1 80 000 x· -200=200, 2 x

42

1 80 000 当且仅当 x= ,即 x=400 时等号成立, 2 x 故该单位月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 200 元. (2)不获利.设该单位每月获利为 S 元,

?1 2 ? 则 S=100x-y=100x-? x -200x+80 000? ?2 ?
1 2 1 2 =- x +300x-80 000=- (x-300) -35 000, 2 2 因为 x∈[400,600],所以 S∈[-80 000,-40 000]. 故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴 40 000 元才能不亏损.

见课时跟踪检测A本

命题点一 不等关系与一元二次不等式 命题指数:☆☆☆☆ 难度:中、低 题型:选择题、填空题

1.(2014·天津高考)设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选 C
? ?x ,x≥0, ? 2 ?-x ,x<0, ?
2

)

构造函数 f(x) =x|x| ,则 f(x)在定义域 R 上为奇函数.因为 f(x) = 所以函数 f(x)在 R 上单调递增,所以 a>b?f(a)>f(b)?a|a|>b|b|.选 C. )

2.(2014·四川高考)若 a>b>0,c<d<0,则一定有( A. > C. >

a b d c a b c d d c

B. < D. <

a b d c a b c d c d c

1 1 1 1 a b 解析:选 B ∵c<d<0,∴ < <0,∴- >- >0,而 a>b>0,∴- >- >0,∴

d

a b < ,故选 B. d c

43

? ?e ,x<1, 3.(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数 f(x)=? 1 ? ?x 3 ,x≥1,
的取值范围是________.

x-1

则使得 f(x)≤2 成立的 x

1

解析: 选 D 当 x<1 时, 由e

x-1

≤2 得 x≤1+ln 2, ∴x<1; 当 x≥1 时, 由 x 3 ≤2 得 x≤8,

∴1≤x≤8.综上,符合题意的 x 的取值范围是 x≤8. 答案:(-∞,8] 4. (2014·江苏高考)已知函数 f(x)=x +mx-1, 若对于任意 x∈[m, m+1], 都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取值范围是________.
? ?f?m?=2m -1<0, 解析:由题可得 f(x)<0 对于 x∈[m,m+1]恒成立,即? 2 ?f?m+1?=2m +3m<0, ?
2 2

解得



2 <m<0. 2 答案:?-

? ?

2 ? ,0? 2 ? 命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题

命题点二 简单的线性规划问题 难度:中、低

1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)不等式组?

? ?x+y≥1, ?x-2y≤4 ?

的解集记为 D,有下面四个命题:

p1:? (x,y)∈D,x+2y≥-2; p2:? (x,y)∈D,x+2y≥2; p3:? (x,y)∈D,x+2y≤3; p4:? (x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中真命题是( A.p2,p3 C.p1,p2 ) B.p1,p4 D.p1,p3

解析:选 C 画出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数 z=x+2y 经过可 行域内的点 A(2,-1)时,取得最小值 0,故 x+2y≥0,因此 p1,p2 是真命题,选 C.

44

y≤x, ? ? 2.(2014·广东高考)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1,
和最小值分别为 m 和 n,则 m-n=( A.8 C.6 解析:选 C ) B. 7 D. 5 作出可行域(如图中阴影部分所示)后,结合目

且 z=2x+y 的最大值

标函数可知,当直线 y=-2x+z 经过点 A 时,z 的值最大,由
?y=-1, ? ? ? ?x+y=1

??

?x=2, ? ? ?y=-1,

则 m=zmax=2×2-1=3.当直线 y=
? ?y=-1, ?y=x ? ? ?x=-1, ?y=-1, ?

-2x+z 经过点 B 时, z 的值最小, 由? 则 n=zmin=2×(-1)-1=-3, 故 m-n=6.

??

2x-y+1>0, ? ? 3.(2013·北京高考)设关于 x,y 的不等式组?x+m<0, ? ?y-m>0 存在点 P(x0,y0),满足 x0-2y0=2.求得 m 的取值范围是( 4? ? A.?-∞, ? 3? ? 2? ? C.?-∞,- ? 3? ? 1? ? B.?-∞, ? 3? ? 5? ? D. ?-∞,- ? 3 )

表示的平面区域内

?

?

解析:选 C 问题等价于直线 x-2y=2 与不等式组所表示的 平面区域存在公共点,由于点(-m,m)不可能在第一和第三象限, 而直线 x-2y=2 经过第一、三、四象限,则点(-m,m)只能在第 四象限,可得 m<0,不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分 所示,要使直线 x-2y=2 与阴影部分有公共点,则点(-m,m) 2 在直线 x-2y-2=0 的下方, 由于坐标原点使得 x-2y-2<0, 故-m-2m-2>0, 即 m<- . 3
45

4.(2013·安徽高考)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满足| OA |= | OB |= OA · OB =2,则点集{P| OP =λ OA +μ OB ,|λ |+|μ |≤1,λ ,μ ∈R}所 表示的区域的面积是( A.2 2 C.4 2 ) B. 2 3 D. 4 3

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? π 解析:选 D 由| OA |=| OB |= OA · OB =2,可得∠AOB= ,又 A,B 是两定点, 3
可设 A( 3,1),B(0,2),P(x,y), 3 ? λ = x, ? 3 ?? y 3 ? ?μ =2- 6 x.

由 OP =λ OA +μ OB ,可得?

??? ?

??? ?

??? ?

?x= 3λ , ?y=λ +2μ ,

? 3 ? ? 3 ? ?y 因为|λ |+|μ |≤1,所以? x?+? - x?≤1,当?3y- 3x≥0 ? 3 ? ?2 6 ? ?3y+
3x≤6

x≥0,

,时,由可行

1 域可得 S0= ×2× 3= 3,所以由对称性可知点 P 所表示的区域面积 S=4S0=4 3,故选 2 D.

y≤x, ? ? 5.(2014·湖南高考)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤4, ? ?y≥k,
为-6,则 k=________. 解析:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,z =2x+y,则 y=-2x+z,易知当直线 y=-2x+z 过点 A(k,k)时,

且 z=2x+y 的最小值

z=2x+y 取得最小值,即 3k=-6,k=-2.
答案:-2

x+4y≥4, ? ? 6.(2013·广东高考)给定区域 D:?x+y≤4, ? ?x≥0.

令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,

(x0,y0)是 z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点},则 T 中的点共确定________条不同的 直线. 解析:解决本题的关键是要读懂数学语言,x0,y0∈Z,说明 x0,y0 是整数,作出图形可 知,△ABF 所围成的区域即为区域 D,其中 A(0,1)是 z 在 D 上取得最小值的点,B,C,D,E,

F 是 z 在 D 上取得最大值的点,则 T 中的点共确定 AB,AC,AD,AE,AF,BF 共 6 条不同的直
46

线.

答案:6

x+2y-4≤0, ? ? 7.(2014·浙江高考)当实数 x,y 满足?x-y-1≤0, ? ?x≥1
则实数 a 的取值范围是________.

时,1≤ax+y≤4 恒成立,

? 3? 解析: 由线性规划的可行域(如图), 求出三个交点坐标分别为 A(1,0), B(2, 1), C?1, ?, ? 2?
3 都代入 1≤ax+y≤4,可得 1≤a≤ . 2

? 3? 答案:?1, ? ? 2?
命题点三 基本不等式 难度:中、低 命题指数:☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题

1.(2014·福建高考)要制作一个容积为 4 m ,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容 器的底面造价是每平方米 20 元, 侧面造价是每平方米 10 元, 则该容器的最低总造价是( A.80 元 C.160 元 B.120 元 D.240 元 )

3

解析:选 C 设该容器的总造价为 y 元,长方体的底面矩形的长为 x m,因为无盖长方体 的容积为 4 m ,高为 1 m ,所以长方体的底面矩形的宽为 10
3

4

x

m ,依题意,得 y =20×4+ 20×2

?2x+2×4? ? x ? ? ?



80



20

?x+4? ? x? ? ?

≥80



x× x

4



47

4 ? ? 160?当且仅当x= ,即x=2时取等号?,所以该容器的最低总造价为 160 元.

?

x

?

2.(2014·重庆高考)若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是( A.6+2 3 C.6+4 3 B.7+2 3 D.7+4 3

)

解析:选 D 因为 log4(3a+4b)=log2 ab, 所以 log4(3a+4b)=log4(ab),即 3a+4b=ab,
?3a+4b>0, ? 且? ?ab>0, ?

即 a>0,b>0,

4 3 所以 + =1(a>0,b>0),

a b

4b 3 a ?4 3? a+b=(a+b)·? + ?=7+ + ≥7+2 a b a b ? ? 号,故选 D.

4b 3a 4b 3a · =7+4 3, 当且仅当 = 时取等 a b a 4

3.(2014·上海高考)若实数 x,y 满足 xy=1,则 x +2y 的最小值为________. 解析:∵x +2y ≥2 x ·2y =2 2xy=2 2,当且仅当 x= 2y 时取“=”,∴x +2y 的最小值为 2 2. 答案:2 2 4.(2014·湖北高考)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F(单位 时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶,单 位:米/秒)、平均车长 l(单位:米)的值有关,其公式为 F= 76 000v . v +18v+20l
2 2 2 2 2 2 2

2

2

(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/小时; (2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时. 解析:(1)F= 76 000 76 000 ≤ =1 900,当且仅当 v=11 时等号成立. 20×6.05 2 121+18 v+ +18

v

(2)F=

76 000 76 000 ≤ =2 000,当且仅当 v=10 时等号成立,2 000-1 900 20×5 2 100+18 v+ +18

v

=100. 答案:1 900 100

48

第五节

合情推理与演绎推理

对应学生用书P94

基础盘查一 合情推理 (一)循纲忆知 了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现 中的作用. (二)小题查验 1.判断正误 (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确( (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理( ) ) ) )

(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适( (4)一个数列的前三项是 1,2,3,那么这个数列的通项公式是 an=n(n∈N )( 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× 2. (人教 A 版教材例题改编)已知数列{an}的第 1 项 a1=1, 且 an+1= 归纳该数列的通项公式 an=________. 1 答案:
*

(n=1,2,3, ?), 1+an

an

n

基础盘查二 演绎推理 (一)循纲忆知 1. 了解演绎推理的重要性, 掌握演绎推理的基本模式, 并能运用它们进行一些简单推理; 2.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. (二)小题查验 判断正误 (1)演绎推理的结论一定是正确的( ) )

(2)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理(

(3)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数,某数 m 是 3 的倍数,则 m 一定是 9 的倍数”,这是三 段论推理,但其结论是错误的( ) )

(4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确( 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×

49

对应学生用书P95

考点一 类比推理(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] (1)定义: 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对 象也具有这些特征的推理. (2)特点:类比推理是由特殊到特殊的推理. [题组练透] 1.给出下面类比推理(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0? a=b”类比推出“a,c∈C,则 a-c=0? a=c”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di? a=c,b=d”类比推出“a,b,c,d∈ Q,则 a+b 2=c+d 2? a=c,b=d ”; ③“a,b∈R,则 a-b>0? a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0? a>b”; ④“若 x∈R,则|x|<1? -1<x<1”类比推出“若 z∈C,则|z|<1? -1<z<1”. 其中类比结论正确的个数为( A.1 C.3 解析:选 B 类比结论正确的有①②. 2. (2015·贵州六校联考) 在平面几何中: △ABC 的∠C 内角平分线 CE 分 AB 所成线段的 比为 = ) B. 2 D. 4

AC AE .把这个结论类比到空间:在三棱锥 A?BCD 中(如图),DEC 平分二面角 A?CD?B 且 BC BE

与 AB 相交于 E,则得到类比的结论是______________________.

解析:由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得

AE S△ACD = . EB S△BCD
答案: =

AE S△ACD EB S△BCD
[类题通法]

(1)类比推理是由特殊到特殊的推理,其一般步骤为 ①找出两类事物之间的相似性或一致性;
50

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想). (2)类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等,可 以类比到立体几何中,得到类似的结论. 考点二 归纳推理(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] (1)定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理. (2)特点:是由部分到整体、由个别到一般的推理. [多角探明] 归纳推理是每年高考的常考内容, 题型多为选择题和填空题, 难度稍大, 属中高档题. 归 纳起来常见的命题角度有: (1)数的归纳; (2)式的归纳; (3)形的归纳. 角度一:数的归纳 1.(2013·陕西高考)观察下列等式 1 =1 1 -2 =-3 1 -2 +3 =6 1 -2 +3 -4 =-10 ?? 照此规律,第 n 个等式可为________. 解析: 观察规律可知, 第 n 个式子为 1 -2 +3 -4 +?+(-1) 答案:1 -2 +3 -4 +?+(-1) 角度二:式的归纳 2.(2014·陕西高考)已知 f(x)= ,x≥0,若 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n 1+x
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n+1 2

n?n+1? n =(-1)n+1 .
2

n+1 2

n?n+1? n =(-1)n+1
2

x

∈N+, 则 f2 014(x)的表达式为________.

x 1 + x x x ? ?= 解析:由 f1(x)= ? f2(x)=f? = ;又可得 f3(x)=f(f2(x))= ? 1+x x 1+2x ?1+x? 1+ 1+x x

51

x
1+2x 1+ 1+2x

x



,故可猜想 f2 014(x)= . 1+3x 1+2 014x

x

x

答案:f2 014(x)= 1+2 014x 角度三:形的归纳 3.下面图形由小正方形组成,请观察图 1 至图 4 的规律,并依此规律,写出第 n 个图形 中小正方形的个数是________.

x

解析:由图知第 n 个图形的小正方形个数为 1+2+3+?+n. ∴总个数为 答案:

n?n+1?
2

.

n?n+1?
2 [类题通法]

(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象, 因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范 围. (2)归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的. (3)归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很有用. 考点三 演绎推理(重点保分型考点——师生共研)

[必备知识] (1)模式:三段论 ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. (2)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理. [典题例析] 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= (1)数列? ?是等比数列;
?n? ?Sn?

n+2 Sn(n∈N*).证明: n

(2)Sn+1=4an.

52

证明:(1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=

n+2 Sn, n

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即 nSn+1=2(n+1)Sn. 故

Sn+1 Sn =2· ,(小前提) n+1 n
? Sn ? ?n ?

故? ?是以 2 为公比,1 为首项的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知

Sn+1 Sn-1 =4· (n≥2), n+1 n-1 Sn-1 n-1+2 =4· ·Sn-1 n-1 n-1

∴Sn+1=4(n+1)·

=4an(n≥2).(小前提) 又∵a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.(结论) [类题通法] 演绎推理的推证规则 (1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应 当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略,本题中,等比数列的 定义在解题中是大前提,由于它是显然的,因此省略不写. (2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成. [演练冲关] 如图所示,D,E,F 分别是 BC,CA,AB 上的点,∠BFD=∠A,且

DE∥BA.求证:ED=AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,
并最终把推理过程用简略的形式表示出来). 证明:(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提) 所以 DF∥EA.(结论) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)

DE∥BA 且 DF∥EA,(小前提)
所以四边形 AFDE 为平行四边形.(结论) (3)平行四边形的对边相等,(大前提)

ED 和 AF 为平行四边形的对边,(小前提)
所以 ED=AF.(结论) 上面的证明可简略地写成:

53

? ∠BFD=∠A? DF∥EA? ?? 四边形 AFDE 是平行四边形? ED=AF. ? DE∥BA ?

对应B本课时跟踪检测?三十八?

一、选择题 1.(2015·合肥模拟)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x +1)是正弦函数,因此 f(x)= sin(x +1)是奇函数,以上推理( A.结论正确 C.小前提不正确
2 2 2

) B.大前提不正确 D.全不正确

解析:选 C 因为 f(x)=sin(x +1)不是正弦函数,所以小前提不正确. 2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0,mt=xt? m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p? a=x”; ⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”; ⑥“ = ”类比得到“

ac a bc b

a·c a = ”. b·c b
)

以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( A.1 C.3 解析:选 B ①②正确,③④⑤⑥错误. B. 2 D. 4

3.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,则 a +b =( A.28 C.123 解析:选 C
n n
10

2

2

3

3

4

4

5

5

10

) B.76 D.199 记 a +b =f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3
*

+4=7; f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N , n≥3), 则 f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+

f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以 a10+b10=123.
4.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则

S1 S2

1 = ,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体 P?ABC 的内切球体积为 V1,外接球体积 4
54

为 V2,则 =( A. C. 1 8 1 64

V1 V2

) B. D. 1 9 1 27

V1 1 解析:选 D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,故 = . V2 27
5.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
2 2 2

A.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.由 an=2n-1,求出 S1=1 ,S2=2 ,S3=3 ,?,推断:

Sn=n2
B.由 f(x)=xcos x 满足 f(-x)=-f(x)对? x∈R 都成立,推断:f(x)=xcos x 为奇 函数

x2 y2 C.由圆 x +y =r 的面积 S=π r ,推断:椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的面积 S=π ab a b
2 2 2 2

D.由(1+1) >2 ,(2+1) >2 ,(3+1) >2 ,?,推断:对一切 n∈N ,(n+1) >2

2

1

2

2

2

3

*

2

n

解析:选 A 选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列, 其前 n 项和等于 Sn=

n?1+2n-1?
2

=n ,选项 D 中的推理属于归纳推理,但结论不正确.

2

6.(2015·西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1), (1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),?,则第 60 个“整数对”是( A.(7,5) C.(2,10) B.(5,7) D.(10,1) )

解:选 B 依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第 n 组中每个“整数 对”的和均为 n+1,且第 n 组共有 n 个“整数对”,这样的前 n 组一共有

n?n+1?
2

个“整

10×?10+1? 11×?11+1? 数对”, 注意到 <60< , 因此第 60 个“整数对”处于第 11 组(每 2 2 个“整数对”的和为 12 的组)的第 5 个位置, 结合题意可知每个“整数对”的和为 12 的组中 的各对数依次为:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),?,因此第 60 个“整数对”是 (5,7),选 B. 二、填空题 7.(2015·福建厦门模拟)已知等差数列{an}中,有

a11+a12+?+a20 a1+a2+?+a30
10 = 30



则在等比数列{bn}中,会有类似的结论:________________________________________. 解析:由等比数列的性质可知 b1b30=b2b29=?=b11b20,

55



10

b11b12?b20=
10

30

b1b2?b30.
30

答案:

b11b12?b20=

b1b2?b30

8.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 7 5 6 8 9 ?? 根据以上排列规律,数阵中第 n(n≥3)行从左至右的第 3 个数是________. 解析:前 n-1 行共有正整数 1+2+?+(n-1)= 行从左至右的第 3 个数是全体正整数中第 答案: 10

n?n-1?
2 2

个,即 .

n2-n
2

个,因此第 n

n2-n
2

+3 个,即为

n2-n+6

n2-n+6
2

9.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形, 按下图所标边长,由勾股定理有:c =a +b .设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截 面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O?LMN,如果用 S1,S2,S3 表示三个侧面 面积,S4 表示截面面积,那么类比得到的结论是________.
2 2 2

解析:将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边,可 得 S1+S2+S3=S4. 答案:S1+S2+S3=S4 10.如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,那么对于区间 D 内的任意 x1,x2,?,xn,都 有
2 2 2 2 2 2 2 2

f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? ≤f? ?.若 y=sin x 在区间(0,π )上是凸函 n n ? ?

数,那么在△ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大值是________. 解析:由题意知,凸函数满足

f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? ≤f? ?, n n ? ?
又 y=sin x 在区间(0,π )上是凸函数,则 sin A+sin B+sin C≤3sin

A+B+C
3

π =3sin 3

56



3 3 . 2 3 3 答案: 2 三、解答题 11.在锐角三角形 ABC 中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. 证明:∵△ABC 为锐角三角形, π π ∴A+B> ,∴A> -B, 2 2

? π? ∵y=sin x 在?0, ?上是增函数, 2? ? ?π ? ∴sin A>sin? -B?=cos B, ?2 ?
同理可得 sin B>cos C,sin C>cos A, ∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. 12.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin 13°+cos 17°-sin 13°cos 17°; ②sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°; ③sin 18°+cos 12°-sin 18°cos 12°; ④sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos 48°; ⑤sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解:(1)选择②式,计算如下: 1 2 2 sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°=1- sin 30° 2 1 3 =1- = . 4 4 (2)法一:三角恒等式为 3 2 2 sin α +cos (30°-α )-sin α ·cos(30°-α )= . 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sin α ·cos(30°-α ) = sin α + (cos 30°cos α + sin 30°sin α ) - sin α ·(cos 30°cos α + sin 30°sin α )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

57

3 3 1 3 1 2 2 2 2 =sin α + cos α + sin α cos α + sin α - sin α cos α - sin α 4 2 4 2 2 3 3 2 2 = sin α + cos α 4 4 3 = . 4 法二:三角恒等式为 3 2 2 sin α +cos (30°-α )-sin α ·cos(30°-α )= . 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α ) = 1-cos 2α 1+cos?60°-2α ? + -sin α ·(cos 30°cos α +sin 30°sin α ) 2 2
2 2

1 1 1 1 3 1 2 = - cos 2α + + (cos 60°cos 2α +sin 60°sin 2α )- sin α cos α - sin α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos 2α + + cos 2α + sin 2α - sin 2α - (1-cos 2α ) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos 2α - + cos 2α = . 4 4 4 4

58

第六节

直接证明和间接证明

对应学生用书P96

基础盘查一 直接证明 (一)循纲忆知 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和 特点. (二)小题查验 判断正误 (1)综合法是直接证明,分析法是间接证明( ) )

(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件(

(3)在解决问题时, 常常用分析法寻找解题的思路与方法, 再用综合法展现解决问题的过 程( ) (4)证明不等式 2+ 7< 3+ 6最合适的方法是分析法( 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ 基础盘查二 间接证明 (一)循纲忆知 了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程和特点. (二)小题查验 1.判断正误 (1)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b”( (2)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾( 答案:(1)× (2)× 2.用反证法证明“如果 a>b,那么 a >b ”时假设的内容为________. 答案:a ≤b
3 3 3 3

)

) )

对应学生用书P97

考点一 分析法(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 分析法证题的一般规律

59

分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从结论出发,倒着分析,寻找结论成立的 充分条件. 应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达, 下一步是上一步的充分条件. [题组练透] 1.已知 a,b,m 都是正数,且 a<b,求证: 证明:要证明

a+m a > . b+m b

a+m a > ,由于 a,b,m 都是正数, b+m b

只需证 a(b+m)<b(a+m), 只需证 am<bm, 因为 m>0,所以只需证 a<b. 又已知 a<b,所以原不等式成立. 2.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 求证: 1

a+b b+c a+b+c



1



3

.

证明:要证 即证

1 1 3 + = , a+b b+c a+b+c

a+b+c a+b+c c a + =3 也就是 + =1, a+b b+c a+b b+c

只需证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证 c +a =ac+b , 又△ABC 三内角 A,B,C 成等差数列,故 B=60°, 由余弦定理,得
2 2 2

b2=c2+a2-2accos 60°,即 b2=c2+a2-ac,
故 c +a =ac+b 成立. 于是原等式成立. [类题通法] 分析法证明问题的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需用的知识不太明确、 具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,常考虑用分析法. [提醒] 用分析法证明问题时,必须有必要的文字说明. 考点二 综合法(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] 综合法证题的一般规律 用综合法证明命题时,必须首先找到正确的出发点,也就是能想到从哪里起步,我们一 般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质,逐层推进,从而由已知逐步推出结
2 2 2

60

论. [多角探明] 综合法证明问题是历年高考的热点问题,也是必考问题之一.通常在解答题中出现,归 纳起来常见的命题角度有: (1)立体几何证明题; (2)数列证明题; (3)与函数、方程、不等式结合的证明题.

角度一:立体几何证明题 1.如图,在四棱锥 P?ABCD 中,平面 PAB⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD =60°,E,F 分别是 AP,AB 的中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PBC; (2)平面 DEF⊥平面 PAB. 证明:(1)在△PAB 中,因为 E,F 分别为 PA,AB 的中点,所以 EF ∥PB. 又因为 EF?平面 PBC,PB? 平面 PBC, 所以直线 EF∥平面 PBC. (2)连接 BD,因为 AB=AD,∠BAD=60°, 所以△ABD 为正三角形. 因为 F 是 AB 的中点,所以 DF⊥AB. 因为平面 PAB⊥平面 ABCD,DF? 平面 ABCD, 平面 PAB∩平面 ABCD=AB, 所以 DF⊥平面 PAB. 又因为 DF? 平面 DEF,所以平面 DEF⊥平面 PAB. 角度二:数列证明题 2.(2014·江苏高考节选)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若对任意正整数 n,总存在正整 数 m,使得 Sn=am,则称{an}是“H 数列”. (1)若数列{an}的前 n 项和 Sn=2 (n∈N ),证明:{an}是“H 数列”; (2)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H 数列”{bn}和{cn},使得 an=bn+cn(n ∈N )成立. 证明:(1)由已知,当 n≥1 时,an+1=Sn+1-Sn=2 存在正整数 m=n+1,使得 Sn=2 =am. 所以{an}是“H 数列”.
61
n n+1
*

n

*

-2 =2 .于是对任意的正整数 n,总

n

n

(2)设等差数列{an}的公差为 d, 则 an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N ). 令 bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),则 an=bn+cn(n∈N ). 下面证{bn}是“H 数列”. 设{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn=
* *

n?n+1? a1(n∈N*).
2

于是对任意的正整数 n, 总存在正整数 m= 同理可证{cn}也是“H 数列”.

n?n+1?
2

, 使得 Tn=bm, 所以{bn}是“H 数列”.

所以任意的等差数列{an},总存在两个“H 数列”{bn}和{cn},使得 an=bn+cn(n∈N )成 立. 角度三:与函数、方程、不等式结合的证明题 1 2 1 3 3.已知函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx- x + x ,函数 y=f(x)与函数 y=g(x) 2 3 的图象在交点(0,0)处有公共切线. (1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)≤g(x). 1 2 解:(1)f′(x)= ,g′(x)=b-x+x , 1+x 由题意得?
?g?0?=f?0?, ? ? ?f′?0?=g′?0?,

*

解得 a=0,b=1.

(2)证明:令 h(x)=f(x)-g(x) 1 3 1 2 =ln(x+1)- x + x -x(x>-1). 3 2 1 -x 2 h′(x)= -x +x-1= . x+1 x+1
3

h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数. h(x)max=h(0)=0,h(x)≤h(0)=0,即 f(x)≤g(x).
[类题通法] 综合法证题的思路

62

考点三 反证法(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 反证法:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从 而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. [典题例析] 5 2 已知 f(x)=ax +bx+c,若 a+c=0,f(x)在[-1,1]上的最大值为 2,最小值为- .求 2 证:a≠0 且? ?<2. 证明:假设 a=0 或? ?≥2. (1)当 a=0 时,由 a+c=0,得 f(x)=bx,显然 b≠0. 由题意得 f(x)=bx 在[-1,1]上是单调函数, 所以 f(x)的最大值为|b|,最小值为-|b|. 5 1 由已知条件,得|b|+(-|b|)=2- =- , 2 2 这与|b|+(-|b|)=0 相矛盾,所以 a≠0. (2)当? ?≥2 时,由二次函数的对称轴为 x=- , 2a ?a? 知 f(x)在[-1,1]上是单调函数,故其最值在区间的端点处取得.

?b? ?a?

?b? ?a?

?b?

b

f?1?=a+b+c=2, ? ? 所以? 5 f?-1?=a-b+c=- , ? 2 ?
5 ? ?f?1?=a+b+c=- , 2 或? ? ?f?-1?=a-b+c=2. 又 a+c=0,则此时 b 无解,所以? ?<2. a
63

?b? ? ?

由(1)(2),得 a≠0 且? ?<2. a [类题通法] 反证法证明问题的一般步骤 (1)反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;(否定结论) (2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、 已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾) (3)立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的 反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立) [演练冲关] 1 2 2 已知 x∈R,a=x + ,b=2-x,c=x -x+1,试证明 a,b,c 至少有一个不小于 1. 2 证明:假设 a,b,c 均小于 1,即 a<1,b<1,c<1, 则有 a+b+c<3, 1 ? 1?2 2 而 a+b+c=2x -2x+ +3=2?x- ? +3≥3, 2 ? 2? 两者矛盾,所以假设不成立, 故 a,b,c 至少有一个不小于 1.

?b? ? ?

对应A本课时跟踪检测?三十九?

一、选择题 1.(2014·山东高考)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少 有一个实根”时,要做的假设是( A.方程 x +ax+b=0 没有实根 B.方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 解析:选 A 至少有一个实根的否定是没有实根,故做的假设是“方程 x +ax+b=0 没 有实根”. 2. 分析法又称执果索因法, 若用分析法证明“设 a>b>c, 且 a+b+c=0, 求证: b -ac < 3a”索的因应是( A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0 解析:选 C ) B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<0
2 3 3 3 3 3 3

)

b2-ac< 3a?b2-ac<3a2
64

?(a+c) -ac<3a
2 2

2

2

?a +2ac+c -ac-3a <0 ?-2a +ac+c <0 ?2a -ac-c >0 ?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0. 故选 C. 3.不相等的三个正数 a,b,c 成等差数列,并且 x 是 a,b 的等比中项,y 是 b,c 的等 比中项,则 x ,b ,y 三数(
2 2 2 2 2 2 2

2

)

A.成等比数列而非等差数列 B.成等差数列而非等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.既非等差数列又非等比数列

a+c=2b, ? ? 2 解析:选 B 由已知条件,可得?x =ab, ② ? ?y2=bc. ③ x a= , ? ? b 由②③得? y c= . ? ? b
2 2 2 2 2 2 2



代入①,得 + =2b,

x2 y2 b b

即 x +y =2b .故 x ,b ,y 成等差数列. 4.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,若 x1+x2>0,则 f(x1) +f(x2)的值( A.恒为负值 C.恒为正值 ) B.恒等于零 D.无法确定正负

2

解析:选 A 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时,f(x)单调递减, 可知 f(x)是 R 上的单调递减函数, 由 x1+x2>0,可知 x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2), 则 f(x1)+f(x2)<0,故选 A. 5.设 a,b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a +b >2;⑤ab>1. 其中能推出:“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是( A.②③ C.③ B.①②③ D.③④⑤ )
2 2

65

1 2 解析:选 C 若 a= ,b= ,则 a+b>1, 2 3 但 a<1,b<1,故①推不出; 若 a=b=1,则 a+b=2,故②推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a +b >2,故④推不出; 若 a=-2,b=-3,则 ab>1,故⑤推不出; 对于③,即 a+b>2,则 a,b 中至少有一个大于 1, 反证法:假设 a≤1 且 b≤1, 则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立,a,b 中至少有一个大于 1. 6.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则( A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 解析: 选 D 由条件知, △A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0, 则△A1B1C1 是锐角三角形, 假设△A2B2C2 是锐角三角形. )
2 2

? ? ?π ? 由?sin B =cos B =sin? -B ?, ?2 ? π ? ?sin C =cos C =sin??? 2 -C ???,
2 1 1 2 1 1

?π ? sin A2=cos A1=sin? -A1?, ?2 ?

? ? π 得?B = -B , 2 π ? ?C = 2 -C .
A2= -A1,
2 1

π 2

2

1

π 那么,A2+B2+C2= ,这与三角形内角和为 180°相矛盾. 2 所以假设不成立,又显然△A2B2C2 不是直角三角形. 所以△A2B2C2 是钝角三角形. 二、填空题 7.用反证法证明命题“a,b∈R,ab 可以被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整 除”,那么假设的内容是______________. 解析:“至少有 n 个”的否定是“最多有 n-1 个”,故应假设 a,b 中没有一个能被 5 整除. 答案:a,b 中没有一个能被 5 整除 8.设 a>b>0,m= a- b,n= a-b,则 m,n 的大小关系是________. 解析:法一:(取特殊值法)取 a=2,b=1,得 m<n.
66

法 二 : ( 分 析 法 ) a - b < a-b ? b + a-b > a ? a<b + 2 b · a-b + a - b ? 2 b· a-b>0,显然成立. 答案:m<n 9.已知点 An(n,an)为函数 y= x +1图象上的点,Bn(n,bn)为函数 y=x 图象上的点, 其中 n∈N ,设 cn=an-bn,则 cn 与 cn+1 的大小关系为________. 解析:由条件得 cn=an-bn= n +1-n= ∴cn 随 n 的增大而减小,∴cn+1<cn. 答案:cn+1<cn 10.若二次函数 f(x)=4x -2(p-2)x-2p -p+1,在区间[-1,1]内至少存在一点 c,
2 2 2 * 2

1
2

n +1+n



使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是________. 解析:法一:(补集法) 令?
?f?-1?=-2p +p+1≤0, ? ? ?f?1?=-2p -3p+9≤0,
2 2

3 解得 p≤-3 或 p≥ , 2

3? ? 故满足条件的 p 的范围为?-3, ?. 2 ? ? 法二:(直接法) 依题意有 f(-1)>0 或 f(1)>0, 即 2p -p-1<0 或 2p +3p-9<0, 1 3 得- <p<1 或-3<p< . 2 2 3? ? 故满足条件的 p 的取值范围是?-3, ? 2? ? 3? ? 答案:?-3, ? 2? ? 三、解答题 11.若 a>b>c>d>0 且 a+d=b+c, 求证: d+ a< b+ c. 证明:要证 d+ a< b+ c,只需证( d+ a) <( b+ c) , 即 a+d+2 ad<b+c+2 bc, 因 a+d=b+c,只需证 ad< bc, 即 ad<bc,设 a+d=b+c=t, 则 ad-bc=(t-d)d-(t-c)c=(c-d)(c+d-t)<0, 故 ad<bc 成立,从而 d+ a< b+ c成立.
2 2 2 2

67

12. 已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴有两个不同的交点, 若 f(c)=0, 且 0<x<c 时,f(x)>0. 1 (1)证明: 是 f(x)=0 的一个根;

2

a a

1 (2)试比较 与 c 的大小; (3)证明:-2<b<-1. 解:(1)证明:∵f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点, ∴f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2, ∵f(c)=0, ∴x1=c 是 f(x)=0 的根, 又 x1x2= , 1?1 ? ∴x2= ? ≠c?,

c a

a?a

?

1 ∴ 是 f(x)=0 的一个根.

a

1 1 (2)假设 <c,又 >0,

a

a

由 0<x<c 时,f(x)>0,

?1? ?1? 知 f? ?>0 与 f? ?=0 矛盾, ?a? ?a?
1 1 ∴ ≥c,又∵ ≠c,

a a

a

1 ∴ >c. (3)证明:由 f(c)=0,得 ac+b+1=0, ∴b=-1-ac. 又 a>0,c>0,∴b<-1. 二次函数 f(x)的图象的对称轴方程为

b x1+x2 x2+x2 1 x=- = < =x2= , 2a 2 2 a b 1 即- < . 2a a
又 a>0, ∴b>-2, ∴-2<b<-1.

68

见课时跟踪检测A本

命题点一 合情推理与演绎推理 难度:中、低

命题指数:☆☆☆ 题型:选择题、填空题

1.(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据: 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12

猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是____________. 解析:三棱柱中 5+6-9=2;五棱锥中 6+6-10=2;立方体中 6+8-12=2,由此归 纳可得 F+V-E=2. 答案:F+V-E=2 2.(2014·新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为________. 解析:由甲、丙的回答易知甲去过 A 城市和 C 城市,乙去过 A 城市或 C 城市,结合乙的 回答可得乙去过 A 城市. 答案:A 3. (2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数 1,3,6,10,?,第 n 个三角形数为

n?n+1? 1
2

1 2 = n + n.记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3), 2 2

以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 1 2 1 三角形数 N(n,3)= n + n, 2 2 正方形数 N(n,4)=n , 3 2 1 五边形数 N(n,5)= n - n, 2 2 六边形数 N(n,6)=2n -n, ??
69
2 2

可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=________. 1 2 1 解析:由 N(n,3)= n + n, 2 2

N(n,4)= n2+ n,
3n -1 N(n,5)= + n, 2 2
2

2 2

0 2

N(n,6)= n2+

4 2

-2 n, 2

? ? 2 ? ? 2 推测 N(n,k)=? -1?n -? -2?n,k≥3.从而 N(n,24)=11n -10n,N(10,24)=1 000. ?2 ? ?2 ?
k k
答案:1 000 命题点二 直接证明与间接证明 难度:高、中 命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:解答题

1.(2014·江西高考)已知数列{an} 的前 n 项和 Sn= (1)求数列{an} 的通项公式;

3n -n * ,n∈N . 2

2

(2)证明:对任意的 n>1,都存在 m∈N ,使得 a1,an,am 成等比数列. 3n -n 解:(1)由 Sn= ,得 a1=S1=1, 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-2,当 n=1 时也适合. 所以数列{an}的通项公式为:an=3n-2. (2)证明:要使得 a1,an,am 成等比数列, 只需要 an=a1·am, 即(3n-2) =1·(3m-2), 即 m=3n -4n+2,而此时 m∈N ,且 m>n. 所以对任意的 n>1,都存在 m∈N ,使得 a1,an,am 成等比数列. 2.(2014·北京高考)如图,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC =2,BC=1,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点. (1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1 ; (2)求证:C1F∥平面 ABE ; (3)求三棱锥 E?ABC 的体积.
* 2 * 2 2 2

*

70

解:(1)证明:在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC.

所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC,BB1∩BC=B, 所以 AB⊥平面 B1BCC1. 又 AB? 平面 ABE. 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)证明:取 AB 中点 G,连结 EG,FG. 因为 E,F 分别是 A1C1,BC 的中点, 1 所以 FG∥AC,且 FG= AC. 2 因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1, 所以 FG∥EC1,且 FG=EC1. 所以四边形 FGEC1 为平行四边形. 所以 C1F∥EG. 又因为 EG? 平面 ABE,C1F?平面 ABE, 所以 C1F∥平面 ABE. (3)因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以 AB= AC -BC = 3. 所以三棱锥 E?ABC 的体积
2 2

V= S△ABC·AA1= × × 3×1×2=

1 3

1 3

1 2

3 . 3

71


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