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两条直线的位置关系(三)


§7.3.3两条直线的位置关系(三)

? 教学目的:
? 1 . 掌握判断两直线相交的方法;会求两直 线交点坐标;? ? 2. 认识两直线交点与二元一次方程组的关 系;? ? 3.体会判断两直线相交中的数形结合思想. ? 4.认识事物间的内在联系,用辩证的观点 看问题.

? 教学重点:
? 判断两直线是否相交.

? 教学难点:
? 两直线相交与二元一次方程组的关系 .

解下列方程组:

?3x ? 2 y ? 7 ? 0 ?x ? 1 (1) ? (1)有唯一解 ? ?2x ? 3 y ? 4 ? 0 ?y ? 2

?3x ? 2 y ? 6 ? 0 (2) ? ( 2)无解 ?6 x ? 4 y ? 15 ? 0

?3x ? 2 y ? 7 ? 0 (3) ? ( 3)无穷多解 ?6 x ? 4 y ? 14 ? 0

问题一:方程组解的情况与方程组所表示 的两条直线的位置关系有何对应关系?
在同一坐标系中分别作出下列各组的直线: 并观察它们的位置关系 ⑴3x+2y-7=0和2x-3y+4=0 ⑵3x+2y-6=0和6x+4y-15=0 ⑶3x-2y-7=0和6x-4y-14=0

y 2x-3y+4=0

y 6x+4y-15=0

o

o x 3x+2y-7=0 3x+2y-6=0

x

(1)

y

(2)
3x-2y-7=0 6x-4y-14=0 x

o

(3)

直线l1,l2

?l1 , l2相交 ?唯一解 ? ? 解方程组 ?无穷多解 ? ?l1 , l2重合 ?l , l 平行 ?无解 ?1 2 ?

问题二:如何根据两直线的方程系数之间的关系 来判定两直线的位置关系?

观察刚刚解过的三组方程对应系数比的特点:
3x+2y-7=0 2x-3y+4=0 3x+2y-6=0 6x+4y-15=0 3x-2y-7=0 6x-4y-14=0

3 2 ? 2 -3

3 2 ?6 = ? 6 4 ? 15

3 ?2 7 = ? 6 ? 4 ? 14

一般情况如何呢?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ( A1 B1C1 ? 0, A2 B2C2 ? 0) ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
唯一解

无穷多解
无解

A?B A B A ?B ?C A B C A ?B ?C A B C
1 1 2 2
1 1 2 2

l1,l2相交
1 2

l1,l2重合

1

1

1 2

2

2

l1,l2平行

练习1:判定下列各组直线的位置关系。
(1)

l1: 7x+2y-1=0 l2: 14x+4y-2=0 l1: ( 3 ? 2 ) x ? y ? 7

重合

(2)

l2: x ? ( 3 ? 2 ) y ? 6 ? 0 l1: 3x+5y-1=0 l2: 4x+3y=5

平行

(3)

相交

问题三:在已知两条直线相交的情况下,如 何去求它们的交点呢?
两条直线的交点: 如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相交,由 于交点同时在两条直线上,交点坐标一定是它们的方

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 程组成的方程组? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

的解;反之,如

果方程组只有一个解,那么这个解为坐标的点就是直 线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。

例1:求下列两条直线的交点:

l1:3x+4y-2=0; l2:2x+y+2=0 x= -2 3x+4y-2 =0 解:解方程组 y=2 2x+y+2 = 0
∴l1与l2的交点是M(- 2,2)
Y M O X

例2:求经过原点且经过以下两条直线的交点的 直线方程;l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0 x-2y+2=0 解1:解方程组 2x-y-2=0 ∴l1与l2的交点是(2,2) 设经过原点的直线方程为 y=k x 把(2,2)代入方程,得k=1, 所求方程为: y = x x= 2 y=2

例2:求经过原点且经过以下两条直线的交点的 直线方程;l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0 解2:设经过l1与l2交点的直线方程为: x-2y+2+m(2x-y-2)=0 即(2m+1)x-(m+2)y+2-2m=0 ∵直线l过(0,0) ∴m=1 x-y-=0 (1)

两条直线的位置关系

位置关系 条
y ? k1 x ? b1 y ? k2 x ? b2

平行
k1 ? k 2

相交
k1 ? k2 b1 ? b2

重合
k1 ? k2 b1 ? b2

件 A x? B y?C ? 0
2 2 2

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0

A1 B1 ? A2 B2

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

练习2: 1.课本51页练习第二题
2.求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y-7=0的交点, 且垂于直线x+3y-5=0的直线方程。
x=3 x+2y-1=0, 得 y= -1 2x-y-7=0 ∴这两条直线的交点坐标为(3,-1)

解:解方程组

又∵直线x+3y-5=0的斜率是-1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3(x-3)即 3x-y-10=0

课堂练习 <<教材>> P.51 书面作业 <<教材>> P. 54 习题7.3– 11.12 练习1.2

高2008级数学教学课件
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