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2010-2011学年高中数学 第2章数列 等差数列同步精品学案 新人教A版必修5


等差数列对点讲练 §2.2 等差数列对点讲练
一、等差数列的通项公式 例 1 若{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求 a75. 解 设{an}的公差为 d. 64 a 1= , ?a15=a1+14d=8, 15 ? 方法一 由题意知? 解得 4 ?a60=a1+59d=20, ? d= . 15 64 4 所以 a75=a1+74d= +74× =24. 15 15 a60-a15 20-8 4 方法二 因为 a60=a15+(60-15)d,所以 d= = = , 60-15 60-15 15 4 所以 a75=a60+(75-60)d=20+15× =24. 15 总结 方法一:先求出 a1,d,然后求 a75;方法二:应用通项公式的变形公式 an=am +(n-m)d 求解. ?变式训练 1 在等差数列{an}中,已知 am=n,an=m,求 am+n 的值. am-an n-m = =-1, 解 方法一 设公差为 d,则 d= m-n m-n 从而 am+n=am+(m+n-m)d=n+n·(-1)=0. 方法二 设等差数列的通项公式为 an=an+b(a,b 为常数), ? ?am=am+b=n, 得 a=-1,b=m+n.所以 am+n=a(m+n)+b=0. 则? ? ?an=an+b=m, 二、等差数列的性质 例 2 已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式. 解 因为 a1+a7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15, 所以 a4=5.又因为 a2a4a6=45,所以 a2a6=9, 即(a4-2d)(a4+2d)=9,(5-2d)(5+2d)=9,解得 d=±2. 若 d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3; 若 d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n. 总结 要求通项公式,需要求出首项 a1 和公差 d,由 a1+a4+a7=15,a2a4a6=45 直接 求解很困难,我们可以换个思路,利用等差数列的性质,注意到 a1+a7=a2+a6=2a4 问题 就简单了. ?变式训练 2 成等差数列的四个数之和为 26,第二个数与第三个数之积为 40,求这四 个数. 解 设这四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,则由题设得 ?(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26, ?

? ? ?

? ? ?(a-d)(a+d)=40

?4a=26, ? ∴? 2 2 ? ?a -d =40.

?a= 2 , 解得? 3 ?d=2

13

?a= 2 , 或? 3 ?d=-2.

13

所以这四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.

三、等差数列的判断 4 1 已知数列{an}满足 a1=4,an=4- (n≥2),令 bn= . a n- 1 an-2 (1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式. 分析 计算 bn+1-bn=常数,然后求出 bn,最后再由 an 与 bn 的关系求出 an. 例3
用心 爱心 专心 1

4 4 (n≥2),∴an+1=4- (n∈N*). an a n- 1 an-2 1 1 1 1 an 1 1 ∴bn+1-bn= - = - = - = = . 4 an-2 2(an-2) an-2 2(an-2) 2 an+1-2 an-2 2- an 1 1 1 ∴bn+1-bn= ,n∈N*.∴{bn}是等差数列,首项为 ,公差为 . 2 2 2 1 1 1 1 1 n (2)解 b1= = ,d= .∴bn=b1+(n-1)d= + (n-1)= . 2 2 2 2 a1-2 2 1 n 2 ∴ = ,∴an=2+ . n an-2 2 总结 判断一个数列{an}是否是等差数列,关键是看 an+1-an 是否是一个与 n 无关的常 数. 1 1 1 ?变式训练 3 若 , , 是等差数列,求证:a2,b2,c2 成等差数列. b+c c+a a+b 1 1 1 1 1 2 证明 ∵ , , 是等差数列,∴ + = . b+c c+a a+b b+c a+b c+a ∴(a+b)(c+a)+(b+c)(c+a)=2(a+b)(b+c) ∴(c+a)(a+c+2b)=2(a+b)(b+c) ∴2ac+2ab+2bc+a2+c2=2ab+2ac+2bc+2b2 ∴a2+c2=2b2,∴a2,b2,c2 成等差数列. 课堂小结: 课堂小结: 1.证明数列{an}为等差数列的方法 (1)定义法:an+1-an=d (d 为常数,n≥1)?{an}为等差数列或 an-an-1=d (d 为常数, n≥2)?{an}为等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2?{an}是等差数列. (3)通项法:an=pn+q (p、q∈R)?{an}是等差数列,只要说明 an 为 n 的一次函数, 就可下结论说{an}是等差数列. 2.三个数成等差数列可设为:a-d,a,a+d 或 a,a+d,a+2d;四个数成等差数列 可设为: a-3d,a-d,a+d,a+3d 或 a,a+d,a+2d,a+3d. (1)证明 ∵an=4-

课时作业
一、选择题

1.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则 2a9-a10 的值为( ) A.24 B.22 C.20 D.-8 答案 A a3 2 2.已知等差数列{an}中,a2=-9, =- ,则 an 为( ) a2 3 A.14n+3 B.16n-4 C.15n-39 D.15n+8 答案 C a3 2 2 解析 ∵a2=-9, =- ,∴a3=- ×(-9)=6, a2 3 3 ∴d=a3-a2=15, ∴an=a2+(n-2)d=-9+(n-2)·15=15n-39. 3.等差数列{an}的公差 d<0,且 a2·a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是(
用心 爱心 专心

)

2

A.an=2n-2 (n∈N*) B.an=2n+4 (n∈N*) C.an=-2n+12 (n∈N*) D.an=-2n+10 (n∈N*) 答案 D

?a2·a4=12, ? 解析 由?a2+a4=8, ?d<0, ?

?a2=6, ?a1=8, ? ? ?? ?? ? ? ?a4=2, ?d=-2,

所以 an=a1+(n-1)d,即 an=8+(n-1)(-2),得 an=-2n+10. 4.等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8 等于( ) A.45 B.75 C.180 D.300 答案 C 解析 方法一 设{an}首项为 a1,公差为 d, a3+a4+a5+a6+a7=a1+2d+a1+3d+a1+4d+a1+5d+a1+6d=5a1+20d 即 5a1+20d=450,a1+4d=90,∴a2+a8=a1+d+a1+7d=2a1+8d=180. 5 方法二 ∵a3+a7=a4+a6=2a5=a2+a8,∴a3+a4+a5+a6+a7= (a2+a8)=450, 2 ∴a2+a8=180. 5.一个等差数列的首项为 a1=1,末项 an=41 (n≥3)且公差为整数,那么项数 n 的取 值个数是( ) A.6 B.7 C.8 D.不确定 答案 B 40 为整数. 解析 由 an=a1+(n-1)d,得 41=1+(n-1)d,d= n-1 则 n=3,5,6,9,11,21,41 共 7 个. 二、填空题 6.若 m≠n,两个等差数列 m、a1、a2、n 与 m、b1、b2、b3、n 的公差分别为 d1 和 d2, d1 则 的值为______. d2 4 答案 3 1 (n-m) 1 1 d1 3 4 解析 n-m=3d1,d1= (n-m).又 n-m=4d2,d2= (n-m).∴ = = . 3 4 d2 1 3 (n-m) 4 ?1? 7.已知?a ?是等差数列,且 a4=6,a6=4,则 a10=______. ? n? 12 答案 5 1 1 1 1 1 解析 - = - =2d,即 d= . a6 a4 4 6 24 1 1 1 1 5 12 所以 = +4d= + = ,所以 a10= . a10 a6 4 6 12 5 1 8.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则|m- 4 n|=________. 1 答案 2 1 1 1 1 解析 由题意设这 4 个根为 , +d, +2d, +3d. 4 4 4 4 1 1 1 1 3 5 7 则 +?4+3d?=2,∴d= ,∴这 4 个根依次为 , , , , ? 4 ? 2 4 4 4 4 3 5 15 15 7 1 1 7 7 ∴n= × = ,m= × = 或 n= ,m= ,∴|m-n|= . 4 4 16 16 16 2 4 4 16
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三、解答题 9.等差数列{an}的公差 d≠0,试比较 a4a9 与 a6a7 的大小. 解 设 an=a1+(n-1)d, 则 a4a9-a6a7=(a1+3d)(a1+8d)-(a1+5d)(a1+6d) 2 2 =(a1+11a1d+24d2)-(a1+11da1+30d2)=-6d2<0,所以 a4a9<a6a7. an-1 2an-1+1 1 1 且当 n>1, n∈N*时, 有 = , b n= , 设 n∈N*. 10. 已知数列{an}满足 a1= , 5 an an 1-2an (1)求证:数列{bn}为等差数列. (2)试问 a1a2 是否是数列{an}中的项?如果是,是第几项; 如果不是,请说明理由. an-1 2an-1+1 1-2an 2an-1+1 (1)证明 当 n>1,n∈N*时, = ? = an an 1-2an a n- 1 1 1 1 1 1 ? -2=2+ ? - =4?bn-bn-1=4,且 b1= =5. an a1 a n- 1 a n a n- 1 ∴{bn}是等差数列,且公差为 4,首项为 5. 1 1 (2)解 由(1)知 bn=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.∴an= = ,n∈N*. bn 4n+1 1 1 1 1 1 ∵a1= ,a2= ,∴a1a2= .令 an= = ,∴n=11. 5 9 45 4n+1 45 即 a1a2=a11,∴a1a2 是数列{an}中的项,是第 11 项.

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