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2017卓越学案高考总复习·数学文(新课标)第12章选修4-4第2讲回归教材题源探究


1.(选修 4-4 P15 习题 T5 改编)以直角坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标 ? ?x=2cos α π θ+ ?=2 2,曲线 C 的参数方程为? 系,直线 l:ρsin? (α 为参数). ? 4? ?y=sin α ? (1)求 l 与 C 的直角坐标方程; (2)A、B 是曲线 C 上距离最远的两点,在 l 上是否存在点 P,使 PA⊥PB,若存在,求出 P 点坐标,若不存在,说明理由. 解:(1)∵直线 l 的极坐标方程为 π? 2 2 ρsin? ?θ+4?=2 2,∴ 2 ρsin θ+ 2 ρcos θ=2 2,∴x+y-4=0 为直线 l 的直角坐标方 程. ?x=2cos α ? x2 ∵曲线 C 的参数方程为? (α 为参数),∴曲线 C 的直角坐标方程为 +y2=1. 4 ?y=sin α ? (2)由 A、B 是曲线 C 上距离最远的两点,则 A、B 为椭圆 C 长轴上的两个端点,由(1) 知,A(-2,0),B(2,0), → → 假设直线 l 上存在一点 P(x,4-x),使得 PA⊥PB,即PA=(-2-x,x-4),PB=(2-x, x-4), → → 则PA· PB=0,即-(2+x)(2-x)+(x-4)2=0, x2-4x+6=0, ∵Δ=16-24=-8<0,故方程 x2-4x+6=0 无解,即直线 l 上不存在点 P,使得 PA⊥ PB. ? ?x=2+tcos α, 2. (选修 4-4 P36 例 1 改编)已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数, α 为倾 ?y=tsin α ? π x2 y2 斜角,且 α≠ ),它与曲线 + =1 交于 A,B 两点. 2 16 12 (1)写出直线 l 的一般方程及直线 l 通过的定点 P 的坐标; (2)求|PA|· |PB|的最大值. ?x=2+tcos α, ? 解:(1)∵? ?y=tsin α ? ?t为参数,α为倾斜? ? ?, ?角,且α≠π ? 2 ? ? ∴ y tsin α = =tan α,∴直线 l 的一般方程为 xtan α-y-2tan α=0. x-2 tcos α 直线 l 通过定点 P 的坐标为(2,0). ?x=2+tcos α, ? (2)∵l 的参数方程为? ?y=tsin α, ? x2 y2 椭圆方程为 + =1,右焦点坐标为(2,0). 16 12 又∵3(2+tcos α)2+4(tsin α)2-48=0,即(3+sin2α)t2+12cos α· t-36=0. ∵直线 l 过椭圆的右焦点,∴直线 l 恒与椭圆有两个交点. ∴|PA|· |PB|= 36 . 3+sin2 α π ∵0≤α≤π,且 α≠ ,∴0≤sin2α<1, 2 ∴|PA|· |PB|的最大值为 12. 3.(选修 4-4 P37 例 2 改编)以直角坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 π? 1 x2 y2 ? 0 , 系.点 M 的极坐标为( 5,θ),且 tan θ= ,θ∈? 2?,椭圆 C: + =1. 2 16 4 (1)求点 M 的直角坐标与曲线 C 的参数方程; (2)过点 M 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,且 M 为线段 AB 的中点,P 是 C 上的一 个动点,求△PAB 面积的最大值. π 1 2 5 5 0, ?得 cos θ= 解:(1)由 tan θ= ,θ∈? , sin θ = ,又 ρ= 5,∴x=ρcos θ=2, ? 2? 2 5

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