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1.3.1柱体椎体台体的表面积和体积课件


1.3.1 柱体、锥体、 台体的表面积

一、填空
?

?

S ? ab 。 (1)矩形面积公式: __________ 1 S ? ah (2)三角形面积公式:_________ 。 2
3 2 S? a 正三角形面积公式:_______ 。 4 S ? ?r 2 (3)圆面积面积公式:___

______ 。

? ? ?

(4)圆周长公式:

?

C ? 2? r _________ 。 1 S ? rl (5)扇形面积公式: __________ 。 2

?

?

1 S ? ( a ? b) h 2 (6)梯形面积公式: __________ 1 S ? (l ? l ' )( r ? r ' ) 2 (7)扇环面积公式: ______________ 。

提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗?

几何体表面积

展开图 空间问题

平面图形面积 平面问题

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积?

棱柱的展开图

h
棱柱的侧面展开图

棱锥的展开图

侧面展开

h'

h'

棱锥的侧面展开图

棱锥的展开图
棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

侧面展开
h'

棱台的侧面展开图

h'

?

用空间几何体的展开图来求它的表面积
几何体的展开图 侧面展开图的构成

一组平行四边形

一组三角形

一组梯形

表面积=侧面积+底面积

典型例题
例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 . 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成. S 解:先求 ?ABC的面积,过点S作 SD ? BC,
A B D C

3 a 因为BC=a,SD ? SB ? sin 60 ? 2
?

交BC于点D.

S ?ABC 所以:

1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

因此,四面体S-ABC 的表面积.

变式1.已知棱长为a,底面为正方形,各侧面均为等边三 角形的四棱锥S-ABCD,求它的表面积。

圆柱的表面积
r O?

l
O

2?r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )
2

圆锥的表面积

2?r

l

r

O
2

圆锥的侧面展开图是扇形

S圆锥表面积 ? ?r ? ?rl ? ?r(r ? l )

圆台的表面积
类比圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的侧 面展开图是什么 .

r 'O’
l

2?r '

2?r

r

O
2 2

圆台的侧面展开图是扇环

S圆台表面积 ? ? (r? ? r ? r?l ? rl )

圆柱、圆锥、圆台表面积
侧面展开图 侧面积
S侧 ? 2?r ? l ? 2?rl

表面积

S ? 2?r (r ? l )

1 S侧 ? ? 2?r ? l 2 ? ?rl

S ? ?r (r ? l )

1 S侧 ? (2? r '? 2? r ) ? l S ? ? (r '2 ?r 2 ? r ' l ? rl ) 2 ? (r '? r )? l

三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系?

r O?

l
O

r?=r
上底扩大

r 'O’
l

r ?=0
上底缩小

l

r

O

r

O

S柱 ? 2?r (r ? l )

S台 ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl ) S锥 ? ?r (r ? l )
? 4?R
2

球的表面积公式: S

练习:

1.已知圆柱的半径为2,高为3,则其侧面积为_____ 其表面积为___________ 2.已知圆锥的半径为2,母线为2,则其侧面积为____ 其表面积为___________ 3.已知圆台的上底面的半径为2,下底面的面积为3, 母线为1,则其侧面积为______ 表面积为______ 4.已知球的半径为1,则其表面积为___________ 5.已知圆柱的表面积为6π,半径为1,则其母线为__ 6.已知圆锥的半径为2,高为2,则其侧面积为_____ 其表面积为__________ 7.已知圆锥的半径为2,表面积为12π,则其母线为___ 高为__________侧面积为__________ 8.已知圆台的表面积为18π,上底面的半径为2, 下底面的面积为3,则母线为____,则其侧面积为____

巩固训练:

1.圆锥的正视图是正三角形,则它的侧面积是底 面积的( A. 2倍 C.2 倍 ) B.3 倍 D.5 倍

解析: 设圆锥的底面半径为r,则母线长为2r. S侧=πrl=πr·2r=2πr2,S底=πr2, ∴圆锥的侧面积是底面积的2倍. 答案: C

2.面积为 Q 的正方形,绕其一边旋转一周,则所 得几何体的侧面积为________.
解析: 由题意知,圆柱的底面半径 r= Q,母线 长为 l= Q. S 侧=2πrl=2π Q· Q=2πQ.

答案:

2πQ

能力提升:
某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( ) (A)180 (B)200 (C)220 (D)240

柱体、锥体、台体的体积
我们已经知道特殊的棱柱——正方体长方形以及圆 柱的体积公式可以统一为:V=Sh

高h
柱体体积公式:V[柱体]=Sh

底面积S

设三棱锥底面积为S,高等于h,则三棱锥体积: V=(1/3)Sh

设有底面积都等于S,高等于h的两个椎体

思考5:根据棱台和圆台的定义,如何计算台体的体 积? 设台体的上、下底面面积分别为S′、S,高为h,那 么台体的体积公式是什么? 上底面积

S′
高h 下底面 积S

1 V ? (S ? ? S ?S ? S )h 3

在台体的体积公式中,若S′=S, S′=0,则公式分别变 形为什么?

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S′=S

S′=0
1 V ? Sh 3

V ? Sh

练习:

1.已知圆柱的半径为2,高为3,则其体积为_____ 2.已知圆锥的半径为2,母线为2,则其体积为_____ 3.已知圆台的上底面的半径为2,下底面的面积为3, 母线为1,则其则其体积为_____ 4.已知球的半径为1,则其体积为_____ 5.已知圆柱的侧面积为4π,半径为1, 则其则其体积为_____ 6.已知圆锥的半径为2,高为2,则其体积为_____ 7.已知圆锥的半径为2,表面积为12π, 则体积为__________ 8.已知圆台的表面积为18π,上底面的半径为2, 下底面的面积为3,则其体积为_____


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