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1.1.2课件棱柱棱锥和棱台的结构特征下


1.1.2 棱柱、棱锥和棱台 的结构特征(二)

棱 柱

棱 锥

棱 台

学习目标:
? 1.认识和了解棱锥、棱台的结构特征,掌握

棱锥和棱台的定义。 ? 2.了解棱锥和棱台的相关概念、记法和分类, 初步了解棱锥和棱台的性质。 ? 3.掌握正棱锥或正棱台中可以

称之为核心图 形的那些直角三角形或直角梯形。

1.棱锥:有一个面是多边形,而其余各面都是有一个 _________的三角形,由这些面围成的几何体叫做棱锥。 公共顶点 棱锥的侧面 ;各侧 棱锥中有公共顶点的各三角形,叫做___________ 面的公共顶点叫做___________ 棱锥的顶点 ;相邻两侧面的公共边叫 棱锥的侧棱 ;多边形叫做___________ 棱锥的底面 ;顶点到底面的 做___________ 距离,叫做_________ 棱锥的高 。

S

棱锥的顶点 棱锥的侧棱

棱锥的高

棱锥的侧面

E

D
O A B

C
棱锥的底面

2.棱锥的记法: 棱锥用表示 顶点 和 底面各顶点 的字母来表 示(或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的 字母来表示)。如上例中棱锥可记为:棱锥S- ABCDE(或记为棱锥S-AC)。 3.棱锥的分类: 棱锥按 底面 是三角形、四边形、五边 形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

三棱锥(四面体)

四棱锥

五棱锥

4.正棱锥:如果棱锥的底面是 正多边形 ,且 它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线 上,则这个棱锥叫做正棱锥。正棱锥各侧面 都是 全等的等腰三角形 ,这些等腰三角形底 边上的高都相等,叫做 棱锥的斜高 。
5.棱锥简图的画法: (1)画底面; (2)取顶点; (3)连线;(4) 成图:注意实线与 虚线。
S

D E A

O
B

C

M

问题一:
下列说法正确的是 (2) (请把你认为正确说法 的序号都填在横线上)。 (1)有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些 面围成的几何体是棱锥。(2)四面体的任何一个面都可 以作为棱锥的底面。(3)底面是正多边形的棱锥一定是 正棱锥。(4)棱锥的各侧棱长相等。

问题二:
设计一个平面图形,使它能够折成一个侧面与底 面都是等边三角形的正棱锥。

问题三:
已知正四棱锥V-ABCD,底面面积为16,一条侧棱 长为2 11 ,计算它的高和斜高。(注意正四棱锥的画 法) 解:设VO为正四棱锥V-ABCD的高, 作OM⊥BC于点M,则M为BC中点,连 接OM、OB,则VO⊥OM,VO⊥OB.
因为底面正方形ABCD的面积 是16,所以BC=4,MB=OM=2,

OB ? BM 2 ? OM 2 ? 2 2
又因为VB= 2 11 ,在Rt△VOB中,由勾股定理得

VO ? ?

VB 2 ? OB 2
2 2

(2 11) ? (2 2) ? 6 在Rt△VOM中,由勾股定理得

VM ? 6 ? 2 ? 2 10
2 2

即正四棱锥的高为6,斜高为

小结:

2 10



在正棱锥中,有三个核心直角三角形,它们分别是: (1)高、斜高和相应的边心距组成一个直角三角形; (2)高、侧棱和相应底面外接圆的半径组成一个直角三 角形; (3)斜高、侧棱和相应底面边长的一半组成一个直角三 角形。

棱 锥

棱 台

5.棱台:棱锥被 平行于底面 的平面所截,截面和底 面间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台 的 下底面 、上底面 ;其他各面叫做 棱台的侧面 ;相 邻两侧面的公共边叫做棱台的 侧棱 ;两底面间的距离叫 做棱台的 高 。 上底面 侧棱 侧面 高 顶点 下底面

2.棱台的表示: 棱台可用表示上下底面的字母来命名。如下 图中的棱台可以记 作: 棱 台ABCD-A’B’C’D’ 或 棱 台AC’。 3.棱台的分类: 按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、 五棱台等;

A

三棱台

四棱台

五棱台

4.正棱台:由 正棱锥 截得的棱台叫做正棱台。 正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰 斜高 梯形的高叫做正棱台的 。

正棱锥

正棱台

5.棱台简图的画法: (1)画棱锥;(2)截棱台;(3)成图, 注意实线与虚线。

问题一: (1)下面左图中棱台AC’的上底面是ABCD么? 为什么? (2)下面右图中的几何体是不是棱台?为什 么?
D A D’ A’ B C’ C

B’

问题二:设正三棱台ABC-A’B’C’的上底面和下 底面的边长分别为2cm和5cm,侧棱长为5cm, 求这个棱台的高。
解:设O’O为此棱台上下底面的中心,连接O’O,则线 段O’O的长即为棱台的高。连接A’O’、AO,在直角梯 A’ O’ C’ 形A’AOO’中,过A’作AO的垂线 A’E交AO于点E, B’
3 2 2 3 由题知,A' O' ? 2 ? ? ? cm, A 2 3 3 5 3 AO ? cm。在直角三角形AA' E中, 3 AA' ? 5cm, AE ? AO ? A' O' ? 3cm,

E O B

C

A' E ? AA 2 ? AE 2 ? 22cm.即棱台的高为 22cm.

小结:

在正棱台中,有三个核心直角梯形,它们分别是: (1)两底面中心的连线、两底面相应外接圆的半径和侧棱组成一 个直角梯形; (2)两底面中心的连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形; (3)斜高、侧棱和相应上、下两底面边长的一半组成一个直角梯 形。

A’ O’ C’ D’ B’ A D O B C

温故知新:
棱柱、棱锥与棱台的相互转化关系如下:
棱柱 棱锥 转化 割补 棱台

小结
棱锥和棱台的结构特征及其相关概念、记法、 分类、画法。 正棱锥和正棱台中的核心图形起到了化立体为 平面的作用。


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