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北京八中北海分校2016届高三第一次月考数学理试题


北京八中北海分校 2016 届高三第一次月考试题
理科数学 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? 1,3, m , B ? ?1, m? , A ? B ? A ,则 m ? ( 2015 年 9 月

?

?



A.0 或 3

B.0 或 3

C.1 或 3 ) C. 1 ? i

D.1 或 3

2.设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,则 z ? ( A. ? 1 ? i 3.在二项式 ? x ? A.12 B. ? 1 ? i
4

D. 1 ? i

? ?

2? 2 ? 的展开式中, x 项的系数为( x?
B.4 C .6

) D.8 ) D. y ? log 1 x
2

4.下列函数中,在定义域内既是奇函数又为增函数的是(
x A. y ? ( )

1 2

B. y ? sin x

C. y ? x

3

5.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f (x) ? log 2 x ,则 f (?8) 值为( A.3 B.



1 3
2

C. ?

1 3

D. ?3

开始
0.2

6.实数 a ? 0.2 关系正确的是( A. a ? c ? b C. b ? a ? c

b ? log 2 0.2
) B. a ? b ? c D. b ? c ? a

c ? 2 的大小

输入 N

k ? 1, S ? 0

6 7.若按右侧算法流程图运行后,输出的结果是 ,则输入的 N 7
B. 6 C. 7 D. 8 ? ? ? ? ? ? ? ? 8.若 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 a 的夹角为( A. 的值为 A. 5

S?S?

1 k (k ? 1)


k ? k ?1

k ? N?
) 否 输出 S 结束

?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6


9.函数 f ? x ? ? 2 x ? x ? 2 的一个零点所在区间为( A. ?1, 2 ? B. ? 0,1? C. ? 2,3? D. ? 3, 4 ?

?x ? 1 ? 10. 已知 a ? 0 , 若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1 , 则a ? x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 , ( ? y ? a ( x ? 3) ?
A.



1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

11.等差数列 ?an ? 前项和为 Sn ,已知 2a8 ? 6 ? a11 ,则 S9 ? A.27 B.36 C.45 D.54

12.一个几何体的三视图如右图所 示,则这个 几何体的体积是( ) 2 2 正视图 2 2

侧视图

2 A.1 C.3 B.2 D.4 俯视图

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上。 13.已知函数 f ( x) ? ? 14.已知 ? ? (0,

?log 4 x, x ? 0 ?3 , x ? 0
x

,则 f [ f ( )] ? ________

1 4

?
2

) , cos ? ?

15.三棱锥 A-BCD 的侧棱两两相等且相互垂直,若外接球的表面积 S ? 8? ,则侧棱的长 =__________ 16.若函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 在其定义域内的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不是单调函数,则
2

4 ,则 sin(? ? ? ) ? 5

实数 k 的取值范围是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤。 17.在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 a ? 2 3 , A ? (Ⅰ)若 b ? 2 2 ,求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c ? 2 ,求边 b 的长

?
3

.

18.已知正项数列 ?a n ? 满足 a1 ?

1 an ,且 a n ?1 ? . 2 1? an

(1)求正项数列 ?a n ? 的通项公式; (2)求和

a1 a 2 a ? ? ?? ? n 1 2 n

19.某班同学利用暑假在 A、B 两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查 及宣传活动.若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则,称为“非低碳族” .各小区 中,这两“族”人数分别与本小区总人数的比值如下表:

(Ⅰ)如果甲、乙来自 A 小区,丙、丁来自 B 小区,求这 4 人中恰有 2 人是“低碳族” 的概率; (Ⅱ)经过大力宣传后的连续两周,A 小区“非低碳族”中,每周有 20%的人加入到“低 碳族”的行列.这两周后,如果从 A 小区中随机地选出 25 个人,用 ξ 表示这 25 个人中的“低 碳族”人数,求数学期望 E(ξ).

20.如图,在四棱锥 E-ABCD 中,AB⊥平面 BCE,CD⊥平面 BCE,AB=BC=CE=2CD=4,∠BCE=60° . (Ⅰ)证明:平面 BAE⊥平面 DAE; (Ⅱ) 设线段 AB 的中点为 P, 求直线 PE 与平面 DCE 所成的角 21.已知函数 f ? x ? ? x ? 2ln x
2

(Ⅰ) 求函数 f ? x ? 的单调递减区间; (Ⅱ)若对任意 x ? (0, ??) ,不等式 f ( x) ? x( x ? a) 恒成立,求实数 a 的取值范围

选做题:请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作 答时请写清题号。 22. 选修4 — 1 :(本小题满分10 分)几何证明选讲 如图,在, ?ABC 中,

?C 为钝角,点E、H分别是边AB上
的点,点K和M分别是边AC和BC上的

题 座位号 要 不 内 考场 答

点,且AH=AC , EB=BC , AE=AK , BH=BM. (I)求证:E、H、M、K四点共圆 (II )若KE=EH,CE=3,求线段KM的长.

23 选修 4 - 4 :(本小题满分 10 分) 坐标系与参数方程 ? ?x ? t 平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) ,以坐标原点为 ? ? y ? 3t 极点,
x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为

? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 2 ? sin? ? 3 ? 0 .
(Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、B两点,求 | AB | 24. 选修4 - 5 :(本小题满分10 分)不等式选讲 已知实数 a, b, c, d 满足 a ?b ? 1, c ? d ? 2 ,求 ac ? bd 的最大值.
2 2 2 2

姓名

线

2016 届高三第一次月考
理 科 数 学 答 题 卷



题 号





三 17 18 19 20 21 选

总分

班级



得 分

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、 14、 15、 16、

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分)

18.(本小题满分 12 分)

19. (本小题满分 12 分)

20. (本小题满分 12 分)

21. (本小题满分 12 分)

选做题(本小题满分 12 分) ,您选择的是第(

)题









2016 届高三第一次月考理科数学参考答案与评分细则
一、选择题:每小题 5 分,满分 60 分 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 D 6 C 7 B 8 B 9 A 10 B 11 D 12 D

二、填空题:每小题 5 分,满分 20 分 13、

1 3

14、

3 5

15、

2 6 3

16、 [1, )

3 2

三、解答题(满分 70 分) 17 解: (I)由正弦定理

a b 2 2 3 2 2 ? ,得 ,解得 sin B ? …………2 ? sin A sin B 2 3 sin B 2

分 由于 B 为三角形内角, b ? a ,则 B ? 所以 C ? ? ?

?
4



………………4 分 . . . ………………………6 分

?
3

?

?
4

?

5? , 12

(II) 依题意,cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 b 2 ?4 ? 1 2 2 , 即 ? , 整理得 b ? 2b ? 8 ? 0 .………9 2 4b 2bc
………………………12 分 ……………8 分

分 又 b ? 0 ,所以 b ? 4 . 另解:由于

a c 1 2 3 2 ? ,所以 ,解得 sin C ? , ? sin A sin C 2 3 sin C 2

由于 a ? c ,所以 C ? 分 由A?
2

?
6



. . . . ………………………10

?
3

,所以 B ?
2 2

?
2

. . ………………………12 分

由勾股定理 b ? c ? a 18 解:由 a n ?1 ? 分 ∵ a1 ?

,解得 b ? 4 .

an 1 1 . 可变形为: a n ?1a n ? a n ?1 =a n ∴ ? =1 ┄┄┄┄┄┄┄┄3 1? an a n ?1 a n

?1? 1 ,∴数列 ? ? 是首项为 2,公差为 1 的等差数列. 2 ?an ?

1 1 ┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 ? 2 ? n ? 1 ? n ? 1 ,∴ a n ? n ?1 an
(2)

a1 a 2 a 1 1 1 ? ? ?? ? n ? ? ?? ? 1 2 n 2 ?1 3 ? 2 (n ? 1)n

?1 ?

1 1 1 ? ? ? ? 2 2 3

1 1 1 ? ? ? 1? ┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 n n+1 n+1

19 解: (Ⅰ)记“这 4 人中恰有 2 人为低碳族”为事件 A
则P ( A) =
= 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 4 4 × × × + 4× × × × + × × × 2 2 5 5 2 2 5 5 2 2 5 5 33 …………………………………………4 分 100

(Ⅱ)设 A 小区的总人数为 a,过两周后,A 小区中的“非低碳族”人数与本小区的 1 1 2 a× × (1- ) 2 5 8 总人数之比为 = ………………………… 8分 a 25
从而易知,这两周后小区中的“低碳族”人数与本小区的总人数之比为 1- 8 17 = 25 25

∴ ξ~ B ( 2 5 ,

17 ) 25

∴E(ξ) = 25×

17 = 17 25

故数学期望 E(ξ)为 17 …………………………………12 分 20 解: (Ⅰ)证明:分别取 BE、AE 的中点 G、F,连 DF,FG,CG,则 CG ? BE 由已知 AEB⊥平面 BCE,∴CG⊥平面 AEB 易证 CD/ /FG ∴CDFG 是矩形,∴CG∥DF ∴FD⊥平面 ABE.又 DF ? 平面 ADE 从而平面 ABE⊥平面 ADE.┄┄┄┄┄┄6 分 (Ⅱ)设 P 到平面 DCE 的距离为 h ,则 h 等于 B 到平面 DCE 的距离 过 B 作 BH ? CE,则 BH⊥平面 DCE, BH ? 2 3 , 又 PE ? 42 ? 4 ? 2 5 , 设 PE 与平面 DCE 所成的角为 ? ,则 sin ? ?

h BH 2 3 15 ? ? ? PE PE 2 5 5

∴PE 与平面 DCE 所成的角为 arcsin

15 ┄┄┄┄┄┄12 分 5
/

21 解: (?)函数 f ? x ? 的定义域为 (0, ??) , f 当 x ? (0,1) 时, f
/

? x ? ? 2x ?

2 2( x ? 1)( x ? 1) ? x x

? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 的单调递减区间为 (0,1)
2

(Ⅱ)由 f ( x) ? x( x ? a) 得 x ? 2ln x ? x( x ? a) ,? ax ? ?2 ln x ,? a ? ? 记 g ( x) ? ?

2 ln x 2 ? 2 ln x / / ,则 g ( x) ? ? ,令 g ( x) ? 0 得 x ? e 2 x x
/ /

2 ln x x

当 x ? (0, e) 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? (e, ??) 时, g ( x) ? 0

2 2 ,于是 a ? ? e e 2 所以实数 a 的取值范围是 (??, ? ) e
∴ g ( x) 的最小值为 g (e) ? ? 选做题 22. 证明:⑴连接 CH ,

? A C? A H , A? K

A ,E

注意到等腰梯形的对角互补, ? 四边形 CHEK 为等腰梯形, 故 C , H , E , K 四点共圆,----------- 3 分 同理 C, E, H , M 四点共圆,

即 E, H , M , K 均在点 C, E, H 所确定的圆上,证毕.--------------- 5 分 ⑵连结 EM , 由⑴得 E , H , M , C , K 五点共圆,----------- 7 分

? CEHM 为等腰梯形,? EM ? HC ,故 ?MKE ? ?CEH , 由 KE ? EH 可得 ?KME ? ?ECH ,故 ?MKE ? ?CEH , 即 KM ? EC ? 3 为所求. -------------------10 分
23 解: (Ⅰ)消去参数得直线 l 的直角坐标方程: y ? 3 x ---------2 分

? x ? ? cos ? ? 由? 代入得 ? sin? ? 3? cos ? ? ? ? ( ? ? R) . y ? ? sin ? 3 ?

? 4? 或? ? ( ? ? 0) )---------------------5 分 3 3 ? ? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 2? sin? ? 3 ? 0 ? (Ⅱ) ? 得 ? ? ? ?
( 也可以是: ? ?

?

3

? ? 3? ? 3 ? 0 -----------------------------7 分 ? ? 设 A( ? 1 , ) , B( ? 2 , ) , 3 3
2

则 | AB |?| ?1 ? ? 2 |?

( ?1 ? ? 2 ) 2 ? 4 ?1 ? 2 ? 15 .---------10 分

24.解:? (ac ? bd )2 ? (ac) 2 ? (bd ) 2 ? 2abcd ? (ac ) 2 ? (bd ) 2 ? (ad ) 2 ? (bc) 2

? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? 2 ,-----5 分

? | ac ? bd |? 2 ,即 ? 2 ? ac ? bd ? 2 ,--------8 分
当且仅当 ad ? bc ,即 综上 ac ? bd 的最大值为 2 .

c d ? ? 2 时取最大值 2 a b



--------------------------------10 分


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