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圆锥曲线第一讲 椭圆定义与性质的应用


圆锥曲线第一讲

椭圆定义与性质的应用

一、知识要点 1.椭圆的定义是解决问题的出发点,尤其是第二定义,如果运用恰当可收到事半功倍之效(如关于求焦 半径的问题). (1).到两个定点 F1、F2 的距离之和等于定长(>|F1F2|)的点的轨迹 (2).到定点 F 与到定直线 l 的距离之比等于常数 e(∈(0,1) )的点的轨迹 2.要明

确参数 a、b、c、e 的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题 顺利解决. 掌握直线与椭圆位置关系的判定方法—— “△” 法; 掌握弦长公式 d ? 1 ? k 2 ? | x1 ? x2 | ; “韦 达定理、设而不求”的技巧在解题中的使用.
y M1 K 1 A1 F1 O B P A2 F2 M2 K2 x

3.椭圆参数的几何意义,如下所示: (1)|PF1|+|PF2|=2a,

| PF1 | | PF2 | = =e; (2)|A1F1|=|A2F2|=a-c,|A1F2|=|A2F1|=a+c; | PM 1 | | PM 2 |
2a 2 b2 ,|PM2|+|PM1|= . c c r1=|PF1|=a+ex,r2=|PF2|=a-ex
(4)|F1K1|=|F2K2|=p=

(3)|BF2|=|BF1|=a,|OF1|=|OF2|=c; (5)焦半径:P(x,y)∈E ,

本节的重点是椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数 a、b、c、e 的关系,及利用第二定义 解决问题,关键是注意数形结合,函数与方程的思想,等价转化的运用.为此建议在教学中注意以下几点: (1)椭圆中有一个十分重要的三角形 OF1B2,它的三边长分别为 a、b、c.易见 c =a -b ,且若记∠OF1B2= θ ,则 cosθ =
2 2 2

c =e. a

(2)椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点 F1、F2 的距离之和等于|F1F2|时,其 动点轨迹就是线段 F1F2;当平面内的动点与定点 F1、F2 的距离之和小于|F1F2|时,其轨迹不存在. (3)椭圆标准方程中两个参数 a 和 b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中,总有 a>b>0;椭圆的 焦点位置决定标准方程的类型;a、b、c 的关系是 c =a -b ;在方程 Ax +By =C 中,只要 A、B、C 同号, 就是椭圆方程. (4)当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离,焦点弦长相关时,常利用椭圆的第二定义,转化为点到准 线的距离来研究,即正确应用焦半径公式. (5)使用椭圆的第二定义时,一定要注意动点 P 到焦点的距离与对应准线距离之比为常数 e.若使用的焦 点与准线不是对应的,则上述之比就不再是常数了. 二、典例剖析 例 1、 已知 F1 为椭圆的左焦点,A、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,P 为椭圆上的点,当 PF1⊥F1A, PO∥AB(O 为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.
2 2 2 2 2

1

例 2、 若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于 A、B 两点,M 为 AB 的中点,直线 OM(O 为原点)的斜率 为

2 ,且 OA⊥OB,求椭圆的方程. 2

例 3、已知椭圆 C 的焦点分别为 F (?2 2,0), F2 (2 2,0) ,长轴长为 6,设直线 y ? x ? 2 交椭圆 C 于 A、 1 B 两点,求线段 AB 的中点坐标。

例 4、已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆相交于点 P 和点 Q,且 OP⊥OQ,|PQ|=

10 ,求椭圆方程. 2

x2 y 2 2 ? 2 ? 1, ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 e ? ,右准线为 l ,M , N 是 l 2 a b 2 ????? ???? ? ????? ???? ? 上的两个动点, F M ? F2 N ? 0 (Ⅰ)若 F1M ? F2 N ? 2 5 ,求 a , b 的值; 1
例 5、设椭圆 (Ⅱ)证明:当 MN 取最小值时, F M ? F2 N 与 F1F2 共线。 1

????? ???? ?

???? ?

三、夯实基础

x2 2 +y =1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为 P,则| PF2 | 4 3 7 等于( ) A. B. 3 C. D.4 2 2
1.椭圆 2.设 F1、F2 为椭圆的两个焦点,以 F2 为圆心作圆 F2,已知圆 F2 经过椭圆的中心,且与椭圆相交于 M 点, 若直线 MF1 恰与圆 F2 相切,则该椭圆的离心率 e 为( A. ) D.

3 -1

B.2- 3

C.

2 2
) (C) 2 个

3 2

3、直线 x=2 与椭圆 (A)0 个

x2 y2 ? ? 1 的交点个数为( 4 3
(B)1 个

(D) 3 个

2

4、直线 y=1 被椭圆

x2 y2 ? ? 1 截得的线段长为( 4 2
(B)3 2



(A)4 2

(C) 2 2 )

(D)

2

5、直线 y=mx+1 与椭圆 x2+4y2=1 有且只有一个交点,则 m2=( (A)

1 2

(B)

2 3

(C)

3 4

(D)

4 5

6、椭圆

x2 y2 ? ? 1 的长轴端点为 M、N,不同于 M、N 的点 P 在此椭圆上,那么 PM、PN 的斜率之积 4 3
)(A)-

为(

3 4

(B)-

4 3

(C)

3 4

(D)

4 3


x2 y2 ? ? 1 所截得的弦中点,则 l 方程是( 7、已知点(4,2)是直线 l 被椭圆 36 9
(A)x-2y=0 (B)x+2y-4=0 (C)2x+3y+4=0 )

(D) x+2y-8=0

8.直线 y = x +1 被椭圆 x 2+2y 2=4 所截得的弦的中点坐标是( A.(

1 2 ,- ) 3 3

B.(-

2 1 , ) 3 3

C.(

1 1 ,- ) 2 3

D.(-

1 1 , ) 3 2

9. 已知椭圆

4 x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到左焦点的距离是 ,那么点 P 到椭圆的右准线的距离是( ) 3 9 5
C.7
2

A.2

B.6
2

D.

14 3
2

y 10.曲线 x +
25
A.长轴长相等 11.已知椭圆 x
2

9

=1 与曲线

25 ? k

x

2



y

9?k

=1(k<9 )的( C.离心率相等

) D.焦距相等 )

B.短轴长相等

5

y +

2

m

=1 的离心率 e=

10 ,则 m 的值为( 5
C.

A.3

B.

25 或 3 3

5

D.

5 15 或 15 3

12.已知椭圆 C 的中心在原点,左焦点 F1,右焦点 F2 均在 x 轴上,A 为椭圆的右顶点,B 为椭圆短轴的端 点,P 是椭圆上一点,且 PF1⊥x 轴,PF2∥AB,则此椭圆的离心率等于( )

A.

1 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

5 5

13、椭圆

9 x2 y2 ? ? 1 上有三点 A(x1,y1)、B(4, )、C(x2,y2),如果 A、B、C 三点到焦点 F(4,0)的距离 5 25 9
.(提示:利用焦半径公式)
3

成等差数列,则 x1+x2=

14、直线 x-y+1=0 被椭圆

x2 y2 ? ? 1 截得的弦长为 16 4

.

15. 点 P 在椭圆 ____________.

x2 y2 + =1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐标是 25 9

16、如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴的椭圆,那么实数 k 的取值范围是____________. 17、椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短 距离是 3 ,求这个椭圆方程.

18、直线 l 过点 M(1,1) ,与椭圆 程.

x2 y2 + =1 相交于 A、B 两点,若 AB 的中点为 M,试求直线 l 的方 4 3

19.椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c,0) c ? 0 )的准 ( 线 l 与 x 轴相交于点 A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点. (Ⅰ)求椭圆的方程及离心率; (Ⅱ)若 OP ? OQ ? 0 ,求直线 PQ 的方程;

20.已知椭圆的中心在原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y = x +1 与该椭圆相交于 P 和 Q,且 OP⊥OQ,

|PQ|=

10 ,求椭圆的方程. 2

4


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