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数学竞赛之窗2010年模拟题(11-20)


内 数学竞赛之窗》 部资料 《



1页

⒛ 10年 全 国高 中数 学联赛模 拟卷 (11)第 -试
(考 试时间:gO分 钟
学校

满分 :120分 )
编号

姓名

___得


r />一、 填空题 (本 大题共 8小 题 ,每 小题 8分 ,共 “ 分 )
1.设 函数 /【 艿 足 )满
《拦 引

=双 茄 )+2,贝 刂 3)〓 只

2.一 个直角三角形 的两条直角边长 色 ,b满 是不等式
+16≤ 3, +19+/b2~4厅 犭 //@2~6历 。
则这个直角三 角形的斜边长为

.

B、 BCD中 棱 ⒕ BC、 CD的 中点 ,则 二 面角 C-FC-E的 大小是 3.设 E、 F、 C分 别是正 四面体 姓

4.定 义在正整数集且在正整数集上取值的函数 r满 足 /【
只 n)+灭 屁+1)+rCfl n))〓 贝 ~K2010)= 刂
3尼

1)≠ 1,且 对任意 乃 NⅢ 有 ∈

+1,

5.已 知过点 P(0,1)的 直线与双曲线 3为
恰好过原点 ,则 该直线的斜率为 ⒍ 若锑

2-尸 〓 B为 1交 于不同的两点 ⒕ B,且 以 ⒕ 直径的圆 、

z妫



数沮 ′…

'删

s〓


〓 缶

的最小豳

7.用

oⅡ

表示最接 近 历 的整数 ,贝 刂 六

+亻 +芳 +¨ ?

8.某 家电影院的票价为每张 5元 ,现 有 10个 人 ,其 中 5个 人手持 5元 钞票 ,另 外 5个 人手持
10元 钞票 ,假 设开始售票处没有钱 ,这 10个 人随机排 队购票 ,则 售票处 不会 出现找不开钱 的局 面
的概率是



2



⒛ 10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (11)

二、 解答题 (本 大题共 3小 题 ,第 9题 16分 ,第
9.已 知
另,y∈ (0,詈 卜 求 函 数 r【 艿 )〓
/′

10、

11题 ⒛ 分 ,共 “ 分 )
.

⒍ n跖 +tan茄

+/cos多 +c⒍ 另的 最 小 值

数 竞赛 《 学 之窗 内 料 》 部资 10.已 知抛物线 C:y〓



3



72与 直线 J:/〓 拓 -1没 有公共点 ,设 点 P为 直线 J上 的动点 ,过 P作
.

抛物线 C的 两条切线 ,且 ,B为 切点 (1)证 明 :直 线 AB恒 过定点 o; (2)若 点 P与 (1)中 的定点 0的 连线交抛物线 C于 ″,Ⅳ 两点 ,证 明

=跚 抖斜针



4



⒛ 10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (11)

11.一 列函数 {几 (艿 )},定 义如下

:

茄(彤 )〓 /'+48, 几+1(艿 )〓 /'+旬 %(为 )(而 ≥1). 对每个正整数 n,求 方程几(艿 )=‰ 的所有实数解。

数 内部资料 《 学竞赛之窗》



5页

zO10年 全 国高 中数 学联赛模 拟卷 (11)加 试
(考 试时间 △ 50分 钟
学校

满分 :180分 ) 编号
得分

姓名

(本 一 、 题满分

40分 )

如图,AABC的 内角平分线 CD、 BE分 别交 AmBC的 外接圆于 BC的 外接圆弧 BC(劣 弧 )上 ABC的 内心 ,设 P为 △⒕ D、 E,r为 △
E、 B、 一 点 ,PD、 PE与 ⒕ 姓C的 交 点 分 别 为 F、 C,PD、 PE与 召

CD的

Ⅳ 交点分别为 ″、 (1)求 证 :P、 Ⅳ、 、 点共圆 ″ r四 (2)求 证 :F、 r、 C三 点共线
.

;

第-题 图



6



⒛ 10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (11)

(本 二 、 题满分 硐 分 )
? ? )1.设 zn元 实数集可划分为 尼 二元子集 个 2,? ,⒕ B9使 得每个子集两数之 给定正整数 龙 ^!,⒕ ? ? ,:Ⅱ ,:Ⅱ 和都等于2.又 可划分为 庀 二元子集 B1,B2,? ? 9使 得 B1,B2,? ? J中 每个的两数之积都等于 个 2.试 求 B:的 两数乘积的取值范围。


数 《 学竞赛之窗 内 料 》 部资
(本 三 、 题满分 ∞ 分 ) 已知复数 α γ的模均不大于 1,求 使得不等式 xF、
1+|α +`+γ |+|昭 +F,/+γ
恒成立 的实数 八的最大值。



7



α |+|婀

|≥

^(|α

|+|卩

|+γ |)



8



⒛ 10年 全国高中数学联赛模拟卷 (11)

(本 四 、 题满分 sO分 ) ? 设集合 姓〓{(%,c,9,? ? ,C:)|巴 J∈ N,1≤ 。 j+叫 ,如 果集合 ⒕的一个子集 X,满 足对于 Z中 J≤ ? ? B),均 至少有三个序号 j,使 得 色 的任意两个不同元素(己 :,色 2,? ? 9cB),(J:,32,? ? 9。 称集合 X J≠ ,贝 刂 “ ” ” 为一个 好子集 ,问 :“ 好子集 最多有多少个元素?
0氵



数 内 《 学竞赛之窗》 部资料



1页

zO10年 全 国高 中数 学联赛模 拟卷 (12)第 -试
(考 试时间 :80分 钟
学校

满分 :120分 ) 编号 得分

姓名

一、 填空题 (本 大题共 8小 题 ,每 小题 8分 ,共 “ 分 )
1.已 知 min{log3(3t+5),厶 2-多 -2}(2,则 实数 艿 取值范围 的 是

2.一 个正六面体 的各个面和一个正八 面体 的各个 面都是边长为 @的 正三角形 ,这 样 的两个
多面体 的内切球 的半径之 比是
3.(艿
+i)1tKl的

.

展开式 中 ,各 项 的系数之和为 △躬 C的 面积

4.在 △昭 C中 ,ELk0zLB的 平分线交 ⒕ C于 Κ.若 Bc〓 2,“ 〓1〃 〓


‰罕

,则

5.对 于 自然数 九 其各位数字之和记为 Ω ,如 ,将 Ⅱ
3,贝 刂 1+@2+… ? 201。 〓 色 +色

c2lx,〓

2+0+0+9〓 11,色 2010〓 2+0+1+0=

6.两 个 三位数 m,尼 恰有一个数位的数字不同 ,且 乃 屁 的倍数 ,则 这样 的三位整数对 (屁 ,尼 ) 是
共有 组。

7.设 抛物线/=跖 的 弦PQ被 直线J:y〓 乃 -1)+1(屁 ∈ (跖 z)垂 直平分,则 弦PQ的 长等于 一

8.已 知非负实数 ?钞v满 定 乙 +v+v=2,则 、、
个。

I:9′

+v2v2+俨

'的

取值范围是



2



⒛ 10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (12)

二、 解答题 (本 大题共 3小 题 ,第 9题 16分 ,第
9.求 所有的角α 得集合{sh α 砣α n3α }〓 ,⒍ ,使 ,⒍

10、

11题 zO分 ,共 “ 分 )

{cos

α ⒓ ,∞ s3α }. ,∞ α

数 内部资料 《 学竞赛之窗》



3



10.已 知多项式 P(跖 )、 Q(多 )和 R(多 )满 足 3)+Q(-多 -跖 2)〓 (1+跖 2艿 P(多 求证 :艿 -1是 P(多 )-0(另 )的 一个 因式
.

+冗

2)R(笳

).



4



⒛ 10年 全国高中数 学联赛模拟卷 (12)

11.已 知椭圆 C过 点 Jr(2,1),两 个焦点分别为 (-厅 ,0),(炻 ,0).o为 坐标原点 ,平 行于 oJf 的直线 J交 椭 圆 C于 不 同的两点 姓 ,B. (1)求 △onB面 积的最大值
;

(2)证 明 :直 线 JrA,lrB与 躬轴围成一个等腰 三 角形

.

数 《 学竞赛之窗 内 料 》 部资



5页

⒛ 10年 全 国高 中数 学联赛模 拟卷 (12)加 试
(考 试时间:150分 钟
姓名

满分 :180分 )
编号
得分

(本 一 、 题满分 硐 分 )
1z0° ,CD为 BC边 上的高 ,Jr,Ⅳ 分别为 BC,⒕ C的 中点 ,直 线 删 ABC中 ,∠ 炽” 〓 如图 ,已 知 △ BfV分 别交 △ ABC的 外接圆 7于 E和 F,E关 于 Jr的 对称点为 P,F关 于 Ⅳ的对称点为 o (1)求 证 :⒕ ,D,o,Ⅳ 四点共圆 (2)求 证 :C,Q,D,P四 点共圆。 冖
; ,

第 -题 图



6



⒛ 1O年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (12)

(本 二、 题满分 硐 分 )

求证:在 集合{','+1,'+2,…
乙 d〓
3c.

,(而

(3(c(J,满 是 2)中 不存在4个 数 色 +1)2}(n∈ z,瓦 ≥

:

内部资料 数学竞赛之窗》 《 (本 三 、 题满 分 m分
)



7页

Ek,正 实 数



^z满





+南

+南



求证:石 笋万 +万 埒万 +z2`+1≤ 导?



8



⒛10年 全国高中数 学联赛模拟卷 (12)

(本 四 、 题满分 ∞ 分 )

-1名 学生可以排成一圈 ,使 得在这个圈上 (n≥ 在一个班里 ,有 尼 4)名 同学。 在这个班里任何 瓦 相邻的两个人是朋友 ,但 所有 n名 学生不能组成类似的圈。 乃的最小值 求

数 竞赛 》 部资 《 学 之窗 内 料



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⒛ 10年 全 国高 中数 学联赛模 拟卷 (13)第 -试
(考 试时间:80分 钟
学校 姓名

满分 :1z0分 )
编号 得分

填 一 、 空题 (本 大 题共

8小 题 ,每 小题 8分 ,共 “ 分 )

C〓 1.已 知直三棱柱 ABC-⒕ lB【 Cl中 ,AB〓 ⒕ AA【 〓1,⒕ 1C⊥ A1B1,贝 刂 过对角线 CBI的 截面面

积 的最小值是
(彤 z.设 品 为正实数,若 满足条件跖

-乃 )≤ y(尻

-y)的 点(跖 ,/)都 被单位圆覆盖,则 乃 的最大值



3.若 抛物线 CⅡ :y='-溺

+m+1与 以 A(0,4),B(4,0)为 端点的线段 昭

恰有两个交点 ,则

m的 取值 范 围是
4.正 实数 @,3满 足 @-3/Ω +1〓 3/3+2-3,则 色+b的 最大值为 5.设 [多 ]表 示不超过 艿 ≤ )=[笳 ]+[2跖 ]+[3跖 ]+[4钌 ]表 示 的最大整数 ,则 当 0≤ 跖 10时 以 多
的所有不同整数的个数是

jC中 ,角 ⒕,B,C的 对 边 分 别 是 色 ,c若 c-色 等 于 AC边 上 的 高 凡 6.在 △⒕ ,则 ,犭
os告 ← -sin告
)?

(sin罟 +cos罟 )〓

7.在
",2,…

5}中 任意取 5个 不同的数 ,其 中至少有 2个 数相邻的概率为 丿

.

⒏ 设复数烈 慨 }满 是 ‰≠o丬 岫


‰ "〓 螽

? ∈ 若对任意 屁 Γ 都有 ‰们 ≈‰ 则 o濉



2



⒛ 10年 全 国高 中数 学联赛模拟卷 (13)

二、 解答题 (本 大题共 3小 题 ,笫 9题 16分 ,第
9.已 知 数 列 {oD}满 足
GO〓 0,%〓

10、

11题 ⒛ 分 ,共 “ 分 )

2 Ⅱ〓←Ⅱ +:+臼
3叼

÷

,且 对 任 意
(巴

D=1,2,… ,均 有
D~1).



求证 :对 任意正整数 n,均 有 |@Ⅱ |(÷

数 《 学竞赛之窗 内 料 》 部资
10.已 知函数



3




试求 只 多 最大值。 )的

)〓 bg历

"(艿

+1)-bg歹

"(÷

+1)-2艿 3+3‰ 2,



4



zO10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (13)
+3交 于 四个不 同的点 ,设 这 四点顺 次

11.斜 率 为 厅 的动直线 J和 两抛物线 y〓
引 为 A,B,C,D,求 证 :丨 ⒕ -|CD丨 为定值
.

',y=z9,2-3为

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5



⒛ 10年 全 国高 中数 学联赛模 拟卷 (13)加 试
(考 试时间△ 50分 钟

满分 :180分 ) 编号 得分

姓名

(本 一 、 题满分 硐 分 )

ABC中 ,∠ BAC〓 ω ° 已知 △ ,P为 线段
诜沪 品 〓 求证 :o是 △ABC的 内心 南
.

^C上

一点 ,∠ BAC的 平分线交线段 BP于 点 O,且 满足



6



⒛ 10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (13)

(本 二 、 题满分 硐 分 )

ABC边 长,R,Γ 为其外接圆和内切圆半径.求 证 设 c,b,c是 △

:

'+'+`≥

刨 +÷ +÷ 盱 (÷

)≥

bc+c@+汕



数 内 料 《 学竞赛之窗》 部资
(本 三 、 题满分



7



sO分 )

无 如果对于任何染色方式都存在 对任意给定的正整数 瓦 尼 ,用 种颜色给一个 ‰ × 的棋盘染色。 “ ” 试求出最小的 乃 是 四个颜色相同的方格 ,它 们的中心连成一个长方形 ,则 称正整数 乃 n方 形 的。 方形数 】
.



8



zO10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (13)

(本 四 、 题满分 50分 ) 和 求所有的正整数 尼 @,使 得
s汜

〓I历刂 +Ι 厉 F+… 十Ι y 厉

的值为有理数 ,并 证 明你 的结论 。

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⒛ 10年 全 国高 中数 学联赛模 拟卷 (14)第 一 试
(考 试时间 :80分 钟
学校

满分 :⒓ 0分 ) 编号 得分

姓名

一、 填空题 (本 大题共 8小 题 ,每 小题 8分 ,共 “ 分 )
1.已 知 集
合 ⒕ 〓 {(另 ,/)|丨 跖|+|y|〓 色,色

>0},B〓

{(跖

,y)|1+丨 〃

丨〓

|艿

丨+|,'||,若 ⒕ ∩ B

是平 面上某一正 多边形 的所 有顶点构成 的集合 ,则

@=

2.计 窭 cot20° cos 罴

IO°

+两、 in1o° tan70°

-4cos220° 〓

3.已 知 ⒕ CD-A1B1C1D1为 长 方 体 ,E、 F分 别 为棱 XA1、 CC1的 中点 ,则 在 空 间 中与直线 召

A1D1,EF,CD都 相交的直线有

条。

(尼 4.如 图所示 的三角形数阵 ,满 足 :(1)第 1行 的数为 1;(2)第 屁 ≥2)行 首尾两数均为 2屁 -

1,其 余 的数都等于它肩上 的两个数相加 ,则 第 n十 1行 中的第 2个 数是

(用 1
3

刀表示 ).

5.将 10个 相 同的小球全部装人 3个 编号为 1、 2、 3的 盒子 ,则 每个
盒子里球 的数 的个数不少于盒子的编号数的概率为
?

3 6 5

5

6.已 知函数丘 R→ R,满 足灭0)≠ 0,且 对任意 躬 R,均 有 ,y∈
r【

9 1:

7

11

11



18 9

7

(多

2(多 -y)2)〓 ∫ )-2`爪 y)+/2.

贝 r【 201o)〓 刂

第 5题 图

7.已 知复数z满 足|z2|+|z2-1=7,若复数z在 复平面上对应点为一条圆 锥曲线,则 其离心
率为

8.已 知 o,3,c为 正实数 ,且 @+占 +c〓

1z,tIb+δ c+c@〓

弱 ,则 max{@,犭 ,c}的 最小值为



2



⒛ 10年 全 国高中数 学联赛模 拟卷 (14)

二、 解答题 (本 大题共 3小 题 ,第 9题 16分 ,第 9.已 知实数 为 ,y,z满 足
d
一一
z 2 z

10、

11题 ⒛ 分 ,共 “ 分 )


,









7



0

试求 ′ +尸 的最值

,

数 内 《 学竞赛之窗》 部资料



3



R),过 10.已 知圆0的 方程为′+/=4,圆 ″的 方程为(多 -5co朗 )2+(9'-5sinε )2=1(ε ∈ ? 的 值 P产 最小 圆〃上 任意一点P作 圆0的 两条切线PE、 PF,切 点分别为E、 F,试 求P宕
,



4



⒛ 10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (14)
:

11.求 满足以下性质的函数止 {1,2,… ,2009}→

{1,2,… ,2009}的 个数

∈ 对任意 乃 ,2009},均 有 ",2,… rC【 乃 )-6。 ))2+1zr【 庞 ))3-6【 r【 助 ))〓 (灭 乃

数 竞赛 》 部资 《 学 之窗 内 料



5



⒛ 10年 全 国高 中数 学联 赛模 拟卷 (14)加 试
(考 试时间△ m分 钟 姓名

满分 :180分 )
编号

~___得



(本 一 、 题满分 硐 分 )

AABC为 一直角三角形 ,其 中 ∠C〓 90℃ 从 C作 AB边 上的高 ,垂 足为 D.ω 为 △BCD的 外接 D及 ⒕ 切于 Jr及 Ⅳ,同 时与圆 ω相切。 C相 ⒕ 圆,ω 1是 在 △ CD内 的一个圆,该 圆分别于线段 ⒕
(I)证 明 :BD? CⅣ +BC? DJr〓 CD? B″ (2)证 明:BJr〓 BC.
;



6



⒛ IO年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (14)

(本 二 、 题满分 硐 分 )
个点染色.考 虑所有 绿、 平面上有 汔 个不同的点 ,任 意三点均不共线.用 红、 黑三种颜色给这 尼 “ ” 以这 尼 个点为端点的线段 ,通 过以下规则给这些线段赋以 代数值 (1)若 线段端点至少有一点为黑色 ,则 其代数值为 0; (2)若 线段端点同为红色或绿色 ,则 其代数值为 1; (3)若 线段端点一红一绿 ,则 其代数值为 -1. 求全部线段代数值之和的最小可能值
:
.

数 内 《 学竞赛之窗》 部资料
(本 三 、 题满分 m分
设 既
)



7



犭卜

ˉ 幻+1|〓 2010,y庀





气 ,佬 =1,2,¨ 、2010,求

|为

西

ˉ +I哟 最 大 值 乃

.

ˉ— ˉ— ˉ— ˉ ˉ ˉ 丨∶
~~~—

~~~~



8



zO10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (14)

(本 四 、 题满分 sO分 )
已知 n元 正整数组 {o卩 }满 足以下条件 (。 ≤ (1)1≤ %(%(¨ ? 、 50; (2)对 干任意 尼 呼 元正整数组 {cⅡ },使 得 mJ氵 〓 元正整数组 {bⅡ },存 在一个正整数 m及 一个 乃 1,2,¨ ? ). ,乃 〓 元正整数组 {G:}的 个数 证明:n≤ 16,并 求出 尼 ⒗ 时不同的 尼
:

(j〓

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1页

⒛ 10年 全 国高 中数 学联 赛模 拟卷 (15)第 -试
(考 试 时 间 :sO分 钟
学校

满分 :1z0分 ) 编号 得分

姓名

一、 填空题 (本 大题共 8小 题 ,每 小题 8分 ,共 “ 分 ) 1.设 等差数列 {G″
样 的数列共有
}的 首项及公差均为非负整数 ,项 数不少于 3项 ,且 各项的和为 9409,则 这

2.若 点 (艿 ,y)是 区域 丨丨 /丨 ≤1内 的动点 ,则 z=够 多 +丨
3.四 面体 S ABC中
⒋ 设 双 ⒐⑴跏 酢

+y(色

)0)的 最大值是

.

,三 组对棱分别相等 ,依 次为 5,4,艿 则 躬的取值范 围是



羽 色北 λ )的 硎



丿蹦

圆俐



以 ⒐ 丬

)淼 B

B〓 在 y轴 上的投影 ,若 ⒕ 3历 ,AC〓 BC,则 椭 圆焦距为

5.若 拓 一个给定 的实数 ,使 得下列关于 @,3的 方程组 是
jj∶
{∶

l∶

∶ ∶ ∶跆
b〓
|四

有实数解 ,则 屁的取值范围是

6.已 知 瓦 〓 ,瓦 〓D,过 o作 直线 AB的 垂 线 ,垂 足 为 P.若 ε
-y〓 茆 〓 ε+ヵ ,则 多 跖

|〓

3,|J|≡ ε ,∠ Ac,B〓 詈

,

0, 7.设 实数 多 满足 cos0+30° )cos(9,+45° )cos0+105° )+cos3多 〓

刀衫 tan另 〓 阝红

.

8.如 果 四位数 讠的四个数位 中至多含有两个不 同的数码 ,则 称 乃为 ″ 四位数 ″ 如 ss55 简单 ;例
和 3313等 等 ,那 么 ,简 单 四位数 的个数是

,



2



zO10年 全 国高 中数 学联赛模拟卷 (15)
10、

二、 解答题 (本 大题共 3小 题 ,第 9题 16分 ,第
9.已
0(艿 u-h艿 知 (%求 证 >宁 +÷
.

11题 zO分 ,共 “ 分 )

数 》 部资 《 学竞赛之窗 内 料



3



10.正 整数 屁满足如下条件 :对 开区间 (0,2O09)内 的每个正整数 掘,总 存在正整数 乃 得 ,使 m 无 m+1 2009<n (2010?
求这种 n的 最小值。



4



⒛ 10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (15)

11.已 知椭圆 +乒 =1(。 >3)0),动 直线 J与 椭圆相切 ,设左焦点为 F,作 凡廴 J于 点 Ⅱ

(1)求 点 Ⅱ的轨迹 (2)设
值。
;

H的 轨迹中纵坐标最大的点为 Κ Κ做直线 J1,交 椭圆于 P、 Q两 点 ,求 ,过

s.。PO的 最大

内部资料 数 《 学竞赛之窗》



5



⒛ 10年 全 国高 中数 学联赛模 拟卷 (15)加 试
(考 试 时间 :1sO分 钟
学校

满分 :180分 ) 号 得分

姓名

___编

(本 一 、 题满 分 们 分 )

B上 mBC的 外接圆为 ⊙o,点 ⒕ B、 C在 BC、 CA、 ⒕ 的投影分别为 且 B1、 C1,^1、 B1、 、 :、 已知锐角 △ XB的 中点的对称点分别为 A2、 B2、 C2,△ AB2G、 △BC2⒕ 2、 △CA2B2的 外接圆与 C1关 于边 BC、 CA、 ⊙o分 别交于不同于 ⒕ B、 C的 点 ⒕ 、 3J3、 G。 证明 :⒕ l⒕ 3、 B!B3、 C1C3三 线共点
.



6



zO10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (15)

(本 二 、 题满分 硐 分 ) 已知方程

'-幽

2+阮 -c〓 o有 三 个正实根(不 必不同),求 七∵先号 -亍 的最小值 于

.

内部资料 数 《 学竞赛之窗》 (本 三、 题满分 m分 )



7页

计和 莒 算氨 I伽

l



8



zO10年 全 国高 中数 学联赛模拟卷 (15)

(本 四 、 题满分

50分 )

2010张 圆形纸片(直 径可不同)互 不重迭地放在水平桌面上 ,它 们之间的切点最多有多少个 ?

数 内 《 学竞赛之窗》 部资料



1页

⒛ 10年 全 国高 中数 学联赛模 拟卷 (16)第 -试
(考 试 时间:80分 钟
学校

满分 :120分 ) 编号 得分

姓名

填 一 、 空 题 (本 大题 共

8小 题 ,每 小题 8分 ,共 “ 分 )

1.十 二个互不相同的正整数之和为 2010,则 这些正整数的最大公约数的最大值是

2.在 金属丝制作 的尺寸为 6× 8× 10的 长方体骨架 中放置着一个球 ,则 该球表面积 的最大值


3.已 知

'+尸

1,则 函 z〓 ≤ 数



的最大值为

4~若 椭圆的一个交点是其三个顶点构成 的三 角形 的垂心 ,则 椭 圆的离心率为_____— ? 5.在 数列 {@Ⅱ }中 ,%〓 1,当 尼 2时 ,%,SⅡ ,Sn-÷ 成等比数列 ,则 色 的通项公式为 ≥ Ⅱ

6.由 方程 丨 -6|+|y丨 〓 “

|膏 |所

对应 的曲线 围成 的图形 面积为

7.用 红蓝两色给排成一行的 10个 方格染色 ,每 一格染 一种颜 色:如 果要求相邻 的两个 方格
不能都染成红色 ,那 么 ,所 有染色的方法共有 ~ 种
.

8.已 知 P为 △ ABC内 一 点
积为

P〓 厅 ,BP〓 5,CP〓 2,⒕ B=以 C,∠ ,若 ⒕

BAC=ω

° BC的 面 ,则 △姓

第 二 、 答题 (本 大 题共 解

2



⒛10年 全国高中数 学联赛模拟卷 (16)
10、

3小 题 ,笫 9题 16分 ,第

11题 ⒛ 分 ,共 “ 分 )

9.若 函数灭茄 )〓
@的 值。

|e多

、 -引 +普 ,当 多 [0,LB]时 ,函 数rr另 )的 最大值与最犭值之差为 ∈ :,试 求

数 内部资料 《 学竞赛之窗》



3页

10.如 图 ,走 廊宽为 3米 ,夹 角为 Iz0° ,地 面是水平 的 ,走 廊两端足够长.问 保持水平位置通过
走廊 的木棒 (不 计粗细 )的 最大长度是多少 ?

第 9题 图



4



⒛10年 全国高中数学联赛模拟卷 (16)
:

'+/〓 于上半平面中,且 与双曲线 〓 1的 两支 以及圆 C:均 相 对每个 屁 =0,1,2,… ,圆 CⅡ "位 '-尸 切 ,记 %为 圆 C、 的半径。 (1)求 证 :△ 是一个整数 (2)求 的表达式。
;

11.已 知 C。 是单位圆

1,依 如下方法得到平面上的一族圆 C。 ,C1,G,…

r卩

内部资料 数学竞赛之窗》 《



5页

⒛ 10年 全 国高 中数 学联赛模 拟卷 (16)加 试
(考 试时间 :150分 钟
学校

满分 dSO分 )
编号
得分

姓名

(本 一 、 题满 分 硐 分 )
设以 AB为 直径的圆为 ⊙o,Jr为 ⊙o内 的动点 ,∠ 川侣 的角平分线与 ⊙o交 与点 Ⅳ,∠ 灿侣 的 外角平分线与 JVA、 JVB分 别交于点 P、 g,删 J″ 分别与 以 JVg、 JvP为 直径的圆交于点 R、 s.证 明 △FVRs中 过点 Ⅳ的中线过一个定点
: .



6



zO10年 全 国高 中数 学联赛模拟卷 (16)

(本 二 、 题 满 分 40分 )
已知函数丘R→R对 任意实数 彤 ,y,均 有 +y))+/y. /l多 +γ 十 y))〓 灭r【 跖 /l髟 试求满足上式的所有函数∫

之 内 料 数学竞赛 窗》 部资 《
(本 三 、 题满分 ∞ 分 )



7

(记 为 s),每 个字母 由 ⒕或 一位预言老师给他的学生们写了一个由 10000个 字母构成的单词 ” AAEEA为 5— “ 预言词 已知 s中 至 E组 成的字母称为 %— 预言词 (如 E构 成.将 连续 佬 个由 ^或 .求 S中 包含不同的 10一 预言词的个数 的最大值 多包含 7种 不同的 3— 预言词
)。
.



8



⒛ 10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (16)

(本 四 、 题满分

m分

)

求所有满足下列方程的非负整数 m及 尼
:

岬″ ‰ 刊 艹 “叮
叫 η

1Z1》

α 而和 r卅 负整数 如

≤△

=砒 〓丌 1T丌 如 δ





η

翊o

数 内 《 学竞赛之窗》 部资料



1页

⒛ 10年 全 国高 中数 学联赛模 拟卷 (17)第 -试
(考 试时间:80分 钟
学校

zO分 ) 满分△
编号 得分

姓名

一、 填空题 (本 大题共 8小 题 ,每 小题 8分 ,共 觯 分 )
1.不 等式 bg6(1+厉 )>b纫 艿的整数解集是

B或 C上 2.在 △⒕ BC中 ,已 知 ∠A〓 30° ,∠ B〓 105° ,过 边 ⒕ 一点 D作 直线 DE,与 边 姓 者 BC交
于 点 E,使 得 ∠α刀 =60° ,且

DE将 AABC的 面 积 两 等分 ,则

2〓

(乎劲

2+2锣 3.已 知方程‰
心坐标 为


+/+‰ +z9r~4〓 0在 平面直角坐标系中 椭圆的中 表示一个椭圆,则 此

,

+⒍
n2A⒍ n2:coszB乃
11录 /lx值

⒕ △ BC茭 /兑 奔三隽 彡J刚 三 盲 驷

时 ,C〓

5.若 @,3,c∈ [0,1]则 三元函数
y【

@(I-@+@犭 )(1-@犭 ¢ ,b,c) 〓

+色 犭 c)(1-c)

的最大值 〓

.
}、

6.已 知数列{o乃

{6:}满 足 色 2,bl=4,且 1〓

” 祝 :=∶ ∶

已知

ˉ
^

则哿 魉〓

.

7.在 棱长为 色的正方体 内容纳 9个 等球 ,``个 角各放一个 ,则 这些等球 的最大半径是

8.方 程 ∑ :2


"〓

2m的 所有正整数解组 (n,m)为

个。



2



⒛ 10年 全 国高 中数 学联赛模 拟卷 (17)

二、 解答题 (本 大题共

3小 题 ,第 9题 16分 ,第

10、

11题 ⒛ 分 ,共 “ 分 )

9.已 知实数 %,j〓 1,2,… ,屁 ,满 足
|%|≤ 1,且

证 求 :对 满 足

|艿

|≤ 1的

意 数 ,均 任 实 彤 有 ∑ j=1
|多

∑ %〓 :=1

0。

-%|≤ %

数 内 《 学竞赛之窗》 部资料
)?



3



ˉ ? (1+2Ⅱ 10.求 (1+艿 )(1+‰ × 1+⒋ ?

1彤

)的 展开式 中

'项

的系数

.



4



zO10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (17)
C、

11.过 原点且互相垂直的 、 两条直线分别交抛物线/〓 佃(艿 +p× p)0)于 ⒕B和 肛 B|+|CD|最 小?
"姓

D.试 问 何

数 竞赛 《 学 之窗 内 料 》 部资



5



⒛ 10年 全 国高 中数 学联赛模 拟卷 (17)加 试
(考 试 时间 J50分 钟 姓名
__ˉ

满分 △sO分 )
编号 得分

(本 一 、 题满 分 硐 分 )

C与 BD交 于点 Γ ABr的 垂心与 △CDr的 外心重合.证 明 已知凸四边形 ABCD的 对角线 姓 ,△ (1)凸 四边形 ABCD为 圆内接四边形 (2)△ CDr的 外心在凸四边形 ABCD的 外接圆上。
;

:



6



⒛10年 全国高中数 学联赛模拟卷 (17)

(本 二 、 题满分 硐 分 )
设 灭 另)〓 ‰

3-ttJ2,£

(艿

)〓 灭

多),兑 +1(髟

)〓 兀

污 (艿 )],而 ∈ N+.

(1)若 灭 1)≡ 1,求 集合 ″ 〓{彤 0晚 (彤 0)〓 幻 对任何 乃 N+恒 成立 卜 ∈

(2)若 灭 1))3,是 否存在区闾 ⒕ 得对于任何 n∈ N+,兑 (躬 )(0等 价于 劣 姓 ∈ ?若 存在 ,求 出 ,使 区间 姓 不存在 ,说 明理由。 ;若

数 内部 《 学竞赛之窗》 资料 (本 三 、 题满分 sO分 ) 已知正整数 @,犭 满足 G3)1.求 代数式
y〈



7



J.⑴ =丝

三 至 三
i;F:i卜

所能取到的所有正整 数值

.



8



⒛ 10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (17)

(本 四 、 题满分

m分

)

卜如果存在不大于号 的正整数 c,使 得对于 r的 子集 s中 的 ” “ sI-助 丨 c,则 称 s为 缺集 .求 缺集中元素数 目的最大伍 ≠ 任意一对元素 s1,s2,均 有 丨 >3,集 合 T〓 {1,2,… 设整数 尼
,瓦

内 数学竞赛之窗》 部资料 《



1页

⒛ 10年 全 国高 中数 学联赛模 拟卷 (18)第 -试
(考 试时间:gO分 钟
学校 姓名

zO分 ) 满分△
编号

~得



填 一 、 空题 (本 大 题共

8小 题 ,每 小 题 8分 ,共 斛 分 )

z的 1.设 多 、 正实数 ,且 满是 锣 +z=(笳 +z)(y+z),则 匆 最大值是 √ z是

2.在 直三棱柱 中 ,已 知底面积为 s平 方米 ,三 个侧 面面积分别为 m平 方 米 ,乃 平方米 ,P平 方
米 ,则 它的体积为
立方米
.

3.已 知 乙 )0,犭 >1,若 以 o+bg:b、 @+log163、 @+b铷 3为 边长的三角形是直角三角形 ,则 叮

4.已 知 仞〓 (-÷ ,譬
形 ,则 △oAB的 面积是

)刀

〓 -D而 〓 +D,若 △oAB是 以 o为 直角顶 '点 的等腰 直 角 三 角 夕 四

5.设 从正整数 乃 开始的 ⒛ 1个 连续正整数中 ,前 101个 正整数 的平方和等 于后 1∞ 个正整数
的平方 和 ,则 屁的值 为

6.已 知 函数 /l彤 )=够 2+拓 +c(色 )0),并 设 ″ F
Fcos2e).当 ε≠ 管
(乃

sin2盯 (α )十 ∞s2σ (卩 ),Ⅳ =歹 (Ⅱ in2ε +

z),α ∈

,卩

R且 α≠ 卩时 ,″ 与 Ⅳ 的大小关系为 ∈

7.设 有足够 的铅笔分给 7个 小朋友 ,每 两人得到的铅笔数不同 ,最 少者得到 1支 ,最 多者得到
12支 ,则 有

~_种 不 同的分法

.

8.已 知函数彡R+→ R满 足 :对 任意 艿 R+,都 有 ,y∈

y)+2010(÷ +:|+2OO9), 跖 彤 只 只
,rly)〓

则所有满足条件的 函数 ∫为

第 二 、 答 题 (本 大 题共 解

2



⒛10年 全国高中数 学联赛模拟卷 (18) 分 ,共 “ 分 )

3小 题 ,笫 9题 16分 ,第 10、 11题 ⒛

+/)=r【 彤 9.已 知定义在 z上 的函数灭躬 足对任意整数有只 躬 )+灭 y)+3锣 (躬 )满 3,且 灭 1)=1。 (1)求 rrJ)的 表达式 (J∈ 乙 ); (2)若 对任意整数 J≥ 4,有 r【 J)≥ mJ2+(4m+1)J+3m恒 成立 ,试 求 m的 最大伍

+/+2)+

数 内 《 学竞赛之窗》 部资料



3



10.已 知抛物线/〓 zpz(p)0),其 焦点为F,一 条过焦点 F,倾 斜角为 e(0(ε (π )的 直线交 抛物线 于 A、 B两 点 ,连 结 Ao(o为 坐标 原 点 ),交 准 线 于点 B1连 结 Bo,交 准 线 于点 △1求 四边 形
BB狃 的 面 积 姓
.



4



zO10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (18)
3?

11.设 方程

-1〓

'-犰

0的 三 幻 个实根从小到大依次为幻玛 ,多 求证 :-琚 =幻 ˉ ?
:彤

数 《 学竞赛之窗 内 料 》 部资



5



⒛ 10年 全 国高 中数学联赛模拟卷 (18)加 试
(考 试 时间 dsO分 钟 姓名

满分 :180分 )
编号 得分

(本 一 、 题满分 硐 分 )
Ⅳ 已知⊙o:、 ⊙o2交 与点 ″、 ,靠 近 Jr的 公切线分别与⊙o:、 ⊙o2切 于点 姓 B,C、 D分 别是点 、
^、

B关 于 Jf的 对称点 ,△ DCJf的 外接圆与 ⊙of、 ⊙o分 别交于不同于 ″ 的点 E、 丑 证明:△ JfEF

和 △JVEF的 外接圆半径相等。



6



⒛ 10年 全 国高 中数 学联赛模 拟卷 (18)

(本 二 、 题满分 硐 分 ) 求所有的多项式 P∈ R[躬 ,/],使 得对任意 躬 R,都 有 ,y∈ 至 FK9f力 〓 【|;z立 三 丝 三 ,⊥ iiz⊥ 叫
).

数 内部资料 《 学竞赛之窗》 (本 三 、 题满分



7



sO分 )

(汔 N+)个 互不相 同的正数。 :从 这些数中可以选出两个数 ,使 得这 瓦 证明 个 黑板上有 尼 ≥3,屁 ∈

数中没有任何一个数的 3倍 是这两个数之和的倍数

.



8



⒛ 10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (18)

(本 四 、 题满分

sO分 )

黄色或蓝色的线连起 ,而 且任何 每两个点均由一条红色、 平面上有 n个点 ,当 中没有三点共线。 证明 n(13。 三点所成的三角形的三条边均有刚好两种颜色。

Γ — — — — — —

数 内部资料 《 学竞赛之窗》



1页

⒛ 10年 全 国高 中数 学联 赛模 拟卷 (19)第 -试
(考 试 时间 :gO分 钟
学校

满分 :1z0分 )
编号 得分

姓名

填 一 、 空题 (本 大 题 共

8小 题 ,每 小 题 8分 ,共 “ 分 )
l

∞ (n≥ … 1.设 屁 2)是 给定的整数 ,另 1,多 2,… ,跖 n是 实数 ,则 盂 1∞ s多 2+⒍ 够2∞ 搠3+… +⒍ “Ⅱ s艿 的最大值是

.

,

2.把 正方体 的/`个 顶点两两连线 ,其 中成异面直线 的有

⒊ %=″ +厅 … 设
5.设
灭 艿)〓

/n?

l"D测 钔 =
h rlr【 钌))〓 0,彤
∈ Rl≠ ¢ ,则 满 足 条 件

4.展 开式 (2-犰 +4′ )5中 严 的系数 为
+阮 os约 '+饬
,£ 躬

|只 钐)=0,躬 ∈ Rl〓

的所有实数 o,b的 值分别为

6.如 果双 曲线



-乒 〓1的 右支上存在一 点 P,使 右焦点 凡 关 于直线 PFI(F1为 左焦点 )的

对称点恰在 y轴 上 ,则 该双 曲线 的离心率的取值范围是

7.用 8个 相 同的多米诺 (1× 2的 骨牌 )填 满 4x4的 棋盘 ,则 有
不 同的填法
.





2



⒛ 10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (19)

二、 解答题 (本 大题共 3小 题 ,第 9题 16分 ,第

10、

11题 zO分 ,共 “ 分 )

9.偶 函数灭躬 (-∞ ,0)U(0,+∞ )上 有定义 ,且 在 (-∞ ,0)上 是减函数 ,只 6)=0.设 g )在
(ε )〓

2∞ s2e+m⒍ 昭 -等 m,ε ∈ I0,号

l?

求 g(ε )(0且 rIg(ε )l)0时 叩的取值范围
.

数 》 部资 《 学竞赛之窗 内 料
1 ο

数列



定义 下 @ 艹 只


1

且 〓

:


寸 ’ 当 当



3


为偶数时 为奇数时



ο



已 知 乙 =锆 ,求 正 整 数 泓 Ⅱ



4页

zO10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (19)

线 过 物 上 个 点 11.已 知 物 /〓 ‰,一 束 点A(m,o)(m)o)的 光 经 抛 线 两 不同 B、 C反 射 过 抛 线
后又经 过点 A,求

m的 取值范 围

.

之 》 部资 数 《 学竞赛 窗 内 料



5页

⒛ 10年 全 国高 中数 学联赛模 拟卷 (19)加 试
(考 试时间dsO分 钟
学校

满分 :180分 )
编号

姓名

__得



(本 一 、 题满分 硐 分 )
⒕ B为 圆 0【 上两个定点 ,圆 o2的 圆心在圆 oI上 ,且 与 AB切 于点 B.过 点 ⒕的直线与圆 o2交 、 于点 D、 E,直 线 BD与 圆 o1交 于异于 B的 另一点 且 证明 :当 且仅当 D为 BF中 点时 ,BE与 圆 o1相 切。



6



⒛ 10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (19)

(本 二 、 题满分 们 分 )

幽沌0÷

,且

@+b+c躬

,龇

嬲 耳

⒍ ≥

数 内 《 学竞赛之窗》 部资料 (本 三 、 题满 分



7



sO分 )

〓 令灭 n)表 示平面点集 X所 含不同点的个数的最小值 ,满 足对每一个 品 1,2,… ,n都 存在平面 个点 ,求 灭 屁 ). 内的一条直线 ,该 直线上恰含有 X中 的 尻



8



⒛10年 全国高中数学联赛模拟卷 (19)

(本 四 、 题满分 m分

)

对任意正整数 n,定 义 C(庀 )为 而 的不超过 历的最大约数 ,s(乃 )为 满足以下条件的最小整数 躬 “ 且存在整数 y(n(y(艿 ),使 得 y|移 )尼
: .

求 证 :对 任 意 尼 有 ※ 尼 (C(尼 )+1)伐 ,均 )〓

谔苏

+→ ?

数学竞赛之窗》 内部资料 《



1页

⒛ 10年 全 国高 中数 学联赛模 拟卷 (20)第 -试
(考 试 时间 :80分 钟
学校

满分 :1z0分 ) 编号 得分

姓名

一、 填空题 (本 大题共 8小 题 ,每 小题 8分 ,共 “ 分 ) 1.正 四棱锥 的侧棱长为 1,则 其体积的最大值为
2.艿 ,y为 正实数 ,并 且 躬

-2‰ +2〓 2巧

=4-y,则

躬 +y的 最大值是

3.对 于任意实数 @,犭 ,不 等式
max】
|色

+3|,|@-b|, 2010-3|l≥ C

恒成立 ,则 常数 C的 最大值是

.
|

4.过 半径为 5的 球面上的一点 P作 三条两两垂直的弦 PA,PB,PC,且 满足 lPA|〓 2|PB|,则
PA丨

+|PB|+丨 PC|的 最 大 值 是

,

5.设 灭z)=2z(cos于 +而 s管 ),这 里 z是 复数 ,用 左表示原点 ,用 B表 示只 1+厅 i),C表 示
点 -4i,则 ∠ABC〓 。
{@,犭

6.已 知集合 Jf〓

,c},Ⅳ

〓{2,4,8,∵ ,220},又 ∫ 是集合 ″ 到 Ⅳ上的一个映射 ,且 满足 lr

(3)]2〓 灭 3)? 灭 c),则 这样的映射共有

____个

.

7.已 两个盒子中都装有黑、 白两种弹子 ,两 盒中弹子总数为 zs,每 次随机从每个盒子中取出
卫 、为 一颗弹子 ,两 颗弹子都为黑色的概率为筅 ,都 为白色的概率为 尼 ,其 中 汛 几 互质的正整数 ,则 屁
+尼 〓

,
g(ε )的 最大值为

8.已 知灭 跖 (sim+4si田 +4)2+(co蹈 -5co朗 )2的 最小值为 g(e),则 )〓

~



2页

zO10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (20)
10、

二、 解答题 (本 大题共 3小 题 ,第 9题 16分 ,第

11题 zO分 ,共 “ 分 )

9.如 图,在 平面直角坐标系中,长 度为 6的 线段 PQ的 一个端点 P在 射线 /〓 0(多 ≤ 0)上 滑
〓 锷 ; (1)求 点 Jf的 轨迹方程 ;(2)若 点 ″ 的轨迹与 躬 y轴 分别交于点 ⒕ 、 轴、 B,求 四边形 C,AJ侣 面积的最大值 (其 中 o是 坐标原点 ). =0(/≤ 0)上 滑动 ,点 Jr在 线段 PQ上 ,且 动 ,另 一端点 Q在 射线 彤

第 9题 图

内部资料 数 《 学竞赛之 窗》



3



'-2够 的四边形 的周长为 6,求 实数 o的 值

10.已 知 函数 r【 “ )〓

与 g(多 )=-′
.

-1的 图象有 两条公切线 ,且 由这 四个切点组成



4



zO10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (20)
‰郏 ⒛



幽 罐 嫩 列盹
.

h溆

‰ 击 湍 罕

0刈 ,礅 列 仇 }鲕 屁项秕

的最小可能值和最大可能值

数学竞赛之窗》 部资料 内 《



5页

⒛ 10年 全 国高 中数 学联赛模 拟卷 (20)加 试
(考 试 时闾 Jm分 钟
姓名

满分 :180分 )
编号

得分

(本 一 、 题满分 硐 分 )
如图 ,给 定 三 角形 ABC,在 BC边 上取一点 D,点 Κ和 E分 BD和 △⒕ CD的 内心 ,△ BKD和 △CED的 外接 圆除 D 别为 △⒕ 外 的另一个交点为 P。 求证 :当

D在 BC上 运动时 ,P在 一个定 圆上运动

.

第一题 图



6



zO10年 全 国高中数 学联赛模拟卷 (20)

(本 二 、 题满 分 硐 分 )
正整数 己 ,3,c满 足
(tI,犭 )十 [色

,3]〓

(c,c)+[c/,c]+I,

并且 o,3,c两 两之间不能整除.求 证 :c(b≤ ÷⒍ 与 其中(跖 ,y),[跖 ,y]分 别表示正整数 茄 y的 最大公约数和最小公倍数
.

内部资料 数学竞赛之窗》 《 (本 三 、 题满分



7页

50分 )

已知正实数 色 ,c满 足 ,犭

'+'+'〓

3,求 证 :(色 +÷

-4)(b+÷ -4)(c+÷ -4)≥

1?



8



⒛ 10年 全 国高中叙 学联赛模拟卷 (⒛ )

(本 四 、 题满分 ∞ 分 )
个点之问连有 m 个点(瓦 ≥5),其 中任意 4点 不共面 ,求 最小正整数 m,使 得在 尼 平面内任给 屁 条线后 ,必 存在两个恰有一个公共点的三角形
,


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