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证明抛物线焦点弦的18个结论


2011.08 / 复习备考

证明抛物线焦点弦的 18 个结论
重庆市开县临江中学 张帮军
【内容摘要】关于抛物线的焦点弦到底有哪些结论呢?总结一下有四大类共 18 个结论, 第一类是常见的基本结论; 第二类是与圆 有关的结论; 第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论; 第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。 【关键词】证明 抛物线 焦点弦 现在通过下面的例题来证明这些结论。 例:过抛物线 y2 = 2px(p > 0 ) 的焦点 F 的一条直线 AB 和 此抛物线相交于 A, (α 是直线 AB 的倾斜角 ) , 准线 l 的方 B 两点 程: 设点 A (x1, y1 ) , (x2, y2 ) , 则有关抛物线的焦点弦有 x = -p , B 2 以下八个基本结论:
2 ) (2 ) y1y2 = -p2; (1 x1x2 = p ; 4 (3 ) |AF| = x1 + p ; |BF| = x2 + p 2 2

由抛物线定义知|AF| = |AA1| = x1 + p ; |BF| = |BB1| = 2 p 即(3)式得证 x2 + 2 ∵ |AB| = |AF| + |BF| = x1 + x2 + p ∴ (4)式得证 2 + 2) ,k = tanα ∵ x1 + x2 = p(k 2 k 2 2 α + 1) = 2p ∴ |AB| = x1 + x2 + p = 2p(k 2+ 1) = 2p(tan 2 k tan α sin2α 即(5)式得证 p (x + x ) + · ∵ |AF| |BF| = (x1 + p ) (x 2 + p ) = x · 1 x2 + 1 2 2 2 2 p2 = p (x + x + p) = p · 2p = p2 ∴ (6)式得证 1 2 4 2 2 sin2α sin2α |AB| ∵ 1 + 1 = |AF|+|BF| = = 2p · · |AF| |AF| |AF| |BF| |BF| |BF| sin2α 2 · sin2α = 2 ∴ (7)式得证 p p ∵ 点 O 到直线 AB 的距离 d 就是 △AOB 的高 ∴ h = d = p|k| = psinα 2 2 姨1 + k 2 psinα = p2 · ∴ S△AOB = 1 |AB| h = 1 · 2p 2 2 sin2α 2 2sinα ∴ (8)式得证 下面来探究焦点弦与圆有关的四条结论: (1 ) 以 AB 为直径的圆 M 与准线相切; (2 ) 以 AF 为直径的圆 C 与 y 轴准线相切; ) 以 BF 为直径的圆 D 与 y 轴准线相切; (3 (4 ) 分别以 AB, AF, BF 为直径的圆关系有: 圆 C 与圆 D 外切;圆 C 与圆 D 既与 y 轴相切又圆 M 相内 切。 l A1 C1 M1 O D1 B1 B F D C M x y A

(4 ) |AB| = x1 + x2 + p; (5 ) |AB| = 2p ; sinα 2 1 p (6 ) |AF||BF| = ; (7 ); + 1 = 2 |AF| |BF| sin2α p 2 p (8 ) S△AOB = 2sinα l y 2 y = 2px A1 x = -p 2 F O B1 B x A

证明: 如图 若 α ≠ π , 则 k = tanα 因为点 F( p ,0), 2 2 p 所以设直线 AB 的方程为 y = k(x ) 2 y = k (x - p ) 2 2 2 得 k2x2- p(k2 +2)x + k p = 0 由 4 y 2 = 2 px 2 2 + 2) ∴ 由根与系数的关系得: (1 ) 式 x1x2 = p ; x1 + x2 = p(k 2 4 k 得证 ∵A, B 两 点 都 在 直 线 y2 = 2px 上 ∴y12 = 2px1; y22 = 2px2

p

∴(y1y2) = 4p x1x2 = p ∵y1y2 < 0,∴ y1y2 = -p2 即(2)式得证 过点 A, B 分别作 AA1, BB1 与直线 l 垂直,垂足为 A1, B1 即 A1 (- p , y1), B1 (- p , y2) 2 2

2

2

4

证明: (1) 过点 M 作 MM1,所以 MM1 是梯形 AA1B1B 的中位 线, 由抛物线定义知|AA1| = |AF| |BB1| = |BF|

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建设高效课堂的几点思考
江苏省连云港市灌云县实验中学 尹 好
【内容摘要】建设高效课堂是教育工作者的追求, 那什么样的课堂才是高效课堂呢?高效课堂首先是有效的课堂, 高效课堂必须是 那么怎样才能打造高效课堂呢? 良 面向全体的课堂, 高效课堂还应该是轻松快乐的课堂, 高效课堂更应该是放眼学生未来成长的课堂。 好的课堂秩序是高效课堂的基石, 高效课堂需要培养学生良好的学习习惯, 高效课堂必须让学生成为课堂的主人, 高效课堂必然是重 视学习方法指导的课堂。 【关键词】高效课堂 特征 打造策略 思考 在大力推行课程改革、 全面实施素质教育的背景下, 传统教 学那种靠加班加点、题海战术提高教学质量的做法显然行不通 了。特别是随着江苏省 “五严” 、 连云港市 “六严” 规定的出台并实 施, 我们明显感觉到教学时间较以前大幅度减少了, 而教学内容 却没有跟着调整。此种情况下, 要想在有限的时间里完成既定的 教学任务, 提高课堂教学效率就显得非常重要。建设高效课堂成 了教育工作者迫在眉睫的任务。 那什么样的课堂才是高效课堂呢? 高效课堂首先是有效的课堂 。课堂的有效性取决于学生收 获了多少, 而不是取决于教师讲解了多少。有些教师为了完成教 学任务而不顾学生实际, 一味追求教学进度, 看起来把该讲的都 讲完了, 可学生没有掌握你所讲的知识, 你怎么能说完成了教学 任务? 如果说完成了, 那么教学任务到底是什么? 学生没有掌握, ∴ |MM1| = 1 (|AA1| + |BB1|) = 1 (|AF| + |BF|) = 1 |AB| 2 2 2 即以|AB 为直径的圆 M 与准线相切, 同理可证(2), (3 )。 (4 ) ∵|AF| + |BF| = |AB|, ∴ 以分别以 AB, AF, BF 为直径 的圆有以下关系。 即圆 C 与圆 D 既与 y 轴相切又圆 M 相内切。 接下来探究由焦点弦得出有关直线垂直关系有四条结论。 (1 ) 以 AB 为直径的圆的圆心在准线上的射影 M1 与 A, B两 点的连线互相垂直; ) 以 AF 为直径的圆的圆心在 y 轴上的射影 C1 与 A, (2 F两 点的连线互相垂直; (3 ) 以 BF 为直径的圆的圆心在 y 轴上的射影 D1 与 B, F两 点的连线互相垂直; (4 ) A1F 与 B1F 的连线互相垂直。 l A1 C1 M1 O D1 B1 B F D C M x y A 你讲得再多也是无效的知识, 你的劳动也只能是无效劳动。人们 常说, 老师要给学生一碗水, 自己需要拥有一桶水 。可是老师拥 有一桶水就一定能给学生一碗水吗? 当然不是。 那种只顾将自己 “桶” 扳倒倒水, 不顾学生 “碗” 放在哪, 甚至不知学生有没有拿 的 出 “碗” 来的老师, 即使将自己的一桶水全倒出去, 也不可能倒满 学生一碗水, 甚至可能学生的碗都是空的。 高效课堂必须是面向全体的课堂 。检验课堂教学效果不能 只看几个班级尖子生,而应该看全体学生至少是大多数学生对 教学内容的掌握情况。班级少数尖子生不用老师教也能掌握课 堂教学内容, 说不定要让他们自学的话还能学得更快更好。所以 他们的成绩不是老师教出来的,至少不能全算是老师的教学效 果, 倒是那些中等生尤其是学困生, 他们的每一点收获都是老师 的功劳, 他们对教学内容的掌握情况最能反映老师的教学效果 。 证明: ∵ 准线与圆 M 相切和 y 轴与圆 C 和圆 D 相切 ∴ 圆 M 的圆心在准线上的射影就是切点, ∵ 直径所对的圆周角是直角 ∴ AM1⊥BM1 同理可证 AC1⊥FC1, FD1⊥BD1 (4) 由抛物线定义可知 AA1 = AF BB1 = BF ∵ BB1 //NF//AA1 ∴ ∠AA1F = ∠AFA1 = ∠A1FN; ∠BB1F = ∠BFB1 = ∠B1FN 而 ∠AFA1 + ∠A1FN + ∠BFB1 + ∠B1FN = π ∴ ∠A1FN + ∠NFB1 = π 即 A1F⊥B1F 2 最后由焦点弦得出有关直线过定点有两条的结论。 (1 ) 以 A1B1 为直径的圆必过点 F。 (2 ) 直线 AB1 必过原点。 证明: (1 ) ∵ 直径所对的圆周角是直角 ∴ 以 A1B1 为直径的圆 必过点 F。 2 (2 ) 由焦点弦的基本结论知: x1x2 = p ;y1y2 = -p2 4 -p2 4y22 kOA = y1 = y22 = - 4 x 2 = - 2p = - 2y 2 y2 x1 p y2 p 4 x2 (- p , y2 ) ∵ BB1 ⊥ l ∴ 点 B 的坐标为 2 ∴ kOB = - y2 = - 2y2 = kOA p -p 2 故直线 AB1 必过原点。 参考文献 [1] 董丽.有关抛物线的焦点弦问题及其应用 [M].中外教育研究, 2009, 4.

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