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高三数学第一轮复习章节测试4-8)


第4章 第8节 一、选择题 1.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续 航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60°,另一灯塔在船的南偏西 75°,则这只船的速度 是每小时( ) A.5 海里 B.5 3海里 C.10 海里 D.10 3海里 [答案] C [解析] 依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=1

5°,从而 CD=CA=10, 5 在直角三角形 ABC 中,可得 AB=5,于是这只船的速度是0.5=10(海里/小时).

2.如图所示,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的 距离为 50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算 A、B 两点的距离为( ) A.50 2m C.25 2m [答案] A [解析] 由题意知∠ABC=30° AC AB 由正弦定理 = sin∠ABC sin∠ACB AC· sin∠ACB ∴AB= = sin∠ABC 2 50× 2 1 =50 2(m). 2 B.50 3m 25 2 D. 2 m

3.一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里的 M 处,下 午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为( ) 17 6 A. 2 海里/小时 17 2 C. 2 海里/小时 [答案] A PM MN [解析] 如图所示,在△PMN 中,sin45°=sin120°, 68× 3 MN 17 ∴MN= =34 6,∴v= 4 = 2 6(海里/小时). 2 B.34 6海里/小时 D.34 2海里/小时

4.为测量某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼顶 D 处测得塔顶 A 的仰角为 30°,测

得塔基 B 的俯角为 45°,那么塔 AB 的高度是( A.20?1+

) 3? ?m 2?

? ?

3? ?m 3?

B.20?1+

? ?

C.20(1+ 3)m D.30m [答案] A [解析] 如图所示,四边形 CBMD 为正方形,而 CB=20m,所以 BM=20m. 又在 Rt△AMD 中, DM=20m,∠ADM=30°, 20 ∴AM=DMtan30°= 3 3(m), 20 3? ? ∴AB=AM+MB= 3 3+20=20?1+ ?m. 3? ? 5.如图所示,D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C、D 两点测得 A 点的仰角分别是 β、α(α<β),则点 A 离地面的高 AB 等于( )

A.

asinαsinβ -

B. D.

asinαsinβ - acosαcosβ -

acosαcosβ C. -

[答案] A [解析] 在△ADC 中,∠DAC=β-α, AC 由正弦定理,sinα= a - ,得 AC= asinαsinβ . - asinα - .

在 Rt△ABC 中,AB=AC·sinβ=

6.(2011· 潍坊)已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80°处,且 A 到 C 距离为 2km,B 船在灯塔 C 北偏西 40°,AB 两船距离为 3km,则 B 到 C 的距离为( ) A. 19km B. 6-1km C. 6+1km D. 7km [答案] B [ 解析 ] 由条件知,∠ ACB = 80°+ 40°= 120°,设 BC = xkm ,则由余弦定理知 9 = x2 + 4 - 4xcos120°, ∵x>0,∴x= 6-1. 7.如图,在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的斜度为 15°,向 山顶前进 100 米到达 B 后,又测得 C 对于山坡的斜度为 45°,若 CD=50 米,山坡对于地平面 的坡角为 θ,则 cosθ=( )

3 A. 2 C. 3-1 [答案] C

B.2- 3 2 D. 2

ABsin∠BAC [解析] 在△ABC 中,BC= sin∠ACB = 100sin15° =50( 6- 2), - 6- 2 50 = 3-1,由图知 cosθ=sin∠ADE=

BCsin∠CBD 在△BCD 中,sin∠BDC= = CD

sin∠BDC= 3-1. 8.空中有一气球,在它的正西方 A 点测得它的仰角为 45°,同时在它南偏东 60°的 B 点,测得 它的仰角为 30°,若 A,B 两点间的距离为 266 米,这两个观测点均离地 1 米,那么测量时气 球到地面的距离是( ) 266 7 A. 7 米 B.?

?266 7 ? +1?米 ? 7 ?

C.266 米 D.266 7米 [答案] B [解析] 如图,D 为气球 C 在过 AB 且与地面平行的平面上的正投影,设 CD=x 米,依题意知: ∠CAD=45°,∠CBD=30°,则 AD=x 米,BD= 3x 米.在△ABD 中,由余弦定理得 AB2=AD2 266 7 +BD2-2AD· BD· cos∠ADB,即 2662=x2+( 3x)2-2x· ( 3x)· cos150°=7x2,解得 x= 7 , 故测量时气球到地面的距离是?

?266 7 ? +1?米,故选 B. ? 7 ?

二、填空题 9.海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角,则 B、C 的距离是________. [答案] 5 6海里 10 BC [解析] 在△ABC 中由正弦定理得sin45°=sin60°, ∴BC=5 6. 10.我舰在岛 A 南 50°西 12 海里的 B 处,发现敌舰正从岛沿北 10°西的方 向以每小时 10 海里的速度航行,若我舰要用 2 小时追上敌舰,则速度为

________. [答案] 14 海里/小时 [解析] 设我舰在 C 处追上敌舰,速度为 V,则在△ABC 中,AC=20,AB=12,∠BAC=120°. ∴BC2=784,∴V=14 海里/小时. 11.2009 年 8 月 9 日,莫拉克台风即将登陆福建省霞浦县,如图,位于港口 O 正东方向 20 海里的 B 处的渔船回港避风时出现故障.位于港口南偏西 30°方向,距港口 10 海里的 C 处的 拖轮接到海事部门营救信息后以 30 海里/小时的速度沿直线 CB 去营救渔船,则拖轮到 B 处需 要________小时.

[分析] 求解本题的关键是把实际应用问题转化为数学问题,然后再利用余弦定理解决. [答案] 7 3

[解析] 由题易知,∠BOC=120°,因为 BC2=OC2+OB2-2· OC· OB· cos120°=700,所以 BC= 10 7 7 10 7,所以拖轮到达 B 处需要的时间 t= 30 = 3 (小时). 三、解答题 12. 如图某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75°, 距离为 12 6n mile, 在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30°,距离为 8 3n mile,货轮由 A 处向 正北航行到 D 处时,再看灯塔 B 在南偏东 60°,求: (1)A 处与 D 处的距离; (2)灯塔 C 与 D 处的距离.(结果精确到 1n mile) [解析] (1)在△ABD 中,∠ADB=60°,∠B=45°, 由正弦定理得 2 12 6× 2 ABsinB AD= = =24(n mile). sin∠ADB 3 2 (2)在△ADC 中,由余弦定理得 CD2=AD2+AC2-2AD· ACcos30°, 解得 CD=8 3≈14(n mile). 即 A 处与 D 处的距离为 24n mile,灯塔 C 与 D 处的距离约为 14n mile. 13.某海域内一观测站 A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 50°且与 A 相 15 距 80 海里的位置 B,经过 1 小时又测得该船已行驶到点 A 北偏东 50°+θ(其中 sinθ= 8 , 0°<θ<90°)且与 A 相距 60 海里的位置 C. (1)求该船的行驶速度; (2)若该船不改变航行方向继续向前行驶,求船在行驶过程中离观测站 A 的最近距离. 15 [解析] (1)如图,AB=80,AC=60,∠BAC=θ,sinθ= 8 .

由于 0°<θ<90°,所以 cosθ=

1-?

? 15? 7 ?2= . ? 8 ? 8

由余弦定理得 BC= AB2+AC2-2AB·ACcosθ=40, 所以船的行驶速度为 40 海里/小时. BC AC (2)在△ABC 中,由正弦定理得 = , sin∠BAC sin∠ABC AC· sin∠BAC ∴sin∠ABC= BC 15 8 3 15 =60× 40 = 16 , 自 A 作 BC 的垂线,交 BC 的延长线于 D,则 AD 的长是船离观测站的最近距离. 3 15 在 Rt△ABD 中,AD=ABsin∠ABD=80× 16 =15 15(海里), ∴船在行驶过程中离观测站 A 最近距离为 15 15海里. 14.(2010· 陕西理)如图 A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海 里的两个观测点,现位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一 艘轮船发出求救信号, 位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船 到达 D 点需要多长时间? [解析] 本题考查正余弦定理在实际问题中的应用,本题要结合图像确定恰当三角形进行边角 的求解,求解过程中三角函数的变形,转化是易错点,注意运算的准确性. 由题意知 AB=5(3+ 3)海里, ∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=45°,∴∠ADB=105° DB AB 在△DAB 中,由正弦定理得, = sin∠DAB sin∠ADB AB· sin∠DAB ∴DB= = sin∠ADB = = + 3 sin105°

+ 3 sin45°· cos60°+sin60°· cos45° 5 3 3+ 3+1 2 =10 3(海里).

又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°, BC=20 3(海里), 在△DBC 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD· BC· cos∠DBC

1 =300+1200-2×10 3×20 3×2=900, ∴CD=30(海里), 30 则需要的时间 t=30=1(小时). 答:救援船到达 D 点需要 1 小时. 点评:(1)解决实际应用问题,要过好语言关,图形关和数理关,考生在平时训练中要注意加 强. (2)本题若认定△DBC 为直角三角形,由勾股定理正确求得 CD,同样可以. 15.(2010· 福建文)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出 发时,轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小里的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小船沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度 匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值. (3)是否存在 v,使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船 相遇?若存在,试确定 v 的取值范围;若不存在,请说明理由. [解析] 本小题主要考查解三角形, 二次函数等基础知识, 考查推理论证能力, 抽象概括能力, 运算求解能力,应用意识,考查函数与方程思想,数形结合思想,化归与转化思想. (1)设相遇时小艇的航行距离为 S 海里,则 S= 900t2+400- = 900t2-600t+400= - 1 -3 +300

1 10 3 故当 t=3时,Smin=10 3,v= 1 =30 3. 3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)设小艇与轮船在 B 处相遇.

由题意可得:(vt)2=202+(30t)2-2· 20· 30t· cos(90°-30°) 400 600 1 3 化简得:v2= t2 - t +900=400( t -4)2+675 1 1 1 由 0<t≤2,即 t ≥2,所以当 t =2 时,vmin=10 13. 即小艇航行速度的最小值为 10 13海里/小时. 400 600 1 (3)由(2)知 v2= t2 - t +900,设 t =u(u>0), 于是 400u2-600u+900-v2=0(*) 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程(*)应有两个不等正根,即:
?6002- ? ? ? ?900-v2>0



解得 15 3<v<30. 所以 v 的取值范围是(15 3,30). 教师备课平台 三角函数综合应用,主要是指三角函数与函数、平面几何、平面向量等知识的综合应用及三 角函数在解决实际问题中的应用.三角函数与其他数学知识都有着密切的联系,为此,对三 角函数的综合运用问题,应该在复习中给予足够的重视. 三角函数不仅常和其他的数学知识,如函数、几何、向量等相结合命题,而且也常和其他学 科及现实生活中的实际问题相结合命题,并随着新课程改革的深入,逐渐成为新课标高考的 一个热点,三角函数与其他数学知识的综合运用问题,将仍然是命题的一大热点. 一、三角函数与函数的综合 3x? x? ? 3x ? x [例 1] 已知向量 a= cos 2 ,sin 2 ,b= cos2 , -sin2 . ? ? ? ?

? π? (1)当 x∈ 0,2 时,求 a· b,|a+b|; ? ?
3 (2)若 f(x)=a· b-2m|a+b|≥-2对一切实数 x 都成立,求实数 m 的取值范围. [分析] (1)利用向量的坐标运算以及三角函数和角、倍角公式进行运算,注意结果化为最简形 式. (2)利用已知条件,根据题意,把问题转化为函数问题需讨论,做到不重不漏. 3x x 3x x [解析] (1)a· b=cos 2 cos2-sin 2 sin2 =cos2x, |a+b|2=a2+2a· b+b2=2+2cos2x=4cos2x.

? π? ∵x∈ 0,2 ,∴|a+b|=2cosx. ? ?
(2)f(x)=a· b-2m|a+b|=cos2x-4m|cosx| =2cos2x-4m|cosx|-1, 3 若 f(x)=a· b-2m|a+b|≥-2对一切实数 x 都成立, 1 即 2cos2x-4m|cosx|+2≥0 对一切实数 x 都成立, 当 cosx=0 时,不等式显然成立; 1 当 cosx>0 时,可得 4m≤2cosx+2cosx对一切实数 x 都成立, 1 ? ? ∴4m≤ 2cosx+2cosx min, ? ? 1 1 而 2cosx+2cosx≥2,当且仅当 cosx=2时取等号, 1 故 4m≤2,即 m≤2; 1 当 cosx<0 时,可得-4mcosx≤2cos2x+2对一切实数 x 都成立,

1 ? ? ∴4m≤ -2cosx-2cosx min,

?

?

1 1 而-2cosx-2cosx≥2,当且仅当 cosx=-2时取等号, 1 故 4m≤2,即 m≤2. 1? ? 综上,m 的取值范围为 -∞,2 .

?

?

二、三角函数与平面几何的综合 [例 2] 用 a、b、c 分别表示△ABC 的三个内角 A,B,C 所对边的边长,R 表示△ABC 的外接 圆半径.

(1)如图,在以 O 为圆心,半径为 2 的⊙O 中,BC 和 BA 是⊙O 的弦,其中 BC=2,∠ABC=45°, 求弦 AB 的长; (2)给定三个正实数 a,b,R,其中 b≤a.问:a,b,R 满足怎样的关系时,以 a,b 为边长,R 为外接圆半径的△ABC 不存在、存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)?在△ABC 存 在的情况下,用 a,b,R 表示 c. [分析] (1)利用三角函数与平面几何的内在联系,构造△ABC,应用正弦定理求出∠A 和边 AC 的长,再利用余弦定理求边 AB. (2)需对构成三角形的条件的各种情况进行讨论,在讨论过程中应熟练地应用正、余弦定理. [解析] (1)因为△ABC 的外接圆半径为 2, 在△ABC 中,AC=2RsinB=2 2, BC 1 则 sinA=2R=2,A=30°, 又 AB2=BC2+AC2-2BC· AC· cosC =4+8+8 2cos(A+B)=4( 3+2)=2( 3+1)2, ∴AB= 6+ 2. (2)①当 a>2R 或 a=b=2R 时,所求的△ABC 不存在; ②当 a=2R 且 b<a 时,A=90°,所求的△ABC 只存在一个,且 c= a2-b2; a b ③当 a<2R 且 b=a 时,A=B,且 A、B 都是锐角,由 sinA=2R=2R=sinB,A、B 唯一确定;因 a 此,所求的△ABC 只存在一个,且 c=2a· cosA=R 4R2-a2; ④当 b<a<2R 时,B 总是锐角,A 可以是钝角也可以是锐角,因此,所求的△ABC 存在两个, a b 由 sinA=2R,sinB=2R得, 1 当 A<90°时,cosA=2R 4R2-a2,

c= a2+b2+ = ab a2+b2+2R2

+ 4R2-a2· 4R2-b2- ;

1 当 A>90°时,cosA=-2R 4R2-a2, c= ab a2+b2-2R2 4R2-a2· 4R2-b2+ .

三、三角函数与平面向量的综合 [例 3] 已知向量 m=(f(x),cosx),n=( 3sinx+cosx,1),且 m∥n. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)若函数 f(x)的图像关于直线 x=x0 对称,且 0<x0<1,求 x0 的值. [分析] 对于(1)利用已知求出函数 f(x)的解析式,转化为三角函数知识,进一步解决问题;对 于(2)根据对称坐标之间的关系求 x0 即可. 3 [解析] (1)由 m∥n 得,f(x)· 1-cosx· ( 3sinx+cosx)=0,则 f(x)= 3sinxcosx+cos2x= 2 sin2x π? 1 1 1 ? +2cos2x+2=sin 2x+6 +2,

?

?

2π ∴T= 2 =π. π π π 由 2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2(k∈Z)得, π π kπ-3≤x≤kπ+6(k∈Z), π π? ? ∴f(x)的最小正周期为 π,单调递增区间为 kπ-3,kπ+6 (k∈Z).

?

?

(2)∵f(x)的图像关于直线 x=x0 对称, π π kπ π ∴2x0+6=kπ+2,即 x0= 2 +6(k∈Z). π ∵0<x0<1,∴x0=6. 四、三角函数的实际应用 [例 4] 某单位在抗雪救灾中,需要在 A、B 两地之间架设高压电线,测量人员在相距 6000m 的 C、D 两地(A,B,C,D 在同一平面上),测得∠ACD=45°,∠ADC=75°,∠BCD=30°,∠ BDC=15°(如图), 假设考虑到电线的自然下垂的施工损耗等原因, 实际所需电线长度大约是 A、 B 距离的 1.2 倍. 问: 施工单位至少应该准备多长的电线?(参考数据: 2≈1.4, 3≈1.7, 7≈2.6) [分析] 解决此类问题的一般步骤是: (1)根据题意, 抽象地构造出 三角形. (2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角 形的边和角的对应关系. (3)选用正弦定理或余弦定理或两者相结合的方法求角. [解析] 在△ACD 中,∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°,CD= 6000,∠ACD=45°, CDsin45° 根据正弦定理 AD= sin60° = 2 3CD.

在△BCD 中,∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°,CD=6000,∠BCD=30°,根据正弦定理 CDsin30° 2 BD= sin135° = 2 CD. 又在△ABD 中,∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°. 根据勾股定理有, AB= AD2+BD2= 2 1 3+2CD=1000 42,

1.2AB≈7425.6,故实际所需电线长度约为 7425.6m.


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