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化归与转化思想


化归与转化的思想在解题中的应用
一、知识整合
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1.解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、 类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一 个新问题(相对来说,对自己较熟悉的问题) ,通过新问题的求解,达到解决原 问题的目的,这一思想方法我们称之为“

化归与转化的思想方法”。
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2.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化除极简单的数学问题外, 每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲,解决 数学问题就是从未知向已知转化的过程。 化归与转化的思想是解决数学问题的根 本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是,如 未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间 的转化, 数与形的转化, 空间向平面的转化, 高维向低维转化, 多元向一元转化, 高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想 的体现。
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3.转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件,所以尽可能 使转化具有等价性;在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以 保持等价性,或对所得结论进行必要的验证。 4.化归与转化应遵循的基本原则: 知识、经验和问题来解决。
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(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的
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(2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决, 达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据。 (3)和谐化原则: 化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式, 或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规 律。 (4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。 (5)正 难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反 面去探求,使问题获解。 二、例题分析
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例 1.某厂 2001 年生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂 方正在改造建设, 元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等,随着投入资金的 逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到 12 月投入建设资金又恰好与 12 月的生产利润相同,问全年总利润 m 与全年总投入 N 的大小关系是 ( )
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A. m>N

B. m<N

C.m=N

D.无法确定[分析]每月的利

润组成一个等差数列{an},且公差 d>0,每月的投资额组成一个等比数列{bn}, 且公比 q>1。 a1 ? b1 ,且 a12 ? b ,比较 S12 与 T12 的大小。若直接求和,很难比较 12 出其大小,但注意到等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 是关于 n 的一次函数, 其图象是一条直线上的一些点列。 等比数列的通项公式 bn=a1qn-1 是关于 n 的指 数函数,其图象是指数函数上的一些点列。
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在同一坐标系中画出图象, 直观地可以看出 ai≥bi

则 S12 > T12 , m>N。 [点 即

评]把一个原本是求和的问题,退化到各项的逐一比较大小,而一次函数、指数 函数的图象又是每个学生所熟悉的。 在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的 内涵,通过对问题的反思、再加工后,使问题直观、形象,使解答更清新。
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例 2.如果,三棱锥 P—ABC 中,已知 PA⊥BC,PA=BC=l,PA,BC 的公垂线 1 ED=h.求证三棱锥 P—ABC 的体积 V ? l 2 h . 6 分析:如视 P 为顶点,△ABC 为底面,则无论是 S△ABC 以及高 h 都不好求.如
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果观察图形, 换个角度看问题, 创造条件去应用三棱锥体积公式, 则可走出困境.
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解: 如图, 连结 EB, EC, PA⊥BC, 由 PA⊥ED, ED∩BC=E, 可得 PA⊥面 ECD. 这 样,截面 ECD 将原三棱锥切割成两个分别以 ECD 为底面,以 PE、AE 为高的小三 棱锥,而它们的底面积相等,高相加等于 PE+AE=PA=l,所以 1 1 1 1 VP - ABC=VP - ECD+VA - ECD= S △ ECD ? AE+ S △ ECD ? PE= S △ ECD ? PA= ? 3 3 3 3 1 1 BC·ED·PA= V ? l 2 h . 2 6 评注:辅助截面 ECD 的添设使问题转化为已知问题迎刃而解.
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例 3.在 ( x2 ? 3x ? 2)5 的展开式中 x 的系数为( ). (A)160 (B)240

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(C)360

(D)800

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分析与解:本题要求 ( x2 ? 3x ? 2)5 展开式中 x 的系数,而我们只学习过多项 式乘法法则及二项展开式定理, 因此,就要把对 x 系数的计算用上述两种思路进 行转化:
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思路 1:直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解,则 ( x2 ? 3x ? 2)5 展 开式是一个关于 x 的 10 次多项式, x2 ? 3x ? 2)5 =(x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) ( (x2+3x+2) (x2+3x+2),它的展开式中的一次项只能从 5 个括号中的一个中选取一
1 次项 3x 并在其余四个括号中均选 择常数项 2 相乘得到, 故为 C5 · (3x)· 4 · 4=5 C4 2

×3×16x=240x,所以应选(B).
2

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思路 2 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算,∵ x +3x+2=x2+ (3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x),∴这条思路 下又有四种不同的化归与转化方法.①如利用 x2+3x+2=x2+(3x+2)转化,可以发
5 现只有 C5 (3x+2)5 中会有 x 项, C54 (3x)· 4=240x, 即 2 故选(B); ②如利用 x2+3x+2= 1 (x2+2)+3x 进行转化, 则只 C5 (x2+2) 4· 中含有 x 一次项, C5 · C44·4=240x; 3x 即 1 3x· 2

③如利用 x2+3x+2=(x2+3x)+2 进行转化,就只有 C54 ·(x2+3x)·24 中会有 x 项, 即 240x; ④如选择 x +3x+2=(1+x)(2+x)进行转化, x2 ? 3x ? 2)5 = (1 ? x)5 × (2 ? x)5 (
2

展开式中的一次项 x 只能由(1+x)5 中的一次项乘以(2+x)5 展开式中的常数项加上 (2+x)5 展 开 式 中 的 一 次 项 乘 以 (1+x)5 展 开 式 中 的 常 数 项 后 得 到 , 即 为
1 5 1 C5 x· C5 2 + C5 ?2 ?x? C50 ?1 =160x+80x=240x,故选(B).
5 4 5
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评注:化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知。

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例 4.若不等式 x2 ? px ? 4x ? p ? 3 对一切 0 ? p ? 4 均成立,试求实数 x 的取 值范围。解:? x2 ? px ? 4x ? p ? 3

? ( x ?1) p ? x2 ? 4x ? 3 ? 0
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令 g ( p) ? ( x ?1) p ? x2 ? 4x ? 3 ,则要使它对 0 ? p ? 4 均有 g ( p ) ? 0 ,只要



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? g (0) ? 0 ? ? g (4) ? 0

? x ? 3 或 x ? ?1 。点评:在有几个变量

的问题中,常常有一个变元处于主要地位,我们称之为主元,由于思维定势的影 响, 在解决这类问题时, 我们总是紧紧抓住主元不放, 这在很多情况下是正确的。

但在某些特定条件下,此路往往不通,这时若能变更主元,转移变元在问题中的 地位,就能使问题迎刃而解。本题中,若视 x 为主元来处理,既繁且易出错,实 行主元的转化, 使问题变成关于 p 的一次不等式,使问题实现了从高维向低维转 化,解题简单易行。 三、总结提炼
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1.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础;丰富 的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁;培养训练自己自觉的 化归与转化意识需要对定理、 公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总 结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。 “抓基础,重转化” 是学好中学数学的金钥匙。
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2.为了实施有效的化归,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论, 既可以变换问题的内部结构, 又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度 去认识问题,又可以从几何的角度去解决问题。
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