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椭圆经典例题分类汇总 -(学生版)


椭圆经典例题分类汇总
一. 椭圆第一定义的应用
例 1 椭圆的一个顶点为 A?2, 0? ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程.

说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的, 因而要考虑两种情况. 例 2 已知椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,求

k 的值. 2 k ?8 9

说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为 k ? 8 与 9 的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能 在 x 轴上,也可能在 y 轴上.故必须进行讨论. 例3

x2 y2 ? ? ?1表示椭圆,求 k 的取值范围. 已知方程 k ?5 3? k

说明:本题易出现如下错解:由 ?

?k ? 5 ? 0, 得 3 ? k ? 5 ,故 k 的取值范围是 3 ? k ? 5 . ?3 ? k ? 0,

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a ? b ? 0 这个条件,当 a ? b 时,并不表示椭圆.
1

例4

已知 x 2 s i n ? ? y2 c o ? s ? 1 (0 ? ? ? ? ) 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求 ? 的取值范围.

1 1 ? 0,? ? 0 ,这是容易忽视的地方. sin ? cos ? 1 1 2 2 (2)由焦点在 y 轴上,知 a ? ? ,b ? . (3)求 ? 的取值范围时,应注意题目中的条件 cos ? sin ? 0 ?? ??
说明:(1)由椭圆的标准方程知 例 5 已知动圆 P 过定点 A?? 3, 且在定圆 B: 0? , ?x ? 3? ? y 2 ? 64的内部与其相内切,求动圆圆心 P
2

的轨迹方程.

说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这 是求轨迹方程的一种重要思想方法.

二. 焦半径及焦三角的应用
例 1 已知椭圆

x2 y ? ? 1 , F1 、 F2 为两焦点,问能否在椭圆上找一点 M ,使 M 到左准线 l 的距 4 3

2

离 MN 是 MF1 与 MF2 的等比中项?若存在,则求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

2

例 2 已知椭圆方程

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? ,长轴端点为 A1 , A2 ,焦点为 F1 , F2 , P 是椭圆上一 a 2 b2

点, ?A1PA2 ? ? , ?F1PF2 ? ? .求: ?F1 PF2 的面积(用 a 、 b 、 ? 表示) .

三. 第二定义应用
例 1 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F , 过点 A 1 点 M 在椭圆上, 当 AM ? 2 MF 为最小值时, ,3 , 16 12

? ?

求点 M 的坐标.

说明:本题关键在于未知式 AM ? 2 MF 中的“2”的处理.事实上,如图, e ?

1 ,即 MF 是 M 2

到右准线的距离的一半,即图中的 MQ ,问题转化为求椭圆上一点 M ,使 M 到 A 的距离与到右准 线距离之和取最小值.

3

例 2 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点 F2 的距离为 b (b ? 1) ,求 P 到左准线的距离. 4b 2 b 2

说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解. 椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇 到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二 定义. 例 3 已知椭圆 点.

x2 y2 ? ? 1 内有一点 A(1 , 1) , F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点,点 P 是椭圆上一 9 5

P 坐标; (1) 求 PA ? PF 1 的最大值、最小值及对应的点
(2) 求 PA ?

3 PF2 的最小值及对应的点 P 的坐标. 2

说明:求 PA ?

1 PF2 的最小值,就是用第二定义转化后,过 A 向相应准线作垂线段.巧用焦 e

点半径 PF2 与点准距 PQ 互化是解决有关问题的重要手段.

4

四. 相交情况下--弦长公式的应用
例 1 已知椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1 及直线 y ? x ? m . (1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区 别.这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式 ? ;解决弦长问题,一般应用弦长公式. 用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系) ,可大大简化运算过程. 例 2 已知长轴为 12,短轴长为 6,焦点在 x 轴上的椭圆,过它对的左焦点 F1 作倾斜解为 交椭圆于 A , B 两点,求弦 AB 的长.

? 的直线 3

5

五. 相交情况下—点差法的应用
例 1 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A 、B 两点,M 为 AB 中点,

OM 的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程.

说明: (1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法; (2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系 数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.

x2 ?1 1? ? y 2 ? 1 ,求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在的直线方程. 例 2 已知椭圆 2 ? 2 2?

说明: (1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点 的弦中点轨迹. (2)解法二是“点差法” ,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率. (3)有关弦及弦中点问题常用的方法是: “韦达定理应用”及“点差法” .有关二次曲线问题也适用.
6

例 3 已知椭圆

x2 ?1 1? ? y2 ? 1 , (1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; 2 ? 2 2?

(2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 A?2, 1? 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点 P 、 Q , O 为原点,且有直线 OP 、 OQ 斜率满足 k OP ? k OQ ? ? 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程.

1 , 2

例 4 已知椭圆 C: ?

x2 4

y2 ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 l:y ? 4 x ? m ,椭圆 C 上有 3

不同的两点关于该直线对称.

说明:涉及椭圆上两点 A , B 关于直线 l 恒对称,求有关参数的取值范围问题,可以采用列参数满 足的不等式: (1)利用直线 AB 与椭圆恒有两个交点,通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,消元后得到的一元 二次方程的判别式 ? ? 0 ,建立参数方程. (2)利用弦 AB 的中点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部,满足 参数不等式.

x0 y ? 0 ? 1 ,将 x0 , y0 利用参数表示,建立 a b

2

2

7

例 5 已知 P(4 , 2) 是直线 l 被椭圆

x2 y2 ? ? 1 所截得的线段的中点,求直线 l 的方程. 36 9

说明:直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题, “设而不求”的方法是处理此类问题 的有效方法.

8


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