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2016年河南省郑州市高考数学一模试卷(理科)(解析版)


2016 年河南省郑州市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是渡河题目要求的. 1.设全集 U={x∈N*|x≤4},集合 A={1,4},B={2,4},则?U(A∩B)=( ) A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{1,3,4} D.{2,3,4} 2.设 z=1+i

(i 是虚数单位) ,则 ﹣ =( A.i B.2﹣i C.1﹣i D.0 = , 则 cosB= ( ) )

3. B, C 所对的边分别为 a, b, c, 在△ABC 中, 角 A, 若 A.﹣ B. C.﹣ D.

4.函数 f(x)=excosx 在点(0,f(0) )处的切线方程是( A.x+y+1=0 B.x+y﹣1=0 C.x﹣y+1=0 D.x﹣y﹣1=0



5.已知函数 f(x)=( )x﹣cosx,则 f(x)在[0,2π]上的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 6.按如下程序框图,若输出结果为 273,则判断框内?处应补充的条件为(





A.i>7 B.i≥7 C.i>9 D.i≥9 7.设双曲线 + =1 的一条渐近线为 y=﹣2x,且一个焦点与抛物线 y= x2 的焦点相同, ) C.5x2﹣ y2=1 D. y2﹣5x2=1

则此双曲线的方程为( A.

x2﹣5y2=1 B.5y2﹣ x2=1

8. a4031 是函数 ( f x) = x3﹣4x2+6x﹣3 的极值点, 正项等比数列{an}中的 a1, 则 =( ) A.1 B.2 C. D.﹣1 9.如图是一个四面体的三视图,这个三视图均是腰长为 2 的等腰直角三角形,正视图和俯 视图中的虚线是三角形的中线,则该四面体的体积为( )

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A.

B.

C.

D.2

10.已知函数 f(x)=x+ ,g(x)=2x+a,若? x1∈[ ,1],? x2∈[2,3],使得 f(x1) ≥g(x2) ,则实数 a 的取值范围是( A.a≤1 B.a≥1 C.a≤2 D.a≥2 11.已知椭圆 + )

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线与椭圆交于 )

A、B 两点,若△F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则离心率为 ( A. B.2﹣ C. ﹣2 D. ﹣

12.已知函数 f(x)= 有 1 个整数解,则实数 a 的最大值是( A.2 B.3 C.5 D.8

,若关于 x 的不等式[f(x)]2+af(x)﹣b2<0 恰 )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.二项式 的展开式中,x2 项的系数为 .

14.若不等式 x2+y2≤2 所表示的区域为 M,不等式组

表示的平面区域为 N,现

随机向区域 N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 M 内的概率为 15.△ABC 的三个内角 A,B,C,若 =tan(﹣

. π) ,则 2cosB+sin2C 的

最大值为 . 16.已知点 A(0,﹣1) ,B(3,0) ,C(1,2) ,平面区域 P 是由所有满足 =λ +μ <λ≤m,2<μ≤n)的点 M 组成的区域,若区域 P 的面积为 6,则 m+n 的最小值 为 . 三、解答题(满分 60 分) 17.已知数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和 Sn,且数列{
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(2

}是公差为 2 的等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=(﹣1)nan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 18.某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕,基地员工一天 可以完成一处种植区的采摘,由于下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示: 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 20 万 15 万 10 万 7.5 万 收益 若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务;无雨时收益为 20 万元;有雨时收 益为 10 万元,额外聘请工人的成本为 a 万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天 是否下雨互不影响,基地收益为 20 万元的概率为 0.36. (1)若不额外聘请工人,写出基地 X 收益 的分布列及基地的预期收益; (2)该基地是否应该外聘工人,请说明理由. 19.如图,矩形 CDEF 和梯形 ABCD 互相垂直,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD= CD,BE ⊥DF. (1)若 M 位 EA 的中点,求证:AC∥平面 MDF; (2)求平面 EAD 与平面 EBC 所成的锐二面角的大小.

20.已知点 M(﹣1,0) ,N(1,0) ,曲线 E 上任意一点到点 M 的距离均是到点 N 的距离 的 倍. (1)求曲线 E 的方程; (2)已知 m≠0,设直线 l:x﹣my﹣1=0 交曲线 E 于 A,C 两点,直线 l2:mx+y﹣m=0 交 曲线 E 于 B,D 两点,C,D 两点均在 x 轴下方,当 CD 的斜率为﹣1 时,求线段 AB 的长. 21.设函数 f(x)= x2﹣mlnx,g(x)=x2﹣(m+1)x. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 m≥1 时,讨论函数 f(x)与 g(x)图象的交点个数. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修 4-1: 几何证明选讲. 22.如图,∠BAC 的平分线与 BC 和△ABC 的外接圆分别相交于 D 和 E,延长 AC 交过 D, E,C 三点的圆于点 F. (1)求证:EC=EF; (2)若 ED=2,EF=3,求 AC?AF 的值.

选修 4-4:坐标系与参数方程
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23. 已知曲线 C1 的参数方程为

曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2

cos (θ﹣

) ,

以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求曲线 C2 上的动点 M 到直线 C1 的距离的最大值. 选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|x﹣2|﹣|x+1|. (1)解不等式 f(x)>1. (2)当 x>0 时,函数 g(x)= a 的取值范围. (a>0)的最小值总大于函数 f(x) ,试求实数

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2016 年河南省郑州市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是渡河题目要求的. 1.设全集 U={x∈N*|x≤4},集合 A={1,4},B={2,4},则?U(A∩B)=( ) A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{1,3,4} D.{2,3,4} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】由已知中全集 U={x∈N*|x≤4},A={1,4},B={2,4},根据补集的性质及运算 方法,我们求出 A∩B,再求出其补集,即可求出答案. 【解答】解:∵全集 U={x∈N*|x≤4}={1,2,3,4},A={1,4},B={2,4} ∴A∩B={4}, ∴?U(A∩B)={1,2,3} 故选:A.

2.设 z=1+i(i 是虚数单位) ,则 ﹣ =( A.i



B.2﹣i C.1﹣i D.0 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】把复数 z 代入,然后直接利用复数代数形式的除法运算化简求值 【解答】 解:z=1+i (i 是虚数单位) ,则 ﹣ = 故选:D. = ﹣ (1﹣i) ﹣1+i=1﹣i﹣1+i=0,

3. B, C 所对的边分别为 a, b, c, 在△ABC 中, 角 A, 若 A.﹣ B. C.﹣ D.

=

, 则 cosB= (



【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】由已知及正弦定理可得 求 B= ,即可得解 cosB= . = , , cosB=sinB, = ,解得 tanB= ,结合范围 0<B<π,可

【解答】解:∵ 又∵由正弦定理可得: ∴ ∴tanB= ∴B= =

,解得:

,0<B<π, ,cosB= .
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故选:B. 4.函数 f(x)=excosx 在点(0,f(0) )处的切线方程是( A.x+y+1=0 B.x+y﹣1=0 C.x﹣y+1=0 D.x﹣y﹣1=0 )

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 求出函数的导数, 求得切线的斜率和切点坐标, 由点斜式方程可得所求切线的方程. x x 【解答】解:函数 f(x)=e cosx 的导数为 f′(x)=e (cosx﹣sinx) , 0 即有在点(0,f(0) )处的切线斜率为 k=e (cos0﹣sin0)=1, 切点为(0,1) , 0 f 则在点( , (0) )处的切线方程为 y﹣1=x﹣0,即为 x﹣y+1=0. 故选 C. 5.已知函数 f(x)=( )x﹣cosx,则 f(x)在[0,2π]上的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.4



【考点】函数零点的判定定理. 【分析】分别作出 y=( )x 和 y=cosx 在[0,2π]上的函数图象,根据函数图象的交点个数 来判断. 【解答】解:令 f(x)=0 得( )x=cosx, 分别作出 y=( )x 和 y=cosx 的函数图象,

由图象可知 y=( )x 和 y=cosx 在[0,2π]上有 3 个交点, ∴f(x)在[0,2π]上有 3 个零点. 故选:C. 6.按如下程序框图,若输出结果为 273,则判断框内?处应补充的条件为( )

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A.i>7 B.i≥7 C.i>9 D.i≥9 【考点】程序框图. 【分析】按照程序框图的流程写出前三次循环的结果,直到第三次按照已知条件需要输出, 根据循环的 i 的值得到判断框中的条件. 【解答】解:经过第一次循环得到 S=3,i=3 经过第二次循环得到 S=3+33=30,i=5 经过第三次循环得到 S=30+35=273,i=7 此时,需要输出结果,此时的 i 满足判断框中的条件 故选:B.

7.设双曲线

+

=1 的一条渐近线为 y=﹣2x,且一个焦点与抛物线 y= x2 的焦点相同, ) C.5x2﹣ y2=1 D. y2﹣5x2=1

则此双曲线的方程为( A.

x2﹣5y2=1 B.5y2﹣ x2=1

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求出抛物线的焦点坐标,确定双曲线的焦点,求出 a,b,c,即可求出双曲线的标 准方程 【解答】解:∵双曲线的一个焦点与抛物线 y= x2 的焦点相同, ∴双曲线的焦点在 y 轴,且焦点坐标为(0,1) ,即 c=1, 则双曲线 + =1 标准方程形式为 ﹣ =1,

则 b>0,a<0, 由 ﹣ =0 得 y2= x2,

则双曲线的渐近线为 y=±

x,

∵双曲线一条渐近线为 y=﹣2x, ∴ =2,即 =4,则 b=﹣4a,

∵b+(﹣a)=c2=1, ∴﹣5a=1,则 a=﹣ ,b= ,

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则双曲线的方程为 故选:D

=1,即 y2﹣5x2=1,

8. a4031 是函数 ( f x) = x3﹣4x2+6x﹣3 的极值点, 正项等比数列{an}中的 a1, 则 =( A.1 ) B.2 C. D.﹣1

【考点】等比数列的通项公式;利用导数研究函数的极值. 【分析】f′(x)=x2﹣8x+6=0,由于 a1,a4031 是函数 f(x)= x3﹣4x2+6x﹣3 的极值点,可 得 a1?a4031=6,a2016= .即可得出.

【解答】解:f(x)= x3﹣4x2+6x﹣3, ∴f′(x)=x2﹣8x+6=0, ∵a1,a4031 是函数 f(x)= x3﹣4x2+6x﹣3 的极值点, ∴a1?a4031=6,又 an>0, ∴a2016= ∴ 故选:A. 9.如图是一个四面体的三视图,这个三视图均是腰长为 2 的等腰直角三角形,正视图和俯 视图中的虚线是三角形的中线,则该四面体的体积为( ) = =1. .

A.

B.

C.

D.2

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由四面体的三视图得该四面体为棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中的三棱锥 C1﹣BDE,其中 E 是 CD 中点,由此能求出该四面体的体积. 【解答】解:由四面体的三视图得该四面体为棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中的三 棱锥 C1﹣BDE, 其中 E 是 CD 中点,
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△BDE 面积 ∴该四面体的体积: V= = .

,三棱锥 C1﹣BDE 的高 h=CC1=2,

故选:A.

10.已知函数 f(x)=x+ ,g(x)=2x+a,若? x1∈[ ,1],? x2∈[2,3],使得 f(x1) ≥g(x2) ,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤1 B.a≥1 C.a≤2 D.a≥2 【考点】全称命题. 【分析】由? x1∈[﹣1,2],都? x2∈[1,2],使得 f(x1)≥g(x2) ,可得 f(x)=x2+1 在 x1∈[﹣1,2]的最小值不小于 g(x)=ax+2 在 x2∈[1,2]的最小值,构造关于 a 的不等式组, 可得结论. 【解答】解:当 x1∈[ ,1]时,由 f(x)=x+ 得,f′(x)= 令 f′(x)>0,解得:x>2,令 f′(x)<0,解得:x<2, ∴f(x)在[ ,1]单调递减, ∴f(1)=5 是函数的最小值, 当 x2∈[2,3]时,g(x)=2x+a 为增函数, ∴g(2)=a+4 是函数的最小值, 又∵? x1∈[ ,1],都? x2∈[2,3],使得 f(x1)≥g(x2) , 可得 f(x)在 x1∈[ ,1]的最小值不小于 g(x)在 x2∈[2,3]的最小值, 即 5≥a+4,解得:a≤1, 故选:A. ,

11.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线与椭圆交于 )

A、B 两点,若△F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则离心率为 (

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A.

B.2﹣

C.

﹣2

D.



【考点】椭圆的简单性质. 【分析】设|F1F2|=2c,|AF1|=m,若△ABF1 构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 |AB|=|AF1|=m,|BF1|= m,再由椭圆的定义和周长的求法,可得 m,再由勾股定理, 可得 a,c 的方程,求得 ,开方得答案.

【解答】解:如图,设|F1F2|=2c,|AF1|=m, 若△ABF1 构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形, 则|AB|=|AF1|=m,|BF1|= m, 由椭圆的定义可得△ABF1 的周长为 4a, 即有 4a=2m+ m,即 m=2(2﹣ )a, 则|AF2|=2a﹣m=(2 ﹣2)a, 在直角三角形 AF1F2 中, |F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2, 即 4c2=4(2﹣ )2a2+4( ﹣1)2a2, ∴c2=(9﹣6 )a2, 则 e2= =9﹣6 . = ,

∴e= 故选:D.

12.已知函数 f(x)= 有 1 个整数解,则实数 a 的最大值是( A.2 B.3 C.5 D.8 【考点】一元二次不等式的解法. 【分析】画出函数 f(x)=

,若关于 x 的不等式[f(x)]2+af(x)﹣b2<0 恰 )

的图象,对 b,a 分类讨论,利用一元二次不

等式解法可得解集,再利用数形结合即可得出.

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【解答】解:函数 f(x)=

,如图所示,

①当 b=0 时,[f(x)]2+af(x)﹣b2<0 化为[f(x)]2+af(x)<0, 当 a>0 时,﹣a<f(x)<0, 由于关于 x 的不等式[f(x)]2+af(x)﹣b2<0 恰有 1 个整数解, 因此其整数解为 3,又 f(3)=﹣9+6=﹣3, ∴﹣a<﹣3<0,﹣a≥f(4)=﹣8, 则 8≥a>3, a≤0 不必考虑. ②当 b≠0 时,对于[f(x)]2+af(x)﹣b2<0, △=a2+4b2>0, 解得: 只考虑 a>0, 则 <0< , <f(x)< ,

由于 f(x)=0 时,不等式的解集中含有多与一个整数解(例如,0,2) ,舍去. 综上可得:a 的最大值为 8. 故选:D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.二项式 的展开式中,x2 项的系数为 60 .

【考点】二项式系数的性质.

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【分析】根据题意,可得

的通项为 Tr+1=C6r?(x)6﹣r?(﹣ )r=(﹣1)rC6r?2r?

(x)6﹣2r,令 6﹣2r=2,可得 r=2,将 r=2 代入通项可得 T3=60x2,即可得答案. 【解答】解:根据二项式定理,
r

的通项为 Tr+1=C6r?(x)6﹣r?(﹣ )r=(﹣1)

C6r?2r?(x)6﹣2r,

当 6﹣2r=2 时,即 r=2 时,可得 T3=60x2, 即 x2 项的系数为 60, 故答案为 60.

14.若不等式 x2+y2≤2 所表示的区域为 M,不等式组

表示的平面区域为 N,现

随机向区域 N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 M 内的概率为



【考点】几何概型;简单线性规划. 【分析】由题意,所求概率满足几何概型的概率,只要分别求出 S 阴影,SN,求面积比即可. 【解答】解:由题,图中△OCD 表示 N 区域,其中 C(6,6) ,D(2,﹣2) 所以 SN= × =12,S 阴影= . = ,

所以豆子落在区域 M 内的概率为 故答案为: .

15.△ABC 的三个内角 A,B,C,若 最大值为 .

=tan(﹣

π) ,则 2cosB+sin2C 的

【考点】三角函数的化简求值.

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【分析】由条件利用两角和差的正切公式,诱导公式,求得 A= 次函数的性质求得 2cosB+sin2C 的最大值. 【解答】解:△ABC 的三个内角 A,B,C,若 则 ∴A+ =kπ+ =﹣tan(A+ ,∴A=kπ+ )=tan(﹣ π)=﹣tan . π,

.余弦函数的值域,二

=tan(﹣

π) ,

,k∈Z,∴A=

则 2cosB+sin2C=2cosB+sin2[π﹣(A+B)]=2cosB+sin2[π﹣( 2B) 2cosB﹣cos2B=2cosB﹣(2cos2B﹣1)=﹣2cos2B+2cosB+1=﹣2 由于 B∈(0, 故答案为: . ) ,cosB∈(﹣

+B)]=2cosB+sin(



+ ,

,1) ,故当 cosB= 时,2cosB+sin2C 取得最大为 ,

16.已知点 A(0,﹣1) ,B(3,0) ,C(1,2) ,平面区域 P 是由所有满足 =λ +μ 2<μ≤n) <λ≤m, 的点 M 组成的区域, 若区域 P 的面积为 6, 则 m+n 的最小值为 4+

(2 .

【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【分析】设 M(x,y) ,作出 M 点所在的平面区域,根据面积得出关于 m,n 的等式,利用 基本不等式便可得出 m+n 的最小值. 【解答】解:设 M(x,y) , , ;









,以 AE,AF 为邻边作平行四边形 AENF,令



以 AP,AQ 为邻边作平行四边形 APGQ;





∴符合条件的 M 组成的区域是平行四边形 NIGH,如图所示;

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∴ ∴ ;











∴3≤(m+n﹣4)2; ∴ ; ∴m+n 的最小值为 故答案为:4+ .



三、解答题(满分 60 分) 17.已知数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和 Sn,且数列{ }是公差为 2 的等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=(﹣1)nan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【分析】 (1)运用等差数列的通项公式,可得 Sn=n(2n﹣1) ,再由 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1, 即可得到所求通项; (2)求得 bn=(﹣1)nan=(﹣1)n?(4n﹣3) .讨论 n 为偶数,n 为奇数,结合等差数列的 求和公式计算即可得到所求和. 【解答】解: (1)由数列{ 可得 }是公差为 2 的等差数列,

=1+2(n﹣1)=2n﹣1,

即 Sn=n(2n﹣1) , n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n(2n﹣1)﹣(n﹣1) (2n﹣3)=4n﹣3, 对 n=1 时,上式也成立. 故 an=4n﹣3; (2)bn=(﹣1)nan=(﹣1)n?(4n﹣3) . 当 n 为偶数时,前 n 项和 Tn=﹣1+5﹣9+13﹣…﹣(4n﹣7)+(4n﹣3) =4× =2n; 当 n 为奇数时,前 n 项和 Tn=Tn﹣1+(﹣4n+3) =2(n﹣1)﹣4n+3=1﹣2n. 则 Tn= .

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18.某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕,基地员工一天 可以完成一处种植区的采摘,由于下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示: 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 20 万 15 万 10 万 7.5 万 收益 若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务;无雨时收益为 20 万元;有雨时收 益为 10 万元,额外聘请工人的成本为 a 万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天 是否下雨互不影响,基地收益为 20 万元的概率为 0.36. (1)若不额外聘请工人,写出基地 收益 X 的分布列及基地的预期收益; (2)该基地是否应该外聘工人,请说明理由. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (1)解设下周一有雨的概率为 p,由题意,p2=0.36,p=0.6,基地收益 x 的可能取 值为 20,15,10,7.5,分别求出相应的概率,由此能求出基地收益 X 的分布列和基地的预 期收益. (2)设基地额外聘请工人时的收益为 Y 万元,其预期收益 E(Y)=16﹣a(万元) ,E(Y) ﹣E(X)=1.6﹣a,由此能求出结果. 【解答】解: (1)设下周一有雨的概率为 p, 2 由题意,p =0.36,p=0.6,基地收益 x 的可能取值为 20,15,10,7.5, 则 P(X=20)=0.36, P(X=15)=0.24, P(X=10)=0.24, P(X=7.5)=0.16, 所以基地收益 X 的分布列为: X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.24 0.24 0.16 基地的预期收益 EX=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4, ∴基地的预期收益为 14.4 万元. (2)设基地额外聘请工人时的收益为 Y 万元, 则其预期收益 E(Y)=20×0.6+10×0.4﹣a=16﹣a(万元) , E(Y)﹣E(X)=1.6﹣a, 综上,当额外聘请工人的成本高于 1.6 万元时,不外聘工人; 成本低于 1.6 万元时,外聘工人; 成本恰为 1.6 万元时,是否外聘工人均可以.

19.如图,矩形 CDEF 和梯形 ABCD 互相垂直,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD= CD,BE ⊥DF. (1)若 M 位 EA 的中点,求证:AC∥平面 MDF; (2)求平面 EAD 与平面 EBC 所成的锐二面角的大小.

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【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)设 EC 与 DF 交于点 N,连结 MN,则 MN∥AC,由此能证明 AC∥平面 MDF. (2)以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面 EAD 与 EBC 所成锐 二面角的大小. 【解答】证明: (1)设 EC 与 DF 交于点 N,连结 MN, 在矩形 CDEF 中,点 N 为 EC 中点, 因为 M 为 EA 中点,所以 MN∥AC, 又因为 AC?平面 MDF,MN? 平面 MDF, 所以 AC∥平面 MDF.﹣﹣﹣﹣﹣ 解: (2)因为平面 CDEF⊥平面 ABCD,平面 CDEF∩平面 ABCD=CD, DE? 平面 CDEF,DE⊥CD, 所以 DE⊥平面 ABCD,﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 以 D 为坐标原点,建立如图空间直角坐标系, 设 DA=a,DE=b,B(a,a,0) ,E(0,0,b) ,C(0,2a,0) ,F(0,2a,b) , , 因为 BE⊥DF, 所以 设平面 EBC 的法向量 , , ,﹣﹣



,取 a=1,得



平面 EAD 的法向量

,﹣﹣





所以,平面 EAD 与 EBC 所成锐二面角的大小为 60°.

20.已知点 M(﹣1,0) ,N(1,0) ,曲线 E 上任意一点到点 M 的距离均是到点 N 的距离 的 倍. (1)求曲线 E 的方程; (2)已知 m≠0,设直线 l:x﹣my﹣1=0 交曲线 E 于 A,C 两点,直线 l2:mx+y﹣m=0 交 曲线 E 于 B,D 两点,C,D 两点均在 x 轴下方,当 CD 的斜率为﹣1 时,求线段 AB 的长. 【考点】直线和圆的方程的应用. 【分析】 (1)设出点坐标,由题目条件进行计算即可;
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(2)由直线 EP:y=x﹣2,设直线 CD:y=﹣x+t,结合圆的几何性质,解得 t 的值.又 C, D 两点均在 x 轴下方,直线 CD:y=﹣x,解得 C,D 的坐标,进而可以解得 m 的值. 【解答】解: (1)设曲线 E 上任意一点坐标为(x,y) , 由题意, ,﹣﹣﹣﹣﹣

整理得 x2+y2﹣4x+1=0,即(x﹣2)2+y2=3 为所求.﹣﹣﹣﹣﹣ (2)由题知 l1⊥l2,且两条直线均恒过点 N(1,0) , 设曲线 E 的圆心为 E,则 E(2,0) ,线段 CD 的中点为 P, 则直线 EP:y=x﹣2,设直线 CD:y=﹣x+t, 由 ,解得点 ,﹣﹣﹣﹣﹣

由圆的几何性质, 而 , |ED|2=3,

, , 解之得 t=0 或 t=3,

又 C,D 两点均在 x 轴下方,直线 CD:y=﹣x.



解得



不失一般性,设

,﹣﹣ 消 y 得: (u2+1)x2﹣2(u2+2)x+u2+1=0, (1)



方程(1)的两根之积为 1,所以点 A 的横坐标 又因为点 直线 同理可得,

, ,

在直线 l1:x﹣my﹣1=0 上,解得 ,所以 ,所以线段 AB 的长为 ,﹣﹣ .﹣﹣

21.设函数 f(x)= x2﹣mlnx,g(x)=x2﹣(m+1)x. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 m≥1 时,讨论函数 f(x)与 g(x)图象的交点个数. 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的图象. 【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 m 的范围,解关于导函数的不等式,求出函数的 单调区间即可; (2)令 F(x)=f(x)﹣g(x) ,问题等价于求 F(x)的零点个数,结合函数的单调性以及 m 的范围,求出即可. 【解答】解: (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,
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f′(x)=x﹣ =



m≤0 时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)递增, m>0 时, ,…

当 时,f'(x)<0,函数 f(x)的单调递减, 当 时,f'(x)>0,函数 f(x)的单调递增. 综上:m≤0 时,f(x)在(0,+∞)递增; m>0 时,函数 f(x)的单调增区间是 ,减区间是 (2)令 问题等价于求函数 F(x)的零点个数,… ,

.…

,当 m=1 时,F'(x)≤0,函数 F(x)为减函数, 注意到 ,F(4)=﹣ln4<0,所以 F(x)有唯一零点;…

当 m>1 时,0<x<1 或 x>m 时 F'(x)<0,1<x<m 时 F'(x)>0, 所以函数 F(x)在(0,1)和(m,+∞)单调递减,在(1,m)单调递增, 注意到 ,F(2m+2)=﹣mln(2m+2)<0,

… 所以 F(x)有唯一零点; 综上,函数 F(x)有唯一零点,即两函数图象总有一个交点.… 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修 4-1: 几何证明选讲. 22.如图,∠BAC 的平分线与 BC 和△ABC 的外接圆分别相交于 D 和 E,延长 AC 交过 D, E,C 三点的圆于点 F. (1)求证:EC=EF; (2)若 ED=2,EF=3,求 AC?AF 的值.

【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的性质. 【分析】 (1)证明∠ECF=∠EFC,即可证明 EC=EF; (2)证明△CEA∽△DEC,求出 EA,利用割线定理,即可求 AC?AF 的值. 【解答】 (1)证明:因为∠ECF=∠CAE+∠CEA=∠CAE+∠CBA,∠EFC=∠CDA=∠BAE+ ∠CBA,AE 平分∠BAC, 所以∠ECF=∠EFC,所以 EC=EF.﹣﹣﹣ (2)解:因为∠ECD=∠BAE=∠EAC,∠CEA=∠DEC, 所以△CEA∽△DEC,即 ,﹣﹣﹣

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由(1)知,EC=EF=3,所以 所以

,﹣﹣﹣ .﹣﹣﹣

选修 4-4:坐标系与参数方程

23. 已知曲线 C1 的参数方程为

曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2

cos (θ﹣

) ,

以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求曲线 C2 上的动点 M 到直线 C1 的距离的最大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)由 ρ2=x2+y2,y=ρsinθ,x=ρcosθ,能求出 C2 的直角坐标方程. (Ⅱ)曲线 C1 消去参数,得 C1 的直角坐标方程为 ,求出圆心到直线 C1 的距 离,由此能求出动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值. 【解答】解: (Ⅰ) 即 ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ) , ∴x2+y2﹣2x﹣2y=0, 故 C2 的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.… (Ⅱ)∵曲线 C1 的参数方程为 ∴C1 的直角坐标方程为 , 由(Ⅰ)知曲线 C2 是以(1,1)为圆心的圆, 且圆心到直线 C1 的距离 ∴动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为 选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|x﹣2|﹣|x+1|. (1)解不等式 f(x)>1. (2)当 x>0 时,函数 g(x)= a 的取值范围. 【考点】绝对值三角不等式;分段函数的应用. 【分析】 (1)分类讨论,去掉绝对值,求得原绝对值不等式的解集. (a>0)的最小值总大于函数 f(x) ,试求实数 ,… , ,…

.…

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(2) 由条件利用基本不等式求得

f 1) , (x) ∈[﹣3, , 再由



求得 a 的范围. 【解答】 (1)解:当 x>2 时,原不等式可化为 x﹣2﹣x﹣1>1,此时不成立; 当﹣1≤x≤2 时,原不等式可化为 2﹣x﹣x﹣1>1,即﹣1≤x<0, 当 x<﹣1 时,原不等式可化为 2﹣x+x+1>1,即 x<﹣1, 综上,原不等式的解集是{x|x<0}. (2)解:因为当 x>0 时, ,当且仅当 时“=”成立,

所以 ∴

, ,即 a≥1 为所求.

,所以 f(x)∈[﹣3,1) ,

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2016 年 8 月 15 日

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