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4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(师版)


4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【考纲解读】 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对 这三组公式不要求记忆) . 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.三角函数是历年来高考重点内容之一,两角和与差的正弦、余弦、正切公式的考查,经常 以选择题与填空题的形式出现,还常在解答题中与三角变换结合起来考查,在考查三角函数 知识的同时,又考查函数思想和分类讨论思想解决问题的能力. 2.2013 年的高考将会继续保持稳定,坚持考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式,命题形 式会更加灵活. 【要点梳理】 1.两角差的余弦公式为----------------------.这个公式对任意角 ? 、 ? 都成立. 2.两角和的余弦公式为----------------------.这个公式对任意角 ? 、 ? 都成立. 3.两角差的正弦公式为----------------------.这个公式对任意角 ? 、 ? 都成立. 4.两角和的正弦公式为----------------------.这个公式对任意角 ? 、 ? 都成立. 5.公式 T(? ? ? ) 是------------------------------.它成立的条件是-----------------------------. 6.公式 T(? ? ? ) 是------------------------------.它成立的条件是-----------------------------. 7.注意凑角的技巧: ? =( ? + ? )- ? ;2 ? =( ? + ? )+ (? ? ? ) ; 2 ? + ? =( ? + ? )+ ? 等等. 8.要注意公式的变形应用,如: (1)tan ? ±tan ? =tan( ? ± ? )· (1 ? tan ? tan ? )
第 1 页 共 8 页

(2)tan ? ·tan ? =1【例题精析】 考点一

tan ? ? tan ? tan(? ? ? )

=

tan ? ? tan ? tan(? ? ? )

-1.

给值求值
?
2

例 1.(2011 年 高 考 浙 江 卷 理 科 6) 若 0<?<
?
4

,-

?
2

<? <0 , cos(

?
4

??) ?

1 3



cos(

?

?
2

)?

3 3

,则 cos(? ?

?
2

) ?(



(A) 考

3 3

(B) ?

3 3

(C) +

5 3 9

(D) ? 网

6 9 【来源:全,品…中&高*



1.(2012 年高考重庆卷理科 5)设 tan ? , tan ? 是方程 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 的两个根, tan(? ? ? ) 则 的值为( (A)-3 ) (B)-1 (C)1 (D)3

例 2. 已知 ? , ? 都是锐角,且 sin ? ? 【答案】
?
4

5 5

, sin ? ?

10 10

,求 ? ? ? .

第 2 页 共 8 页

2.已知 cos ? =

1 7

,cos( ? - ? )=

13 14

,且 0< ? < ? <

?
2

.求角 ? .

【易错专区】 问题:求角时,没有适当缩小角的范围而导致错误 例.已知 ? , ? ? (? 值.
? ?
, 2 2 ) ,且 tan ? , tan ? 是方程 x ? 3 3 x ? 4 ? 0 的两个根,求 ? ? ? 的
2

第 3 页 共 8 页

又因为 tan ? ? 0, tan ? ? 0 ,所以 ? ? ? ? (?? , 0) ,所以 ? ? ? ? ?

2? 3

.

【名师点睛】本小题主要考查了给值求角,解答好本类问题的关键是角范围的判断,本题容 易得角的范围是 ? ? ? ? (?? , ? ) ,而产生 ? ? ? ? ? 【课时作业】 1.(2010 年高考福建卷理科 1) 计算sin43 cos13 -sin13? cos 43? 的值等于(
1 2
? ?

2? 3



?
3

的错误解法.



A.

B.

3 3

C.

2 2

D.

3 2

【答案】A 【解析】原式= sin (43? -13? )= sin 30? =
1 2

,故选 A.
4 5

2. (2010 年高考宁夏卷文科 10)若 sin a = 7 2 10 7 2 10

? , 是第三象限的角, 则 sin( a ?
2 10 2 10

?
4

( )=



(A)-

(B)

(C) -

(D)

3. (2011 年高考辽宁卷理科 7)设 sin ( (A)
? 7 9

?
4

+?) =

1 3

,则 sin 2? ? (
1 9


7 9

(B)

?

1 9

(C)

(D)

【答案】A

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【解析】 sin 2? ? ? cos ? 2? ?
?

?

? ?

? ? 1 7 2 ? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? . 2? 4? 9 9 ?
?
6

4. (2012 年高考湖南卷理科 6)函数 f(x)=sinx-cos(x+

)的值域为(
3 2



A. [ -2 ,2] 【答案】B

B.[- 3 , 3 ]

C.[-1,1 ]

D.[-

3 2

,

]

【 解 析 】 f ( x ) =sinx-cos(x+
?
6

?
6

) ? sin x ?

3 2

cos x ?

1 2

sin x ?

3 sin( x ?

?
6

) ,

? sin( x ?

) ? ? ?1,1? ,? f ( x ) 值域为[-

3,

3 ].
tan x tan 2 x

5.(2011 年高考江苏卷 7)已知 tan( x ?

?
4

) ? 2, 则

的值为__________

6.(2011 年高考广东卷文科 16)已知函数 f ? x ? ? 2 sin ? (1)求 f ? 0 ? 的值; (2)设 ? , ? ? ? 0,
? ?

?1 ?3

x?

? ?

?, x?R. 6?

??
? 2?

? ? 10 6 ? , f ? 3? ? ? ? , f ? 3? ? 2? ? ? , 求 sin ?? ? ? ? 的值. 2 ? 13 5 ?

【考题回放】
第 5 页 共 8 页

1.(2010 年高考福建卷文科 2)计算 1 ? 2 sin 22.5? 的结果等于(
1 2

)

A.

B.

2 2

C.

3 3

D.

3 2

【答案】B 【解析】原式= cos 45? =
2 2

,故选 B.

2.(2012 年高考辽宁卷文科 6)已知 sin ? ? cos ? ?
2 2 2 2

2 ,? ? (0,π),则 sin 2? =(

)

(A) ? 1 【答案】A

(B) ?

(C)

(D) 1

【解析】? sin ? ? cos ? ?

2,? (sin ? ? cos ? ) ? 2,? sin 2? ? ?1, 故选 A.
2

3.(2012 年高考重庆卷文科 5)

sin 47 ? sin17 cos 30 cos17
?

?

?

?

=(

)

(A) ?

3 2

(B) ?

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

4.(2012 年高考全国卷文科 4)已知 ? 为第二象限角, sin ? ? (A) ?
24 25

3 5

,则 sin 2? ? ( (D)
24 25

)

(B) ?

12 25

(C)

12 25

5. (2012 年高考江西卷文科 4)若

sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?

?

1 2

,则 tan2α= (

)

第 6 页 共 8 页

A. -

3 4

B.

3 4

C. -

4 3

D.

4 3

6.(2011 年高考上海卷理科 8)函数 y ? sin(
2? 4 3

?
2

? x) cos(

?
6

? x) 的最大值为

.

【答案】

7.(2012 年高考江苏卷 11) ? 为锐角, cos ? ? 设 若
?

?

?

?? 4 ?? 6? 5

, sin( 2? ? 则

?
12

) 的值为



8. (2011 年高考四川卷文科 18)已知函数 f ( x) ? sin ? x ?
?

?

7? ? 3? ? ? ? ? cos ? x ? ?, x ? R 4 ? 4 ? ?

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最小值; (Ⅱ)已知 cos ? ? ? ? ? ?
4 5 , cos ? ? ? ? ? ? ? 4 5

,0 ? ? ? ? ?

?
2

,求证:? f ( ? ) ? ? 2 ? 0 .
2

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