当前位置:首页 >> 数学 >>

函数与分析的内容特点及教学设计


课题:二次函数复习 [教学目标]: 1、通过复习进一步掌握二次函数的图像特征及有关性质 2、能利用二次函数及图像特征等知识解决简单的实际问题 3、 进一步培养数形结合的思想方法, 体会如何把实际问题转化为数学模型, 感受数学与生活的密切联系和数学的应用价值 教学重点:二次函数的图像特征和数形结合这一数学思想的渗透 [教学难点]: 二次函数知识的实际应用和综合运用 一、回顾知识,启

动思维 1、抛物线 y=ax2+bx+c 的位置与 a、b、c 的关系: (1)如图抛物线 y=ax2+bx+c,你能确定 a、b、c 的符号吗?(如图 1) (2)在二次函数 y=ax2+bx+c 中,若 a<0,b>0,c>0,你能 确定它的图像的大致位置吗?呢? [课堂实录: 1、教师通过板书呈现了知识点 2、当 a<0,b>0,c<0 时,学生画出了下图 3、教师借此引导学生复习△的值与图像的大致位置的关系] 2、二次函数解析式的确定: 根据二次函数的图像确定它的解析式(如图 1) [课堂实录: 1、学生给出了如下解答 生①设 生②设 生③设



y ? a( x ? 3)( x ? 1)(a ? 0)
y ? a( x ? 1) 2 ? 4(a ? 0)

y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0)
图1

2、教师通过板书复习了知识点,并对三种表达式的选用作了说明] 3、二次函数的性质

(1)如图 2,二次函数存 在最 值(填“大”或

“小” ) ,其值为 (2)当 x x 的增大而减小 (3)当 x 当x 时,y>0; 时,y 随

时,y<0

[课堂实录: 1、学生在(2)的解答中将“≥1”写成了“>1” ,教师未发现 2、教师通过板书复习了知识点(注意了等号)] 二、综合运用,巩固知识 练习 1:如图 3,在直角 坐标平面中,O 为坐标原点, 点 A 在 x 轴的正半轴上, 点 B 的坐标为(0,-3) , 且 AO=BO,二次函数 y=x2+bx+c 的图像经过 A、B 两点,顶点为 M,求: (1)这个二次函数的解析式: (2)四边形 AOBM 的面积 [课堂实录: 1、学生给出了如下解法: 生① 过 M 作 MC⊥x 轴于 C 生② 联结 AB,证 Rt△ 生③ 联结 OM 生④ 延长 AM 交 y 轴于 E 2、 教师指出生②的方法较麻烦, 同时指出求不规则四边形的面积时一般 “面 积分割”或“大面积减小面积”两种方法] 三、应用建模,活用知识
图3

练习 2:跨江大桥采用了国际上新颖的 V 型钢构组 合拱桥结构,主桥上的钢拱在空中划出一道优美的弧 线,远远望去像是一弯彩虹横卧于清波之上。大桥上的 桥拱是抛物线的一部分, 位于桥面上方部分 的拱高约 21 ........ 米,跨度约 120 米. (1)请你建立适当的直角坐标系,求出可以近似描 述主桥上的钢拱形状的解析式; (2)问:距离桥拱与桥面交点 20 米处的支架长为 多少米? [课堂实录:

1、学生给出了如下建立坐标系的方法:

2、教师指出各种方法得到的 四、归纳总结,自主评价

a 的值一样
2008 年 3 月 28 日

[课堂实录:时间关系未具体展开]

项目工作室诊断意见 1、整堂课始终“数形结合” ,抓住了核心问题。说明教师对教材的理解和 把握是精准的。 2、通过精心设计的练习,回顾和梳理基础知识,更容易使学生进入复习状 态,是一种值得尝试的方法。 3、强调一题多解,活跃了气氛,拓展了思维,实现了多向互动。课堂上教 师给了学生充足的思考空间和发表见解、锻炼能力的机会,贯彻了“以学生发

展为本”的思想,也体现了教学民主。 4 、“ 当

a

< 0 ,

b

> 0 ,

c

< 0 时 , 画 出 二 次 函 数

y ? ax 2 ? bx ? c 的大致图像”一例,其实已是知识的应用,一方面
可以检查学生掌握知识的程度,同时又巧妙地引入了分类讨论思想和“△ =b
2

? 4ac ” 与函数图像之间的关系,体现了教师独到的匠心。但从学生解

答中所反映出的问题来看,似乎应对“大致图像”的涵义作出界定,然后,在 “开口向下,对称轴在 y 轴右侧,在 y 轴上截距为负”的限定下,让图像充分运 动起来(可以借助几何画板) 。那么一方面可使本题的解答更为清晰,同时又正 好借此引出抛物线的移动问题,补上本节课在知识复习上的缺失。 5、在强调一题多解的同时,要特别注意方法梳理和最优化选择。一道题能 有哪些方法解决,是可以从这道题的“特征”找到根源的,而哪一种方法是最 佳的也是有其内在逻辑的。如“跨江大桥”一例中,在求函数解析式时, 定值,而

a是

b 和 c 是随着坐标系建立法的不同而改变的。因此,使 b 和 c 的值

越简单的坐标系的建立方法在解决本题时就是越好的。所以,以拱顶为原点, 拱高所在直线为

y 轴,建立坐标系( b =0, c =0)是最佳选择。课堂上常作

这样的剖析对提高学生的数学素养是有帮助的。

第二部分:典型例题剖析 例 1:南方 A 市欲将一批容易变质的水果运往 B 市销售,共有飞机、火车、 汽车三种运输方式,现只可选择其中的一种,这三种运输方式的主要参考数据 如下表所示: 运输工具 途中速度 (千米/时) 飞机 火车 汽车 200 100 50 途中费用(元 /千米) 16 4 8 装卸费用 (元) 1000 2000 1000 装卸时间 (小时) 2 4 2

若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为 200 元/小时,记 A、B 间的距 离为 x 千米。 (1)若用 W1、W2、W3 分别表示飞机、火车、汽车运输时的总费 用(包括损耗) ,写出 W1、W2、W3 与

x

之间的函数关系式(只需写出结果,

不必写出过程) ; (2) 应采用哪种运输方式, 才能使运输时的总支出

费用 (包

括损耗)最小? 例 1 的解答: ( 1 ) W1= 17 x ? 1400 ; W2= 6x ? 2800 ; W3= 12 x ? 1400 (2)三个函数图像画在同一坐标系内得
W(元) W1 W3 W2 2800 1400
O

1400 11

700 3

X(千米)

当 SAB <

700 千米时,用汽车比较合理;当 3

700 SAB= 3 千米时,用汽车、火车均合理;当

SAB



700 千米时,用火车比较合理。 (为什么用 3

画图像的方法?注意新老教材的区别) 例
y?

2:如图,已知直线 y ?

1 x 与双曲线 2

k (k x

? 0 )交于 A、B 两点,且点 A 的
C 的纵坐标为 8,求 ?AOC

横坐标为 4。 (1)求 k 的值; (2)若双曲线
y? k (k ? 0) 上一点 x

的面积; (3)过原点 O 的另一条直线 l 交双 曲线 y ?
k (k ? 0) 于 x

P、 Q 两点 (P 点在第一象

限) ,若由点 A、B、P、Q 为顶点组成的四 边形面积为 24,求点 P 的坐标。

y
C

A

O B

x

例2的解答:(1)A(4,2), k =8; (2)C(1,8), ?AOC 的面积为15(可用 三种方法求 ?AOC 的面积,什么方法最好); (3)四边形面积是 ?AOP 的面积的4倍,设 8 1 8 4 ? ? ( 2 ? ) 4 ? a ? 24 , a P ( ,a ) , 则 2 得 a =-8 a (舍去)或 a =2 或 a =-2(舍去) 或 a =8, 所以P(2,4)或(8,1) 例 3:如图,已知平面直角坐标系中,
1 y ? ? x ? b(b ? 0) 分别交 直线 2

x 轴、 y 轴于 A、

B 两点,以 OA、OB 为边作矩形 OACB,D 为 BC 的中点。以 M(4,0) ,N(8,0)为 斜边端点作等腰直角三角形 PMN,点 P 在 第一象限,设矩形 OACB 与△PMN 重叠部 分的面积为 S。 (1)求点 P 的坐标; (2)当 b 值由小到大变化时,求 S 与 b 的函数关系 式; (3)在 b 值的变化过程中,若△ PCD 为等腰三角形,请求出所有符合条件的 b 值。

y B D ? C P N

O

M

A

x

例 3 的解答: (1)P(6,2) ; (2)B(0, b) ,A(2b,0) ①当 2b≤4 即 b≤2 时,S=0 ② 当 4 < 2b ≤ 6 即 2 < b ≤ 3 时 ,
1 2 2 ( 2 b ? 4 ) 2 b ? 8b ? 8 S= 2 ,即 S=

③ 当 6 < 2b < 8 即 3 < b < 4 时 ,
1 1 2 2 ? 4 ? 2 ? ( 8 ? 2 b ) ? 2 b ? 16b ? 28 S= 2 ,即 S= 2
1 ④当 2b≥8 即 b≥4 时,S= 2 ? 4 ? 2 =4;

(4)C(2b,b) , D (b , b )
b ? 2b ①若 PC=PD,则 2 ? b ,b=4

② 若 PD=CD , 则 PD =CD , 所 以
(6 ? b) 2 ? (2 ? b) ? b 2 ,b=8±2 6
2 2

2

2

③ 若 PC=CD , 则 PC =CD , 所 以

(6 ? 2b)2 ? (2 ? b) ? b2 , b=2(舍去,为什么?)

或 b=5。所以 b=4 或 5 或 8±2 6

第三部分:内容特点及教学设计
第一讲:初中函数内容的知识框架结构剖析 1. 函数在初中数学知识体系中的地位 和作用 函数是初中数学中的重要内容之一,它 是从现实世界中抽象出来的,是从数量关系 的角度刻画事物运动变化规律的工具。函数 知识渗透在初中数学的许多内容中,它又与 物理、化学等学科知识密切相关。同时函数 本身也是一种重要的数学思想,运用函数的 思想和方法,可以加深对一些代数问题的理 解。 2.初中学习函数的意义和要求 初中学习函数的意义是初步感受现实 世界中除了确定的一些量——常量外,还有 不少的量——变量,初步知道两个变量之间 存在的关系,能利用这些关系来研究它们之 间的一些基本性质。 初中学习函数的要求是理解函数的意 义,理解正比例函数、反比例函数、一次函

数和二次函数的概念,能画出它们的图像, 并根据图像知道它们的一些基本性质。 3.高中函数教学的介绍 课程标准中指出:在初中学习函数的基 础上,进一步理解函数是变量之间相互依赖 关系的反映;学习用集合与对应的语言刻画 函数,再从直观到解析、从具体到抽象,研 究函数的性质,并能从解析的角度理解有关 性质。 函数的基本知识是高中数学的核心内 容之一,函数的思想和方法贯穿于高中数 学。 4. 教材内容安排的方式及要求所体现 的思想 函数内容在初中教材中主要分布在八 年级和九年级中,八年级第一学期学习函数 的概念,研究两个最简单的函数——正比例 函数和反比例函数的有关图像和性质;八年 级第二学期学习一次函数的有关图像和性 质;九年级第一学期学习二次函数的有关图 像和性质,九年级第二学期在拓展II中进一 步对二次函数进行深入的研究。这样首先出 示基本概念,然后由易到难研究一些特殊函 数的编排方式符合学生的认知规律,帮助学 生充分理解函数的基本思想。

第二讲:初中函数知识内容的教学研究 (一)初中函数内容的知识体系 初中学习函数主要是让学生对函数有 一个初步的认识,知道生活中的变量关系, 能用函数的思想处理一些简单的问题,因此 初中函数内容的知识体系是,先介绍函数的 概念,然后以两个最简单的函数(正比例函 数和反比例函数)作为载体,让学生理解函 数的图像与一些性质,再介绍函数常用的三 种表示方法,最后再分别研究现实生活中经 常遇到的另外两个简单而常用的函数(一次 函数和二次函数),使学生对函数有一个较 完整的理解,并能进行简单的应用。 (二)初中函数内容的教材分析及教学 注意事项 1.函数的相关概念教材分析及教学注 意事项 (1) 函数相关内容的概念框架与知识结 构
函数的定义域 实际问题---变量与常量---函数--函数值 函数的表示法

(2)函数相关内容的教学目标、教学重 点及教学难点分析 通过身边的事例和生活中的实例,直观 地认识变量以及变量之间的相互依赖关系, 体会函数的意义,以及函数的三种常用的表

示方法和数形结合的思想。 教学目标: ①通过实例认识变量与常量,理解变 量之间的相互依赖关系,能用运动、变化的 观点看待相关数量问题,能从两个变量之间 相互联系、相互依赖的角度理解函数的意 义。 ②知道函数的定义域、函数值等概念, 知道符号“y=f(x)”的意义, 会根据函数解析 式和实际意义求函数的定义域,初步理解自 变量的值与函数值之间的对应关系,会根据 函数解析式求函数值。 ③知道函数的三种表示方法,以及它 们的优势与不足,知道函数图像的意义,能 借助函数图像的直观性,用语言描述函数的 基本性质,体会数形结合思想。 重点难点: 理解函数的概念,知道符号“y=f(x)”的 意义,会求函数的定义域,能借助图像认识 函数的一些基本性质。 (3)教材分析与教学案例 教材分析: ①变量、常量通过有关长度的数量关 系的实例引入,能使学生更容易理解。 ②变量、常量是相对的,是要结合实 际问题具体分析,比如在行程问题中的三个 量,路程S、速度v和时间t,在匀速运动时

存在这样的关系: S=vt,如果假定速度v不 变,那么路程S就随时间t的变化而变化,S 和t就是变量,v就是常量;如果假定路程 S 不变,那么时间t就随速度v的变化而变化, v和t就是变量,S是常量。 ③例题1通过摄氏度与华氏度的转化, 揭示这两个变量之间存在相互依赖的关系, 并且这种相互依赖的关系能够用等式 —— 函数解析式表示出来,注意“边款语”,
9 F ? t ? 32 与 y ? 9 t ? 32 的一致性, 即它们所 5 5

表示的两个变量之间的依赖关系是完全一 样的。 ④例题2主要通过图像、表格的形式表 示两个变量之间的相互依赖关系,为进一步 学习函数的表示方法做准备。此处还要让学 生理解函数图像与学生原有的生活经验的 一致性,看得懂函数图表中两个变量之间的 相互依赖关系。 ⑤通过取数字填表操作,使学生理解 自变量的取值是有要求的,这个要求就是函 数的定义域,每一个函数都有定义域,对于 用解析式表示的函数,如果不加说明,那么 这个函数的定义域就是使这个函数解析式 有意义的一切实数,在初中阶段,我们主要

考虑两个方面的问题:分式的分母不能为 零,偶次根式的被开方数非负。例题 3就是 说明如何根据解析式来求定义域 ⑥例题 4 主要说明如何求函数的解析 式和如何求函数的定义域,此处的定义域由 于有实际的背景,因此不能简单地按照解析 式来看,更要关注符合实际意义。 ⑦为了进一步研究函数的方便,引入 函数的记号y=f(x), 这个对学生来讲相当抽 象,也不容易理解,因此一定要用一些实例 来说明括号内的字母x表示自变量,f表示对 应法则,即y随x的变化而变化的规律,另外 再配以例题5求函数值的计算,让学生理解。 ⑧通过实例引入了函数的三种表示方 法,并说明各种表示方法的优劣,在教学中 也要让学生充分理解。 优点 缺点 解析法 全 面 概 括 了 变 量 之 间 有些函数不能或很难
的依赖关系,简单明 了,便于对函数进行理 论上的分析和研究。 自变量的值与其对应 的函数值一目了然,查 找方便。 用解析法表示。

列表法

图像法

许多函数往往不可能 把自变量的所有值与 其对应的函数值都列 在表中。 直观,可以清楚地看出 在图像中找对应值时 函数的变化情况。 往往不够准确,而且 有的函数画不出它的 图像,或不可能得到 它的完整图像。

⑨本节通过几个例题,进一步说明如 何求函数的解析式和定义域,但此处更要关 注的是例题2和例题5,应再一次帮助学生学 会如何从函数的图像中获得信息解决问题。 根据以往的经验,从表格中获得有关信息, 学生比较容易接受和掌握,但从图像中获得 有关信息,是学生学习的一个难点,在教学 中要引起足够的重视。

第三讲:教学案例剖析 19.1函数的概念(1) ——附教案(选自上海教育资源库) 上海格致初级中学金奕 [教学目标] 1、通过对描述地球的一些数量的分析 , 认识数量的意义,知道常用的数量;通过具 体实例认识并分清变量和常量; 2、 知道用运动、 变化的观点看待事物, 理解变化过程中的两个变量之间相互依赖 的含义,从而理解函数的概念;知道函数的 自变量以及函数解析式; 3、 在合作交流中, 激发学习的积极性, 初步获得迁移类推和概括能力. [教学重点和难点]: 分清变量和常量、理解函数的概念 [课堂教学流程设计]: 通过描述地球有关特征的一些数量, 让学生回顾我们经常遇到的各种数量 问 题1具体讨论有关长度的数量问题,引入变 量与常量的概念 问题 2 让学生通过计 算、填表,体会两个变量的相互联系、相互 依赖的含义 通过几个生活中的实例, 说明两个变量相互依赖关系有多种方法,巩 固对函数概念的理解 在讨论问题1、2的 基础上,对函数的概念进行归纳 通过几 个生活中的实例,说明两个变量相互依赖关

系有多种方法,巩固对函数概念的理解 [教学过程设计] 一、创设情境,激趣导入 1、同学们,你知道 “ 数量”这个词的 含义吗? 人们在认识和描述某一事物时,经常会 用 “ 量 ” 来具体表达事物些特征 ( 属性 ), 同时 用“数”来表明量的大小. 数和度量单位合在一起,就是“数量”. 例如,我们居住的地球,可以用下列 数量来描述它的一些特征: 平均半径: 6371.22千米, 表面积: 510× 106平方千米, 体积: 1083× 109立方千米, 质量: 598× 1019吨, 地心最高温度: 5000℃, 自转一周所需的时间:23时56分4.1秒, 绕太阳运行的平均速度29.77千米/秒, …… 在此例中,大家可以看到,这里所涉 及的量,有长度,面积,体积,质量,温度, 时间,速度等. [说明]教学中要注意, 通过描述地球有 关特征的一些数量,让学生回顾我们经常遇 到的各种数量,如长度、面积、体积、速度、 时间、温度等等.一个量是常量还是变量, 一般是相对于某一个研究过程而言,要具体

分析,不能绝对化.例如描述地球有关特征 的那些数量,在地球漫长的演化过程中并不 是固定不变的,但在一定时间内变化极小, 在一般的科学问题研究中就把这些量看作 常量. 二、尝试探讨,学习新知 1、问题1:地球上的赤道是一个大圆, 半径长r0≈6.378×106 (米). 设想有一个飞行 器环绕赤道飞行一周 , 其轨道是与赤道在同 一平面且同圆心的圆E.如果圆E的周长比赤 道的周长多 a 米 , 那么圆 E 的半径长 r 是多少 米? (1)在这个问题中,你看到了那些数 量? 半径长r0≈6.378×106(米) 圆E的周长比赤道的周长多a米 圆E的半径长r米 (2) 请尝试用其他的量来表示出半径 r 的长度. 由题意 “ 圆 E 的周长比赤道的周长多 a r ? r ? a(米)”, 2?r ? 2?r0 ? a(米) ,得 0 2? (米) (3)在问题研究的过程中,可以取不同 数值的量叫做变量,保持数值不变的量叫做 常量(或常数),那么你觉得在上面这个问题 中,有哪些量是变量,哪些量是常量?

(4)可以看到,圆E的半径r与两圆周 a 长的差a之间是相互联系的,由 r ? r0 ? 2? (米) 可知,r随着a的变化而变化,而且当变量 a 取一个确定的值时,变量 r 的值随之也确 定.这时我们就说变量r与a之间存在确定的 依赖关系. [说明]问题1具体讨论有关长度的数量 问题,引入变量与常量的概念.由于学生初 次接触变量和常量的概念,教学时还可以增 加几个简单的贴近学生生活的事例,让学生 认清变量和常量.要指出变化过程中的两个 量不是孤立的,其中一个量随着另一个量的 变化而变化,它们之间存在着确定的依赖关 系; 2、问题2:一辆汽车行驶在国道上, 汽车油箱里原有汽油 120升,每行驶10千米 耗油2升. (1)填表 汽车行驶的 100 千 150 千 200千 250 千 路程 米 米 米 米 油箱里剩余 的油量 (2)在本题中哪些是常量,哪些是变 量? (3)设汽车行驶的路程为 x千米,油

箱里剩余的油量为 y升,那么y与x之间是否 存在确定的依赖关系?你能表示出来吗? 答:在这个问题中,汽车油箱里原有 汽油120升,每行驶10千米耗油2升是常量; 汽车行驶的路程x(千米)和油箱里剩余的 油量y(升)都是变量.随着汽车行驶路程 的增加,油箱里剩余的油量在减少,即变量 y随着变量x的变化而变化. 由填表可知y=120-0.2x, 当x取一个 确定的数值时,y的值也随之确定,所以y与 x之间存在着确定的依赖关系. (4)本题中路程x的取值是任意的吗? 如何考虑?0≤x≤600 3、 由刚才的两个问题, 我们可以看到: 在某个变化过程中有两个变量,设 x 为和 y, 如果在变量x的允许取值范围内,变量y随着 x的变化而变化,那么变量y叫做变量x的函 数 ,x叫做自变量 . 在问题2中,变量y是变量x的函数,x 是自变量, 其中y随着x变化而变化的依赖关 系,是由 “y=120 - 0.2x”表达出来的.这种 表达两个变量之间依赖关系的数学式子称 为函数解析式. [说明]:问题2让学生通过计算、填表, 体会两个变量的相互联系、相互依赖的含 义.在问题2中,还特意指出变量x的取值有 范围限制.在讨论问题1、2的基础上,对函

数的概念进行归纳.课本中描述函数时,以 “ 变化过程 ” 为背景,以 “ 变量 x 的取值有范 围”为前提, 主要强调“两个变量之间存在着 确定的依赖关系”.这个函数概念中没有涉 及“对应法则”, 与以前教材中所提出的函数 的定义不一样,教学时不要进行补充和提 升.但是要及时指出“函数解析式”的概念, 它有助于学生理解 “ 依赖关系 ” 和 “ 函数意 义 ”. 例题1、2都是为了学生进一步理解函 数的概念设计的.要引导学生体会,判断一 个变量是不是另一个变量的函数,主要看这 两个变量是不是存在着确定的依赖关系;而 通过例题2,要让学生进一步看到,表达两 个变量之间的依赖关系的方法,不是只有解 析式,还有图、表,为学生进一步学习函数 的表示方法留下伏笔. 在例题1的“边款”中,指出了函数解析 式所表达的是“两个变量之间的依赖关系”, 它与这两个变量用什么字母表示无关. 教学 时要对此讲解, 但不要引进“同一函数”的概 念. 在例题2后“议一议”栏目中提出了“变量 x+2是不是变量x的函数”,主要是为帮助学 生深入认识函数的本质和建立 “ 函数与式 ” 之间的联系, 可组织数学基础较好的学生进 行讨论.

三、例题精析、深化理解 1、例题1:气温的摄氏度数x与华氏 度数y之间可以进行如下转化,华氏度数y是 不是摄氏度数x的函数?为什么? y ? 5 t ? 32 解: 在把摄氏度转化为华氏度的过程 中,华氏度y随着摄氏度x的变化而变化;由 摄 氏 度 数 … -10 0 x(℃) 华 氏 度 y(℉) 25 35 100 …
9

9 y ? t ? 32 ,当x取一个值时,y的值也随之确 5

定. 例如下表: 可见,变量y与x之间存在确定的依赖 关系, y是x的函数, 32是这个函数的解析式. 2、例题2:下列变化过程中,两个变 量之间是否存在确定的依赖关系?其中一 个变量是另一个变量的函数吗? 近年来上海市区的环境绿化不断得到 改善,下表是上海市区人均绿化面积变化的 一些统计数据:

年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 人均绿化 4.5 5.5 7.0 9.4 10.0 11.0 面积(㎡) 答:两 个变 量是年 份和 人均绿 化面 积.由表可知,随着所列年份的变化,上海 市区人均绿化面积也在变化; 对于所列的每 一个年份, 在表格中都可以找到这一年人均 绿化面积的数值. 可见这两个变量之间也存 在确定的依赖关系(通过列表来表达),所 以人均绿化面积是年份的函数. 3、 议一议:如果x是一个变量, 那么x+2 也是一个变量 .试问,变量 x+2 是不是变量 x 的函数? 讨论并交流结果(抓住函数的概念来 辨析) 四、反馈小结、巩固提高 通过本节课的学习你得到了哪些新知 识,又有哪些收获? 五、学习训练与学习评价建议: 1 、举出一个含有两个相关变量的实 例,指出其中一个变量是否是另一个变量的 函数.如果是,请把它们的依赖关系表达出 来. 2、 某校学生总人数1200,某天实际到校 的学生人数 n与学生的出勤率 p 是两个变量 . 试说明p是n的函数,并写出这个函数解析式.

3、 已知物体匀速运动中,路程s、 速度v、 时间t之间有关系式s=vt. (1)如果速度不变,那么这个式子里 哪两个量是变量?这两个变量中哪一个是 自变量?哪一个是自变量的函数?如果时 间不变呢? (2)如果路程不变,试写出速度关于 时间的函数解析式. 第四讲:正比例函数教材分析及教学注意 事项 (1)正比例函数相关内容的概念框架 与知识结构
正比例 正比例函数的图像 实际问题--- 正比例函数--正比例函数的性质 比例系数

(2)正比例函数相关内容的教学目标、 教学重点及教学难点分析 正比例、正比例函数是我们生活实际 中经常遇到的一个数学概念,正比例函数也 是最简单的一个函数,通过研究、学习正比 例函数的有关知识,使学生初步体会研究函 数的方法,以利于继续研究、学习其他一些

函数的知识。 教学目标 ① 通过分析现实生活中具有正比例关 系的具体事例,引进正比例函数,从而理解 正比例函数的概念,初步获得从数量方面把 握事物运动变化的规律和事物之间相互联 系的体会。 ② 能 根据 条件 求 正 比 例函 数 的 解 析 式,从中体会待定系数法。 ③通过画图像的操作实践,体验“描点 法”,理解正比例函数的图像是一条经过原 点的直线,会画正比例函数的图像。 ④ 借助正比例函数图像的直观性,认 识正比例函数的一些基本性质,并能用数学 语言进行描述,进而掌握这些基本性质。 重点难点 理解正比例函数的概念,初步学会用 待定系数法求正比例函数的解析式;知道正 比例函数的图像是一条经过原点的直线,并 能根据图像掌握正比例函数的一些基本性 质。 (3)教材分析与教学案例 教材分析: ① 通过实例,先引进正比例的概念: 如果两个变量的每一组对应值的比值是一 个常数(这个常数不等于零),那么就说这 两个变量成正比例,为后面引入正比例函数

作准备。 ② 正比例函数的定义是采用形式化的 定义,即形如y=kx(k≠0)的函数叫做正比 例函数,教材中的表述略有不同。定义域是 根据解析式,x为一切实数。 ③ 例题 1 主要目的是让学生具体认识 正比例函数和它的比例系数,体会正比例函 数是由它的比例系数完全确定的,同时复习 巩固函数值的概念和求法。 ④ 例题 2 让学生体验正比例函数的解 析式中只有一个系数,因此只要有两个变量 的一组对应值就可以确定这个函数的解析 式的过程,从而体验重要的数学方法——待 定系数法:只要数学模型已知,而其中的一 些系数未知,那么就可以采用待定系数法解 决问题。教材中特别在例题后的想一想中直 截了当地提出这个问题。 ⑤ 通过画正比例函数 y=2x 的图像,了 解用 “ 描点法 ” 画函数图像的三个步骤:列 表、描点、连线,并得到这个函数的图像, 再通过画正比例函数 y=-2x 的图像,归纳得 到正比例函数 y=kx 的图像是一条经过原点 和(1,k)的直线。教师归纳解释时应从纯 粹性和完备性两个方面表述,但对学生不作 过高要求,只让他们有所认识、有所体验。 ⑥ 例题 3 是让学生在已知正比例函数 图像是一条经过原点的直线的基础上,画正

比例函数的图像。此时应该让学生明白:两 点确定一条直线,因此要画一条直线,只需 描出两点就可以了,而且其中的一点是坐标 原点。 ⑦ 在学会画正比例函数的图像的基础 上,来学习正比例函数的有关性质,一定要 让学生学会看图,结合图像理解性质。思考 引入就是这个目的,从而得到图像经过的象 限和有关正比例函数的增减性,体验数形结 合的思想。另外要给学生交代清楚的是,这 些性质反之也成立。 ⑧ 例题 4 就是利用正比例函数的性质 求字母a,让学生熟悉正比例函数性质,比 例系数与它的增减性的关系。 ⑨例题5是通过一个实例,让学生体验 生活中正比例函数的应用,进一步感受到生 活中处处有数学,数学来源于生活服务于生 活的事实。同时也让学生主要到具体问题中 的函数定义域要根据具体情况来确定,本例 尽管解析式是正比例函数y=0.2x的形式,但 根据实际意义,定义域是0≤x≤10,因此画出 的函数图像是一条线段,它是直线y=0.2x上 的一部分。

第五讲:正比例函数教学案例 19.2正比例函数(1) ——附教案(选自上海教育资源库) 上海格致初级中学 汤霞 [教学目标] 1、通过现实生活中的具体事例,理解 正比例关系的含义,能判断两个变量是否成 正比例函数关系; 2、理解正比例函数的概念,初步学会 用待定系数法求正比例函数解析式; 3、在 合作交流中,激发学习的积极 性,进一步认识函数与现实生活密切相关. [教学重点和难点] 正比例函数的概念;用待定系数法求正 比例函数的解析式. [课堂教学流程设计] 创设情景,引出新知---观察分析,探 究新知 --- 师生互动,应用新知 --- 反馈小 结,深化新知 [教学过程设计] 一、创设情境,引出新知 1、某商店销售某种型号的水笔,销 售情况记录如下:
售出水笔数 (支) 营业额(元)

2 5

5 12.5

4 10

3 7.5

10 25

15 37.5



同学们根据上述所给的条件,你能得 到什么信息?如:

(1)可求出营业额与售出水笔数的比 5 10 12.5 ? 2 . 5 ? 2 . 5 值,如 2 , 5 , 4 ? 2.5 ,… (2)可得到营业额与售出水笔数的比值 都是相等的. (3)营业额与售出水笔数的比值就是水 笔的单价2.5(元/支). (4)若设售出的水笔的数量为x支(x是
y 正整数), 相应的营业额为y元, 那么有 x ? 2.5 ,

也可以表示为y=2.5x. 2、 再如: 若设正方形的边长为x (x>0),
y 周长为y,那么有 y=4x,也可以表示为 x ? 4 ,

正方形的周长随边长的变化而变化. 3、引出概念并板书 如果两个变量的每一组对应值的比值 是一个常数(这个常数不等于零),那么就 说这两个量成正比例 . 用数学式子表示两个
y 变量 x 、 y 成正比例,就是 x ? k ,或表示为

y=kx(x≠0),k是不等于零的常数. [ 说明 ] 学生在小学阶段曾学过正比例 关系的表示形式,通过简单的引例,引导学

生从两个变量之间的相互关系的角度来看, 学生不难理解两个变量x、 y成正比例的含义. 二、观察分析,探究新知 1、议一议: 下列各题中的两个变量是否成正比 例? (1)某复印社按复印A4纸1张收0.4元计 费, 变量是复印纸张数x (张) 与费用y (元) . ( 2) 正方形ABCD的边长为6, P是边BC 上一点,变量是BP的长x与△ABP的面积S. (3)圆的面积随半径变化而变化,变量 是圆的面积A与该圆半径r. (4)从地面到高空11千米处,高度每增 加1千米, 气温就下降6摄氏度.某地的地面气 温是25°C,在11千米以下的空中,变量时 空中某处离地面的高度h (千米) 和气温( t ° C).
H(千米) 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 T(°C) -41 -35 -29 -23 -17 -11 -5 1 7 13 19 25

2、学生开始进行观察分析,同桌可以 相互讨论. 3、汇报结果:你怎么思考的?把自己 的想法或看法说出来. 4、两个变量成正比例,说明其中一个 变量是另一个变量的函数 . 我们本节课就来 研究正比例函数. 板书课题:正比例函数. 引出概念并板书: 定义域是一切实数的函数 y=kx(k是不 等于零的常数)叫做正比例函数,其中常数k 叫做比例系数. 注意: 正比例函数的定义域是一切实数 . [说明]通过四个问题的讨论, 让学生进 一步认识两个变量成正比例的表达形式,同 时注意变量的取值范围通常是部分实数,并 强调k是不等于零的常数. 三、师生互动,运用新知 1、比一比,谁找得快. 下列函数(其中x是自变量)中,哪些 是正比例函数?哪些不是?为什么? (1) y ? ?
4 4 4x y ? ? y ? x 7x ; 7 ;(2) 7 ;(3)

4x ( 4) y ? ? 7 ? 2 .

例1:已知正比例函数y=-4x,说出y与x

之间的比例系数, 并求当变量x分别取-5, -2, 0,3时的函数值. 例 2: 已知y是x的正比例函数, 且当x=3 时, y=24. 求 y 与 x 之间的比例系数,并写出 函数解析式和函数的定义域. (1)启发学生讨论:你认为求出函数 解析式最关键的是什么?怎样求出函数解 析式? (2)汇报讨论结果:确定了比例系数, 就可以确定一个正比例函数 . 可先设函数解 析式为y=kx(k≠0),再利用已知条件把x=3、 y=24代入确定k的值. 板书学生讨论结果:确定了比例系数, 就可以确定一个正比例函数. 根据学生的讨论结果,引出这种方法 是求函数解析式的常用方法,称为待定系数 法. 想一想:已知正比例函数中两个变量 的一组对应值,一定能求出函数解析式吗? [说明]例题1是要让学生具体认识比例 系数,体会正比例函数有比例系数完全确 定,同时巩固函数值的概念和求函数值的方 法.例题2要把握好:由正比例函数中两个变 量的一组对应值完全确定这个正比例函数; 求这个函数解析式的常用方法是待定系数 法.再通过题后的“想一想”, 让学生从感性到 理性形成一般认识,并且体会到,由于正比

例函数解析式中只有一个待定系数,因此确 定一个正比例函数只需一个独立条件. 四、反馈小结、深化新知 1、你有什么收获? 2 、你觉得怎样求正比例函数的解析 式? 五、学习训练与学习评价建议 1、(口答)判断下列问题中的两个变 量是否成正比例,为什么? (1)商一定(不为零),被除数与除数. (2)除数不变(不为零),被除数与商. (3)一个因数不变,另一个因数与它们 的积. (4)等腰三角形的周长一定,它的腰长 与它底边的长. (5)一个人的体重与他的年龄. 2、下列函数(其中 x 是自变量)中, 哪些是正比例函数?哪些不是?为什么?
5 1 x y ? y ? ? x y ? ( 1) 5 ; ( 2) 5 ; ( 3) x ; (4)

y ? 5x ? 2 . 3、已知y是x的正比例函数,且当 x=2 时,y=12.求y与x之间的比例系数,并写出y 与x之间的函数解析式. 六、作业布置 习题:19.2(1)

第六讲:反比例函数教材分析及教学 注意事项 (1 )反比例函数相关内容的概念框架 与知识结构
反比例 反比例函数的图像 实际问题--- 反比例函数--反比例函数的性质 比例系数

(2)反比例函数相关内容的教学目标、 教学重点及教学难点分析 反比例、反比例函数也是我们生活实 际中经常遇到的一个数学概念,它与正比例 函数一样,也是最简单的一个函数之一,通 过研究、学习反比例函数的有关知识,使学 生进一步体会研究函数的方法,特别是如何 画函数的图像,以及如何根据函数的图像掌 握函数的性质。 教学目标 ① 通过分析现实生活中具有反比例关 系的具体事例,引进反比例函数,从而理解 反比例函数的概念,进一步获得从数量方面 把握事物运动变化的规律和事物之间相互 联系的体会。 ② 能与正比例函数进行类比,根据条

件求反比例函数的解析式,进一步体会待定 系数法。 ③ 通过画图像的操作实践,进一步体 验“描点法”,理解反比例函数的图像是双曲 线,会画反比例函数的图像。 ④ 借助反比例函数图像的直观性,认 识反比例函数的一些基本性质,并能用数学 语言进行描述,进而掌握这些基本性质。 重点难点 在研究反比例函数的有关性质时,能 与正比例函数进行类比,运用研究正比例函 数的方法研究反比例函数;知道反比例函数 的图像是双曲线,研究它的增减性时注意 “在每个象限内”这一关键的条件。 (3)教材分析与教学案例 教材分析 ① 通过两个实例引出反比例的概念: 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一 个不等于零的常数,那么就说这两个变量成 反比例。 ② 例题 1 继续通过对一些具体问题的 研究,使学生进一步体验两个变量成反比例 的关系,为引出反比例函数作充分地准备。 ③ 反比例函数的定义与正比例函数的 定义一样,也是通过形式化来描述的,即解
k y ? 析式形如 x (k ? 0) 的函数叫做反比例函数,

这样做也是根据初中学生的认知水平,便于 他们理解。定义域则根据式子,分母不为零 得x≠0的一切实数。 ④ 例题 2 也是要让学生进一步理解待 定系数法这个重要的数学方法。反比例函数 的解析式是已知的,其中只有一个系数,因 此只要一对变量的值就可以求出比例系数, 从而确定函数的解析式。同时也再一次复习 求函数值和已知函数值求它对应的自变量 x 的值。
8 y ? ⑤ 通过画反比例函数 x 的图像,进

一步熟悉函数图像的画法:列表、描点、连 线,同时也知道反比例函数的图像不是一条 直线,而是由两个分支组成的曲线——双曲 线。在教学中要注意取点的对称性,也可以 让学生看到双曲线不但是轴对称图像,而且 是中心对称图形。
8 y ? ⑥ 一般来说,反比例函数 x 的图像

由教师演示完成,然后请学生画反比例函数 8 y ? ? 的图像, 熟悉取点的方法, 以及曲线的 x

趋势, 再进行适当的练习, 画反比例函数 y ? x

6

6 和 y ? ? x 的图像,从而归纳出反比例函数的 性质。 ⑦ 对于反比例函数的性质,尽管仍要 求根据图像来理解、记忆,但要与正比例函 数的性质加以类比,强调它与正比例函数性 质不一样的地方——增减性要突出 “在每个 象限内”这一重要的条件,并说明清楚为什 么,使学生正确理解这一性质。 ⑧例题3已知图像经过点(2,-1),求解 析式中的k的值,目的是通过不同的条件, 再一次熟悉用待定系数法求反比例函数解 析式的方法,同时学会利用反比例函数的性 质解决问题。 ⑨ 例题 4 是正比例和反比例的综合应 用,告知成正比例,则马上知道两个变量的 关系式;告知成反比例,也马上知道两个变 量的关系式。需注意的是它们的比例系数一 般是不相等的,因此要用不同的字母或添加 下标等方法表示,以示区别,然后根据待定 系数法的方法求出这些系数,从而得到函数 解析式。

第七讲:反比例函数教学案例剖析 19.3 反比例函数(1) ——附教案(选自上海教育资源库) 上海格致初级中学 黄岳平 [教学目标] (1)通过现实中的具体事例,理解反 比例关系,能够判断两个变量是否成反比例 关系,理解反比例函数的概念,会用待定系 数法求反比例函数解析式; (2)在反比例函数概念引入和应用中, 进一步体会函数与现实生活密切相关,通过 类比的思想学习求反比例函数解析式的方 法. [教学重点和难点] 理 解 反 比 例关 系 和 反 比例 函 数 的 概 念;用待定系数法求反比例函数解析式. [教学流程设计] 创设情境,激趣导入,根据情景,判 断两个变量的关系,用数学式子表示变量的 关系----通过观察两个变量之间的关系, 让 学生理解两个变量成反比例的定义,能根据 定义判断两个变量的关系是否是成反比例 ----引入反比例函数的定义,利用待定系数 法,求反比例函数解析式及变量的值----根 据已有条件列反比例函数解析式,解决实际 问题的思想 [教学过程设计]

一、创设情境,激趣导入 1、在一块平地上,划出一个占地面积 为600平方米的长方形区域,这个长方形的 相邻两边的长可以分别取不同的数值,它们 是两个变量,设其中一边为x米,另一边为y 米. (1)当x取下列数值时,填表: x 10 20 30 40 50 60 100 150 y [说明]出示问题背景材料,激发学生 学习兴趣和探索新知识的欲望. 学生回答,教师填表 (2)完成上表后,学生回答下列问题: 当x越来越大时,y怎样变化?当x越来越小 呢?y怎样变化?(当x越大时,y越小;当x 越小时,y越大) (3)算一算, 上表中对应的x和y的乘积, 你发现什么?(x与y的积为常数100) (4)变量y是x的函数吗?为什么?(变 量 y 是 x 的函数 .对 x 的每一个值,都有一个 y 的值) 二、尝试探讨,学习新知 你能再举出一个类似的例子吗? [说明] 老师应该给学生充分的时间, 鼓励学生举出类似的例子,让学生展示自己 的发现,体会象引例中的两个变量之间的关 系.

引出课题板书 1、引出成反比例概念: 如果两个变量的每一组对应值的乘积 是一个不等于零的常数,那么就说这两个变 量成反比例 . 用数学式子表示两个变量 x 、 y
k y ? 成反比例,就是xy=k,或表示为 x ,其中

k为不等于零的常数. 学生练习 例题1、下列问题中的两个变量是否成 反比例?如果是,可以用怎样的数学式子来 表示? 菱形的面积为20平方厘米,变量分别是菱形 的一边长a (厘米) 和这条边上的高h (厘米) . 被除数为100,变量分别是除数r和商q. 一位男同学练习 1000米长跑,变量分 别是男生跑步的平均速度v(米/秒)和跑完 全程所用的时间t(秒). 2、从针对性练习中引出反比例函数定 义 定义域为不等于零的一切实数的函数
y? k ,( x

k为不等于零的常数)叫做反比例

函数,其中k也叫比例系数. 学生练习 1、一个矩形的面积为20平方厘米,相

邻的两条边长分别为xcm和ycm, 那么变量y 是变量x的函数吗?是反比例函数吗?为什 么? 2、某村有耕地346.2公顷,人口数量逐 年发生变化,那么该村人均占有耕地面积 (公顷人)是全村人口数的函数吗?是反比 例函数吗?为什么? 小组间相互讨论,同桌间交流,请学生 回答. 例2:已知的反比例函数,且当x=2时, y=9. (1)求y关于x的函数解析式; [说明]与正比例函数类比, 反比例函数 由系数k确定,所以求反比例函数解析式也 采用待定系数法
1 x ? 3 (2)当 2 时,求y的值;

(3)当y=5时,求x的值. [说明]请一位学生板书, 完成后逐题讲 解,其他学生完成在课堂练习本上,教师巡 回观察、指导、面批、补充、纠正,强调解 题步骤和格式. 三、反馈小结、内化升华 1、你有什么收获? 2、你觉得采用待定系数法求反比例函 数解析式的步骤是怎样的? 3、看书P143-144,圈划概念.

四、巩固练习,拓展提高 书本P145练习19.3(1)

第八讲:一次函数教材分析及教学注意事 项 (1) 一次函数相关内容的概念框架与知 识结构
正比例函数 一次函数的图像 实际问题--一次函数--- 一次函数的性质 ---一次函数的应用 常值函数 一次函数与一元 一次方程、一元 一次不等式的关系

(2 )一次函数相关内容的教学目标、 教学重点及教学难点分析 在学习了正比例函数的基础上,继续 研究现实生活中经常遇到的一类函数—— 一次函数,体会从特殊到一般的思想。另外 也通过研究一次函数与一元一次方程、一元 一次不等式的关系,加深对数形结合思想和 函数思想的认识为继续研究二次函数作准 备。 教学目标 ①通过实例引入一次函数,理解一次 函数的概念, 建立一次函数、 二元一次方程、 直线之间的联系。

②知道一次函数与正比例函数的关 系,进一步掌握正比例函数。 ③掌握直角坐标平面中直线的平移, 即两条直线平行的条件,从中感知辨证的观 点,进一步体会数形结合思想。 ④知道一次函数的图像是一条直线,会 画一次函数的图像。 ⑤能借助一次函数图像的直观性,认 识一次函数的一些基本性质,并能用数学语 言进行描述,进而掌握这些基本性质。 ⑥通过实例,体会一次函数的实际应 用,初步认识函数模型和函数思想。 重点难点 知道一次函数与正比例函数的关系,在 研究一次函数的性质时,能与正比例函数进 行联系;能利用函数思想解决现实生活中的 一些简单问题。 (3)教材分析与教学案例 教材分析: ①从两个实例引入一次函数的特征: 用来表示函数的式子都是关于自变量(指表 示自变量的字母)的一次整式。 ②与正反比例函数一样,用形式化定 义了一次函数: 解析式形如y=kx+b(k≠0)的 函数叫一次函数。其中定义域根据解析式的 形式是一切实数,当b=0时,y就是x的正比 例函数,即正比例函数是一次函数的特殊情

况,研究一次函数可以类比正比例函数的方 法。 ③例题1是根据定义,判断所给的函数 关系式是否是一次函数,也让学生熟悉一次 函数的解析式,此处要让学生紧扣一次函数 的定义来理解一次函数。 例题2通过不同的形式,熟悉一次函数 的解析式,加深对一次函数定义的理解,特 别是要学生重视一次项系数不为 0的条件, 并引出常值函数的概念,让学生这也是一个 函数, 是自变量变化时, 函数值是同一个值。 例题 3 明确求一次函数的解析式的方 法,象求正反比例函数的解析式一样,由于 已经知道一次函数的解析式的形式,只不过 要确定其中的两个系数,因此仍可采用待定 系数法的方法,而且由于有两个系数需要确 定,因此需要两个条件。 ④一次函数的图像仍采用列表、描点、 连线的方法,得到是一条与y=kx平行,并经 过点(0,b),即截距为b的一条直线,因 此y=kx+b也可以称直线y=kx+b, 今后画一次 函数的图像时就只要描出两个点就可以了。 ⑤例题 1 是让学生熟悉一下画图的方 法。 例题2主要是让学生熟悉截距的概念, 能区分截距与距离的差异。 例题 3 通过给出两点求所给一次函数

解析式中的系数,同时知道求函数图像与坐 标轴交点的坐标。; 例题4通过自己动手操作,发现斜率相 等的两条直线的位置关系,并进行了说理, 让学生理解斜率相等的两条直线平行与它 们斜率相等的关系。 例题5已知斜率和一点的坐标,求函数 的解析式,熟悉平行与斜率相等的关系,并 进一步知道确定一次函数解析式的两个条 件。 例题 6 帮助学生理解一次函数和一次 方程、一次不等式的关系。在学会看图、已 知一次方程、一次不等式与图像的关系后, 给出一些条件,根据条件求解一次方程和不 等式。 ⑥一次函数的性质中,通过两个一次 函数的图像发现归纳得到一次函数的增减 性,类比它与正比例函数的增减性。 ⑦例题 1 主要目的是熟悉一次函数的 这个性质,一次函数 y=kx+b中的k决定函数 值随自变量的变化而变化的规律。 例题 2 是利用性质判断其中的一个实 数m的范围 例题 3 是利用性质比较图像上两点纵 坐标的大小,体现了函数的思想。 例题4除了应用性质以外,也让学生熟 悉图像经过哪几个象限与系数的关系,体验

分类讨论思想与数形结合思想。 例题 5 也是让学生掌握一次函数的图 像经过几个象限的特征。这几题其实质就是 熟悉掌握一次函数的增减性和图像经过象 限时解析式中系数的特征。 ⑧学习了一次函数的概念、图像和性 质后,又回到了应用。例题 1让学生再一次 看到一次函数的实际应用,为降低难度,此 处避免了分段函数的问题,给出其定义域, 求函数的解析式。例题 2也是一个根据实际 求函数解析式问题,并由解析式求函数值。 ⑨问题1 、问题2 ,尽管以问题的形式 出现,但其实质也是两个应用性的问题,根 据条件先求出函数的解析式,把问题抽象为 数学模型,然后利用这样的模型解决有关问 题。

第九讲:一次函数的概念教学案例剖析 20.1 一次函数的概念 ——附教案(选自上海教育资源库) 上海师范大学康城实验学校 赵超 [教学目标] 1.理解一次函数、常值函数的概念; 2.理解一次函数与正比例函数的关系; 3. 会利用待定系数法求一次函数的解 析式. [教学重点及难点] 一次函数与正比例函数概念的关系; 用待定系数法求一次函数的解析式. [教学流程] 创 设 情 境 --- 导 入 新 课 --- 例 题 讲 解 ---巩固练习---自我评价---回家作业 [教学过程] 一、创设情境,复习导入 问题1 :汽车油箱里原有汽油 120升, 已知每行驶10千米耗油2升,如果汽车油箱 的剩余是y (升) 汽车行驶的路程为x (千米) , 试用解析式表示 y与x的关系. 分析:每行驶10千米耗油2升,那么每 行驶1千米耗油0.2升, 因此y与x的函数关系 式为: y=120-0.2x (0≤x≤600) , 当然, 这 个 函 数 也 可 表 示 为 : y= - 0.2x+120 (0≤x≤600) [ 说明 ] 当一个函数以解析式表示时 ,

如果对函数的定义域未加说明 ,那么定义域 由这个函数的解析式确定; 否则,应指明函数 的定义域. 这个函数是不是我们所学的正比例 函数?它与正比例函数有何不同?它的图 像又具备什么特征?从今天开始我们将讨 论这些问题. 二、学习新课 1.概念辨析 问题2:某人驾车从甲地出发前往乙地, 汽车行驶到离甲地80千米的A处发生故障, 修好后以 60 千米/小时的速度继续行驶 . 以 汽车从A处驶出的时刻开始计时,设行驶的 时间为 t(小时),某人离开甲地所走的路 程为s(千米),那么s与t的函数解析式是什 么? 类似问题1:这个函数解析式是 S=60t+80 思考:这个解析式和 y=-0.2x+120有什 么共同特点? [ 说明] 通过讨论使学生能够从它们的 函数表达式得出表示函数的式子都是自变 量的一次整式. 如果我们用k表示自变量的系数,b表 示常数. 这些函数就可以写成: y=kx+b (k≠0)的形式. 一般地,形如y=kx+b(k、b是常数,

且 k≠0)的函数, 叫做一次函数( linear function).一次函数的定义域是一切实数. 当b=0时,y=kx+b即y=kx(k是常数, 且 k≠0).所以说正比例函数是一种特殊的 一次函数. 当k=0时,y等于一个常数,这个常数 用c来表示,一般地,我们把函数 y=c( c是 常数)叫做常值函数( constant function) 它的定义域由所讨论的问题确定. 2.例题分析 例题1 根据变量x、y的关系式, 判断y 是否是x的一次函数.
1 1 x ? y ? 2; y ? 1 ? x (1)y ? 2x ; (2 ) ; ( 3 ) 3 2

2 y ? ( 4) x ? 3 .

例题2 已知变量 x、y之间的关系式是 y=(a+1)x+a (其中a是常数),那么y是x的一 次函数吗? 例题 3 已知一个一次函数 , 当自变量 x=2时,函数值y=-1;当x=5时,y=8.求这个 函数的解析式. 分析:求一次函数解析式,关键是求 出k、b值.由此可列出关于k、b的二元一次 方程组,解之可得. 解: 设所求一次函数的解析式为

y=kx+b; 由x=2时y=-1,得 -1=2k+b; 由x=5时y=8,得 8=5k+b. ? 1 ? 2k ? b 解二元一次方程组 8 ? 5k ? b , 得k=3, b=-7. 所以,这个一次函数的解析式是

y ? 3x ? 7

[ 说明 ] 这里求一次函数解析式的方法 是待定系数法 . 解析式中 k,b 是待定系数 , 利 用两个已知条件列出关于k、 b的方程组再求 解,可确定它们的值. 二次函数的应用 3.巩固练习: (1) 下列函数中哪些是一次函数,哪些 又是正比例函数? ① y ? ?8x ④ y ? ?3x ? 1 (2) 一个小球从斜坡由静止开始向下 滚动,其速度每秒增加 2米.这个小球的速 度v随时间t变化的函数关系是一次函数 吗? (3) 汽车油箱中原有油50升, 如果行驶 中每小时用油5升,求油箱中的油量y(升)
3 y ? ② x
2 ③ y ? 5x ? 6

随行驶时间x(小时)变化的函数关系式, 并写出自变量x的取值范围.y是x的一次函 数吗? (4).已知一次函数图象过点( 3,5) 与(-4,-9),求这个一次函数的解析式. 三、自我评价,谈谈感想 (1) 这节课你学会了什么? (2) 你认为有哪些要注意的地方? (3) 你还有什么问题吗? 四、作业: 练习册:20.1

第十讲: 二次函数教材分析及教学注意事 项 1 、二次函数相关内容的概念框架与 知识结构 实 际 问 题 --- 二 次 函 数 --- 二 次 函 数 2 y=ax 、y=ax2+c、y=a(x+m)2 2 的图像与性质---二次函数y=a(x+m) +K的图 像与性质---二次函数应用 2 、二次函数相关内容的教学目标、 教学重点及教学难点分析 在学习了一次函数的基础上,继续对 现实生活中另一类重要的函数进行研究是 相当有必要的,由此引入了二次函数的概 念、图像和性质。由于二次函数相对于一次 函数来讲较为复杂,因此在研究二次函数图 像的过程中也采用了从特殊到一般的研究 方法。 [教学目标] (1 )通过实例引入二次函数,理解二 次函数的概念。 (2)知道二次函数的图像是一条对称 轴垂直于x轴的抛物线,会根据条件画二次 函数的图像。 (3)能判断抛物线的开口方向,会用 配方法和公式求抛物线的顶点坐标和对称 轴。 (4)能借助二次函数图像的直观性,

认识二次函数的一些基本性质,并能用数学 语言进行描述,进而掌握这些基本性质。 [重点难点] 知道二次函数的概念和图像,并能借 助图像,理解二次函数的有关性质,以及顶 点坐标和对称轴;经历从特殊到一般的过 程,学会研究有些复杂问题的方法。 3、教材分析与教学案例 [教材分析]: (1)通过学生熟悉的三个有关正方形 的问题引入二次函数,指出其特征是关于自 变量的二次整式。 (2)与已学过的三个特殊函数一样, 二次函数也是采用了形式化的定义:解析式 形如y=ax2+bx+c(a≠0)的形式叫做二次函 数。定义域根据解析式可以知道是一切实 数。 (3 )例题1主要是让学生熟悉二次函 数的定义,能抓住二次函数的本质——关于 自变量的二次整式,判断二次函数。 例题2是利用代数的知识,建立二次函 数的解析式,同时也复习增长率的问题。 例题3是利用几何知识,建立函数的解 析式,并求出函数的定义域。 ( 4 )二次函数的图像的探究较为复 杂,因此教材中先研究一些简单的、特殊的 二次函数的图像,从中发现一些规律,这也

渗透了从特殊到一般的研究问题的方法。 ( 5 )在研究二次函数 y=ax2 图像时, 又选择了最简单的a=1和a=-1进行研究,得 到规律,再通过 a ?
1 1 a ? ? 2 加以验证,得到 2和

二次函数y=ax2的图像和性质。 (6 )在研究了二次函数 y=ax2图像的 基础上,再研究二次函数 y=ax2+c的图像,
1 2 仍然采用实例研究,通过画 y ? 2 x ? 2 的图

1 2 y ? 像,并与二次函数 2 x 的图像进行比较,

通过一定的说理,以及出示二次函数
1 2 y ? ? x ? 2 和 y ? ? 1 x 2 的图像,得到这类函数与 2 2

二次函数 y=ax2图像的异同,变化规律,从 而 归 纳 得 到 二 次 函 数 y=ax2+c 的 图 像 和 性 质。 ( 7 )研究了二次函数 y=ax2 图像与二 次函数 y=ax2+c的图像的关系后,用同样的
2 y ? a ( x ? m ) 方法继续研究二次函数 的图像,

并与二次函数 y=ax2图像进行比较,发现异

同,找到规律,得到性质。 (8)在研究了三个简单特殊的二次函 数的基础上,再来研究一般的二次函数的规 律,可以起到水到渠成的效果,因此研究二
2 次函数 y ? a( x ? m) ? k 的图像与性质, 学生就

较易接受和理解。 (9 )例题1是让学生熟悉抛物线的这 种表示形式,以及所反映出来的一些信息, 并在此基础上如何用描点法画抛物线。 例题2表明了画二次函数图像的一般过 程。 例题3主要熟悉抛物线平移的特点,以 及平移后的表达式是什么。这里除了要抓住 抛物线平移时开口方向和开口大小不变的 特点,更重要的是抓住抛物线中最关键的点 ——顶点平移后的位置,从而就可以写出抛 物线的表达式。
2 y ? a ( x ? m ) ?k (10)在熟悉了二次函数

的图像和性质后,就可以研究一般形式的二 次函数的图像和性质了,即只要把二次函数

y ? ax2 ? bx ? c 通过配方转化为 y ? a( x ? m) 2 ? k
即可。 (11)例题4就是让学生熟悉掌握配方

2 法 , 能 把 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c 转 化 为

y ? a( x ? m) 2 ? k 的形式。
2 y ? ax ? bx ? c 例题5在掌握了把二次函数
2 转化为 y ? a( x ? m) ? k 的形式后,就能解决二

次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标 等问题了,这里让学生进一步体验。 例题6通过不同的要求,进一步熟悉把
2 2 y ? ax ? bx ? c y ? a ( x ? m ) ?k的 二次函数 转化为

形式,以及画二次函数的图像。
2 y ? ax ? bx ? c 转 (12) 学会了把二次函数
2 y ? a ( x ? m ) ? k 的形式, 化为 得到抛物线的顶

点坐标、对称轴的公式后,再对其一般的形 式进行研究,得到二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 对称轴 和顶点坐标的公式 例题7就是利用公式解决有关问题,同 时再一次熟悉画二次函数的图像。 例题 8 给出了二次函数解析式的另外 一种形式,仍然要求开口方向、顶点坐标、 对称轴等问题,那么我们就可以把解析式转 化为一般式,然后套用公式解决问题。此处

再一次要求画二次函数的图像,使学生能熟 练地画出二次函数的图像。 (13 )例题9是已知二次函数图像经过 三点求这个二次函数解析式的问题,这是一 个基础性的问题,它象前面所学的正反比 例、一次函数的解析式一样,由于解析式已 经知道了,只不过其中的三个系数还没有确 定,因此也是采用待定系数法加以解决。 (14)学数学的一个重要目的就是用数 学知识解决生活中的有关问题。例题10、例 题11、例题12都是函数的应用问题,体现了 数学来源于生活,服务于生活的本质。 例题10是一个已知三角形,求内接矩 形的有关函数解析式等问题,这是一个几何 方面的应用问题,它与直角三角形,相似三 角形有关。此处是根据矩形的面积等于长乘 以宽建立了函数解析式,并在此基础上求函 数值。 例题11是研究所给函数的图像达到最 高点时水平距离有多远的问题,由于解析式 已给出,因此主要还是研究函数的解析式的 问题。 例题12 是一道营销问题的综合题,第 (1)小题已经知道了两个变量具有一次函 数的关系,因此要求这个函数解析式时,只 要根据条件确定其中的有关系数;第(2) 小题要根据所给的关系式列出函数解析式,

相对难度较大,但仍然是根据所给的等式建 立函数解析式;第( 3)小题除了求一些函 数值外,还要求产品的销售价定为多少元时 日销售利润最大时,要利用代数的方法把一 般式转化为 y ? a( x ? m) 2 ? k 的形式, 并利用非负 数的有关性质得到结论。

第十一讲:二次函数的概念教学案例 剖析 26.1二次函数的概念 ——附教案(选自上海教育资源库) 上海市市北初级中学 雍欣 一、教学内容分析 二次函数是一种常见的函数,应用非 常广泛,它是客观地反映现实世界中变量之 间的数量关系和变化规律的一种非常重要 的数学模型 .许多实际问题往往可以归结为 二次函数加以研究 .本节课是学习二次函数 的第一节课,通过实例引入二次函数的概 念,并学习求一些简单的实际问题中二次函 数的解析式和它的定义域 . 在教学中要重视 二次函数概念的形成和建构,在概念的学习 过程中,让学生体验从问题出发到列二次函 数解析式的过程,体验用函数思想去描述、 研究变量之间变化规律的意义.

二、教学目标设计 1.理解二次函数的概念; 2. 会求一些简单的实际问题中二次函 数的解析式和它的定义域; 3. 在从问题出发到列二次函数解析式 的过程中,体验用函数思想去描述、研究变 量之间变化规律的意义. 三、教学重点及难点 教学重点:对二次函数概念的理解. 教学难点:由实际问题确定函数解析 式和确定自变量的取值范围. 四、教学用具准备 教具、学具、多媒体设备. 五、教学流程设计 创设情景,引出二次函数---观察分析 进一步理解二次函数的概念 ---师生互动, 运用新知确定二次函数关系式 --- 反馈小 结,布置作业 六、教学过程设计 (一)、复习提问 我们学过了哪些函数? 什么叫一次函数?(y=kx+b,其中k≠0) 表达式中的自变量是什么?函数是什么? 常量是什么?为什么要有 k≠0的条件? k值 对函数性质有什么影响? [说明] 复习这些问题是为了帮助学生 弄清自变量、函数、常量等概念,加深对函

数定义的理解.强调k≠0的条件,以备与二 次函数中的a进行比较. (二)、由实际问题引入新课 函数是研究两个变量在某变化过程中 的相互依赖关系,我们已学过正比例函数, 反比例函数和一次函数.看下面两个例子中 两个变量之间存在怎样的关系. 例题 1 正方形的边长是 x(cm) ,面积 y(cm2)与边长x之间的函数关系如何表示? 解:函数关系式是y=x2 (x>0). 例题2 农机厂第一个月水泵的产量为 50( 台 ) 第三个月的产量 y( 台 ) 与月平均增长 率x之间的函数关系如何表示? 解 : 函 数 关 系 式 是 y=50(1 + x)2 , 即 y=50x2+100x+50. [ 说明] 由以上两例,引导启发学生归 纳出(1)函数解析式的一边均为整式 (表明这 种函数与一次函数有共同的特征). (2) 自变量的最高次数是 2( 这与一次函 数不同). 本处设计了两个问题,学生容易分析 其中的变量以及变量之间的关系,也不难列 出函数解析式.通过归纳解析式特点, 自然引 出二次函数的定义. (三)、学习新课 1 、 二 次 函 数 的 定 义 : 形 如 y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)的函数叫

做二次函数. 对二次函数概念的理解可从以下几方 面入手: (1)强调“形如”,即由形来定义函数 名称.二次函数即y是关于x的二次多项 式.对定义中的“形如”的理解,与一次函数 类似地,仍然要注意二次函数的自变量与函 数不仅仅局限于只用x、y来表示. (2)在y=ax2+bx+c中自变量是x,它 的取值范围是一切实数.但在实际问题中, 自变量的取值范围应是使实际问题有意义 的值.如例1中,x>0. (3)为什么二次函数定义中要求 a≠0 ? (若 a=0 , ax2 + bx+c 就不是关于 x 的二 次多项式了) (4)b和c是否可以为零?由例1可知, b和c均可为零. 若b=0,则y=ax2+c; 若c=0,则y=ax2+bx; 若b=c=0,则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形 式,而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式. 2、概念巩固 (1)下列函数中哪些是二次函数?哪 些不是二次函数?若是二次函数, 指出a、 b、 c.
2 2 y ? x ? 1 y ? x ? 2 x ? 1 ;③ y=x(x-1) ; ① ;②

④y=3x(2-x)+3x2;
2 x 2 ? 2x ? 1 3 x ?x 4 2 y ? y ? ⑤ x ; ⑥y=x +2x +1; ⑦ ? ;

⑧y? x . 2 2 y ? ( m ? 9 ) x ? (m ? 3) x ? 2 ,当m (2)已知函数 为何值时,这个函数是二次函数?当m为何 值时,这个函数是一次函数? (3)圆柱的体积V的计算公式是
2

V ? ?r 2 h ,其中r是圆柱底面的半径,h是圆
柱的高. ①当r是常量时,V是h的什么函数? ②当h是常量时,V是r的什么函数? [说明]通过练习,巩固加深对二次函数 概念的理解. 3、例题分析 例题3 设圆柱的高h(cm)是常量,写出 圆柱的体积 V(cm3) 与底面周长 c(cm) 之间的
hc 2 函数关系式. V ? 4?

例题 4 用长为 20 米的篱笆 , 一面靠墙 ( 墙长超过 20 米 ), 围成一个长方形花圃 , 如 图所示 . 设 AB 的长为 x 米 , 花圃的面积为 y 平 方米,求y关于x的函数解析式及函数定义域 .

y ? ?2 x 2 ? 20 x(0 ? x ? 10)

例题5 三角形的两条边长的和为9 cm, 它们的夹角为30°, 设其中一条边长为 x(cm),三角形的面积为y(cm2),试写出y与x 之 间 的 函 数 解 析 式 及 定 义 域 .
1 2 9 y ? ? x ? x(0 ? x ? 9) 4 4

对二次函数定义域的认识,要明确函 数的表达式包括解析式和定义域 . 在具体问 题中, 有时只研究函数的解析式.若需要研究 函数的定义域时,一般有下列两种可能性: 如果未加说明,函数的定义域由解析式确 定;如果函数有实际背景,那么写出函数解 析式的同时必须给出定义域,这时既要考虑 解析式的意义,又要考虑问题的实际意义. [说明] 求二次函数定义域是个难点, 在第一课时的教学中可不必加深难度. (四)、巩固练习 书P85练习26.1 (五)、课堂小结 这节课你学习了什么,有何收获? (六)、作业布置 习题26.1


相关文章:
函数与分析的内容特点及教学设计
函数与分析的内容特点及教学设计 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档课题:二次函数复习 [教学目标]: 1、通过复习进一步掌握二次函数的图像特征及有关性质 2、能...
函数的概念教学设计
根据学生的心理特征和认知 规律,我采取问题启发式教学法;以问题串为主线,通过...2 《函数的概念》的教学设计说明一、本节课内容的本质、地位、作用分析及课时...
教学设计及分析
教学设计分析_语文_小学教育_教育专区。《一次函数...本节课的内容是通过画 y=-6x,y=-6x+5 等函数...具有在运动过程中保持图形的几何关系不变的特点 ,随...
初中函数概念的教学分析和教学设计
初中函数概念的教学分析和教学设计_数学_初中教育_教育...好初中函数教学的度, 要根据初中学生的思维特点和...在这段内容的教学中教师要促使学生 感受到变量的...
函数教学设计
二、教学任务分析函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第...教学支持条件分析 根据本节课的教材内容特点, 为了更直观、 形象地突出重点、 ...
教学设计
教材:苏教版高中数学必修 1 Ⅰ.教学内容解析 本节...学生学情分析 授课班级学生为南京师大附中实验班学生...这些函数有什么共同特点? 能否写成一般形式? [设计...
《函数的概念》的教学设计
函数的概念》的教学设计浙江省义乌市第三中学 陈向阳 【教材分析】本节课...本课时的内容为:函数的概念、函数的三要素、简单 函数的定义域及值域的求法、...
函数的概念教学设计
函数的概念教学设计_数学_高中教育_教育专区。北师大...(数学)必修 1,函数作为初等数学的核心内容,贯穿于 ...(二)探索新知,形成概念 1、引导分析,探求特征 ...
教学设计
教学设计_教学案例/设计_教学研究_教育专区。《基于 solo 分类法理论之指数函数...四、教学方法,学习方法分析 根据教学内容的特点, 并结合学生已有的认知结构安排...
函数复杂问题分析的教学设计
函数复杂问题分析的教学设计 在教学人教版八年级上册“一次函数”时,?感觉教学难度比较大.?教科书第 33 页例 6 是一个函数应用题,根据本班学生的学习特点,?...
更多相关标签:
名师教学语言特点分析 | 个人教学特点分析 | 教学设计的特点 | 信息化教学设计的特点 | 教学设计特点 | 教学设计的六个特点 | 网站布局设计分析特点 | 有特点的人脸教学设计 |