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10. 2012年全国高中数学联赛湖北预赛


预赛试题集锦(2013) 高中竞赛
2012 年全国高中数学联赛湖北省预赛
一.填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1. 2. 函数 f ( x) ?
x ?1 的值域为_______. x ? 4x ? 7
2

已知 3sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1 , 3(sin ? ? cos ? )2 ? 2

(sin ? ? cos ? )2 ? 1 ,则 cos 2(? ? ? ) ? _______.
? an ? ,an 为偶数 , ?? 2 如果 a1 ? a2 ? a3 ? 29 , 则 a1 ? _______. ?3a ? 1 ,a 为奇数 , n ? n

3.

an ?1 a1 为正整数, 已知数列 ?an ? 满足:

4.

2, 3, ?, 12? , A ? ?a1 , a2 , a3 ? 是 S 的子集,且满足 a1 < a2 < a3 , a3 ? a2 ≤ 5 , 设集合 S ? ?1,
那么满足条件的子集 A 的个数为_______.

5.

6.

x2 y 2 过原点 O 的直线 l 与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a >b >0) 交于 M ,N 两点,P 是椭圆 C 上异于 M ,N 的 a b 1 任一点.若直线 PM ,PN 的斜率之积为 ? ,则椭圆 C 的离心率为_______. 3 ???? ??? ? ???? p 在△ ABC 中, AB ? BC ? 2 , AC ? 3 .设 O 是△ ABC 的内心,若 AO ? pAB ? qAC ,则 的值为 q
_______.

7.

在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 AC ? 1 , B1C ? 2 , AB1 ? p ,则长方体的体积最大时, p 为 _______.

8.

2012 ? 2012 ? 2k ? 设 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则 ? ? ? ? _______. 2k ?1 ? k ?0 ?

二.解答题(第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分,共 56 分) 9.
2 已知正项数列 ?an ? 满足 an an?1 ? an an?2 ? 4 an an?1 ? an 且 a1 ? 1 ,a2 ? 8 ,求 ?an ? 的通项 ?1 ? 3 an an?1

公式.
b 满足 a 2 ? b2 ? 1 ,且 a3 ? b3 ? 1 ? m(a ? b ? 1)3 ,求 m 的取值范围. 10. 已知正实数 a ,

k2 的两条直线交抛物 11. 已知点 E (m ,n) 为抛物线 y 2 ? 2 px ( p > 0) 内一定点,过 E 作斜率分别为 k1 ,
C ,D ,且 M ,N 分别是线段 AB , CD 的中点. 线于 A ,B ,

(1)当 n ? 0 且 k1 ? k2 ? ?1 时,求△ EMN 的面积的最小值; (2)若 k1 ? k2 ? ? ( ? ? 0 ,? 为常数) ,证明:直线 MN 过定点.

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1

高中竞赛
以下高一部分

预赛试题集锦(2013)

1.已知集合 A ? {x | x ? a}, B ? {x | x ? b}, a, b ? N,且 A ? B ? N ? {1} ,则 a ? b ? 1. 2.已知正项等比数列 {an } 的公比 q ? 1 ,且 a2 , a4 , a5 成等差数列,则
a1 ? a4 ? a7 3 ? 5 ? . 2 a3 ? a6 ? a9
7 . 4

6.在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边长 a , b, c 满足 a ? c ? 2b ,且 C ? 2 A ,则 sin A ?
5 5 8.设 x1 , x2 , x3 是方程 x3 ? x ? 1 ? 0 的三个根,则 x15 ? x2 的值为 ?5 . ? x3

11.设 f ( x) ? loga (x ? 2a ) ? loga (x ? 3a ),其中 a ? 0 且 a ? 1 .若在区间 [a ? 3, a ? 4] 上 f ( x) ? 1 恒成立, 求 a 的取值范围. 解 f ( x) ? loga ( x2 ? 5ax ? 6a2 ) ? loga [( x ?

5a 2 a2 ) ? ]. 2 4

? x ? 2a ? 0, 3 5a 3 由? 得 x ? 3a , 由 题 意 知 a ? 3 ? 3a , 故 a ? , 从 而 (a ? 3) ? ? (a ? 2) ? 0 , 故 函 数 2 2 2 ? x ? 3a ? 0,

5a 2 a2 ) ? 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递增. 2 4 (1)若 0 ? a ? 1 ,则 f ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递减,所以 f ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上的最大值为 g ( x) ? ( x ?

f (a ? 3) ? loga (2a2 ? 9a ? 9) .
2 , ? 4上 ] 不 等 式 f ( x )? 1恒 成 立 , 等 价 于 不 等 式 l o g 2 ? a9 ? 在 区 间 [a ? 3 a a (a

? 9) 成 1立 , 从 而

2a 2 ? 9a ? 9 ? a,解得 a ?

5? 7 5? 7 或a ? . 2 2

结合 0 ? a ? 1 得 0 ? a ? 1 . (2)若 1 ? a ?

3 ,则 f ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递增,所以 f ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上的最大值为 2

f (a ? 4) ? loga (2a2 ? 12a ? 16) .
在区间 [a ? 3, a ? 4] 上不等式 f ( x ) ? 1 恒成立,等价于不等式 loga (2a2 ? 12a ? 16) ? 1 成立,从而
2a 2 ? 12a ? 16 ? a ,即 2a 2 ? 13a ? 16 ? 0 ,解得
13 ? 41 13 ? 41 ?a? . 4 4

易知

13 ? 41 3 ? ,所以不符合. 4 2

综上可知: a 的取值范围为 (0,1) .

2

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